精品解析：四川省纳溪中学校2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试题

纳溪中学校高2023级高三年级上期 第二次月考试题卷 数学 出题人：张磊 审题人：吴嘉珺 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 计算（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数运算法则求解即可. 【详解】， 故选：C 2. 设随机变量服从正态分布，则的值为（ ） A. 7 B. 14 C. 21 D. 28 【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布的方差的性质求解即可. 【详解】设随机变量服从正态分布，则，的值为. 故选：D. 3. 已知全集，，则集合B真子集的个数为（ ） A. 32 B. 31 C. 16 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干条件，求出集合，代入公式，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以，共4个元素， 所以集合真子集的个数为. 故选：D 4. 已知，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合对数函数定义域和基本不等式求最值，利用集合包含关系可得. 【详解】由，得， 设， 由的否定为， 令，当且仅当时，又，即等号成立， 若，则， 若，则， 设，因为，所以且， 所以是的充分不必要条件 故选：A 5. 某班 5 名学生负责校内 3 个不同地段的卫生工作. 每名学生都要参与且只负责某个地段的卫生工作，每个地段至少有 1 名学生的分配方案共有（ ） A. 300 种 B. 90 种 C. 240 种 D. 150 种 【答案】D 【解析】 【分析】利用先分组后分配原则来进行求解即可. 【详解】先将5名学生分成三组的分法有：（种） 再将这三组学生分配到三个地段共有：（种） 所以利用分步乘法原理，可知每个地段至少有 1 名学生的分配方案共有（种） 故选：D. 6. 已知，，，，则的值为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，，进一步得的值为. 【详解】因为，，所以， 因为，，所以， 因为，所以， 所以 ， 所以的值为. 故选：B. 7. 已知函数为偶函数，且若方程有六个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出分段函数的图像，利用数形结合的方法，可求a的取值范围. 【详解】当时，；当时，, 则当时，， 令，则，方程有6个不同实根， 即直线与函数的图象有6个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象得当且仅当时直线与函数的图象有6个交点， 所以实数a的取值范围是. 故选：A. 8. 已知函数，，都恒成立， 且函数在上单调递增.则的值为（ ） A. 3 B. 9 C. 3或9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出后结合题意可得，，结合周期性与题意所给单调性可得或，再分别验证即可得. 【详解】，由， 则有，即，， 由，则，故，， 则，，， 化简得，，， 令，则，， 由函数在上单调递增，则，即， 又，则或， 当时，， 则，，又，则， 当时，， 由在上单调递增，故在上单调递增， 故时符合题意； 当时，， 则，，又，则， 当时，， 由在上单调递减，在上单调递增， 故在上不单调，故不合题意； 综上所述：. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 的展开式中，则（ ） A. 的系数为-9 B. 第3项与第4项的二项式系数相等 C. 所有项的二项式系数和为32 D. 所有项的系数和为32 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理及性质逐项求解判断. 【详解】对于A，的展开式中含的项为，因此的系数为-10，A错误； 对于B，的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等，B正确； 对于C，的展开式所有项的二项式系数和为，C正确； 对于D，取，得的展开式所有项的系数和为，D错误. 故选：BC 10. 已知实数 且 ，下列选项正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 12 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A利用乘“1”法即可求解最值，对B，构造关于的不等式，解出即可；对C，利用减少变量法转化为关于的式子，然后利用基本不等式即可；对D，利用柯西不等式即可求解最值. 【详解】对于A，， 当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，因为，所以， 当且仅当时，取＂＂，故B正确； 对于C，由题得且，所以.， 当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，因为，所以， 所以， 首先证明柯西不等式：设为任意实数，则． 欲证. 即证，即证，而这是显然成立的，故原不等式得证． 则， 所以，当且仅当时等号成立，故D正确； 故选ABD． 11. 记函数，则下列说法正确的有（ ） A. 的图象过定点 B. 存在 ，使得恰有 1 个零点 C. 若 有 3 个零点，存在 ，使得成等比数列 D. 若有 3 个零点，则为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】令前面的系数为0，解出即可判断A；求导得，利用判别式法判断其根的个数，再结合A选项即可得到其零点个数；设，展开后对比系数即可判断C；对求导，再分别代入，最后通分计算即可判断D. 【详解】对A．由，令，解得，或， 故，则过定点，故A正确； 对B．，其， 故存在两解，且当时，； 且当时，；当时，， 从而在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由和， 且由，可知恰有3个零点，故B错误； 对C．记， 又由， 对比系数可知，， 若为等比数列，则，则，， 代入另外两式有：，，故，解得，故C正确； 对D．由，则， 则， 从而 ，故D正确， 故选：ACD． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得， 由可得，即，解得. 故答案为： 13. 已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式，等差数列下标和的性质可得，利用等比数列的通项公式结合求出公比，继而可得，再根据对数运算即可求解. 【详解】设数列的公比为， 由可得，所以， 故，则， 故， 故答案为：. 14. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率计算公式求解即可. 【详解】因为，故， 因为互斥，所以， 所以 ， 解得，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳之间的关联性， 随机调查了某中学的 100 名学生， 整理得到如下列联表: 男学生 女学生 合计 喜欢跳绳 45 25 70 不喜欢跳绳 15 15 30 合计 60 40 100 （1）依据的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？ （2）现按照性别比例，采用分层抽样的方法，从这100名学生中抽取5名，再从这5名学生中选出2名参加运动会的跳绳项目，记这两名学生中男生的人数为随机变量，求的分布列和数学期望. 附: ，其中 . 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）不能认为学生的性别与是否喜欢跳绳有关； （2）的分布列为： 0 1 2 ，数学期望为.【解析】 【分析】（1）求出的观测值，与临界值比对即可得解. （2）求出5人中男女生人数，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 零假设：学生的性别和是否喜欢跳绳无关， 根据列联表中数据经计算得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 即不能认为学生的性别与是否喜欢跳绳有关. 【小问2详解】 依题意，抽取的5名学生中有男生3名，女生2名，的可能取值为0，1，2， ， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望. 16. 已知，函数，. （1）当时，求的极值； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，讨论、、研究导数符号得单调性，即可得极值； （2）问题化为在上恒成立，应用导数研究右侧的取值范围，即可得参数范围. 【小问1详解】 由题设，则，且， 若，则，故在上单调递增，无极值； 若，则，即，故在上单调递增，无极值； 若，则时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 此时的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 由题设，又， 所以在上恒成立， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，则，即， 所以在上单调递增，且时，， 综上，. 17. 如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1． （1）若AC＝，求的面积； （2）若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出BC＝，再求出的面积； （2）设∠CAD＝θ，在ACD中，由正弦定理得＝①，在中，由正弦定理得＝②，①②两式相除，即得解. 【详解】（1）在中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC， 即5＝1＋BC2＋BC，解得BC＝， 所以的面积＝AB·BC·sin∠ABC＝×1××＝． （2）设∠CAD＝θ， 在ACD中，由正弦定理得＝， 即＝，① 在中，∠BAC＝－θ，∠BCA＝π－－(－θ)＝θ－， 由正弦定理得＝， 即＝，② ①②两式相除，得＝， 即4(sin θ－cos θ)＝sin θ，整理得sin θ＝2cos θ． 又因为sin2θ＋cos2θ＝1， 所以sin θ＝，即sin∠CAD＝． 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 18. 已知数列满足，，设.若对于任意且，都有. （1）求的值； （2）求数列的通项公式. （3）求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由递推式求得，进而由题意得到关于的方程，再检验得到的的值; （2）利用构造法证得为等差数列，从而得解； （3）利用（2）中结论求得，再利用分组求和法与裂项求和法即可得证. 【小问1详解】 由题知数列是等差数列，则， ，，，， 由可得：，，， ，解得：. 【小问2详解】 由（1）知：，，， 则等差数列公差为， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ， ； 【小问3详解】 证明：由（1）、（2）知 ， ，，. 19. 已知函数的定义域为，若在上单调递增，则称为“强增函数”. （1）若是“强增函数”，求的取值范围； （2）若为“强增函数”，且.当时，比较与的大小，并说明理由； （3）已知，，，.证明：. 参考结论：当时，. 【答案】（1） （2），理由：由题意可知在上单调递增， 因为，所以，故， 即，所以， 设， 所以在上单调递减，所以当时，，即， 所以，即. （3）证明：, 令，则， 设， 则当时，单调递减，当时，单调递增，故当，故当且仅当时取等号， 设, 当单调递增，当单调递减，所以，故， 所以，即， 所以在上单调递增， 令， 则，又单调递增，所以，则在上单调递增， 又当所以时，， 所以，即， 所以， 所以 【解析】 【分析】（1）求导，根据定义可将问题转化为恒成立，即可利用二次式的性质求解， （2）根据函数单调性可得，即可作差后构造函数，求导即可利用函数的单调性求解， （3）构造函数，，, 利用导数可得在上单调递增，即可利用单调性求解. 【小问1详解】 设，则， 由题意可知恒成立，故，即， 故，解得， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 纳溪中学校高2023级高三年级上期 第二次月考试题卷 数学 出题人：张磊 审题人：吴嘉珺 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 计算（ ） A. B. C. 2 D. 2. 设随机变量服从正态分布，则的值为（ ） A. 7 B. 14 C. 21 D. 28 3. 已知全集，，则集合B真子集的个数为（ ） A. 32 B. 31 C. 16 D. 15 4. 已知，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 某班 5 名学生负责校内 3 个不同地段的卫生工作. 每名学生都要参与且只负责某个地段的卫生工作，每个地段至少有 1 名学生的分配方案共有（ ） A. 300 种 B. 90 种 C. 240 种 D. 150 种 6. 已知，，，，则的值为（ ） A. 或 B. C. D. 7. 已知函数为偶函数，且若方程有六个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，都恒成立， 且函数在上单调递增.则的值为（ ） A. 3 B. 9 C. 3或9 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 的展开式中，则（ ） A. 的系数为-9 B. 第3项与第4项的二项式系数相等 C. 所有项的二项式系数和为32 D. 所有项的系数和为32 10. 已知实数 且 ，下列选项正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 12 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 记函数，则下列说法正确的有（ ） A. 的图象过定点 B. 存在 ，使得恰有 1 个零点 C. 若 有 3 个零点，存在 ，使得成等比数列 D. 若有 3 个零点，则为定值 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则实数__________. 13. 已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，若，则的值为___________． 14. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳之间的关联性， 随机调查了某中学的 100 名学生， 整理得到如下列联表: 男学生 女学生 合计 喜欢跳绳 45 25 70 不喜欢跳绳 15 15 30 合计 60 40 100 （1）依据的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？ （2）现按照性别比例，采用分层抽样的方法，从这100名学生中抽取5名，再从这5名学生中选出2名参加运动会的跳绳项目，记这两名学生中男生的人数为随机变量，求的分布列和数学期望. 附: ，其中 . 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 已知，函数，. （1）当时，求的极值； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围. 17. 如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1． （1）若AC＝，求的面积； （2）若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD． 18. 已知数列满足，，设.若对于任意且，都有. （1）求的值； （2）求数列的通项公式. （3）求证：. 19. 已知函数的定义域为，若在上单调递增，则称为“强增函数”. （1）若是“强增函数”，求的取值范围； （2）若为“强增函数”，且.当时，比较与的大小，并说明理由； （3）已知，，，.证明：. 参考结论：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $