山东省泰安第一中学2025-2026学年高二上学期10月学情检测数学试题

泰安一中2025-2026学年上学期10月学情检测 高二数学试题 参考答案 题号 2 3 4 5 68 7 8 9 10 11 答案 B D A D B C BCD ACD AD 填空题答案：12.x2+(y-1)2=5;13.1<a<3或a∈(1,3)：14.35 11.【提示】易知选项A是正确的： B选项：直线方程(x-3)-m(y-4)=0,恒过(3,4)，该点在圆上， 当m-青时，直线与圆相切，只有一个公共点，运顶错误 C选项：（特殊化思想）当直线EG:y=0,FH:x=3时， B EG-10,FH刑=8，S=108=40<41,选项错误： 2 则本题选AD, 下证明C,D选项相关结论： C选项：记M,N分别为EG,FH中点，记OM⊥EG,ON⊥FH,d,=OM,d,=OW,d+d=9, 四边形EFGH的面积SGr=225-店V25-d店≤(25-d)+(25-d=41,当且仅当 EG=FH时，四边形EFGH的面积取到最大值41； D选项：△PAB外接圆圆心落在x=1上，不妨设(L,t),可知该圆与x+y2=25内切时，该圆半径 最小，F-54F,平方化简得4-7-号即△Ns外接圆的最小半径。 14.取点P关于平面AB,C,D,的对称点P1,设点P,到平面ACD,距离为d,则PM=P,M,所以 PM+MN=PM+MW≥d,以D,为原点，以DA,D,C,DC所在直线为x,y,z轴建系，因为正方体 的棱长为4，且BP=3PB,所以P(4,4,-1),A(4,0,4),C(0,4,4),D(0,0,0), D,B=(4,4,-1),DA=A(4,0,4),DC=(0,4,4),设平面ACD的法向量为m=(x,y,z),则 D,A·m=4x+4z=0 ZA ,取x=1,则m=(①，1，-1)， DCm=4y+4z=0 DP.m 4+4+1 所以点P到平面ACD的距离d= =35 .N m 3 木y D 即PM+MN的最小值为3√3. B(05) 2) DM B 15.（1)x+4y-12=0; C03米 (2)4x-5y+15=0; (3)x-2y+6=0。 A40)X 参考答案第1/3页 (3)【详解】直线CA:3x+4y-12=0,直线CB:x=0,在∠ACB角平分线上任取一点(x,y),该点 到CA.CB的距离相等，Bx+4y-1☒-H3x+4y-12=5x化简得x-2y+6=0,3x+4y-12=-5x 5 化简得2x+y-3=0,经检验，2x+y-3=0是∠ACB外角平分线所在直线方程，舍去， 所以∠ACB角平分线所在直线方程为x-2y+6=0。 16.(1)证明：取AD中点O,已知PD=PA=V5,.POLAD, 平面PAD⊥平面ABCD 平面PAD∩平面ABCD=AD }→PO⊥平面ABCD D--- PO平面PAD PO⊥AD .F为BD中点，.OF11AB,∴.OF⊥OA, 已知AD=4,.PO=1,以O为原点，OA,OF,OP所在直线分别为x,y,z轴建系如图， F0,2.0,C(-240,P00,.E(-12,2,EF=L0,-3,平面PAD的法向量可取0F=0,20 EF.OF=O,∴.EF⊥OF,又EF丈平面PAD,∴.EF/1平面PAD,得证； (几何法酌情给分，注意：辅助线没有作在图中的要相应扣分) (2)平面ABCD法向量可取OP=(0,0,1),记EF与平面ABCD成角0，sin0=cos<EF,OP> 1 2■ 5, 0∈0,51cos0-25 2.1 2 17.【详解】(1)因为圆心C在直线2x+y-1=0上，可设圆心为C(a,1-2a). 则点C到直线x+y=2的距离d=上al ，报8.dhc.则9ga示0-. 解得a=1.所以圆心为C1,-1),半径r=d=√2，则所求圆的方程是(x-1)2+(y+1)2=2. (2)当k不存在时，x=0符合题意： 当k存在时，设直线方程kx-y+1=0, 长昌-k=子直线方程为3+4y40, Vk2+1 综上所述，直线方程为x=0或3x+4y-4=0. 18.（1)证明：取AD中点O,已知PA⊥PD,AD=4∴.OP=2,OP⊥AD,又.CA=CD=2√2， ..OC L AD,OC=2,.CP=22=OP2+0C2,..OP LOC, 以O为原点，OC,OA,OP所在直线分别为x,y,z轴建系如图， P(0,0,2),D(0,-2,0),A(0,2,0),B1,2,0),DP=(0,2,2),AB=(1,0,0), DP.AB=0,.DP⊥AB, D PD⊥AB,PD⊥AP B AB,APC面PAB →PD⊥面PAB,得证； AB∩AP=A 参考答案第2/3页 -4 1 (2)由(1)坐标系，C(2,0,0),AC=(2,-2,0,DP=(0,2,2),c0s<AC,DP= 22-2W万2，记 异面直线P0,QD成角0，am0-分9E0受l0- 3 (3)假设在棱PB上存在点M,使得平面ADM与平面ACD成角余弦值5 ,由（1)坐标系， AP=(0,-2,2),AD=(0,-4,0),设PM=元PB=(2,2元，-22)，2∈[0,1]， n·AM=0 AM=AP+PM=(几2元-2,2-22)，设m=(:,y2,2)为平面ADM的一个法向量， nAD=0 「2x+(22-2)y+(2-22)z=0 即 取m=(2-2,0,),平面ABCD一个法向量OP=(0,0,2),设平 -4y=0 m-OP 2 5 面ADM与平面ABCD夹角C,coso=cos<m,OP> m.OP V(2-2)2+22.25, ={PM1 2PB=2 19.（1)设线段AB的中点为(x,y),A(2x-6,2y-4),因为点A在圆(x+2)2+(y+4)=16上，所以 (2x-4)2+4y2=16,化简得(x-2)2+y2=4,所以曲线C的方程为(x-2)2+y2=4. (2)CM⊥BM,CN⊥BW,∴.B,M,C,N共圆：(x-4)2+(y-2)2=8, B (x-2)2+y2=4 直线MN是两圆公共弦所在直线， M (x-4)2+(y-2)2=8' 作差得x+y-3=0,所以直线MN所在的直线为x+y-3=0. (3)设直线lr:y=kx+t,E(x,y),F(x2,y2),xx2≠0， e-2P+y=4得1+)x+(21-4x+r=04=(2-4-40+k2)0, y=kx+t 2kt-4 即+44<0，+为=1+。+及' k+k=立+2=+0++0-2+①=2张+129=44，所以1=3， x x2 x1七2 七x 所以直线l的方程为y=kx+3,即直线过定点K(0,3), 因为BK=√37为定值，△BDK为直角三角形，BK为斜边， 所以当0是x的中点时，1Dg-Bk- 所以存在定点23，，Dg为定值， 参考答案第3/3页泰安一中2025-2026学年上学期10月学情检测 高二数学试题 时间：120分钟总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.对于空间任意两个非零向量a,b,“a/1b”是“<a,b>=0”的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知AB=(-3,√3)是直线l的方向向量，且直线mL1,则直线m的倾斜角为() A.150 B.120 C.30 D.60 3.设x,y∈R,a=L,l,1),b=Ly,z),c=(x,-4,2),且a⊥c,b11c,则x+y+=() A.-1 B.0 C.1 D.2 4.己知直线l:x-4y+2=0m∈R)与12：x-my+1=0,且1/1儿2，则4，l之间的距离是() 4.3⑤ 5 B.⑤ 5 C.⑤ D.3 10 5.一条光线从点P(4,2)射出，经过y轴反射后恰好平分圆x2-4x+y2+4y=0的周长，则入 射光线所在直线的方程为() A.x+y=0 B.x-y=0 C.2x+3y+2=0 D.2x-3y-2=0 6.已知圆C:+y-4y+2=0,直线1：x-y+1=0,则圆上到直线的距离等于5的点的个 数为() A.4 B.3 C.2 D.1 7.如图，已知A,B,C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一 点，且<AP,AB<AP,AC>=120,AP=3,若AO=AB+AC,则OP=( ) A.210 B.6 C.37 D.√35 8。已知实数xy满足方程-0-少=x-1,则y+2的取值范围是() A. B.2 D.[2,4] 试题第1/3页 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.如图，三棱柱ABC-ABC,中，P为空间内一点，满足BP=BC+BB,∈[O,,则( ) A.当2=1时，点P在棱BB1上 C B.当u=1时，点P在棱BC1上 C.当入+u=1时，点P在线段BC上 D.当元=u时，点P在线段BC上 10.如图，四棱柱ABCD-ABC,D的底面ABCD是正方形，O为底面中心，AO⊥平面ABCD, AB=AA=2.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则() D A D A.DO/1平面BAC B.0B=(2,0,V2) C.AC⊥BB D.点B到直线AC的距离为√3 11.已知A(-1,0),B(3,0),P是圆O:x2+y2=25上的一个动点，则下列结论正确的是() A.过点A且被圆O截得最短弦长的直线方程为x=-1 B.直线x-my+4m-3=0与圆O总有两个交点 C.过点B作两条互相垂直的直线，分别交圆O于点E,G和F,H,则四边形EFGH的面积的 最小值为41 D.△PAB的外接圆的半径的最小值为 14 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知两点A(-2,0),B(2,2),则以AB为直径的圆的标准方程为 13.已知圆C:x2+(y+2)2=a(a>0)与圆心在原点处的单位圆恰有两条公切线，则正数a的 取值范围为 14.棱长为4的正方体AC中，M,N分别是平面ABCD和平面ACD内动点，BP=3PB, 则PM+MN的最小值为 D W D D C M B 试题第2/3页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)△ABC三个顶点A(4,0),B(0,5),C0,3),求： (1)边AB上中线所在直线方程(4分)： (2)边AB上高所在直线方程(4分)： (3)∠ACB的角平分线所在直线方程（⑤分）. 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD⊥底 面ABCD,且PA=PD=√5，设E,F分别为PC,BD的中点， (1)求证：EF/1平面PAD(6分)： (2)求直线EF与平面ABCD所成角的余弦值(9分). D B 17.(15分)已知圆C经过点A(2,0),与直线x+y=2相切，且圆心C在直线2x+y-1=0上. (1)求圆C的方程(6分)： (2)已知直线l经过点P(O,),并且直线l与圆C交于M,N两点，若CM⊥CN,求直线l的方 程(9分) 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是斜边为AD的等腰直角三角形， AB L AD,AB=1,AD=4,AC=CD=CP=22. (1)求证：PD⊥平面PAB(5分)； (2)求异面直线PD,AC所成的角(5分)： (3)在棱PB上是否存在点M,使平面ADM与平面ABCD的夹角 的余张值为5？若行在，求出%的值，若不布在，市说明理由行分》.C心 PM 19.(17分)已知线段AB的端点B的坐标是(6,4)，端点A在圆(x+2)2+(y+4)2=16上运动， 记线段AB中点的运动轨迹为曲线C (1)求曲线C的方程(5分). (2)过点B作直线I与曲线C相切，切点分别为点M,N,求直线MN的方程(5分). (3)斜率为k的直线1与曲线C相交于异于原点的两点E,F,直线OE,OF的斜率分别为k,k2, 且k+太-手若BD1印，D为垂足，证明：存在定点Q,使得Dg为定值（日分》. 试题第3/3页