重难点13 平面向量的最值与范围问题 讲义-2026届上海市高三数学一轮复习

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 重难点13 平面向量的最值与范围 1．平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路： (1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图形的特征直接进行判断； (2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 2．平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法： (1)定义法 ①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系； ②运用基木不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论. (2)坐标法 ①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标； ②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算； ③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）. (3)基底法 ①适当选取一组基底，利用基底转化向量； ②写出向量之间的联系，根据向量运算律化简目标，构造关于设定未知量的关系式来进行求解； ③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）， 即可得出结论. （4）几何意义法 第一步：先确定向量所表达的点的轨迹 第二步：根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 【常用技巧】 1、极化恒等式 平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： ①平行四边形模式： ②三角形模式：（M为BD的中点） 2、矩形大法 矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：． 题型01：与共线定理、平面向量基本定理有关最值与范围 【例1】（2025高三·全国·专题练习）在中，点为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【解题思路】由题意得，且，再利用基本不等式“1”的妙用求解即可. 【解答过程】 由题意，在中，点为线段上任一点（不含端点）， 若，则有， 设，则， 所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为16． 故选：D． 【例2】（2025上海高三专题练习）在矩形中，已知分别是上的点，且满足．若点在线段上运动，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立基底，，则，然后将设，最终表示为，然后得到，进而求出范围． 【解答过程】矩形中，已知分别是上的点，且满足， 设，则，， 联立，可解得， 因为点在线段上运动，则可设， ， 又，所以， ， 因为，所以． 故选：B． 【例3】（2025上海高三专题练习）的重心为O，过点O的直线与AB，BC所在直线交于点E，F，若，（），则xy的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【解题思路】利用向量线性运算，结合三角形重心的性质及共线向量定理的推论得，再利用基本不等式求解即得. 【解答过程】由O为的重心，得延长线必过的中点， 则，由，，得，， 即 ，又E，O，F三点共线，因此， 即，又，则， 即，当且仅当时取等号， 则xy的最小值是. 故选：C. 题型02：与模长有关的最值与范围 角度1、单一向量的模 【例4】（2023•松江区二模）已知点A、B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点，且．若存在m，n∈R，使得与垂直，且，则|AB|的最小值为 　　． 【分析】设，根据向量线性运算可得，设P（x，t），则Q（x+a，t），由向量垂直的坐标表示可构造方程，结合二次函数最值求法可求得，由可求得最小值． 【解答】解：设A，B在直线y＝t上，又A，B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点，，∴； 设，则m+＝+＝，n＝+＝， ∴， 不妨设P在Q的左侧，P（x，t），则Q（x+a，t）， ∵与垂直，∴， 即x（x+a）+t2＝0有解，∴， ∴，即|AB|的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量模长最值的求解问题，属于中档题． 【例5】（2025上海高三专题练习）在中，，当时，的最小值为4．若，其中，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【解题思路】由的最小值为可得的形状为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系将向量坐标化，利用平面向量共线定理以及的取值范围表示出的表达式，再由二次函数单调性即可求得. 【解答过程】如下图所示： 在直线上取一点，使得， 所以，当时，取得最小值为，即； 又，所以可得是以为顶点的等腰直角三角形， 建立以为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示： 又可得为的中点， 由以及可得在上， 可得， 所以，可得， 则， 令，由可得， 所以，， 由二次函数在上单调递增可得，. 故选：C. 角度2、两个向量和差的模 【例6】（24-25闵行高三阶段练习）已知向量满足，则的最小值是（    ） A．0 B．2 C． D．5 【答案】D 【知识点】解析法在向量中的应用、向量减法的运算律、坐标计算向量的模、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据已知条件设出向量,再求出向量,再根据模长公式结合三角函数的值域得出最小值即可. 【详解】不妨设，则， 则，且， 则， 当时，. 故选：D. 【例7】（2023•黄浦区二模）如图．在直角梯形ABCD中．AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，BC＝1，点P是腰AB上的动点，则|2|的最小值为 　　． 【分析】建立平面直角坐标系，设AB＝a，求得相关点坐标，求出2+的表达式，结合二次函数的性质即可求得答案． 【解答】解：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，BC＝1， 则∠DAB＝90°，则以A为原点，AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系， 设AB＝a，设P（x，0），则B（a，0），C（a，1），D（0，2）， 故＝（a﹣x，1），＝（﹣x，2）， 所以2+＝（2a﹣3x，4），故|2+|＝≥4， 当且仅当2a﹣3x＝0即x＝a时取得等号， 即|2|的最小值为4， 故答案为：4． 【点评】本题考查向量的坐标运算，属于基础题． 【例8】（24-25闵行高三三模）已知，，，，，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、数量积的坐标表示、向量与几何最值、轨迹问题——椭圆 【分析】由题意首先得出为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可. 【详解】如图所示： 不妨设， 满足，，， 又，即， 由椭圆的定义可知点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上运动， ， 所以该椭圆方程为， 而，即，即， 这表明了点在圆上面运动，其中点为圆心，为半径， 又，等号成立当且仅当三点共线， 故只需求的最大值即可， 因为点在椭圆上面运动，所以不妨设， 所以， 所以当且三点共线时， 有最大值. 故选：A. 【点睛】关键点睛：解题的关键是将向量问题转换为圆锥曲线中的最值问题来做，通过数学结合的方法巧妙的将几何问题融入代数方法，从而顺利得解. 【例9】已知，点在线段上，且的最小值为，则（）的最小值为（       ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由取得最小值得点为线段的中点，由得， 由配方可得答案. 【详解】 当时，取得最小值，因为， 所以此时点为线段的中点， 因为，所以，故， 则， 因为， 故． 故选：B. 【例10】（24-25华师大二附中高三模拟）已知为坐标原点，向量，，（点，，不重合）满足，，若平面内一点满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】依题意可得、、三点在以为圆心，1为半径的圆上，且是圆的直径，所以，设、的夹角为，根据数量积的运算律及定义得到，再根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】解：因为， 所以、、三点在以为圆心，1为半径的圆上， 又， 所以，所以， 所以是圆的直径， 所以， 所以， 设、的夹角为， 则 ， 因为， 所以， 所以， 所以， 即的取值范围是. 故选：B. 【例11】（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知，，则的最小值是______. 【答案】 【解析】设， 则 由，则 即点在以为焦点，长轴为的椭圆上 所以满足 则，且 故当时，有最小值 故答案为： 【例12】（24-25上师大附中高三模拟）已知向量满足，，若对任意实数都有，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】证明，证明，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以，所以， ， 根据二次函数性质可得在处取得最小值的平方为2， 所以最小值为. 故选：B. 角度3、两个向量模的和差 【例13】（24-25松江高三模拟）已知平面内两个单位向量的夹角为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知条件代入，分别求得，再利用几何意义求的最小值. 【详解】． ． ,． 的几何意义为点到，的距离之和． 关于轴的对称点坐标为， . 故选：B． 【例14】（2023·上海金山·二模）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】向量减法法则的几何应用 【分析】本题用向量减法的模的几何意义解决. 【详解】 作图，，则，， 因为，所以起点在原点，终点在以B为圆心，1为半径的圆上； 同理，，所以起点在原点，终点在以C为圆心，1为半径的圆上， 所以的最小值则为， 因为，，当，，三点共线时，，所以. 故答案为：. 【例15】【闵行2023二模12】已知平面向量、、和实数满足，，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据，可得，利用平面直角坐标系， 则取，设， 结合已知条件可得，， 利用平面向量的坐标运算可得，故可得的取值范围. 【解析】因为，所以 即，于是有 因为，所以 法一：如图所示，在平面直角坐标系中取， 则，设 ，即 因为，所以 ，解得 则 对称轴：，且 故的取值范围是 法二：如图，得，故四边形为菱形 设，则 ，即，即，由 当时，；当时， 【例16】已知是两个非零向量，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】令，，则由题意可得，即，由向量加法、减法的几何意义可得，结合不等式即可求解. 【详解】由题意，令，，所以，， 所以，由向量加法、减法的几何意义可得， 所以， 所以，当且仅当，且时取等号， 所以的最大值为. 故选：B. 【例17】已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，， ，两边平方，整理得到， 对任意实数恒成立，则，解得，则. 由于，如上图，，则 ，则的最小值为． 当且仅当终点在同一直线上时取等号. 故选：B． 【例18】（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则的最大值为___________. 【答案】5 【解析】令， ， ， ， 令， 设，则 ，， 令， 若函数存在极值点，则是函数的唯一极值点， 显然，函数在取得最值， ， 故答案为：5. 【例19】（2023·上海普陀·二模）设x、，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、向量与几何最值、由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量平行的坐标表示可得，在坐标系中，，将按向量平移至，根据轨迹为直线，将问题化为最小，数形结合法求原点到直线距离即可得结果. 【详解】由，又向量与互相平行， 所以，故， 令，，则， 所以，将按向量平移至， 所以是直线上的动点，如下图示， 所以，故， 由图知：要使最小，只需三点共线且到直线距离最短， 故最小值为原点到直线的距离，最小值为，此时题设中的x=2，y=1. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：找到的，并将其平移至使，即有，问题化为求点到直线距离. 【例20】已知平面向量满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】建立如图所示直角坐标系，由题意可设，， 则，， 由得，故C在以为圆心，半径为1的圆上， 取，则在AD上，则，又，∴，∴，即， ∴. 故选：D 【例21】已知是平面向量，且是互相垂直的单位向量，若对任意均有的最小值为，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】根据的最小值为，代入得关于的一元二次不等式，利用等号可以取到判断出，然后设为轴的方向向量，为轴方向向量，，则得关于点的轨迹方程，利用抛物线的定义将向量模长转化为距离，计算最小值.，即，所以，即，设为轴的方向向量，为轴方向向量，所以，对应的坐标为，所以，得；，因为为抛物线向上平移个单位，所以焦点坐标为，准线为，所以点到的距离与到的距离相等，，当且仅当时，取最小值. 故答案为： 题型03：与夹角有关的最值与范围 【例22】（2023•闵行区校级二模）已知单位向量，若对任意实数x，恒成立，则向量的夹角的最小值为 　　． 【分析】由平面向量的数量积运算，得到x2﹣2xcosθ+≥0恒成立，进而得到﹣≤cosθ≤，求解即可． 【解答】解：设向量的夹角为θ，θ∈[0，π]， ∵对任意实数x，恒成立， ∴x2+﹣2x•≥恒成立， 即x2﹣2xcosθ+≥0恒成立， 则Δ＝4cos2θ﹣1≤0，解得﹣≤cosθ≤， 故夹角的取值范围是[，]， ∴向量的夹角的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，不等式恒成立问题的求法，属于中档题． 【例23】已知向量、满足：，.设与的夹角为，则的最大值为___________. 【答案】/ 【解析】设，则，设向量、的夹角为， 若，则，可得， 由题意可得，解得， 所以，，， 所以，， 当时，即当时，取得最小值，此时取得最大值， 且. 故答案为：. 【例24】（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：，若对满足条件的任意向量，恒成立，则的最小值是______________． 【答案】 【解析】由题意设， ， 由， ， 化简得恒成立，所以， ， ， ， 当且仅当且时取到等号； 故答案为： . 【例25】已知向量满足，，若关于的方程有解，记向量的夹角为，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】不妨令， 由，可得； ， 故可得， 整理得， 要使得该方程有解，则， 整理得，又因为， 故可得，解得. 又因为，故可得， 故可得. 故答案为：. 题型04：与投影有关的最值与范围 【例26】（23-24高一下·山东青岛·期中）已知是边长为2的正六边形内的一点，则的最大值是 . 【答案】6 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】利用数量积的几何意义，结合图形分析即可得解. 【详解】， 如下图，过点作， 由图可知，当与点重合时，向量在上的投影取得最大值， 此时取得最大值，所以， 因为，所以，所以， 所以. 故答案为：6. 【例27】（24-25高一下·山西·阶段练习）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，O是线段的中点，P为正八边形内的一点（含边界），则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】利用向量数量积的几何意义，即投影向量的意义计算即得. 【详解】 如图过点作直线，交于点， 因，又， 则，而即在直线上投影的数量， 要使取最大值，则需使在直线上投影的数量最大， 由图知，当点与点或重合时投影向量的数量最大. 因，由对称性知，， 在中，，因，解得， 则，故的最大值为. 故选：B. 【例28】（23-24高一下·吉林长春·期末）正六边形ABCDEF的边长为2，G为正六边形边上的动点，则的值范围是__________. 【知识点】平面向量数量积的几何意义、向量与几何最值、用定义求向量的数量积 【分析】利用投影向量求解向量数量积，得到的最小值和最大值，得到答案. 【详解】连接与相交于点，由正六边形的几何性质，⊥，， 正六边形ABCDEF的边长为2，故，， 故， 故点在上的投影为， 当点与点重合时，此时的投影向量为，与方向相同 此时取得最大值，最大值为， 故当与重合时，的投影向量为，与方向相反， 此时取得最小值，最小值为， 故. 【例29】（2021•金山区二模）已知向量与的夹角为，且，若，其中，则向量在上的投影的取值范围为　　． 【答案】， 【详解】如图所示， 设，，，， ，，又 ，在直线上， 当与同向时，即与重合时，在上的投影最大为， 作，此时在上的投影为，但取不到， 在上的投影最小值大于， 在上的投影的范围为，， 题型05：平面向量数量积的最值与范围 【例30】在中，角所对应的边为,，，，是外接圆上一点，则的最大值是（  ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】 如图，设的外心为，则点是的中点， 由， 因，故,而， 故当且仅当与同向时取等号. 故选：A. 【例31】（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的取值范围为 ． 【解题思路】利用基底，结合向量的线性运算表示，即可根据数量积的运算律求解. 【解答过程】设，其中， 已知边长为2的菱形中，， 则为等边三角形，又， 则 又，故 故 ． 故答案为：. 【例32】（24-25高三上·河北邢台·期中）已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为 ． 【解题思路】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解. 【解答过程】建立如图所示的直角坐标系，设，是中点， 则, 由可得,故， 所以 ， 故当时，取到最小值， 故答案为：. 【例33】（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）扇形的半径为，，点在弧上运动，若，求的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、数量积的坐标表示、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、辅助角公式 【分析】以为坐标原点，建立直角坐标系，设，得到，求得，结合向量的数量积的运算公式，化简得到，利用三角函数的性质，即可求解. 【详解】以为原点，以所在的直线为轴，过作的垂线为轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，设，则，其中且， 可得， 则 所以 ， 因为，可得，所以， 所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【例34】（2024·全国·模拟预测）已知向量是单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】设，，，根据题意可得轨迹方程，再根据数量积公式数形结合分析可求数量积的最大值. 【详解】设，，由可得， 化简可得，即. 设，由可得， 故的轨迹是以，为焦点，的椭圆，其方程. 设，的夹角为，则，由圆与椭圆的性质可得，， ，，故当，同向，均往x负半轴时，取得最大值. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用向量的坐标运算把向量问题转化为平面几何问题求解. 【例35】（2025·河北廊坊·模拟预测）设点为圆上一点，则的最小值为（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【知识点】圆的参数方程、向量与几何最值、数量积的坐标表示 【分析】令且，应用向量数量积的坐标表示得，即可得最小值. 【详解】由，则，如下图示， 令且，则，，， ， ， ， 所以 ， 当时，有最小值为. 故选：D 【例36】（2024·上海宝山·一模）已知平面向量满足：，，且对任意的单位向量满足，则的最大值为 .（用含的式子表示） 【答案】或 【分析】讨论时情况以及判断的范围，从而设，表示出的表达式，结合三角恒等变换化简，即可求解, 【详解】由题意有：当时，可得当与同向时，取到最大值， 即此时恒成立，结合，即， 此时； 由于， 所以假设，此时，不符合题意； 故时，不妨设当为锐角，取到最大值， 此时也为锐角， 此时， ，（其中为辅助角） 而， 当时等号成立， 依题意可得恒成立，解得， 由于在时单调递减，故， 故令，结合解得 即得，； 由于时，， 所以的最大值为或. 故答案为：或. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于设出结合三角恒等变换求出的表达式，进而求解. 题型06：参数的最值与范围 【例37】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，I是的平分线上一点，且，若内（不包含边界）的一点D满足，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将向量 归一化可得，结合向量的线性运算可得，结合题意列式求解即可. 【解答过程】设，则，且， 可得， 则，可得， 即，可得， 则， 因为，则，可得， 所以， 因为，解得， 所以实数x的取值范围是. 故选：B. 【例38】已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，，，其中．则的最小值为 ． 【答案】 【解析】如图所示： 因为，所以 又，所以 ，所以 , 三点共线，，化简得； ，当且仅当，，取等； 故答案为：. 【例39】（2024·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，点在圆上运动，定点、满足且，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得向量、是夹角等于的单位向量，因此给出点、的坐标，设，将表示为关于的三角函数表达式，利用辅助角与正弦函数的图象与性质，算出的最大值，进而求出实数的取值范围． 【详解】由，则， 以为原点建立坐标系，可设、， 由点在圆上运动，设， 则，， 可得， 由三角函数的定义与性质可知：当时，与均为正数， 此时存在最大值， 因为， 当时，的最大值为， 即有最大值， 因为恒成立， 所以，即实数的取值范围为． 故答案为：． 【例40】（2023•徐汇区校级三模）已知平面向量，，，满足，，且λ+2μ＝1，若对每一个确定的向量，记的最小值为m，则当变化时，实数m的最大值为 　　． 【分析】设＝（2，0），＝（x，y），求出点A的轨迹是圆，再由＝λ+μ计算，将其化简为关于λ的二次函数，由此得到||的最小值为m与x的关系，再利用导数求其最大值． 【解答】解：由题意设＝（2，0），＝（x，y）， 因为|+|＝1，所以＝1，即（x+2）2+y2＝1， 所以点A的轨迹是以（﹣2，0）为圆心，1为半径的圆，且x∈[﹣3，﹣1]． 因为λ+2μ＝1，所以＝λ+μ＝（λx，λy）+（2μ，0）＝（λx+2μ，λy）＝（λx+1﹣λ，λy）， 所以＝（λx+1﹣λ）2+（λy）2＝[（x﹣1）2+y2]λ2+2（x﹣1）λ+1＝（﹣6x﹣2）λ2+2（x﹣1）λ+1， 因为x∈[﹣3，﹣1]，所以﹣6x﹣2＞0，所以关于λ的二次函数开口向上， 当λ＝时，取得最小值，所以m2＝（﹣6x﹣2）•+2（x﹣1）•+1＝•， 令y＝f（x）＝（x∈[﹣3，﹣1]），则f′（x）＝， 所以函数f（x）在[﹣3，﹣]上单调递增，在（﹣，﹣1]上单调递减， 所以f（x）的最大为f（﹣）＝＝，即m2≤×＝， 所以m的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量的运算问题，也考查了运算求解能力和转化思想，是难题． 【例41】（2021•宝山区二模）如图，若同一平面上的四边形满足：，则当的面积是的面积的倍时，的最大值为 　　． 【答案】 【详解】因为， 所以， 如图所示，过点作于，过点作于， 因为的面积是的面积的倍，所以，从而， 在的两边同时点乘， 得， 又， 从而，即， 整理可得， 所以， 当且仅当时取等号，此时的最大值为， 【例42】（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量夹角为，且平面向量满足记为（）的最小值，则的最大值是__________． 【答案】 【解析】设，，，则，， 依题意可知，，，，故点在△的外接圆上. 其半径，为点到直线的距离， 显然，当运动到点处时，有最大值. 故答案为：. 【例43】（23-24高二上·上海黄浦·期中）在中，，，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论： ①的最小值为；    ②的最小值为； ③的最大值为；    ④的最大值为10. 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】建立以为原点，所在的直线分别为轴，平面直角坐标系，设，然后表示出的坐标，得出，再逐个分析即可. 【解答过程】 如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，因为，所以设， 则 所以， 则，即 所以，其中， 所以， 所以①③错误； ， 其中， ， ， ， 所以②正确，④错误； 故选：A. 题型07：集合与平面向量综合 【例44】（2024·上海奉贤·一模）已知集合是由函数的图象上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为 ． 【答案】60 【分析】确定数列中最大值为1，最小值为，然后根据分类得出等差数列，再由等差数列的项确定点的横坐标的值，然后由中对应点的情形确定集合个数． 【详解】由已知,， 设，则，显然， 若，则，因此有， 由得或，对应， 同理对应， 集合中已经含有点， 因此产生的集合中，点可有也可没有，至少有一个， 所以的个数为， 若，则， ，或，，或， 对应点， 产生的集合中，点可有也可没有，至少有一个， 中至少有一个，中至少有一个，的个数为， 综上，集合的个数为． 故答案为：60. 【点睛】方法点睛：确定集合的个数即为确定集合中元素的可能性，本题中首先确定出最终等差数列的最大值和最小值，从而根据公差得出等差数列，由等差数列确定可能含有的点，从而得出集合个数． 【例46】（2024·上海杨浦·二模）平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论： ①对任意，存在该平面的向量，满足 ②对任意，存在该平面向量，满足 则下面判断正确的为（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 【答案】C 【知识点】求平行线间的距离、数量积的坐标表示、已知数量积求模、向量减法法则的几何应用 【分析】根据给定条件，令，，设，利用向量模及数量积的坐标表示探求的关系，再借助平行线间距离分析判断得解. 【详解】由，，，不妨令，，设， ，得，而，， 则，整理得，由，得， 平行直线和间的距离为， 到直线和直线距离相等的点到这两条直线的距离为， 如图，阴影部分表示的区域为集合，因此无论是否属于，都有， 所以命题①②都正确. 故选：C 【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，利用代数方法解决. 【例47】（2020•上海）已知A1、A2、A3、A4、A5五个点，满足＝0（n＝1，2，3），||•||＝n+1（n＝1，2，3），则||的最小值为　　． 【分析】可设，从而据题意可得出，，并设A1（0，0），根据是求的最小值，从而可得出，从而可求出，从而根据基本不等式即可求出的最小值． 【解答】解：设，则，， 设A1（0，0），如图， ∵求的最小值，则： A2（x，0），，， ∴＝，当且仅当，即时取等号， ∴||的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题． 【例48】（2023•浦东新区校级模拟）已知，对任意1≤i＜j≤5都有，则实数M的最小值为 　　． 【分析】设出，i＝1，2，3，4，5，从而利用向量数量积公式结合三角函数恒等变换和有界性求出最值，得到答案． 【解答】解：可设，i＝1，2，3，4，5，其中φi∈[0，π]，θi∈[0，2π]， 则 ＝sinφisinφj（cosθicosθj+sinθisinθj）+cosφicosφj ＝sinφisinφjcos（θi﹣θj）+cosφicosφj， 因为θi，θj∈[0，2π]，所以﹣1≤cos（θi﹣θj）≤1， 由于φi，φj∈[0，π]，sinφi≥0，sinφj≥0， 故＝cos（φi﹣φj）， 因为φi，φj∈[0，π]，所以cos（φi﹣φj）≤1， 又恒成立，故M的最小值为1． 故答案为：1． 【点评】本题考查向量数量积的坐标运算，化归转化思想，属中档题． 【例49】（2024·上海徐汇·二模）如图所示，已知满足，为所在平面内一点.定义点集.若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】平面向量共线定理的推论、三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，由向量共线定理得三点共线，从而表示的边上的高，利用正弦定理求得的面积的最大值，从而可得结论． 【详解】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，如图， ， 所以三点共线， 又存在点，使得对任意，满足恒成立，则的长表示到直线的距离，即的边上的高，设， 由得，，公用，因此， 所以， 中，设，由正弦定理得，记为角， 所以，，， 所以 ， 若不是钝角，则 ， 又，所以，即， 所以， 设，则，，它是减函数， 所以时，， 若是钝角，则 ， 设，则，， 令，则， ， 时，，递减，时，递增， 所以时，，， 综上，， 此时． 故答案为：3． 【点睛】方法点睛：本题考查向量的线性运算，考查三角形的面积，解题方法其一是根据向量共线定理得出点在一条直线，问题转化为求三角形高的最大值，从而求三角形面积的最大值，解题方法其二是利用正弦定理求三角形的面积，本题中注意在用平方关系转化时，需要根据是否为钝角分类讨论，才能正确求解（本题用海伦公式求三角形的面积方法较简便）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 重难点13 平面向量的最值与范围 1．平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路： (1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图形的特征直接进行判断； (2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 2．平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法： (1)定义法 ①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系； ②运用基木不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论. (2)坐标法 ①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标； ②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算； ③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）. (3)基底法 ①适当选取一组基底，利用基底转化向量； ②写出向量之间的联系，根据向量运算律化简目标，构造关于设定未知量的关系式来进行求解； ③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）， 即可得出结论. （4）几何意义法 第一步：先确定向量所表达的点的轨迹 第二步：根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 【常用技巧】 1、极化恒等式 平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： ①平行四边形模式： ②三角形模式：（M为BD的中点） 2、矩形大法 矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：． 题型01：与共线定理、平面向量基本定理有关最值与范围 【例1】（2025高三·全国·专题练习）在中，点为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【例2】（2025上海高三专题练习）在矩形中，已知分别是上的点，且满足．若点在线段上运动，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例3】（2025上海高三专题练习）的重心为O，过点O的直线与AB，BC所在直线交于点E，F，若，（），则xy的最小值为（    ） A． B． C． D．4 题型02：与模长有关的最值与范围 角度1、单一向量的模 【例4】（2023•松江区二模）已知点A、B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点，且．若存在m，n∈R，使得与垂直，且，则|AB|的最小值为 　　． 【例5】（2025上海高三专题练习）在中，，当时，的最小值为4．若，其中，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 角度2、两个向量和差的模 【例6】（24-25闵行高三阶段练习）已知向量满足，则的最小值是（    ） A．0 B．2 C． D．5 【例7】（2023•黄浦区二模）如图．在直角梯形ABCD中．AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，BC＝1，点P是腰AB上的动点，则|2|的最小值为 　　． 【例8】（24-25闵行高三三模）已知，，，，，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【例9】已知，点在线段上，且的最小值为，则（）的最小值为（       ） A． B． C．2 D． 【例10】（24-25华师大二附中高三模拟）已知为坐标原点，向量，，（点，，不重合）满足，，若平面内一点满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例11】（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知，，则的最小值是______. 【例12】（24-25上师大附中高三模拟）已知向量满足，，若对任意实数都有，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 角度3、两个向量模的和差 【例13】（24-25松江高三模拟）已知平面内两个单位向量的夹角为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例14】（2023·上海金山·二模）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为 ． 【例15】【闵行2023二模12】已知平面向量、、和实数满足，，，则的取值范围是 . 【例16】已知是两个非零向量，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【例17】已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【例18】（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则的最大值为___________. 【例19】（2023·上海普陀·二模）设x、，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为 ． 【例20】已知平面向量满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例21】已知是平面向量，且是互相垂直的单位向量，若对任意均有的最小值为，则的最小值为___________． 题型03：与夹角有关的最值与范围 【例22】（2023•闵行区校级二模）已知单位向量，若对任意实数x，恒成立，则向量的夹角的最小值为 　　． 【例23】已知向量、满足：，.设与的夹角为，则的最大值为___________. 【例24】（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：，若对满足条件的任意向量，恒成立，则的最小值是______________． 【例25】已知向量满足，，若关于的方程有解，记向量的夹角为，则的取值范围是___________. 题型04：与投影有关的最值与范围 【例26】（23-24高一下·山东青岛·期中）已知是边长为2的正六边形内的一点，则的最大值是 . 【例27】（24-25高一下·山西·阶段练习）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，O是线段的中点，P为正八边形内的一点（含边界），则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【例28】（23-24高一下·吉林长春·期末）正六边形ABCDEF的边长为2，G为正六边形边上的动点，则的值范围是__________. 【例29】（2021•金山区二模）已知向量与的夹角为，且，若，其中，则向量在上的投影的取值范围为　　． 题型05：平面向量数量积的最值与范围 【例30】在中，角所对应的边为,，，，是外接圆上一点，则的最大值是（  ） A．4 B． C．3 D． 【例31】（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的取值范围为 ． 【例32】（24-25高三上·河北邢台·期中）已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为 ． 【例33】（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）扇形的半径为，，点在弧上运动，若，求的取值范围为 ． 【例34】（2024·全国·模拟预测）已知向量是单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例35】（2025·河北廊坊·模拟预测）设点为圆上一点，则的最小值为（    ） A．6 B．4 C． D． 【例36】（2024·上海宝山·一模）已知平面向量满足：，，且对任意的单位向量满足，则的最大值为 .（用含的式子表示） 题型06：参数的最值与范围 【例37】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，I是的平分线上一点，且，若内（不包含边界）的一点D满足，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例38】已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，，，其中．则的最小值为 ． 【例39】（2024·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，点在圆上运动，定点、满足且，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【例40】（2023•徐汇区校级三模）已知平面向量，，，满足，，且λ+2μ＝1，若对每一个确定的向量，记的最小值为m，则当变化时，实数m的最大值为 　　． 【例41】（2021•宝山区二模）如图，若同一平面上的四边形满足：，则当的面积是的面积的倍时，的最大值为 　　． 【例42】（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量夹角为，且平面向量满足记为（）的最小值，则的最大值是__________． 【例43】（23-24高二上·上海黄浦·期中）在中，，，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论： ①的最小值为；    ②的最小值为； ③的最大值为；    ④的最大值为10. 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型07：集合与平面向量综合 【例44】（2024·上海奉贤·一模）已知集合是由函数的图象上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为 ． 【例46】（2024·上海杨浦·二模）平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论： ①对任意，存在该平面的向量，满足 ②对任意，存在该平面向量，满足 则下面判断正确的为（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 【例47】（2020•上海）已知A1、A2、A3、A4、A5五个点，满足＝0（n＝1，2，3），||•||＝n+1（n＝1，2，3），则||的最小值为　　． 【例48】（2023•浦东新区校级模拟）已知，对任意1≤i＜j≤5都有，则实数M的最小值为 　　． 【例49】（2024·上海徐汇·二模）如图所示，已知满足，为所在平面内一点.定义点集.若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $