4.1等式与方程(2) 课件 2025-2026学年苏科版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“方程”核心内容，通过天平小球质量、篮球联赛得分等现实情境导入，引导学生从等量关系中抽象出方程概念，结合判断练习巩固定义，再通过填表、代入检验学习方程的解，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以真实问题为载体，发展抽象能力与推理意识，如用长方形油画面积抽象出0.618x²=1.6，通过代入检验解培养运算能力。采用“情境—建模—应用”教学链，学生能提升用数学语言表达关系的能力，教师可依托案例实施探究教学，提高课堂效率。

4.1 等式与方程(2) ——方程 1.如图，天平两边托盘中小球的质量是多少? 有下面的等量关系: 左边托盘中物品的质量 = 右边托盘中物品的质量. 用 x 表示小球的质量，上述等量关系可以表示为： 2x + 1 = x + 5 探究一 2.篮球联赛规则规定：胜一场得2分，负一场得1分，第一中学球队赛了12场，共得20分，该球队胜、负各多少场? 有下面的等量关系: 胜的场数 + 负的场数 = 12场，胜场得分 + 负场得分 = 20分 用a，b分别表示胜的场数和负的场数，上述等量关系可以表示为： a + b = 12， 2a + b = 20 3.一幅长方形油画的长与宽的比为1：0.618，面积为1.6m ，它的长为多少? 有下面的等量关系： 用 x 表示长方形的长，上述等量关系可以表示为： 在上面这些等式中，都是用字母表示要求的未知的量，这样的字母叫作未知数，解决上述问题的关键是求出未知数的值. 像 2x+1 = x+5，a+6 = 12，2a+6 = 20，0.618x2=1.6这样，含有未知数的等式叫作方程. 长×宽= 1.6m2 0.618x2 = 1.6 判断出下列各式哪些是方程： (1) -2 + 5 = 3 ( ) (2) 3x - 1 = 7 ( ) (3) 2a + b ( ) (4) x > 3 ( ) (5) x + y = 8 ( ) (6) 2x2-5x+1=0 ( ) 含有未知数的等式叫做方程. x √ x x √ √ 例 1 根据所设未知数列方程: (1) 用16m长的篱笆围一个长方形的小兔乐园，当长方形的一边为多少时，乐园面积为15m2? (设长方形的一边长为 x m) (2) 花费90元购买了硬面抄和软面抄共30本，硬面抄每本5元，软面抄每本2元，硬面抄和软面抄各买了多少本? (设购买了 x 本硬面抄和 y 本软面抄) 解：(1) 由题意得， x· (16-2x) = 15 (2) 由题意得， x + y = 30，5x + 2y = 90 方程是解决实际问题的常用工具，我们根据实际问题中的等量关系列出方程后，还需要进一步求出未知数的值. 1.填表: 当 x=_______时，方程 2x + 1 = 5 + x 两边的值相等. x 1 2 3 4 5 2x+1 5+x 探究二 2.分别把0，1，2，3，4代入下列方程，哪个数能使方程两边的值相等? (1) 2x - 1 = 5； (2) 3x - 2 = 4x - 3 能使方程两边的值相等的未知数的值叫作方程的解， 如 x = 4 是方程2x+1 = 5 + x 的解， 求方程的解的过程叫作解方程. 例2 x = 1000和 x =2000中哪一个是方程 0.52x - (1 - 0.52)x = 80的解? 解：当 x = 1000时， 方程左边 = 0.52×1000-(1-0.52)×1000=520-480=40， 左边 ≠ 右边， ∴ x = 1000不是此方程的解 当 x = 2000时， 方程左边 = 0.52×2000-(1-0.52)×2000=1040-960=80， 左边 = 右边， ∴ x = 2000是此方程的解 右边 = 80， 右边 = 80， 方法归纳 判断一个数值是不是方程的解的步骤: 1. 将数值代入方程左边进行计算； 2. 将数值代入方程右边进行计算； 3. 若左边 = 右边，则是方程的解，反之，则不是. 练一练 1. 检验 x = 3 是不是方程 2x - 3 = 5x - 15的解. 解：把 x = 3 分别代入方程的左边和右边，得 左边 = 2×3-3 = 3， ∵ 左边 ≠ 右边 ∴ x = 3 不是方程的解 当 x =4，5，6时呢? 右边 = 5×3-15 = 0， 2. x = 1是下列哪个方程的解 （ ） A. 1 - x = 2 B. 2x - 1 = 4 - 3x C. = x - 2 D. x - 4 = 5x - 2 3.若 x = 1 是方程 x2 - 2mx + 1 = 0的一个解，则 m 的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. -1 B C 4 根据下列问题，设未知数并列出方程: (1) 用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少? 解：设正方形的边长为 x cm. 等量关系：正方形边长×4 = 周长， 列方程：4x =24 (2) 一台计算机已使用1700h，预计每月再使用150h，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450h? 解：设 x 月后这台计算机的使用时间达到2450h 等量关系：已用时间 + 再用时间 = 检修时间 列方程：1700 + 150x = 2450 (3) 某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生? 解：设这个学校的学生人数为x， 那么女生人数为0.52x，男生人数为(1-0.52)x 等量关系：女生人数－男生人数 = 80， 列方程：0.52x－(1－0.52)x = 80 5. 根据所设来知数列方程: (1)用一根长24cm的狭丝围成一个长方形，使它的长是宽的2倍，长方形的宽是多少? (设长方形的宽是 x cm) 5. 根据所设来知数列方程: (2)如图，有一块长30cm、宽20cm的长方形硬纸板，在4个角截去4个一样的小正方形，折成一个无盖长方体金子，当小正方形的边长为多少时，所折长方体盒子的底面积为336cm2?(设截去的小正方形的边长为 x cm) 5. 根据所设来知数列方程: (3)一个足球的表面由黑色的五边形和白色的六边形共 32 个皮块组成，其中白色皮块比黑色皮块的2倍少4块，一个足球表面上有白色和黑色皮块各多少块? (设黑色皮块有 x 块) 1. 某校四个班为“希望工程”捐款，甲班捐的钱数是另外三个班捐款总和的一半，乙班捐的钱数是另外三个班捐款总和的 ，丙班捐的钱数是另外三 个班捐款总和的 ，丁班共捐了169元，若设这四个班捐款数的总和为x元， 请根据条件列出方程： ⁠. x － x － x － x ＝169 解：∵甲班捐的钱数是另外三个班捐款总和的一半， ∴甲班的捐款数是四个班捐款数总和的 ， ∵乙班捐的钱数是另外三个班捐款总和的 ， ∴乙班的捐款数是四个班捐款数总和的 ， ∵丙班捐的钱数是另外三个班捐款总和的 ， ∴丙班的捐款数是四个班捐款数总和的 ， 四个班捐款数的总和为 x 元， 则甲班捐款 x 元，乙班捐款 x 元，丙班捐款 x 元 2.方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值.如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”. （1）若“立信方程”2 x ＋1＝1的解也是关于 x 的方程1－2（ x － m ）＝3的解，则 m ＝ ⁠. 解：∵ 2 x ＋1＝1， ∴ x ＝0， 把 x ＝0代入 1－2（ x － m ）＝3， 得 1－2（0－ m ）＝3， 即 1＋2 m ＝3， 解得 m ＝1 1 2.方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值.如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”. ∵ x2＋3 x －4＝0， ∴ x2＋3 x ＝4， 则2（ x2＋3 x ）＝2 x2＋6 x ＝8， 将 2 x2＋6 x ＝8 代入 6 x ＋2 x2－3－ n ＝0， 得 8－3－ n ＝0， 解得 n ＝5 （2）若关于 x 的方程 x2＋3 x －4＝0的解也是“立信方程” 6 x ＋2 x2－3－ n ＝0的解，求 n 的值. （3）关于 x 的方程9 x －3＝ kx ＋14是“立信方程”，直接写出符合要求的正整数 k 的值. 符合要求的正整数 k 的值为8，10，26 解：解关于 x 的方程 9 x －3＝ kx ＋14 得 x ＝ （ k ≠9）， 当9－ k 取1，－1，17，－17， 即 k 取8，10，－8，26时， x 的值为整数 ∴符合要求的正整数 k 的值为8，10，26 $