精品解析：吉林省长春市长春吉大附中实验学校2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题

长春吉大附中实验学校 2025-2026学年上学期高一年级 月考数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集、补集的定义计算可得. 【详解】因为，又，， 所以，则. 故选：B 2. 已知函数，则（ ） A. 15 B. 7 C. 4 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】代入运算得解. 【详解】. 故选：B. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定可得. 【详解】由存在量词命题的否定可知，原命题的否定为，. 故选：B 4. 设，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解． 【详解】对于A中，令，，，，满足，，但， 故A错误， 对于B中，令，，，，满足，，但， 故B错误， 对于C中，因为，所以由不等式的可加性，可得， 所以，故C正确， 对于D中，令，，，，满足，，但， 故D错误． 故选：C． 5. 若，设，，则（ ） A. B. C. D. 的大小关系随取值的变化而变化 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法即可比大小. 【详解】由题意， 取等号的条件为，但由于，所以，即. 故选：A 6. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得关于的方程的根为且，即可得到，再将所求不等式等价转化为一元二次不等式，解得即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的根为且， 即可得到， 故不等式，即，等价于， 等价于， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 7. 设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 8. 若集合U的三个子集A，B，C满足⫋⫋，则称为集合U的一组“亲密子集”，已知集合，则U的所有“亲密子集”的组数为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】先确定出的子集，然后根据集合中元素个数分类讨论，由此可求结果. 【详解】的所有子集有：； （1）若，为单元素集合，为双元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋， ⫋⫋，⫋⫋，共组； （2）若，为单元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； （3）若，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； （4）若为单元素集合，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋， ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； 综上所述，满足要求的“亲密子集”一共有组. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知全集，A、B均为U的子集，且，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. A的不同子集的个数为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合间的关系，逐一判断各选项即得. 【详解】由， 因为，所以集合中有且集合中没有的元素只有1,9； 因为， 所以既不在集合中也不在集合中的元素只有4,6,7； 因为，所以集合与的公共元素只有3； 所以集合中有且集合中没有的元素只有2,5,8，即. 如下作出韦恩图： 所以，，故AC正确； 因为，故B错误； 因为集合中有3个元素，所以的不同子集的个数为，故D正确. 故选：ACD 10. 已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（   ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据解集形式可得，以及两根，根据韦达定理可得a、b、c的关系，代入B、C、D选项求解即可. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以由二次函数性质可得， 且方程的根为， 由韦达定理可得，所以. A选项错误； B选项，，即，由于，解得，B选项正确； C选项，，C选项正确； D选项，，即， 由于，则可化为，解集为，D选项正确； 故选：BCD. 11. 设正数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为4 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】直接利用均值不等式判断A选项，通过“1”的代换判断B选项，利用平方判断CD选项. 【详解】A选项，， 当且仅当即时等号成立，故的最大值为，A错误； B选项，，当且仅当时等号成立，故B正确； C选项，由，得， 所以，当且仅当时等号成立，故C正确； D选项，由，得， 当且仅当时等号成立，故D正确； 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则“”是“”的______条件（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要） 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】从充分性与必要性两个方面分析即可. 【详解】步骤1：分析 是否为 的充分条件（即 是否成立）？ 一般地，若 ，则  且分母大于 1，因此  成立. 故 成立，即 是 的充分条件； 步骤 2：分析 是否为 的必要条件（即 是否成立）？ 当  时，例如 ，则 ，成立，但 ，即 不成立. 故 不成立，即 不是 的必要条件. 故“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 13. 已知实数x，y满足，，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法求得，进而结合不等式的基本性质求解即可. 【详解】设， 则，解得， 则， 又，， 则，， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 14. 2025年国庆假期期间，长春市安排了精彩纷呈的文旅活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某单位对其职工在国庆期间参与“长春国际航空博览城蓝天公园烟花秀”，“遇见四季，奔赴理想”十一车展，“壮志凌云、蓝天筑梦”金秋航空文化周活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示： 参与情况 参与人数 参与了长春国际航空博览城蓝天公园烟花秀 15 参与了“遇见四季，奔赴理想”十一车展 12 参与了“壮志凌云、蓝天筑梦”金秋航空文化周 9 仅参与其中一个活动 20 则这三个活动都参与的职工人数最多为______人. 【答案】4 【解析】 【分析】通过设未知数，根据已知条件结合容斥原理列出等式和不等式即可求解. 【详解】设参与了长春国际航空博览城蓝天公园烟花秀的职工为集合， 参与了“遇见四季，奔赴理想”十一车展的职工构成集合， 参与了“壮志凌云、蓝天筑梦”金秋航空文化周的职工构成集合， 则， 设仅参与的人数为，仅参与的人数为，仅参与的人数为， 参与和但不参与的人数为，参与和但不参与的人数为， 参与和但不参与的人数为，三个活动都参与的人数为， 则，根据集合的容斥原理， ，，， 将这三个式子相加可得：， 把代入上式得，化简得， 因为均为非负整数，所以， 且为非负整数，所以为偶数，结合，所以的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列不等式的解集： （1）： （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接因式分解即可求解； （2）把二次项系数转化为正数再因式分解即可求解； （3）移项通分，然后转化为一元二次不等式即可求解. 【小问1详解】 ， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 或， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 ， 所以不等式的解集为. 16. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）若求实数的取值范围. 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再求出集合，最后根据交集、并集、补集的定义计算可得； （2）分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），即可求出参数的取值范围，从而得解. 【小问1详解】 解：由，即，解得或， 所以或， 当时，， 所以， 或，. 【小问2详解】 解：因为， 当时，即，解得，符合题意； 当时，可得，解得， 综上可得的取值范围是. 17. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若为真命题，即对于，即可. （2）若为真命题，即转化为对于，即可求出的范围，再分类讨论的真假即可解出. 【小问1详解】 若为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可. 由于,，则. 【小问2详解】 若为真命题，即，不等式成立， 则对于，即可. 由于，，，解得 p、q有且只有一个是真命题，则或， 解得. 18. （1）若，求的最大值； （2）已知，求的最小值； （3）已知，，，求的最小值. 【答案】（1）；（2）9；（3）6. 【解析】 【分析】（1）变形得到，利用基本不等式进行求解； （2）利用基本不等式“1”的妙用进行求解； （3）变形，由基本不等式得到，解不等式求出答案. 【详解】（1）若，则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为； （2）因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为9； （3），，，故， 解得或（舍去）， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为6. 19. 已知函数． （1）若不等式的解集为R，求实数m的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）记不等式的解集为A，若，求实m的取值范围． 【答案】（1）； （2）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）. 【解析】 【分析】（1）对二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可求得结果. （2）等价变形不等式，再按分类讨论求得不等式的解集. （3）等价变形不等式，分离参数并构造函数，求出函数在的最大值即可. 【小问1详解】 函数，不等式， 当，即时，，不合题意；  当时，由的解集为R， 得，即，解得， 所以实数m的取值范围. 【小问2详解】 不等式， 当，即时，解得； 当，即时，，，解得或； 当，即时，，，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问3详解】 依题意，，不等式， 而，则，， 令，则，当且仅当，即时取等号， 因此当时，，则， 所以m的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春吉大附中实验学校 2025-2026学年上学期高一年级 月考数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. 15 B. 7 C. 4 D. 0 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 设，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，设，，则（ ） A. B. C. D. 的大小关系随取值的变化而变化 6. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 若集合U的三个子集A，B，C满足⫋⫋，则称为集合U的一组“亲密子集”，已知集合，则U的所有“亲密子集”的组数为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 24 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知全集，A、B均为U的子集，且，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. A的不同子集的个数为8 10. 已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（   ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 的解集为 11. 设正数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为4 C. 的最大值为 D. 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则“”是“”的______条件（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要） 13. 已知实数x，y满足，，则的取值范围为______. 14. 2025年国庆假期期间，长春市安排了精彩纷呈的文旅活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某单位对其职工在国庆期间参与“长春国际航空博览城蓝天公园烟花秀”，“遇见四季，奔赴理想”十一车展，“壮志凌云、蓝天筑梦”金秋航空文化周活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示： 参与情况 参与人数 参与了长春国际航空博览城蓝天公园烟花秀 15 参与了“遇见四季，奔赴理想”十一车展 12 参与了“壮志凌云、蓝天筑梦”金秋航空文化周 9 仅参与其中一个活动 20 则这三个活动都参与的职工人数最多为______人. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列不等式的解集： （1）： （2）； （3）. 16. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）若求实数的取值范围. 17. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 18. （1）若，求的最大值； （2）已知，求的最小值； （3）已知，，，求的最小值. 19. 已知函数． （1）若不等式的解集为R，求实数m的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）记不等式的解集为A，若，求实m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $