广东省惠州大亚湾经济技术开发区第一中学2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试卷

大亚湾一中2024－2025学年第一学期第二次月考 高二数学参考答案 一、单项选择题：（本大题共8小题，每题5分，共计40分） 1．解析：由，得， 在数轴上表示集合A，B如图， 所以. 故选：A. 2．解析：，， 在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 3．解析：因为，所以，解得，故选：B 4．解析：因为，，，所以， 则，，，…， 所以数列是以3为周期的数列，则. 故选：D. 5．解析：因为角的终边经过点，所以， 所以. 故选：D. 6．解析：由，得是奇函数， 其图象关于原点对称．又．故选D． 7．解析：方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 8．解析：，所以，则， 所以，，解得. 故选：C. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．解析：当时，，又，所以， 则是递减数列，故A错误； ，故B错误；当时，，故C正确； 因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远， 所以当或时，取得最大值，故D正确. 故选：CD. 10．解析：，故A正确；，所以不是对称轴，故B错误； ，所以是的一个零点，故C正确； 因为振幅，所以的最大值为，故D错误. 故选：AC. 11．解析：对于选项， 解法1：边的角度 解：由余弦定理得：即： 由基本不等式得：解得：当且仅当时，等号成立. 由三角形面积公式得：，故的最大值为. 解法2：角的角度 解：由正弦定理得：故：, 由三角形面积公式得：, 可化简得：，而 故当：即:时，的最大值为. 解法3：形的角度 解：由初中几何知识，在圆中，同弧所对的圆周角相等， 已知定长，边长对的角为， 故点的轨迹是以为圆心，半径为的圆上圆弧上运动， 根据圆的对称性，可得当圆弧的中点时， ( 图1 )此时以为底的高最长为， 此时的最大值为.(如图1，这里可以利用GeoGebra直观展示) 对于选项， 解法1：常规方法 由正弦定理得：. 因为：. ，由余弦定理得：. ，当时，可得:，此时取最大值， 故同时取最大值，且取最小值8，可得：，满足条件. 由三角形面积公式，得的最大值为. 解法2：海伦公式 设三角形的半周长为,由得：.有海伦公式得： ， 由基本不等式得：， 当且仅当时时，等号成立. 所以当时,最大值为. ( 图2 )解法3：解析法 由，令，固定两点， 则由椭圆定义，点的轨迹是以为焦点，长轴为4，短轴为的椭圆， 以两点的中点为原点，分别以所在的直线为轴，与垂直向上的直线为 轴建立如图2所示的直角坐标系，设，由椭圆的几何性质，得：. 且，当，即在椭圆的上顶点时，得的最大值为. 对于选项， 解法1：常规方法 由,可得：,即且,由余弦定理得： 整理得：.解得： ,得：,. 由,且,得.所以 解法2：解析法 由正弦定理得：，结合双曲线定义， 若以两点的中点为原点，分别以所在的直线为轴， 与垂直直线向上的直线为轴建立如图所示的直角坐标系， ( 图3 )可得为双曲线 (1)左支上一动点，设，则 (2) 结合(1)(2)可易得:. 对于选项， 解法1：常规方法 由正弦定理得:，由余弦定理得：， 由，且，得：， 所以， 当，即时，取最大值为. 解法2：解析法 由这一代数特征，可知点的轨迹为圆， 故可建立如图所示的直角坐标系，则，. 由，可得点A的轨迹方程为：， 故此圆圆心，半径为. 显然当轴时，最大，此时， 故的最大值为. 故选ABC. 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12．； 13．1； 14．3． 12．解析：在方向上的投影向量为， 故答案为：. 13．解析：对求导可得，设切点为，则 切点处的切线方程为，化简得， 故且，解得，故答案为：1 14．解析：因为是定义域为的偶函数，所以， 即. 两边求导，可得：， 可得. 因为，所以的图象关于直线对称， 则. 用代替可得. 将代入中，可得 ①. 用代替可得 ②. 由②-①可得：. 所以是周期为的周期函数. 所以. 在中，令，可得. 又因为的图象关于直线对称，所以. 在中，令，可得，解得， 所以，即. 故答案为：3. 三、解答题：（本大题共5小题，共计77分） 15．（本小题13分） 解：（1）在四棱锥中，四边形为正方形， 连接，，交于点，则是中点，----------------1分 连接，为中点，∴为的中位线，-----2分 ，----------------------------------------------------------3分 在平面外，平面，-----------------------5分 平面．-------------------------------------------------6分 （2）在四棱锥中，四边形为正方形，，----------7分 平面，平面，，-----------------------------9分 平面，--------------------------10分 平面，平面，------------------------12分 平面平面．-----------------------------------------13分 16．（本小题15分） 解：（Ⅰ）∵，∴ ①-------------------------------------------1分 ∵，，成等比数列，∴，-----------------------------------2分 ∴化简得，------------------------3分 若，--------------------------------------------------------------------4分 若，②，由①②可得，，--------------------------5分 所以数列的通项公式是或 ----------------------------------7分 （Ⅱ）若，则由（Ⅰ）得，-----------------------------------8分 所以----------------------------------10分 ∴---------------12分 --------------------------------------------------------------14分 -----------------------------------------------------------------------15分 17．（本小题15分） 解：（1）设的外接圆半径为R，则 由正弦定理，得，---------------------------------2分 因为，------------------------------------------------------3分 所以，--------------------------------------------------------------4分 即．------------------------------------------------------------------------5分 又因为，所以．----------------------------------------------------6分 （2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理 如图，由（1）知，再由，得． 在中，，①--------------------7分 在中，．②-----------------8分 由①②得：，-------------9分 整理得．---------------------------------10分 又因为，所以，--------------11分 解得或，-----------------------------------------12分 当时，（舍去）．----------------13分 当时，．-------14分 所以．-----------------------------------------------------------15分 [方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知，则， 即， 而，即， 故有，从而． 由，即，即，即， 故，即，又，所以， 则． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合 由（1）知，再由，得． 在中，由正弦定理得．又， 所以，化简得． 在中，由正弦定理知， 又由，所以． 在中，由余弦定理，得． 故． [方法四]：构造辅助线利用相似的性质 如图，作，交于点E，则． 由，得． 在中，． 在中，． 因为，所以， 整理得．又因为，所以， 即或．下同解法1． [方法五]：平面向量基本定理 因为，所以．---------------------------7分 所以，--------------------------------8分 即，------------------------------------9分 又因为，所以．③------10分 由余弦定理得，----------------------11分 所以 ④ 联立③④，得．--------------------------------12分 所以或．-----------------------------------------------13分 下同解法1．------------------------------------------------------------15分 [方法六]：建系求解 以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴， 长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则． 由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动． 设，则． ⑤ 由知，，即．⑥ 联立⑤⑥解得或（舍去），， 代入⑥式得， 由余弦定理得． 18．（本小题17分） 解：（1）设椭圆的焦距为2c，则 由题意可得，-------------------------------------------------3分 解得，，所以， 所以椭圆C的方程为. ------------------------------------------6分 （2）由题意可知直线l的斜率存在，设为k，所以直线l的方程为.---------7分 设，，由，得，--------8分 所以，，------------------------------------------------------------9分 由，得.---------------------------------------------------------------------10分 由，-----13分 得，满足，--------------------------------------------------------------------14分 所以，，-----------------------------------------------------------------15分 所以.------17分 19．（本小题17分） 解：（1）时，，其中， 则， -----------------------------2分 因为，当且仅当时等号成立， ----------------------------3分 故，而成立，故即，----------------------------4分 所以的最小值为.， ----------------------------5分 （2）的定义域为， 设为图象上任意一点，则 关于的对称点为，----------------------------------------------6分 因为在图象上，故，-----------------------7分 而， ， ------------------------------------------------------------------------8分 所以也在图象上，----------------------------------------------------9分 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. ------------------------10分 （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以，即，-----------------------------------------------------------------------11分 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立，-------------------------------12分 设， 则，------------------------------------------------13分 当，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. --------------------------------------------14分 当时，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. --------------------------------------------15分 当，则当时， 故在上为减函数，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时.------------------------------------------------16分 而当时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. -------------------------------------17分 第3页 (共12页) 第4页 (共12页) 学科网（北京）股份有限公司 $大亚湾一中2025一2026学年第一学期第二次月考 高三数学试卷 命题人：梁嘉威 审核人：曾许根 2025年10月8日 本试卷共4页，19题，满分150分。考试用时120分钟。 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，南 一项是符合愿目要求的。 1.集合A={x<},B={x2-2x<0,则A∩B= A.{x|0<x<I} B.{x|-1<x<0} C.{x|-1<x<2} D.{x|0<x<2} 2.若(1+)z=2,则在复平面内z对应的点位于 () A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知向量a,b满足ā=(2,1，b=(-2,m),若a-6=-5,则m= A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.己知数列{an}中，41=2，a2=4,an+a+a2=2,则a0s= A.4 B.2 C.-2 D.-4 5.己知角a的终边经过点(-l,2),则tan2a的值为 B. 4 c 4 A. 5 0 函数s在一，的图像大致为 B 7.记5，为数列{a,}的前n项和，设甲：{a,}为等差数列：乙：位}为等差数列，则（) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地 K 区新冠肺炎累计确诊病例数It的单位：天)的Logistic模型：101+e0可，其中K为最 大确诊病例数.当(：)0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则r约为()(193) A.60 B.63 C.66 D.69 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的四个选项中，有多项 是符合题目要求的。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9.数列{an}的前n项和为S.,已知Sn=-n2+7n,则下列说法正确的是 （) A.{an}是递增数列 B.ao=-14 C.当n>4时，an<0 D.当n=3或4时，S,取得最大值 10.设函数f(x)=2si 2r+》, 则下列结论正确的是 A.f(x)的最小正周期为π B。()的图象关于直线x=严对称 6 C.问间的个号点为x=君 D,f(x)的最大值为1 11.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法正确的是 A.若a=2A=交，则△MBC的面积最大值为√5. 3 B、 若a=2,simB+sinC=2sinA,则△MBC的面积最大值为√5. C.若a=4,simA+2simC=2inB,ABAC=1,则△MBC的面积为2√5. D.若a=2simC=2simB,则AMBC的面积最大值为V5, 第2页（共4页） 三、填空愿：（本大趣共3小题，每题5分，共计15分） 12.已知向量a=(2,0),6=(1,1),则ā在6方向上的投影向量的坐标 13.若直线2x-y+2=0为曲线∫(x)=e++x的-一条切线，则实数a= 14.已知y=f(x)-3x是定义域为R的偶函数，f(x)的导函数∫'(x)满足f(1+x)=(1-x), 则f'(2026)= 四、解答愿：共77分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，已知PD⊥平面ABCD,E为 PC中点 (I)证明：PA/平面BDE; (2)证明：平面PCD⊥平面PBC. 16.（本小题15分) 已知等差数列{a},若a6=11,且a,马，4成等比数列. (I)求数列{a}的通项公式： (Ⅱ)若4<2，设6，=，求数列他，}的前n项和3，. a,0 第3页共4页) 17.(本小题15分) 记VABC是内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b?=ac,点D在边AC上， BDsin∠ABC=asinC. (1)证明：BD=b: (2)若AD=2DC,求cos∠ABC. 18.（本小题17分) 皂知椭圆C+@>b>0)的左右焦点分别为F,5,M是椭图C上一点，且△MPB 的周长是4+25，椭圆c的离心率为 2 (1)求椭圆C的方程： (②已知0为坐标原点，过点P(40)的直线1与狮圆C相交于4、8两点，且O1O丽} 求AB 19.(本小题17分)已知函数fx)=ln,x+ax+b(x-1y 2-x (1)若b=0,且(x)20,求a的最小值： (2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形： (3)若∫(x)>-2当且仪当1<x<2,求b的取值范围. 第4页（共4页）