精品解析：山东青岛市崂山育才中学2026-2027学年上学期九年级数学期中试题

2026—2027学年度第一学期期中质量监测 九年级数学试题 一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，计30分） 1. 如图，所示的几何体，该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 小亮在估算方程的解时，通过计算得到下表，其中一个解取值范围是（ ） x 1 A. B. C. D. 3. 下列语句中，不正确的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D. 有一个内角是直角的菱形是正方形 4. 深耕黑土地，守护大粮仓．某水稻生产基地2023年平均每公顷产水稻，到2025年平均每公顷产水稻，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为边上一点，交于点，已知，则等于（ ） A. 4:7 B. 4:3 C. 3:7 D. 3:4 7. 第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点可看作是线段的黄金分割点（），，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将按相似比缩小，得到，若点的对应点为，则点的坐标为（ ） A. 或 B. C. D. 或 9. 如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，交对角线于点，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，以为边在正方形内作等边，延长、分别交于点E、F，连接、与相交于点H，则下列四个结论： ①，②， ③，④．其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（本大题共6个空，每空3分，计18分） 11. 若，则的值为_______． 12. 如图，在一块长，宽为的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为，设小路宽为，可列方程为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，横杆两端的坐标分别为，，则横杆在轴上的投影长为_________． 14. 若一元二次方程的两根为，，则的值为__________． 15. 如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点，刚好是边的中点，则的长是________． 16. 如图，在矩形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长度为________． 三．作图题 17. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留画图痕迹． 已知：线段， 求作：菱形，使，． 四．解答题 18. 解下列方程： （1）； （2） （3） 19. 陕西省渭南市渭华起义纪念馆旁，巍然耸立着一座雄伟的标志性建筑物——渭华起义纪念碑．某综合与实践小组开展测量该纪念碑高度的活动，如图，纪念碑的顶端在阳光下的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆的顶端在阳光下的影子落在点处，在纪念碑另一侧点处测出纪念碑的顶端的仰角，测得，，，已知，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你帮助该实践小组求纪念碑的高度． 20. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，墙的最大可用长度为，且的长不超过墙的长度．设． （1）的长用含的代数式表示为______； （2）现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 21. 如图，四边形中，为边上一点，连接，交于点，且，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 22. 如图，平行四边形的对角线、交于点，分别过点、作，，连接交于点． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由． 23. 青岛崂山茶远近闻名，茶汤清香怡人、回甘醇厚，深受大家喜爱．青岛某特产专卖店销售崂山茶叶，其进价为每千克元，按每千克元出售时，平均每周可售出千克，后来经过市场调查发现，该茶叶售价每降低元，则平均每周的销售量可增加千克． （1）若销售单价为每千克元，则平均每周的销售量为________千克，销售利润为________元． （2）若该专卖店销售这款崂山茶想要平均每周获利元，则该崂山茶售价为每千克多少元？ 24. 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个相同矩形与一个边长为2的小正方形的面积之和，即 ．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． （1）【理解应用】小颖根据以上解法解方程 请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为： 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；下面四个构图中，能用几何法求解方程的构图是 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个正根为 ； （2）【类比迁移】若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法构图，则这个方程可能是 ； ①；②；③ ；④ （3）【拓展应用】一般地，对于形如 的一元二次方程可以构造几何图形来解．已知图3是小明根据一个方程构造出来的，由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形的面积为4，请你求出，的值及此方程的正根． 25. 已知：如图，在矩形和等腰中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作交于点，交于点，分别连接、，设运动时间为．解答下列问题： （1）_________，_________（用含的代数式表示）； （2）当时，求的值； （3）设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； （4）若与相交于点，分别连接和．在点、运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期期中质量监测 九年级数学试题 一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，计30分） 1. 如图，所示的几何体，该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：该几何体的左视图为． 2. 小亮在估算方程的解时，通过计算得到下表，其中一个解取值范围是（ ） x 1 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程解的定义，通过的正负变化确定解的区间． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴方程的一个解的取值范围是． 3. 下列语句中，不正确的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D. 有一个内角是直角的菱形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定解答即可． 本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，原说法错误，符合题意； B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，说法正确，不符合题意； C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法正确，不符合题意； D. 有一个内角是直角的菱形是正方形，说法正确，不符合题意； 故选：A． 4. 深耕黑土地，守护大粮仓．某水稻生产基地2023年平均每公顷产水稻，到2025年平均每公顷产水稻，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】明确2023年到2025年共经历2次年增长，结合基期产量、年平均增长率与现期产量的关系列方程． 【详解】解：∵2023年平均每公顷产，年平均增长率为． ∴2024年平均每公顷产量为． ∴2025年平均每公顷产量为． 又∵2025年平均每公顷产． ∴可列方程． 5. 如图，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 6. 如图，为边上一点，交于点，已知，则等于（ ） A. 4:7 B. 4:3 C. 3:7 D. 3:4 【答案】B 【解析】 【分析】由于DE：BC=4：7，DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理可得AD：AB=4：7，那么易求AD：BD=4：3． 【详解】∵DE：BC=4：7，DE∥BC， ∴AD：AB=4：7， ∴AD=AB， ∴BD=AB， ∴AD：BD=4：3， 故选B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找出对应线段． 7. 第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点可看作是线段的黄金分割点（），，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若点是线段的黄金分割点（），则有．列方程即可求解． 【详解】解：设的长为，， 根据黄金分割的定义，得， 化简，整理得， 解得或（不符合题意，舍去） 即的长是． 8. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将按相似比缩小，得到，若点的对应点为，则点的坐标为（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵以原点为位似中心，将按相似比缩小得到，点的坐标为， ∴点的坐标为或，即或． 9. 如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，交对角线于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证，根据相似三角形的面积比等于边长比的平方求出，然后由得到，进而求解即可． 【详解】解：平行四边形中，， ，， ， ，即， ， ， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，在正方形中，以为边在正方形内作等边，延长、分别交于点E、F，连接、与相交于点H，则下列四个结论： ①，②， ③，④．其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等边和正方形的性质，得边长相等及、，算出；再通过角度计算判断，即可判断①；接着找和公共角，判定，即可判断②；利用算与的比，得，即可判断③；最后通过判定，得，即可判断④． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ∵四边形是正方形， ， ，， ， ，故①正确； ， ， ， ，故②正确； ， ， ，故③错误； ， ， ， ， 又， ， ， ， 即，故④错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义．解题的关键是利用正方形和等边三角形的边角关系求出相关角度与边长比例，再结合相似三角形的判定条件逐一验证选项． 二．填空题（本大题共6个空，每空3分，计18分） 11. 若，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，（），代入所求式子消去参数得到结果． 【详解】解：∵， ∴设，（）， 代入得：． 12. 如图，在一块长，宽为的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为，设小路宽为，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意种植花草部分的面积等同于长，宽的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出一元二次方程． 【详解】解：设小路宽为， 根据平移可得，种植花草部分的面积等同于长，宽的矩形的面积， 依题意可得：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，横杆两端的坐标分别为，，则横杆在轴上的投影长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】如解图，横杆在轴上的投影为，作轴，交于点，证明，根据相似三角形对应边上的高线比等于相似比，进行求解即可. 【详解】解：如图，横杆在轴上的投影为，作轴，交于点， ∵点，横杆两端的坐标分别为，， ∴，轴， ∴，，，， ∴， ∴. 14. 若一元二次方程的两根为，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用方程根的定义对所求式子降次变形，再结合一元二次方程根与系数的关系整体代入计算． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，整理得， 将代入得：， ∵，是一元二次方程的两根， ∴根据根与系数的关系可得， 将代入得：原式． 15. 如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点，刚好是边的中点，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形性质和折叠性质可得，，利用证明，得到，结合为中点求出和的长，设，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：连接 四边形是正方形 ， 由折叠的性质可知：，， ， 在和中 是的中点 设，则， 在中，由勾股定理得： 即 解得 ． 16. 如图，在矩形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长交于P，连接，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的判定与性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：连接并延长交于P，连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵E，F分别是边，的中点，，， ∴，， ∵， ∴， ∵H是的中点， ∴ ∵在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点G是的中点，， ∴是的中位线， ∴． 三．作图题 17. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留画图痕迹． 已知：线段， 求作：菱形，使，． 【答案】如图， 【解析】 【分析】作射线，利用尺规依次作，，在射线上截取，然后利用尺规作分别交，于点B，D即可． 【详解】解：作图略； 由作图得，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 由作图得，， ∴， ∴四边形是菱形． 四．解答题 18. 解下列方程： （1）； （2） （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得，． 19. 陕西省渭南市渭华起义纪念馆旁，巍然耸立着一座雄伟的标志性建筑物——渭华起义纪念碑．某综合与实践小组开展测量该纪念碑高度的活动，如图，纪念碑的顶端在阳光下的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆的顶端在阳光下的影子落在点处，在纪念碑另一侧点处测出纪念碑的顶端的仰角，测得，，，已知，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你帮助该实践小组求纪念碑的高度． 【答案】纪念碑的高度为 【解析】 【分析】设，可得和，证明，根据相似三角形的性质列方程求解． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， 由题意知，，， ， ，即， 解得， ∴纪念碑的高度为． 20. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，墙的最大可用长度为，且的长不超过墙的长度．设． （1）的长用含的代数式表示为______； （2）现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：不能，理由如下： 根据题意，得， 整理，得， 解得， 当时，，不符合题意， 答：不能围成面积为的花圃． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意，列方程求得方程的根，检验即可得到答案． 【小问1详解】 解：设， 则； 【小问2详解】 略 21. 如图，四边形中，为边上一点，连接，交于点，且，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明，得到，然后等量代换得到，即可得到； （2）由，，根据相似三角形的性质得，则，由，，证明，而，则，于是得，解得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， ， ，， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ． 22. 如图，平行四边形的对角线、交于点，分别过点、作，，连接交于点． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由． 【答案】（1）证明： ， ∴四边形是平行四边形， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， 又∵， ； （2）解:当满足时,四边形为菱形.理由如下： ∵四边形为平行四边形， ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，得出，证出，即可得出； （2）先证明四边形是平行四边形，得出，结合，即可得出四边形为菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 青岛崂山茶远近闻名，茶汤清香怡人、回甘醇厚，深受大家喜爱．青岛某特产专卖店销售崂山茶叶，其进价为每千克元，按每千克元出售时，平均每周可售出千克，后来经过市场调查发现，该茶叶售价每降低元，则平均每周的销售量可增加千克． （1）若销售单价为每千克元，则平均每周的销售量为________千克，销售利润为________元． （2）若该专卖店销售这款崂山茶想要平均每周获利元，则该崂山茶售价为每千克多少元？ 【答案】（1）360，43200 （2）每千克370元或320元 【解析】 【分析】（1）先计算降价的金额，求出增加的销量，得到总销量，再根据总利润=单件利润×销量求出利润； （2）设茶叶每千克降低元，表示出单件利润和销售量，根据总利润列一元二次方程求解，再求出对应的售价． 【小问1详解】 解：根据题意可知，单价从400元降到360元，降价元． 每降价10元，销量增加40千克， 增加销量：（千克）， 每周销量：（千克）． 单件利润：（元）， 总利润：（元）． 【小问2详解】 解：设茶叶每千克降低元，平均每周的销售量可增加千克，每周销量为千克． 根据题意可得， 整理得， 因式分解得， 解得，，当时，售价：（元）； 当时，售价：（元）． 答：该崂山茶售价为每千克370元或320元． 24. 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个相同矩形与一个边长为2的小正方形的面积之和，即 ．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． （1）【理解应用】小颖根据以上解法解方程 请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为： 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；下面四个构图中，能用几何法求解方程的构图是 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个正根为 ； （2）【类比迁移】若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法构图，则这个方程可能是 ； ①；②；③ ；④ （3）【拓展应用】一般地，对于形如 的一元二次方程可以构造几何图形来解．已知图3是小明根据一个方程构造出来的，由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形的面积为4，请你求出，的值及此方程的正根． 【答案】（1），丙，， （2）④ （3），，方程的正根为1或3 【解析】 【分析】（1）根据文中提供的解题方法，解答即可； （2）根据方法，结合图形的面积解答即可； （3）根据给出的解题方法，解答即可． 【小问1详解】 解： 根据题意，解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为： 第二步：根据题意，得四个全等的矩形构造“空心”大正方形，此时中间的空心正方形的边长为，大正方形的边长为，故四个构图中，能用几何法求解方程的构图是丙； 第三步：根据题意，得 故新的方程：， 根据题意，得， 解得 故原方程的一个正根为； 【小问2详解】 解：①根据题意，得， 故内空心正方形的边长为，与题意图示不相符，不符合要求； ②根据题意，得， 故内空心正方形的边长为，与题意图示不相符，不符合要求； ③根据题意，得， 故内空心正方形的边长为，边长不是整数，与题意图示不相符，不符合要求； ④根据题意，得， 故内空心正方形的边长为，题意图示正方形的边长为4，有可能． 【小问3详解】 解：将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按图3所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个相同矩形与一个边长为a的小正方形的面积之和，即 ．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，，， 解得， 当时，解得； 当时，解得； 故，，方程的正根为1或3． 25. 已知：如图，在矩形和等腰中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作交于点，交于点，分别连接、，设运动时间为．解答下列问题： （1）_________，_________（用含的代数式表示）； （2）当时，求的值； （3）设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； （4）若与相交于点，分别连接和．在点、运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）13， （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，表示出，即可得到； （2）根据构建方程求解即可； （3）过点作于点，求出，证明四边形是矩形，得到，然后证明，表示出，然后利用求解即可； （4）解直角三角形表示出，，证明，，推出，由此构建方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 根据题意得，， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，， ， ， ， ， 答：当时，的值为； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点． 在等腰中，，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； 【小问4详解】 解：如图， 由（3）得， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ，， ， ， 同理可证， ， ， ∴， ∴， 经检验，是分式方程的解， 答：在运动过程中，t的值为时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $