10.1平方根和立方根 讲义 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

10.1平方根和立方根 学习目标 1. 理解平方根、算术平方根和立方根的概念。 2. 会用根号表示一个数的平方根、算术平方根和立方根。 3. 会求一个非负数的平方根和算术平方根，会求一个数的立方根。 4. 知道平方根和算术平方根的区别与联系。 5. 知道立方根的唯一性，以及立方根与平方根的区别。 6. 能运用平方根和立方根的知识解决简单的实际问题和数学问题。 知识点讲解 一、平方根与算术平方根 1. 平方根的定义： 如果一个数 ( x ) 的平方等于 ( a )，即，那么这个数 ( x ) 叫做 ( a ) 的平方根（也叫做二次方根）。 例如，因为和，所以 3 和 -3 都是 9 的平方根。 2. 平方根的表示方法： 一个正数 ( a ) 的平方根有两个，它们互为相反数，分别表示为和，读作“正根号 ( a )”和“负根号 ( a )”。 合起来，正数 ( a ) 的平方根可以表示为。 0 的平方根是 0，记作。 3. 平方根的性质： · 正数有两个平方根，它们互为相反数。 · 0 只有一个平方根，它就是 0 本身。 · 负数没有平方根（因为任何实数的平方都不可能是负数）。 4. 算术平方根的定义： 正数 ( a ) 的正的平方根叫做 ( a ) 的算术平方根。 0 的算术平方根是 0。 例如，9 的算术平方根是 3，记作。 5. 算术平方根的表示方法： 数 ( a ) 的算术平方根记作，其中，且。 6. 算术平方根的性质： · 非负性：，且（被开方数非负，算术平方根非负）。 · （）。 · ，即当时，；当 ( a < 0 ) 时，。 二、立方根 1. 立方根的定义： 如果一个数 ( x ) 的立方等于 ( a )，即，那么这个数 ( x ) 叫做 ( a ) 的立方根（也叫做三次方根）。 例如，因为，所以 2 是 8 的立方根；因为，所以 -2 是 -8 的立方根。 2. 立方根的表示方法： 数 ( a ) 的立方根记作，读作“三次根号 ( a )”，其中 ( a ) 是被开方数，3 是根指数。 3. 立方根的性质： · 正数的立方根是正数。 · 负数的立方根是负数。 · 0 的立方根是 0。 · 任何数都有且只有一个立方根。 · （互为相反数的两个数的立方根也互为相反数）。 · 。 · 。 例题解析 例 1：求下列各数的平方根和算术平方根。 （1）100 （2） 例 2：求下列各式的值。 （1） （2） （3） 例 3：求下列各数的立方根。 （1）-8 （2） （3）0.008 例 4：求下列各式中的 x 。 （1） （2） （3） （4） （4） 巩固练习 一、选择题 1. 4 的平方根是 A. 2 B. -2 C.. 16 2. 下列说法正确的是 A. 1 的算术平方根是. -1 的平方根是 -1 C. 0 没有平方根 D. 0.01 是 0.1 的算术平方根 3. 的平方根是 A. 9 B.. 3 D. 4. 下列各式中，无意义的是 A.... 5. 下列计算正确的是 A.... 6. 若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是 A. 0 B. 1 C. -1 D. 0 或 1 7. 下列说法中，正确的是 A. 负数没有立方根 B. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数 C. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D. 一个数的立方根与这个数的符号相同 8. 估计的值在 A. 1 和 2 之间 B. 2 和 3 之间 C. 3 和 4 之间 D. 4 和 5 之间 二、填空题 1. 的算术平方根是( ) 。 2. -0.001 的立方根是 。 3. 若，则 a =( ) 。 4. 比较大小：（填“>”、“<”或“=”）。 5. 如果，那么 x =( ) ；如果，那么 y = ( ) 。 6. 的平方根是( ) 。 7. 若，则。 三、解答题 1. 求下列各数的平方根和算术平方根： （1）0.0036 （2） （3） 2. 求下列各数的立方根： （1） （2）0.125 （3） 3. 计算： （1） （2） （3）（提示：，所以是负数） 4. 求下列各式中的 ( x )： （1） （2） （3） 5. 一个正方体的体积是 27 立方米，求这个正方体的棱长。如果体积是 5 立方米呢？（棱长保留根号） 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1平方根和立方根 学习目标 1. 理解平方根、算术平方根和立方根的概念。 2. 会用根号表示一个数的平方根、算术平方根和立方根。 3. 会求一个非负数的平方根和算术平方根，会求一个数的立方根。 4. 知道平方根和算术平方根的区别与联系。 5. 知道立方根的唯一性，以及立方根与平方根的区别。 6. 能运用平方根和立方根的知识解决简单的实际问题和数学问题。 知识点讲解 一、平方根与算术平方根 1. 平方根的定义： 如果一个数 ( x ) 的平方等于 ( a )，即，那么这个数 ( x ) 叫做 ( a ) 的平方根（也叫做二次方根）。 例如，因为和，所以 3 和 -3 都是 9 的平方根。 2. 平方根的表示方法： 一个正数 ( a ) 的平方根有两个，它们互为相反数，分别表示为和，读作“正根号 ( a )”和“负根号 ( a )”。 合起来，正数 ( a ) 的平方根可以表示为。 0 的平方根是 0，记作。 3. 平方根的性质： · 正数有两个平方根，它们互为相反数。 · 0 只有一个平方根，它就是 0 本身。 · 负数没有平方根（因为任何实数的平方都不可能是负数）。 4. 算术平方根的定义： 正数 ( a ) 的正的平方根叫做 ( a ) 的算术平方根。 0 的算术平方根是 0。 例如，9 的算术平方根是 3，记作。 5. 算术平方根的表示方法： 数 ( a ) 的算术平方根记作，其中，且。 6. 算术平方根的性质： · 非负性：，且（被开方数非负，算术平方根非负）。 · （）。 · ，即当时，；当 ( a < 0 ) 时，。 二、立方根 1. 立方根的定义： 如果一个数 ( x ) 的立方等于 ( a )，即，那么这个数 ( x ) 叫做 ( a ) 的立方根（也叫做三次方根）。 例如，因为，所以 2 是 8 的立方根；因为，所以 -2 是 -8 的立方根。 2. 立方根的表示方法： 数 ( a ) 的立方根记作，读作“三次根号 ( a )”，其中 ( a ) 是被开方数，3 是根指数。 3. 立方根的性质： · 正数的立方根是正数。 · 负数的立方根是负数。 · 0 的立方根是 0。 · 任何数都有且只有一个立方根。 · （互为相反数的两个数的立方根也互为相反数）。 · 。 · 。 例题解析 例 1：求下列各数的平方根和算术平方根。 （1）100 （2） 解： （1）因为， 所以 100 的平方根是。 100 的算术平方根是 10。 （2）因为， 所以的平方根是。 的算术平方根是。 解析：根据平方根的定义，找到平方后等于该数的所有数，即为平方根；其中非负的那个就是算术平方根。对于分数，分别对分子和分母求平方根。 例 2：求下列各式的值。 （1） （2） （3） 解： （1）因为， 所以。 （2）因为， 所以， 因此。 （3）因为， 所以。 解析：表示求 ( a ) 的算术平方根，前面加负号表示算术平方根的相反数，表示求 ( a ) 的平方根。直接根据定义和算术平方根的计算方法求解。 例 3：求下列各数的立方根。 （1）-8 （2） （3）0.008 解： （1）因为， 所以。 （2）因为， 所以。 （3）因为， 所以。 解析：根据立方根的定义，找到立方后等于该数的数即可。注意负数的立方根是负数，正数的立方根是正数，0 的立方根是 0。对于分数和小数，同样直接应用定义。 例 4：求下列各式中的 x 。 （1） （2） （3） （4） 解： （1） （2） 当 x - 1 = 4 时， x = 4 + 1 x = 5 当 x - 1 = -4 时， x = -4 + 1 x = -3 所以 x = 5 或 x = -3 。 （3） （4） 解析：这组题是利用平方根和立方根的定义解方程。对于形如（）的方程，其解为；对于形如的方程，其解为。对于更复杂的形式，如或，可以先将 ( (mx + n) ) 看作一个整体，求出这个整体的值，再进一步解出 ( x )。 巩固练习 一、选择题 1. 4 的平方根是 A. 2 B. -2 C.. 16 2. 下列说法正确的是 A. 1 的算术平方根是. -1 的平方根是 -1 C. 0 没有平方根 D. 0.01 是 0.1 的算术平方根 3. 的平方根是 A. 9 B.. 3 D. 4. 下列各式中，无意义的是 A.... 5. 下列计算正确的是 A.... 6. 若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是 A. 0 B. 1 C. -1 D. 0 或 1 7. 下列说法中，正确的是 A. 负数没有立方根 B. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数 C. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D. 一个数的立方根与这个数的符号相同 8. 估计的值在 A. 1 和 2 之间 B. 2 和 3 之间 C. 3 和 4 之间 D. 4 和 5 之间 二、填空题 1. 的算术平方根是( ) 。 2. -0.001 的立方根是 。 3. 若，则 a =( ) 。 4. 比较大小：（填“>”、“<”或“=”）。 5. 如果，那么 x =( ) ；如果，那么 y = ( ) 。 6. 的平方根是( ) 。 7. 若，则。 三、解答题 1. 求下列各数的平方根和算术平方根： （1）0.0036 （2） （3） 2. 求下列各数的立方根： （1） （2）0.125 （3） 3. 计算： （1） （2） （3）（提示：，所以是负数） 4. 求下列各式中的 ( x )： （1） （2） （3） 5. 一个正方体的体积是 27 立方米，求这个正方体的棱长。如果体积是 5 立方米呢？（棱长保留根号） 巩固练习答案与解析 一、选择题 1. 答案：C 解析：因为，所以 4 的平方根是。选项 C 正确。 2. 答案：D 解析： A. 1 的算术平方根是 1，不是，故 A 错误。 B. -1 是负数，负数没有平方根，故 B 错误。 C. 0 的平方根是 0，故 C 错误。 D.，所以 0.01 是 0.1 的算术平方根，故 D 正确。 3. 答案：D 解析：首先计算，题目变为求 9 的平方根。因为，所以 9 的平方根是，即的平方根是。选项 D 正确。 4. 答案：A 解析：平方根的被开方数必须是非负数。选项 A 中被开方数是 -3，为负数，所以无意义。选项 B 中有意义。选项 C 中，所以有意义。选项 D 中表示 3 的算术平方根的相反数，有意义。故 A 正确。 5. 答案：C 解析： A.表示 8 的立方根，一个数的立方根只有一个，，所以，故 A 错误。 B.，所以，故 B 错误，C 正确。 D.，所以，故 D 错误。 6. 答案：D 解析：设这个数为 ( x )，则。两边平方得，即，( x(x - 1) = 0 )，解得 ( x = 0 ) 或 ( x = 1 )。经检验，0 和 1 的算术平方根都等于它们本身。故 D 正确。 7. 答案：D 解析： A. 负数有立方根，且负数的立方根是负数，故 A 错误。 B. 一个数的立方根只有一个，故 B 错误。 C. 负数有立方根，但负数没有平方根，故 C 错误。 D. 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0，所以一个数的立方根与这个数的符号相同，故 D 正确。 8. 答案：B 解析：因为，，且 ( 4 < 7 < 9 )，所以，即。所以的值在 2 和 3 之间。选项 B 正确。 二、填空题 1. 答案：2 解析：首先计算。题目要求的是 4 的算术平方根。因为，所以 4 的算术平方根是 2。故答案为 2。 2. 答案：-0.1 解析：因为，所以 -0.001 的立方根是 -0.1。故答案为 -0.1。 3. 答案：9 解析：因为，两边同时平方，得，所以 ( a = 9 )。故答案为 9。 4. 答案：< 解析：因为，而 2.236 < 3，所以。故答案为 <。 5. 答案：； -5 解析：如果，则。如果，则。故答案为； -5。 6. 答案： 解析：首先计算（因为）。题目变为求 4 的平方根。因为，所以 4 的平方根是，即的平方根是。故答案为。 7. 答案：1 解析：因为和都是非负数（算术平方根的非负性），它们的和为 0。所以只有当每一个非负数都为 0 时，和才能为 0。即且。 由得 ( a - 2 = 0 )，所以 ( a = 2 )。 由得 ( b + 3 = 0 )，所以 ( b = -3 )。 则 ( a + b = 2 + (-3) = -1 )，所以。故答案为 1。 三、解答题 1. 答案： （1）平方根是，算术平方根是 0.06。 （2）平方根是，算术平方根是。 （3）平方根是，算术平方根是 4。 解析： （1）因为， 所以 0.0036 的平方根是。 0.0036 的算术平方根是 0.06。 （2）因为， 所以的平方根是。 的算术平方根是。 （3）因为，， 所以的平方根是。 的算术平方根是 4。 2. 答案： （1） （2）0.5 （3）100 解析： （1）因为， 所以的立方根是，即。 （2）因为， 所以 0.125 的立方根是 0.5，即。 （3）因为，且， 所以的立方根是 100，即。 3. 答案： （1）8 （2） （3） 解析： （1） （2） （3） 4. 答案： （1） （2）( x = 1 ) （3）或 解析： （1） （2） （3） 当时， 当时， 所以或。 5. 答案：体积是 27 立方米时，棱长是 3 米；体积是 5 立方米时，棱长是米。 解析：设正方体的棱长为 ( a ) 米。 根据正方体的体积公式，可得。 当体积 ( V = 27 ) 立方米时， （米）。 当体积 ( V = 5 ) 立方米时， （米）。 答：正方体体积是 27 立方米时，棱长是 3 米；体积是 5 立方米时，棱长是米。 学科网（北京）股份有限公司 $