精品解析：福建省莆田市中山中学2025-2026学年九年级上学期10月数学月考试卷

2025－2026学年九年级数学学科第一次月考试卷 （满分150分；考试时间：120分钟） 一、选择题．（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．已知，，，则的长为（ ）． A. 6 B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 若，均为锐角，且，，则（ ） A. ， B. C. ， D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小树在路灯的照射下形成投影．若这棵树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为（ ） A. B. C. D. 6m 7. 一元二次方程配方为，则k的值是（ ） A. 7 B. 1 C. 5 D. 8. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，在上，，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形中，，，E为上一点，分别以、为折痕将两个角向内折起，点A、B恰好落在边的点F处，若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知，若，，则的度数为________°． 12. 若关于的方程的其中一个根是，则另一个根______． 13. 如图，在中，点E在边上，，与交于点F．若，则的长为 _____ 14. 《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短，横之不出四尺，纵之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？这段话翻译后是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为_____． 15. 太阳能是清洁、安全和可靠的能源．如图是一个太阳能面板及其侧面示意图，点C是的中点，．当太阳光与地面的夹角为，已知太阳光与面板垂直时，太阳面板吸收光能的效率最高，则此时支架C端离地面的高度为______；（结果精确到；参考数据：，，） 16. 如图为两个边长为1的正方形组成的格点图，点A，B，C，D都在格点上，AB，CD交于点P，则_________． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 解方程：． 18. 如图，在和中，，．求证：； 19. 如图，海中有一个小岛P，它的周围9海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东方向上，航行6海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值，方程总有实数根． （2）若方程的两个实数根，满足，求m的值． 21. 安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 22. 如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边的中点，连接AM． （1）请用尺规作图法，在AM上求作一点P，使得△DPA∽△ABM；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若AB＝4，求DP的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在x轴负半轴上，且． （1）求的长． （2）若点C在x轴正半轴上，且．点D是x轴上的动点，当时，求点D坐标． 24. 综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图． 已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 任务1： （1）某一时刻测得米， ①请直接写出________； ②请求出此时影子的长度； 任务2： （2）这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 25. 在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当P为的中点，，时，求的长； （3）如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年九年级数学学科第一次月考试卷 （满分150分；考试时间：120分钟） 一、选择题．（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解定义：“含有个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程；或能化为（）的整式方程是一元二次程．”是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A.是一元一次方程，故不符合题意； B.是分式方程，故不符合题意； C.含有两个未知数，并且未知数的最高次数是，故不是一元二次方程，不符合题意； D.是一元二次方程，故故合题意； 故选：D． 2. 如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．已知，，，则的长为（ ）． A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例. 根据平行线分线段成比例列得，代入数值求解即可． 【详解】∵, ∴ ∴ ∴ 故选：C． 3. 关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根．把代入，转化为m的方程求解即可． 【详解】解：把代入， 得， 解得， 故选：A． 4. 若，均为锐角，且，，则（ ） A. ， B. C. ， D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角的度数，根据特殊角的三角函数值进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，； 故选A． 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似图形的概念及性质．先求出、的长，再根据位似图形的性质计算，得到答案． 【详解】解：设点的坐标是， ∵，， ∴，， ∵与位似，原点是位似中心，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：B． 6. 如图，小树在路灯的照射下形成投影．若这棵树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为（ ） A. B. C. D. 6m 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 先求解，再根据相似三角形的判定证出，然后利用相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：， 由题意得：，， ， ， ， ． 故选B． 7. 一元二次方程配方为，则k的值是（ ） A. 7 B. 1 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 【详解】解： ∴ 故选：B． 8. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理解直角三角形． 直接根据题意作出图形，表示出三角形的各边，利用勾股定理求出斜边长，进而利用正弦函数的定义即可得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴设，则， ∴， 则, 故选：D． 9. 如图，在中，在上，，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． 先证明，∽，设，可推出和，进而求得与的关系，即可求解． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， 同理可证， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵，∽， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，四边形中，，，E为上一点，分别以、为折痕将两个角向内折起，点A、B恰好落在边的点F处，若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了相似三角形的性质和判定． 先根据折叠的性质得，，，，证明，列出成比例的线段，所以． 【详解】解：， ． 根据折叠前后的图形全等得到， ，，， ，， ， ， ， ∴， ， （负值舍去）. 故选：A. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知，若，，则的度数为________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质、三角形内角和定理，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．先根据相似三角形的对应角相等，得，再由三角形内角和定理即可解答． 【详解】， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 若关于的方程的其中一个根是，则另一个根______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，求出另外一个根即可． 【详解】解：∵关于的方程的其中一个根是，两根之积为 ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，点E在边上，，与交于点F．若，则的长为 _____ 【答案】8 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，可证，可得，即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定是本题的关键． 14. 《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短，横之不出四尺，纵之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？这段话翻译后是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为_____． 【答案】x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2 【解析】 【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长． 【详解】解：根据题意可列方程为x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2， 故答案为x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2． 【点睛】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般． 15. 太阳能是清洁、安全和可靠的能源．如图是一个太阳能面板及其侧面示意图，点C是的中点，．当太阳光与地面的夹角为，已知太阳光与面板垂直时，太阳面板吸收光能的效率最高，则此时支架C端离地面的高度为______；（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意算出，再结合线段的中点得，运用直角三角形的两个锐角互余得，然后根据，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：过点C作，如图所示： ∴太阳光与地面的夹角为，太阳光与面板垂直时，太阳面板吸收光能的效率最高 ∴， ∵点C是的中点，， ∴ 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图为两个边长为1的正方形组成的格点图，点A，B，C，D都在格点上，AB，CD交于点P，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】如图，过点D作DH⊥BP于点H，根据勾股定理计算CD、AB的值，再根据三角形面积公式计算出DH的长，由BC∥AD可得△APD∽△BPC，利用相似比可得PD=2PC，根据CD的长计算PD的长，在Rt△PHD中，根据勾股定理计算PH的长，最后利用正切的定义求解． 【详解】解：如图，过点D作DH⊥BP于点H， ∵正方形边长为1， ∴AD=2， 在Rt△BCD中，， 在Rt△ABD中，， ∵， ∴， ∵BC∥AD， ， ∴△APD∽△BPC， ∴， ∴DP=2PC， ∴， 在Rt△PHD中， ， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理和锐角三角函数求值，解题的关键是做出辅助线，注意转化思想和数形结合思想． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法（因式分解法），将方程进行因式分解转化为两个一次方程是解题的关键 利用因式分解法解方程即可 【详解】解：， 因式分解得， 于是得或， ， 18. 如图，在和中，，．求证：； 【答案】 证明：， ， ， 又， 则， ． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由已知条件得出，再结合其夹角的对应边成比例即可得出. 【详解】略 19. 如图，海中有一个小岛P，它的周围9海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东方向上，航行6海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由． 【答案】有触礁危险．理由： 过点P作于， 设， ∵，， ， ∴，， 即，， ∵，， ∴，解得：， ∵， ∴有触礁危险． 【解析】 【分析】过点P作，设，根据题意得出，，列出方程求解x，再于9进行比较，即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值，方程总有实数根． （2）若方程的两个实数根，满足，求m的值． 【答案】（1） 证明：， 不论为何值时，方程总有实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，若，是一元二次方程的两根，则，，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）计算根的判别式的值，得，根据根的判别式的意义即可得到结论； （2）利用根与系数的关系得到，，再把变形为，所以，然后解关于的方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意得，，， ， ， ， 整理得，， 解得． 21. 安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔每个应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【小问1详解】 解：设头盔销售量的月增长率为， 根据题意得： ， 解得（舍去）， 答：头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设头盔每个涨价元， 根据题意得： ， 整理得， 解得， 要尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 22. 如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边的中点，连接AM． （1）请用尺规作图法，在AM上求作一点P，使得△DPA∽△ABM；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若AB＝4，求DP的长． 【答案】（1） 如图，△APD即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）由点P在AM上，△DPA∽△ABM，即得出，即过点D作AM的垂线即可； （2）根据正方形的性质和勾股定理结合题意可求出，再根据相似三角形的性质可得出，代入数据即可求出PD的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝90°，AB＝BC＝AD＝4， ∵BM＝MC＝2， ∴． ∵△DPA∽△ABM， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作图—做垂线，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质．利用数形结合的思想是解题关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在x轴负半轴上，且． （1）求的长． （2）若点C在x轴正半轴上，且．点D是x轴上的动点，当时，求点D坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意得到的长，再求出，结合勾股定理即可求解； （2）连接，设，当点D在C左侧时以及当点D在点C右侧时两种情况分情况讨论． 【小问1详解】 解：， ． 在中， ， ，， ； 【小问2详解】 解：连接，设． 在中， ，， ， ①当点D在C左侧时，，． ，， ， ， ， ，． ②当点D在点C右侧时，，． ， ． 在中，， ， ，． 综上所述，，． 24. 综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图． 已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 任务1： （1）某一时刻测得米， ①请直接写出________； ②请求出此时影子的长度； 任务2： （2）这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 【答案】任务①；米；任务小明会被照射到 【解析】 【分析】本题主要考查真实情景下的解直角三角形的实际运用，涉及正弦、余弦、正切三角函数的运用，等腰三角形的性质与勾股定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握三角函数是解题关键． 任务1：①如图，过作于，结合等腰三角形的性质与勾股定理可得，进一步可得答案； ②先过点作于点，过点作于点，再求出，从而结合，可证，最后利用三角函数即可得出的长度； 任务2：如图，过点作交于点，在中，米，米，可得米，在中，米，在中，米，在中，当时，米，进一步求解即可． 【详解】解：任务1：悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍， （米）， 如图，过作于，而， 故答案为：; ②如图，过点作于点，过点作于点， 结合题意可得：四边形为矩形， 由条件可知米， 在中，， 又， 解得：米， 此时影子的长度为米； 任务2：小明会被照射到．理由如下： 如图，过点作交于点 由条件可知， 由条件可知是等边三角形， 米， . 米， 米， 当时，米， 小明刚好被照射到时离点的距离为， 小明会被照射到. 25. 在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当P为的中点，，时，求的长； （3）如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ； （2） （3）解：，理由如下： 如图，延长，交于一点，连接， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ，直线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即． 【解析】 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $