4.2一元一次方程及其解法(1) 课件 2025-2026学年苏科版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的概念、解法及应用，从生活实例如铁丝围图形、计算机使用时间等入手，引导学生列方程并观察分类，逐步抽象出定义，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接代数式与方程知识。 其亮点在于以“数学来源于生活”为主线，通过丰富实例培养学生用数学眼光观察现实世界的抽象能力，用等式性质解方程强化推理意识，解决足球皮块等问题渗透模型意识。学生能提升应用能力，教师可借助分层练习和拓展内容优化教学。

4.2 一元一次方程及其解法(1) —— 一元一次方程 1、 根据下列问题，设未知数并列出方程: (1) 用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少? 解：设正方形的边长为 x cm. 等量关系：正方形边长×4 = 周长， 列方程：4x =24 【数学来源于生活】 (2) 一台计算机已使用1700h，预计每月再使用150h，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450h? 解：设 x 月后这台计算机的使用时间达到2450h 等量关系：已用时间 + 再用时间 = 检修时间 列方程：1700 + 150x = 2450 (3) 某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生? 解：设这个学校的学生人数为x， 那么女生人数为0.52x，男生人数为(1-0.52)x 等量关系：女生人数－男生人数 = 80， 列方程：0.52x－(1－0.52)x = 80 2、根据所设来知数列方程: (1)用一根长24cm的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的2倍，长方形的宽是多少? (设长方形的宽是 x cm) 2、根据所设来知数列方程: (2)如图，有一块长30cm、宽20cm的长方形硬纸板，在4个角截去4个一样的小正方形，折成一个无盖长方体金子，当小正方形的边长为多少时，所折长方体盒子的底面积为336cm2?(设截去的小正方形的边长为 x cm) 2、 根据所设来知数列方程: (3)一个足球的表面由黑色的五边形和白色的六边形共 32 个皮块组成，其中白色皮块比黑色皮块的2倍少4块，一个足球表面上有白色和黑色皮块各多少块? (设黑色皮块有 x 块) 观察我们列出来的这些方程，你能对它们进行分类吗？ 你能分类吗？ 【观察与思考】 30=10+20 30+a=10+20 (37-5)÷4=8 4x+5=37 3x+2(x+4) +x+5＝37 2(5x+3x)＝120 x+70＝2x-1879 x+2x= 6x-15 x(x+10)+3=378 共同特征： 方程的两边都是整式，只含有一个未知数，未知数的次数都是一次. 等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1的方程，叫做一元一次方程. 未知数 未知数次数 一元一次方程 【抽象与归纳】 （元） （次） 9 学用达理 下列各式中，哪些是一元一次方程？ ① x＝1 ② 3(x－4)＝12 ③ －2x－3＝0 ④ 3x＋2＝8x－7 ＝＋x ⑥ x + 2y =－ ⑦ ＋2＝5 ⑧ 2x －= 5 ⑨ x2=4 试一试： 当 x ＝1时， 左边＝3 ×1 ＋ 2 ＝5 右边＝4 ×1 ＋ 1 ＝5 左边＝右边 ∴ x ＝1是原方程的解 判断 x＝1是否为下列方程的解？ （1） 3x ＋ 2= 4x ＋1 ； （2） - =1 当 x ＝1时， 左边＝ - = 左边≠右边 ∴ x ＝1不是原方程的解 将未知数的值代入方程，检验左边代数式的值是否等于右边代数式的值. 代入检验法 （1） 3x ＋ 5 ＝ 2； 3x＝2－5 3x＝－3 两边都减去5，得 合并同类项，得 x ＝ －1 两边都除以3，得 解： 例1. 用等式的性质解下列方程： （2） －2x＝ 4－x； 等式两边都加上 x，得 合并同类项，得 等式两边都除以－1，得 解： －2x ＋x ＝ 4 － x ＝ 4 x ＝ －4 注：一元一次方程解的形式：“x ＝a（a为常数）” 等式两边都减去 ，得 合并同类项，得 例1. 用等式的性质解下列方程： （3） = x + 1 解： 等式两边都减去 ，得 合并同类项，得 等式两边都除以 ，得 =x + 1 =x + = = = = 练一练： （2）10－6x ＝－20x+31 解：3x ＋ 2 x ＝ 10 5x ＝ 10 ∴ x ＝ 2 1.用等式的性质解下列方程： （1） 3x ＝ 10－2x； 解：10－6x＋20x＝31 10＋14x＝31 14x ＝31－10 14x ＝21 x = ∴ x = 2.(1) 若关于x的方程(k－1)x2＋x－1＝0，是一元一次方程， 则k＝ ． (2) 已知方程(a+2)x2+ax+12＝0是关于x的一元一次方程，则a的值是___. 练一练： 3.(1)已知方程 是一元一次方程，则 a=________. (2) 已知方程(m－1)x|m|＝6是关于x的一元一次方程，则m的值是______. 4.用方程描述下列问题中数量之间的相等关系： (1) 小亮买5本练习本和2支圆珠笔一共用了5.5元，圆珠笔每支1.5元． 设练习本每本x元，可得方程__________________________； (2)把50kg大米分别装在3个同样大小的袋子里，装满后还剩余5kg， 设每个袋子可装大米 x kg，可得方程_______________________. 3.用方程描述下列问题中数量之间的相等关系： (3)丢番图的墓志铭： “他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他的生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；又过了生命的七分之一才结婚；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是这孩子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，老人在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了。” 设丢番图去世时的年龄为x岁，可得方程__________________________. 拓展提升 课堂小结 本节课我们学习了哪些内容？ 我们是用什么方法来学习的？ 通过这节课的学习，你觉得我们后面还要学习什么内容？ 2x + 1 5 从 问 题 到 方 程 含有未知数的等式叫方程． 方程，表达数量之间相等关系的“天平”，是解决实际问题的有效模型． 未知 x y 代数式 天元术 元 一元一次方程 二元一次方程 三元一次方程 一元二次方程 分式方程 对数方程 高次方程 微分方程 一切问题都可以转化成数学问题， 一切数学问题都可以转化成代数问题， 一切代数问题都可以转化成方程问题， ∴一旦解决了方程，所有问题迎刃而解。 ——法国数学家 笛卡尔 志在四方 万里鹏程 1. （1）如果方程2 xn－3＋ n ＝0是关于 x 的一元一次方程，那么 n ＝ ⁠； （2）若（ a －2） x｜ a｜－1＋4＝0为一元一次方程，则 a ＝ ⁠ ⁠. 4 －2 2. 代数式 mx － n 的值随 x 取值的变化而变化，如表是当 x 取不同值时对应整式的值： x －5 －4 －3 －2 －1 0 mx － n 9 6 3 0 －3 －6 则关于 x 的一元一次方程－ mx ＋ n ＝3的解为 x ＝ ⁠. 解：∵－ mx ＋ n ＝3， ∴ mx － n ＝－3 由表格可知当 x ＝－1时， mx － n ＝－3， ∴ 关于 x 的方程－ mx ＋ n ＝3的解为 x ＝－1 －1 3. 我们规定关于 x 的一元一次方程 ax ＝ b 的解为 x ＝ b － a ，则称该方程是“差解方程”，例如：3 x ＝4.5的解为 x ＝4.5－3＝1.5，则方程3 x ＝4.5就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： (1)已知关于 x 的一元一次方程4 x ＝ m 是“差解方程”，则 m ＝ ⁠； ​ 解：由题意可知 x ＝ m －4， 由一元一次方程可知 x ＝ ， 所以 m －4＝ ， 解得 m ＝ 解：由题意可知 x ＝ ab ＋ a －4， 由一元一次方程可知 x ＝ ， ∴ ＝ ab ＋ a －4， 整理得 ab ＋ a ＝4 ab ＋4 a －16， 16＝3 ab ＋3 a ， ∴ 3（ ab ＋ a ）＝16 （2）已知关于 x 的一元一次方程4 x ＝ ab ＋ a 是“差解方程”，则3（ ab ＋ a ）＝ ⁠； 16 （3）已知关于 x 的一元一次方程4 x ＝ mn ＋ m 和－2 x ＝ mn ＋ n 都是“差解方程”，求代数式3（ mn ＋ m ）－9（ mn ＋ n ）2的值. ∵一元一次方程4 x ＝ mn ＋ m 和－2 x ＝ mn ＋ n 都是“差解方程”， 根据4 x ＝ mn ＋ m 得 x ＝ ， x ＝ mn ＋ m －4， 即 ＝ mn ＋ m －4，整理，得3（ mn ＋m ）＝16 根据－2 x ＝ mn ＋ n 得 x ＝ ， x ＝ mn ＋ n ＋2， 即 ＝ mn ＋ n ＋2，整理，得3（ mn ＋ n ）＝－4， ∴ 9（ mn ＋ n ）2＝16， ∴ 3（ mn ＋ m ）－9（ mn ＋ n ）2＝16－16＝0 $