精品解析：河南省TOP二十名校2025-2026学年高二上学期十月调研考试数学试题（B卷）

2027届高二年级TOP二十名校十月调研考试 数学试题（B卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．考试范围：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章第3节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 2. 点关于平面对称的点是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，，若平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（ ） A. B. C. D. 或 5. 直线一定经过点（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，四点共面，则实数（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，已知点是线段上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设点，点是轴上的动点，点是直线上的动点，则周长的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，且直线与间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知O为坐标原点，过点的直线与坐标轴交于A，B两点，若的面积为2，则直线在x轴上的截距可以是（ ） A. B. C. -2 D. 2 11. 已知正方体的棱长为1，动点P满足，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则平面 C. 平面与平面夹角的大小与，，都有关 D. 若，则点P到平面的距离是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为______． 13. 已知，是直线上的两点，若，则______． 14. 如图，在正三棱台中，，，分别是、的中点，若四点在球的球面上，则球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线，直线经过点． （1）若，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，E，F分别是，的中点． （1）证明：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 如图，分别是三棱锥的棱、的中点，是线段上一点且，记，，． （1）用，，表示，，； （2）若，，，，求异面直线与所成角的余弦值． 18. 在中，，边上的中线所在直线的方程为：，边上的高所在直线的方程为：，求： （1）点的坐标； （2）边所在直线的方程； （3）中的角平分线所在直线的方程． 19. 如图，在四棱锥中，，，，平面． （1）证明：平面平面； （2）求四棱锥体积的最大值； （3）若的面积为1，求直线与平面所成角的正弦值平方的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高二年级TOP二十名校十月调研考试 数学试题（B卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．考试范围：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章第3节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直线方程化为，即可得斜率. 【详解】因为直线方程为，即， 所以直线的斜率为． 故选：B． 2. 点关于平面对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间直角坐标系中对称的特征直接求解. 【详解】在空间直角坐标系中，关于平面对称的两点的x轴，y轴坐标相同，z轴坐标互为相反数， 所以点关于平面对称的点是. 故选：A 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的性质，即若两向量平行，则对应坐标成比例，列出关于的方程组，解方程组即可求得的取值，进而可求得的值. 【详解】因为，所以， 所以，解得，，， 所以． 故选：A 4. 已知点，，若平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】通过直线的方向向量与平面的法向量的关系，判断直线与平面的位置关系 【详解】因为，， 所以，所以或． 故选：D． 5. 直线一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直线方程化为，进而分析定点. 【详解】直线可化为， 令，解得，所以直线过定点． 故选：B． 6. 已知，，，四点共面，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算向量、、的坐标，再根据空间向量共面定理列出方程，最后解方程求出的取值. 【详解】根据题意，，，， 则，，， 因为四点共面，所以存在实数，使得， 所以，解得，所以． 故选：D 7. 在平面直角坐标系中，已知点是线段上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知：表示点与点连线的斜率，结合图象分析斜率的取值范围即可. 【详解】当时，；当时，， 所以线段的最左端是，最右端是， 表示点与点连线的斜率， 当点在点A处时，； 当点在点B处时，； 结合图象可知，的取值范围是． 故选：C． 8. 设点，点是轴上的动点，点是直线上的动点，则周长的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先求出点关于轴的对称点，关于直线的对称点，将折线转化为直线，通过两点之间线段最短求解即可. 【详解】如图，作点关于轴的对称点，关于直线的对称点， 易得的坐标为， 设点的坐标为，则，解得， 所以， 因为，， 所以的周长为， 所以当、、、四点共线时，的周长最小， 最小值为． 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，且直线与间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线平行可设直线的方程为，结合两平行线间距离公式运算求解即可. 【详解】因为，且直线的方程为， 设直线的方程为，， 根据题意得，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：BC． 10. 已知O为坐标原点，过点的直线与坐标轴交于A，B两点，若的面积为2，则直线在x轴上的截距可以是（ ） A. B. C. -2 D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用截距式方程，由点在直线上，及三角形面积公式列式求解即可. 【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线的方程为， 其中a，b分别为在x轴，y轴上的截距，，， 又点在直线上，所以， 又的面积为2，所以，即或． 当时，，即，解得或； 当时，，即，解得． 故选：ABC． 11. 已知正方体的棱长为1，动点P满足，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则平面 C. 平面与平面夹角的大小与，，都有关 D. 若，则点P到平面的距离是 【答案】ABD 【解析】 【分析】建系标点，根据题意可得．对于A：利用向量可得，即可判断垂直；对于B：利用向量可得，进而判断线面平行；对于C：分别求平面与平面的法向量，利用向量求面面夹角的余弦值即可判断；对于D：求平面的法向量，利用空间向量求点到面的距离. 【详解】如图，以点A为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 可得，，， 则，即． 对于选项A：若，，即， ，， 则，故，即A正确； 对于选项B：若，，则，， 因为，可知， 且平面，平面，所以平面，故B正确； 对于选项C：设平面的法向量，则 令，则，可得， 又因为平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为， 即平面与平面夹角的大小与无关，故C错误； 对于选项D：设平面的法向量为， 因为，，可得，即， 取，可得，，可得是平面的一个法向量， 因为，则点到平面的距离为， 又因为，可得，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据过两点的直线斜率公式求出直线的斜率，再结合直线倾斜角与斜率的关系求出倾斜角. 【详解】由直线经过，两点，得直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以，解得． 故答案为： 13. 已知，是直线上的两点，若，则______． 【答案】13 【解析】 【分析】根据题意结合直线方程可得，再利用两点间距离公式运算求解. 【详解】因为，在直线上，则，． 又因为，则， 所以． 故答案为：13. 14. 如图，在正三棱台中，，，分别是、的中点，若四点在球的球面上，则球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将正三棱台的侧棱延长，补成三棱锥，建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设球心，半径为，则，列方程求解，得，再结合球体的表面积公式即可求解. 【详解】如图，延长，，交于点，过点作平面，垂足为，连接，过作，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 在正三棱台中，，， 则，，， 设上底面的中心为， 在直角梯形中，，，， 所以，即， 又，， 即，， 因为，分别是，的中点， 所以，， 设球的球心坐标为，半径为，则， 即，，，， 解得，，，， 所以球的表面积为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线，直线经过点． （1）若，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）由题意，，根据直线的垂直系方程，可设直线的方程为，又直线经过点，代入可求得，即可求得直线的方程； （2）由直线在两坐标轴上的截距相等，分直线经过原点和直线不经过原点两种情况进行讨论，结合直线经过点，即可求得直线方程. 【小问1详解】 因为，所以可设直线的方程为． 因为直线经过点，所以，解得． 所以直线的方程为． 【小问2详解】 已知直线在两坐标轴上的截距相等， 若直线过原点，设直线的方程为， 因为直线经过点，所以， 此时直线的方程为，即． 若直线不过原点，设直线的方程为． 因为直线经过点，所以，所以． 此时直线的方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，E，F分别是，的中点． （1）证明：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 连接， 因为E，F分别是，的中点，则， 且平面，平面，所以直线平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）建系标点，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直三棱柱中，可知平面，平面， 则，，且，即，，两两垂直， 故以A为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，， 则，，，， 且E，F分别是，的中点，可得，． 因为平面，则是平面的一个法向量， 因为，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，可知是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 如图，分别是三棱锥的棱、的中点，是线段上一点且，记，，． （1）用，，表示，，； （2）若，，，，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1），，； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算及向量基本定理，将，，用，，表示出来即可； （2）由（1）得，，可求得，以及，再结合空间夹角公式，代入求值即可. 【小问1详解】 如图，连接，结合向量线性运算及向量基本定理，可得 ， ， ． 【小问2详解】 由题意，得，，， 又由（1）得，，， 所以， ， 所以， 设异面直线与所成角为，则， 即异面直线与所成角的余弦值为． 18. 在中，，边上的中线所在直线的方程为：，边上的高所在直线的方程为：，求： （1）点的坐标； （2）边所在直线的方程； （3）中的角平分线所在直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，可得，由，可得，再根据斜率公式列式，联立方程，解出坐标即可； （2）设，则边的中点，由边上的高所在直线过点C，及边的中点在上，列式求出点C坐标，求出边所在直线的斜率，利用点斜式方程即可求解； （3）求出、所在直线方程，设是的角平分线所在直线上任意一点，由角平分线的性质可得P到边所在直线，边所在直线的距离相等，结合点到直线的距离公式列式即可求解. 【小问1详解】 设， 因为边上的中线所在直线：经过点A，所以， 因为边上的高所在直线的方程为：， 所以，即， 又，所以，即， 由得 所以点A的坐标为． 【小问2详解】 设，因为边上的高所在直线：经过点C， 所以． 因为边上的中线所在直线的方程为：， 所以边的中点在：上， 即，所以， 由得 所以点C的坐标为． 因为边所在直线的斜率， 所以边所在直线的方程为，即． 【小问3详解】 因为边所在直线的斜率， 所以边所在直线的方程为，即． 因为：过B，C两点， 所以边所在直线的方程为． 设是的角平分线所在直线上任意一点， 由角平分线的性质可得P到边所在直线，边所在直线的距离相等， 即． 所以或． 因为的角平分线应该与边（不含端点）有交点， 所以的角平分线所在直线的斜率， 所以不符合，符合， 所以中的角平分线所在直线的方程为． 19. 如图，在四棱锥中，，，，平面． （1）证明：平面平面； （2）求四棱锥体积的最大值； （3）若的面积为1，求直线与平面所成角的正弦值平方的最小值． 【答案】（1） 因为平面，平面，所以， 又，且与相交于点，平面， 所以平面， 又平面，故平面平面． （2） ； （3） . 【解析】 【分析】（1）由题意，先证明，再结合题意，可证平面，进而可证平面平面； （2）作，垂足为H，连接，根据面面垂直的性质可得平面，结合锥体的体积公式，可得四棱锥的体积，再结合不等式求得和的最大值，即可求解； （3）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，设以垂直于的直线为轴，为终边的角为，可得，再结合空间直线与平面所成角的计算公式，代入计算，结合三角函数的计算，即可求得其最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，在中，作，垂足为H，连接， 因为平面平面，平面与平面相交于，平面， 所以平面， 因为平面，平面， 所以，所以， 所以， 当且仅当时取等号， 因为，所以． 因为，所以， 因为，所以， 当且仅当取等号，所以． 又，所以． 所以四棱锥的体积， 即四棱锥体积的最大值为． 【小问3详解】 取的中点，以为原点，为轴，过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 由（1）知平面， 又平面，所以． 因为，所以， 因为，，所以，， 所以，所以，故， 设的中点为， 因为，，所以，，， 设以轴的正半轴为始边，以为终边的角为， 则，， 所以． 易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则 （其中）， 所以当，即时，有最小值，最小值为． 即， 所以直线与平面所成角的正弦值平方的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $