立体几何中的向量方法之证明平行与垂直 题型方法总结讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版选修2-1

立体几何中的向量方法——证明平行与垂直

知识讲解

1   用向量表示直线或点在直线上的位置

(1)给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量＝ta，则此向量方程叫做直线l以t为参数的参数方程．向量a称为该直线的方向向量．

(2)对空间任一确定的点O，点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式＝(1－t)＋t，叫做空间直线的向量参数方程．

2   用向量证明空间中的平行关系

(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.

(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.

(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.

(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1 ∥u2.

3   用向量证明空间中的垂直关系

(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.

(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.

(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.

 

 

题型归纳

题型一： 证明平行问题

用向量证明线面平行的方法有：(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．

例题：

1、如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，

点Q在线段AC上，且AQ＝3QC. 证明：PQ∥平面BCD.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2、如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点.求证：PB∥平面EFG.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

题型二：证明垂直问题

用向量证明垂直的方法：(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．