精品解析：湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期假期作业检测数学试题

湖南师大附中2025—2026学年度高一第一学期假期作业检测 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合是要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知，，若集合，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 4. 已知不等式的解集为，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 某社区随机调查了200户家庭的生活水平，其中有小车的家庭共164户，有地暖的家庭共156户，两样都有的家庭共142户，则小车和地暖都没有的家庭共有（ ） A. 5户 B. 22户 C. 36户 D. 58户 6. 已知：，，：，，若和均为假命题，则实数的取范围为（ ） A. B. C. D. 或 7. “不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 与集合相等的集合是（ ） A. B. C. D. 10. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 当时，， B. “非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数” C. 不等式的解集是 D. 命题“，，”的否定是假命题 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若一个直角三角形的周长为，则此直角三角形面积的最大值是______． 13. 已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是______． 14. 若关于的不等式的解集中恰好含有2025个整数，则实数的取值集合是______ 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，，． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知二次函数的图象与轴有两个不同的交点，． （1）求证：； （2）求，两点之间的距离不超过的充要条件． 17. 已知正数，满足． （1）求的最小值； （2）求的最小值． 18. 现体重为的小王准备做五分钟的跑步训练，其分为两个阶段，第一阶段为前一分钟的稳定阶段，第二阶段为后四分钟的疲劳阶段．假设小王稳定阶段做速度为的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），疲劳阶段变为的减速运动（表示该阶段所用时间），由于速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力．假定小王可用于跑步消耗的初始体力为，不考虑其他因素，所用时间为（单位：），请回答下列问题： （1）用含时间的式子表示小王剩余体力； （2）小王在五分钟内何时体力达到最低，最低值是多少？ （3）小王在三分整时，恰好跑完，若此时他调整训练准备进入匀速冲刺阶段，此阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），问在保证体力未消耗完的前提下，小王能否在4分20秒前跑完？ 19. 对任意，，记，称为集合，的对称差． （1）若为2的倍数，为3的倍数，求； （2）若，，，求，； （3）证明：对任意，，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南师大附中2025—2026学年度高一第一学期假期作业检测 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合是要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求集合B，再结合集合的交集、补集运算求解. 【详解】因为集合，则， 可得，所以. 故选：D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合作差法比较大小，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：若，满足，但，故A错误； 选项B：若，且，则，故B正确； 选项C：若，满足，但，故C错误； 选项D：，因为，当时，即，故D错误. 故选：B 3. 已知，，若集合，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合相等列式计算求出参数，最后代入求解即可. 【详解】因为集合，则，而，所以， 所以集合，结合集合元素的互异性，所以且，所以， 则. 故选：C. 4. 已知不等式的解集为，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，求得a，c值，代入所求，即可求得答案. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，解得， 则所求的解为. 故选：A 5. 某社区随机调查了200户家庭的生活水平，其中有小车的家庭共164户，有地暖的家庭共156户，两样都有的家庭共142户，则小车和地暖都没有的家庭共有（ ） A. 5户 B. 22户 C. 36户 D. 58户 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知集合间关系计算求解. 【详解】某社区随机调查了200户家庭的生活水平，其中有小车的家庭共164户，有地暖的家庭共156户，两样都有的家庭共142户， 则小车和地暖都没有的家庭共有户. 故选：B. 6. 已知：，，：，，若和均为假命题，则实数的取范围为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出命题为假命题时的范围，再求它们的交集可得． 【详解】命题为假命题，则，解得或， 命题为假命题，则恒成立，则有， 所以命题均为假命题，则. 故选：A 7. “不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数图像解出参数的取值范围，然后由充分必要条件的定义逐个判断各个选项即可. 【详解】当时，不等式为，不满足在上恒成立，舍去； 当时，由二次函数图像可知不等式不满足在上恒成立，舍去； 当时，由二次函数图像可知，即或， ∴， ∵，， ∴是的必要不充分条件，A选项正确； ∵是的充要条件，B选项错误； ∵，， 是的充分不必要条件，C选项错误； ∵，， 是的既不充分也不必要条件，D选项错误； 故选：A. 8. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可. 【详解】因为，，且， 则 ， 当且仅当，即，时取等号， 可得， 因为恒成立，即恒成立， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 与集合相等的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】分析集合中的关系式得到题目中集合对应的区间，然后逐个分析各个选项，集合对应区间相同即可. 【详解】∵，∴， A选项中，∴，A选项错误； B选项为函数函数图像上所有的点的集合，B选项错误； C选项∵，∴，C选项正确； D选项∵，∴，D选项正确. 故选：CD. 10. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，由不等式性质判断；对于B，代特殊值判断；对于C，作差法判断；对于D，由不等式性质可得，化简即可判断. 【详解】对于A，因为，， 所以，，故，故A错误； 对于B，若， 则，，此时，故B错误； 对于C，， 因为，所以， 因为，所以， 所以，即，故C正确； 对于D，因为，所以， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以，即，故D正确. 故选：CD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 当时，， B. “非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数” C. 不等式的解集是 D. 命题“，，”的否定是假命题 【答案】AC 【解析】 【分析】选项 A，利用二次方程根的判别式判断方程是否有实数根；选项 B，根据全称命题的否定规则，将全称命题改为特称命题；选项 C，先对分式不等式的分母进行因式分解，再通过变形转化为可穿根求解的不等式，利用穿根法得出解集；选项 D，通过完全平方公式对不等式变形，分析特殊值下不等式是否成立，进而判断原命题及其否定的真假’ . 【详解】选项A，由，则，此时方程有两个不同的实数根，所以A正确； 选项B，“非负数的平方是正数”的否定是“存在非负数的平方不是正数”，所以B错误； 选项C，不等式，解得或，所以C正确； 选项D，由，原命题等价为“，，”， 但当时，，则原命题是假命题，其否定是真命题，所以D错误. 故选：AC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若一个直角三角形的周长为，则此直角三角形面积的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】设直角三角形两直角边，由题意建立方程并化简，然后借助基本不等式得到关系两直角边乘积的不等式，解不等式即可求得面积最大值. 【详解】设直角三角形两直角边为， 则，即， ∴, ∴，又∵， ∴， 即，解得或， 又∵，∴，即， 三角形面积， 当且仅当时取等号. 故答案为： 13. 已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件化简得出，对于恒成立，再构造函数应用单调性得出最大值即可求出参数范围. 【详解】函数，对任意，有恒成立， 即对任意，，则，对于恒成立， 令，在上单调递减， 所以，则实数的取值范围是. 故答案为： 14. 若关于的不等式的解集中恰好含有2025个整数，则实数的取值集合是______ 【答案】或 【解析】 【分析】分别讨论、和三种情况，求得不同条件下不等式的解集，根据题意，分析计算，即可得答案. 【详解】当，即时，，解集为，有无数个解，不符合题意； 当，即时，， 当时，，则不等式的解集为， 包含无数个解，不符合题意； 当时，，则不等式解集为， 包含无数个解，不符合题意； 当时，解得或， 当时，，不等式解集为， 因为，所以， 因为解集中恰好含有2025个整数， 所以，解得； 当时，，不等式解集为， 因为，所以， 因为解集中恰好含有2025个整数， 所以，解得， 综上，实数的取值集合或. 故答案为：或 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，，． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）由求出集合A，根据补集的定义求出集合B的补集，然后根据并集及交集的定义即可求解； （2）对集合A分和两种情况讨论，结合数轴列出不等式组即可求解. 【小问1详解】 当时，集合， 或， ； 或， 【小问2详解】 ①当时，即时，即时，满足； ②当，即时，即时 因为，所以或， 解得或， 综上，实数的取值范围为或. 16. 已知二次函数的图象与轴有两个不同的交点，． （1）求证：； （2）求，两点之间的距离不超过的充要条件． 【答案】（1）证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意得的两个根分别为和，根据韦达定理，可得的表达式，又，代入所证，化简整理，即可得证； （2）先求得，两点之间的距离的表达式，根据题意，可得m的范围，根据判别式，可再得m的范围，分析即可得答案. 【小问1详解】 证明：由题意得的两个根分别为和， 所以， ， 又因为， 所以， 则 ， 所以成立. 【小问2详解】 ，两点之间的距离， 由（1）得， 所以， 因为，两点之间的距离不超过， 所以，则， 解得 由，解得或， 所以，两点之间的距离不超过的充要条件为或 17. 已知正数，满足． （1）求的最小值； （2）求的最小值． 【答案】（1）9； （2）. 【解析】 【分析】（1）整理可得，利用乘“1”法和基本不等式即可求出最小值； （2）将已知式分解因式为，利用常数分离法将所求式化成，再运用基本不等式即可求得最小值. 【小问1详解】 因为，，且，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为9． 【小问2详解】 因为，，且，则， 因为，则，可得，即， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为． 18. 现体重为的小王准备做五分钟的跑步训练，其分为两个阶段，第一阶段为前一分钟的稳定阶段，第二阶段为后四分钟的疲劳阶段．假设小王稳定阶段做速度为的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），疲劳阶段变为的减速运动（表示该阶段所用时间），由于速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力．假定小王可用于跑步消耗的初始体力为，不考虑其他因素，所用时间为（单位：），请回答下列问题： （1）用含时间的式子表示小王剩余体力； （2）小王在五分钟内何时体力达到最低，最低值是多少？ （3）小王在三分整时，恰好跑完，若此时他调整训练准备进入匀速冲刺阶段，此阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），问在保证体力未消耗完的前提下，小王能否在4分20秒前跑完？ 【答案】（1） （2） （3） 当时，此时. 冲刺时，体力消耗量为 ， 要使在四分二十秒前到达，需要，， 所以小王不能在4分20秒前跑完1200米. 【解析】 【分析】（1）分类讨论当时，当时，得到解析式； （2）当时，为一次函数且单调递减，当时，结合基本不等式求解； （3）当时，此时要使在三分四十前到达，需要，求解即可. 【小问1详解】 当时，. 当时，. 综上. 【小问2详解】 当时，为一次函数且单调递减， 此过程， 当时，， 当且仅当，即时取等号. 由于，第秒时，体力最小值为kJ； 【小问3详解】 略 19. 对任意，，记，称为集合，的对称差． （1）若为2的倍数，为3的倍数，求； （2）若，，，求，； （3）证明：对任意，，，． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据新定义及集合的运算求解； （2）根据新定义，分类讨论即可得解； （3）根据集合的新定义结合交集及并集计算证明. 【小问1详解】 因为；，则,， 则； 【小问2详解】 因为，，， 则，又因为， 若，则时，，，不合题意，舍去； 所以，则，可得，， 则，所以； 【小问3详解】 设， ； 设， ； 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $