精品解析：重庆实验外国语学校2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试题

重庆实验外国语学校2025-2026学年度上期第一次定时作业 初三数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试卷的答案写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 3．考试结束，由监考人将试题卷及答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 三星堆遗址的发现让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，将一个图形绕着某个点旋转180度后与原图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是中心对称图形； B、它不是中心对称图形； C、它是中心对称图形； D、它不是中心对称图形． 故选：C． 3. 下列调查适合全面调查的是（ ） A. 了解重庆市民消费水平 B. 了解某品牌保温杯的保温情况 C. 调查神舟十九号载人飞船的零部件是否符合标准 D. 了解重庆市九龙坡区2025年10月份的空气质量 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全面调查“为了一定目的而对调查对象进行的全面调查，称为全面调查”、抽样调查“抽样调查是指从总体中抽取样本进行调查，根据样本来估计总体的一种调查”，选择全面调查还是抽样调查要根据所要调查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查．根据全面调查与抽样调查的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、了解重庆市民消费水平，重庆市民数量庞大，全面调查成本过高，适合采用抽样调查，则此项不符合题意； B、了解某品牌保温杯的保温情况，保温测试可能破坏产品，适合采用抽样调查，则此项不符合题意； C、调查神舟十九号载人飞船的零部件是否符合标准，每个零部件的安全性至关重要，必须逐一检查，确保绝对合格，适合全面调查，则此项符合题意； D、了解重庆市九龙坡区2025年10月份的空气质量，空气质量需长期多点多时段监测，适合采用抽样调查，则此项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，、、是上的三个点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，可得：． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 5. 用同样大小的黑色和白色棋子按如图所示的规律摆放，则第10个图案中白色棋子的个数是（ ） A. 28 B. 31 C. 34 D. 37 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先分别求出第个图案中白色棋子的个数，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：由图可知，第1个图案中白色棋子的个数是（个）， 第2个图案中白色棋子的个数是（个）， 第3个图案中白色棋子的个数是（个）， 归纳类推得：第个图案中白色棋子的个数是个，其中为正整数， 则第10个图案中白色棋子的个数是（个）， 故选：B． 6. 抛物线的图象与轴的交点的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握抛物线与x轴交点个数与之间的关系．对于抛物线，若，则抛物线与x轴有两个交点，若，则抛物线与x轴有一个交点，若，则抛物线与x轴没有交点，根据原理进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线与x轴有2个交点． 故选：C． 7. 下列四个数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据10的指数可知：展开后是8位数，展开后是8位数，展开后是9位数，展开后是9位数，8位数一定比9位数小，所以最大的数一定在和中，又因为，所以最大的数是． 【详解】解：展开后是8位数，展开后是8位数，展开后是9位数，展开后是9位数， 和比较大， 又， 最大． 故选：D． 8. 某市政府为了解决群众看病贵的问题，决定降低药价．某种药品经过连续两次降价后，由每盒100元下降至64元，则这种药品平均每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设这种药品平均每次降价的百分率为，根据由每盒100元下降至64元，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这种药品平均每次降价的百分率为， 由题意，得：， 解得或（舍去）； 故选：C． 9. 如图，正方形的边长为4，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，连接，则的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据正方形的性质和翻折的性质证明，设，利用勾股定理列出方程求解，然后利用底边的比求三角形的面积即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， 由翻折的性质得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用底边的比求三角形的面积等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． 10. 已知整式，其中，为正整数，，，，为自然数，且．下列说法中： ①在所有满足条件的整式中，单项式共有5个； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有6个； ③满足条件的所有二次多项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有3个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的相关概念及分类讨论思想，熟练掌握根据条件对取值分类讨论并计算满足条件的整式个数是解题的关键．根据已知条件（为自然数，为正整数 ），对的可能取值进行分类讨论，分别计算不同值下满足条件的整式的个数，再据此判断三个说法的正误． 【详解】解：当时， ，为正整数，，即（，为自然数 ）． 时，，整式为； 时，，整式为； 时，，整式为； 时，，整式为；共个整式． 当时， ，为正整数，，即（，为自然数 ）． 时，： ，，整式为； ，，整式为； ，，整式为； 时，： ，，整式为； ，，整式为； 时，，，整式为； 共个整式． 当时： ，为正整数，，即（，为自然数 ）． 时，： ，，，整式为； ，，，整式为； ，，，整式为； 时，，，，整式为； 共个整式． 当时： ，为正整数，，即（，为自然数 ）． 则，，整式为，共个整式． 对于说法①，满足条件的单项式有时的（个 ）、时的（个 ）、时的（个 ）、时的（个 ），共个单项式，说法①错误． 对于说法②，当时，满足条件的整式有个，所以“不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有个”说法②错误． 对于说法③，满足条件的整式有，，，，，，其中，，，，即当取任意实数时，其值一定为非负数的二次多项式共有4个，说法③错误， 故选：A． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行乘法运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 如图，是小张在操作剪刀时的平面示意图，剪刀所在直线经过点，是经过剪刀手柄的直线．若，，则的度数是_____． 【答案】##124度 【解析】 【分析】本题考查了邻补角、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 先根据邻补角可得，再根据两直线平行，同位角相等即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 假期前，小明家设计了三种度假方案：参观动植物园、看电影、近郊露营．妈妈将三种方案分别写在三张相同的卡片上，小明随机抽取1张后，放回并混在一起，姐姐再随机抽取1张，则小明和姐姐抽取的度假方案相同的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，小明和姐姐抽取的度假方案相同的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把三种度假方案：参观动植物园、看电影、近郊露营分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，小明和姐姐抽取的度假方案相同的结果有3种， ∴小明和姐姐抽取的度假方案相同的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 14. 若实数，同时满足，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的定义、分类讨论的思想，当时，可得：，可以解出、，从而可得：；当时，可得：，等式不成立． 【详解】解：，， 当时，， 则有， 整理得：， 解得：， ， ； 当时，， 则有， ， 整理得：(不成立)； 综上所述，的值为． 故答案为：． 15. 如图，过外一点引圆的两条切线，切点分别为、，连接、，延长、交于点，过点作，交的延长线于点．若，，则的半径为_____；连接，则的长为_____． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，①连接，由题意得：且，求出，；设，则；根据即可求解；②作，可推出；根据，，求出，得；进而得，；求出，；即可求解； 【详解】解：连接，如图所示： 由题意得：且， ∵，， ∴， ∴； 设，则； ∵， ∴，解得：； 作，如图所示： 由题意得：， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴，， ∵，， ∴，； ∴， ∴； 故答案为：①；②． 16. 一个三位自然数的各个数位上的数字互不相同且均不为零，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字的2倍，则称为“双节数”．例如：354满足，所以354是“双节数”，显然534也是“双节数”．最大的“双节数”与最小的“双节数”之差为_____．已知：是一个“双节数”，分别在的百位、十位、个位的左边添加（，且为整数）得到三个四位数、、，这三个数的和记为．若能被7整除，则的最大值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，要使“双节数”最大，则百位数字要为9，此时“双节数”的十位数字要最大，根据题意可得“双节数”的百位数字与十位数字的和一定为偶数，则“双节数”的十位数字一定为奇数，即此时“双节数”的十位数字的最大值为7，据此求出个位数字即可得到最大的“双节数”；类似的方法求出最小的“双节数”即可得到第一空的答案；可求出，则，根据能被7整除，得到能被7整除，据此讨论b、c的值，求出对应的a的值，可得P的值；可证明当的值固定，且时，的值最大，分别计算出P取对应值时，的最大值，比较即可得到第二空答案． 【详解】解：∵要使“双节数”最大， ∴“双节数”的百位数字要最大， 当“双节数”的百位数字为9时，要使“双节数”最大， ∴此时“双节数”的十位数字要最大， ∵“双节数”的百位数字与十位数字的和为个位数字的2倍， ∴“双节数”的百位数字与十位数字的和一定为偶数， ∴“双节数”的十位数字一定为奇数， ∴此时“双节数”的十位数字的最大值为7， ∴此时“双节数”的个位数字为， ∵7，8，9互不相同， ∴最大的“双节数”为978； ∵要使“双节数”最小， ∴“双节数”的百位数字要最小， 当“双节数”的百位数字为1时，要使“双节数”最小， ∴此时“双节数”的十位数字要最小， ∵“双节数”的百位数字与十位数字的和为个位数字的2倍， ∴“双节数”的百位数字与十位数字的和一定为偶数， ∴“双节数”的十位数字一定为奇数， ∴此时“双节数”的十位数字的最小值为3， ∴此时“双节数”的个位数字为， ∵1，2，3互不相同， ∴最小的“双节数”为132， ∴最大的“双节数”与最小的“双节数”之差为； 由题意得， ， ∴ ， ∵能被7整除， ∴能被7整除， 当，时，此时不能满足，不符合题意； 当时，，此时满足题意，； 当时，，不符合题意； 当时，，此时满足题意，； 当时，，此时满足题意，； 当时，，不符合题意； 当时，，此时满足题意，； 当时，，此时满足题意，； 当时，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； ∴满足题意的P的值为153或312或465或624或936； ∵当的值固定时，的值也固定， ∴此时的值随着的增大而减小， ∴当的值固定，且时，的值最大， 当时，，此时的最大值为； 当时，，此时的最大值为； 当时，，此时的最大值为； 当时，，此时的最大值为； 当时，，此时的最大值为； ∵， ∴的最大值为． 故答案为：；． 三、解答题：（本大题共8个小题，第17题8分，第18题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上． 17. 求不等式组：的整数解． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后写出不等式组的整数解即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为， 所以不等式组的整数解为． 18. 小外同学在学习了菱形的知识后，思考：如何在平行线间作出一个菱形？他发现：通过角平分线，垂线，再利用全等三角形等知识可得到菱形．请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，已知，射线平分，用尺规完成以下基本作图：过点作交于点，交于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中所作的图形中，求证：四边形是菱形． 证明：平分 ① 又 ② ∵ ③ ④ 又∵ 四边形是平行四边形 又 四边形是菱形 【答案】（1） 作图如下： ． （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、菱形的判定、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握尺规作图和菱形的判定是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图，过点作，交于点，交于点，再连接，由此即可得； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，则可得，然后根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可得证． 【小问1详解】 解：过点作交于点，交于点，连接， 【小问2详解】 略 19. 年全国食品安全宣传周于9月日启动，本次活动的主题是“尚德守法，共享食安”．某校七、八年级同学在本次活动中组织了该活动主题相关的食品安全知识竞赛，某班数学小组同学随机调查了七、八年级各名学生的竞赛成绩（单位：分）进行整理、分析，过程如下： 收集数据 七年级：，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，； 整理数据 七年级学生食品安全知识竞赛成绩频数分布表 八年级学生食品安全知识竞赛成绩频数分布直方图 分段 频数 频率 3 5 5 分析数据 统计量 年级 平均数 众数 中位数 七年级 八年级 请你根据以上图表中的信息完成下列问题： （1）填空：_____，_____，_____，并补全频数分布直方图； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有名学生、八年级有名，请估计该校七、八年级学生食品安全知识竞赛成绩大于分的学生人数的总和． 【答案】（1） 7；；；补全频数分布直方图： （2）解：八年级的成绩更好些，理由：八年级的成绩的平均数、中位数和众数均高于七年级； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查统计知识的应用，包括频数分布表、众数、平均数、中位数的计算，以及用样本估计总体．解题步骤分为：先根据频数分布表求未知频数，再计算众数和平均数，接着根据中位数判断学生成绩排名，最后用样本比例估计总体中成绩大于90分的人数． （1）按照频数，众数和中位数方法求出未知数，补全频数分布直方图； （2）根据平均数，中位数以及众数的定义解答即可； （3）用该校七、八年级学生总人数乘抽取的20名学生的成绩大于分所占比例即可． 【小问1详解】 解：依题意得：； 七年级名学生的成绩分出现5次，是出现次数最多的， ； 八年级学生的成绩从小到大排列后第10、第11位分别是分，分， ． 八年级学生食品安全知识竞赛成绩人数有：（人）， 故答案为∶7；；． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： (人)， 答∶ 估计该校七、八年级学生食品安全知识竞赛成绩大于分的学生人数的总和是人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，零指数幂、负整数指数幂等知识点，先根据分式的运算法则化简，得到化简结果，再根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则求出x的值，代入化简后的式子计算即可获得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 21. 列方程解答问题： 2025年9月第二十三届中国摩博会在重庆举行，本届摩博会参展企业数量创下历史新高，超过3000款摩托车型集中亮相．8月某摩托车专卖店售出、两款摩托车共120辆，其中款的销售额是20万元，款的销售额是80万元．已知每辆款摩托车售价是每辆款摩托车售价的2倍． （1）求款摩托车与款摩托车的售价分别为每辆多少万元； （2）该摩托车专卖店想在9月摩博会期间提高销量，决定对（1）中两款车进行降价促销，款每辆售价在8月的基础上降低了万元，销量增加了40辆；款每辆售价在8月的基础上降低了万元，销量增加了20辆；若两款摩托车的总销售额是8月的1.5倍还少万元，求的值． 【答案】（1）款摩托车的售价为每辆万元，款摩托车的售价为每辆1万元 （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用等知识，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设款摩托车的售价为每辆万元，则款摩托车的售价为每辆万元，根据两款摩托车共120辆建立方程，解方程即可得； （2）先求出9月份，款摩托车的售价和销量，再根据两款摩托车的总销售额是8月的倍还少万元建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：设款摩托车的售价为每辆万元，则款摩托车的售价为每辆万元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以， 答：款摩托车的售价为每辆万元，款摩托车的售价为每辆1万元． 【小问2详解】 解：由（1）可知，在8月份，款摩托车的销量为辆，款摩托车的销量为辆， 则在9月份，款每辆售价为万元，销量为辆；款每辆售价为万元，销量为辆， 由题意得：， 解得， 答：的值为20． 22. 如图1，在平行四边形中，，，．动点以每秒1个单位长度沿着运动，当点运动到点时停止运动，设运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系（图2）中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）若直线与的图象有且只有2个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 在给定的平面直角坐标系中，画出的图象如下： 性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）过点作于点，先利用勾股定理可得，利用三角形的面积公式可得，再分两种情况：①当点在上，即时，②当点在上，即时，利用三角形的面积公式求解即可得； （2）根据一次函数图象的画法即可得函数的图象，再写出函数的增减性即可得其一条性质； （3）先求出直线经过定点，再分别将和代入直线求出的值，结合函数图象求解即可得． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由题意得：动点从点运动到点所需时间为秒，动点从点运动到点所需时间为秒， ①当点在上，即时，则， ∴， ∴的面积为； ②当点在上，即时，则， ∴， ∴的面积为； 综上，． 【小问2详解】 解：写出函数的一条性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 【小问3详解】 解：将代入一次函数得：， 即直线经过点， 当时，， 所以直线经过定点， 将点代入直线得：，解得， 将点代入直线得：，解得， 如图，当时，要使直线与的图象有且只有2个交点，则， 当时，要使直线与的图象有且只有2个交点，则， 综上，的取值范围为． 23. 湿地是重要的自然生态系统，被誉为“地球之肾”．如图是某地两块湿地，正方形的平面示意图（是水平线段），点在上，点在上．为了积极保护湿地，当地政府决定对湿地围上护栏． 已知：点在点西北方向上，点在点北偏东方向上，且千米． （1）请计算湿地所需的护栏长度（即的周长，结果保留根号） （2）根据实际需要，在湿地正方形中建立动物栖息地，建造价格为20万元/平方千米；于点且，．请通过计算求出建造费用为多少万元？ 【答案】（1）千米 （2）1200万元 【解析】 【分析】（1）过点作于点，先求出，，则可得，，再根据等腰三角形的判定和勾股定理可得千米，千米，千米，求出的周长，由此即可得； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，同理可得，再设千米，则千米，在中，利用勾股定理可得的值，则可得的长，然后求出的面积，由此即可得． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∵点在点西北方向上，点在点北偏东方向上， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∵千米， ∴千米， ∴， 解得（千米）， ∴千米，千米， ∴的周长为（千米）， 答：湿地所需的护栏长度为千米． 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形，千米， ∴千米，， ∵， ∴千米， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴设千米，则千米， ∴千米，千米，千米， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴（千米）， ∴的面积为平方千米， ∵在湿地正方形中建立动物栖息地，建造价格为20万元/平方千米， ∴建造费用为（万元）， 答：建造费用为1200万元． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴，轴分别交，，三点．其中，，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，连接，在线段上取点、，且的横坐标比的横坐标小1；过点、分别作轴的平行线，交抛物线于、两点．求的最大值及此时点的坐标； （3）连接，若是抛物线上一点，且，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设出的坐标，将转化为二次函数求最值即可； （3）分点在的上方或下方，两种情况进行讨论求解，作点关于轴的对称点，连接，易得，进而得到，推出，进而得到当点在射线上时，满足题意，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出一个点的坐标，作轴于点，且（E在点上方），连接，得到当点在射线上时，也满足题意，同法求出另一个点的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，，， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∵过点、分别作轴的平行线，交抛物线于、两点， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴当时，的值最大为，此时，即； 【小问3详解】 作点关于轴的对称点，连接，则：， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当点在射线上时，满足题意， 同（2）法可得直线的解析式为， 联立，解得：或， ∴； 作轴于点，且（E在点上方），连接，则，， ∵， ∴， ∴， ∴当点在射线上时，也满足题意； 同法可得：直线的解析式为， 联立，解得：或， ∴； 综上：或． 25. 如图，为等腰三角形，，，点为边的中点．过点作，连接交边于点，且．将绕着点顺时针旋转，使得点与延长线上的点重合，交边于点． （1）如图1，求的度数； （2）如图1，求证：； （3）如图2，平分交延长线于点，连接，当时，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1） （2） 证明：延长至点G，使得，则，连接， ∵，即， ∴， ∴， ∵，点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∵， ， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由得到，由得到，，根据旋转得到，因此，从而根据三角形的内角和定理可求解． （2）延长至点G，使得，则，由垂直平分线的性质得到 ，因此，根据等腰三角形的性质得到，进而得到，从而有，证明得到，即可得证． （3）连接，由等腰三角形的“三线合一”与角平分线的定义得到，得出是等腰直角三角形，，即可证明，得到，从而，则是等腰直角三角形，．设，则，在中，根据勾股定理构造方程，求解得到，，证明，则在中，．由（2）得到，则，由是等腰直角三角形，得到，因此在中，求得，证明，得到，即可求得．过点Q作，交的延长线于点H，根据角平分线的性质得到，即可求得，再根据即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ， 由旋转得， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵，点D是的中点， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（2）可知， ∴设，则， ∵在中，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）有， ∴， ∴， 由（1）有，又， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 过点Q作，交的延长线于点H， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，旋转的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，角平分线的性质，勾股定理等，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆实验外国语学校2025-2026学年度上期第一次定时作业 初三数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试卷的答案写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 3．考试结束，由监考人将试题卷及答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 三星堆遗址的发现让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查适合全面调查的是（ ） A. 了解重庆市民消费水平 B. 了解某品牌保温杯的保温情况 C. 调查神舟十九号载人飞船的零部件是否符合标准 D. 了解重庆市九龙坡区2025年10月份的空气质量 4. 如图，、、是上的三个点，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 用同样大小的黑色和白色棋子按如图所示的规律摆放，则第10个图案中白色棋子的个数是（ ） A. 28 B. 31 C. 34 D. 37 6. 抛物线的图象与轴的交点的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 下列四个数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 8. 某市政府为了解决群众看病贵的问题，决定降低药价．某种药品经过连续两次降价后，由每盒100元下降至64元，则这种药品平均每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为4，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，连接，则的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 已知整式，其中，为正整数，，，，为自然数，且．下列说法中： ①在所有满足条件的整式中，单项式共有5个； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有6个； ③满足条件的所有二次多项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有3个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：_____． 12. 如图，是小张在操作剪刀时的平面示意图，剪刀所在直线经过点，是经过剪刀手柄的直线．若，，则的度数是_____． 13. 假期前，小明家设计了三种度假方案：参观动植物园、看电影、近郊露营．妈妈将三种方案分别写在三张相同的卡片上，小明随机抽取1张后，放回并混在一起，姐姐再随机抽取1张，则小明和姐姐抽取的度假方案相同的概率是______． 14. 若实数，同时满足，，则的值为_____． 15. 如图，过外一点引圆的两条切线，切点分别为、，连接、，延长、交于点，过点作，交的延长线于点．若，，则的半径为_____；连接，则的长为_____． 16. 一个三位自然数的各个数位上的数字互不相同且均不为零，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字的2倍，则称为“双节数”．例如：354满足，所以354是“双节数”，显然534也是“双节数”．最大的“双节数”与最小的“双节数”之差为_____．已知：是一个“双节数”，分别在的百位、十位、个位的左边添加（，且为整数）得到三个四位数、、，这三个数的和记为．若能被7整除，则的最大值为_____． 三、解答题：（本大题共8个小题，第17题8分，第18题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上． 17. 求不等式组：的整数解． 18. 小外同学在学习了菱形的知识后，思考：如何在平行线间作出一个菱形？他发现：通过角平分线，垂线，再利用全等三角形等知识可得到菱形．请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，已知，射线平分，用尺规完成以下基本作图：过点作交于点，交于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中所作的图形中，求证：四边形是菱形． 证明：平分 ① 又 ② ∵ ③ ④ 又∵ 四边形是平行四边形 又 四边形是菱形 19. 年全国食品安全宣传周于9月日启动，本次活动的主题是“尚德守法，共享食安”．某校七、八年级同学在本次活动中组织了该活动主题相关的食品安全知识竞赛，某班数学小组同学随机调查了七、八年级各名学生的竞赛成绩（单位：分）进行整理、分析，过程如下： 收集数据 七年级：，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，； 整理数据 七年级学生食品安全知识竞赛成绩频数分布表 八年级学生食品安全知识竞赛成绩频数分布直方图 分段 频数 频率 3 5 5 分析数据 统计量 年级 平均数 众数 中位数 七年级 八年级 请你根据以上图表中的信息完成下列问题： （1）填空：_____，_____，_____，并补全频数分布直方图； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有名学生、八年级有名，请估计该校七、八年级学生食品安全知识竞赛成绩大于分的学生人数的总和． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解答问题： 2025年9月第二十三届中国摩博会在重庆举行，本届摩博会参展企业数量创下历史新高，超过3000款摩托车型集中亮相．8月某摩托车专卖店售出、两款摩托车共120辆，其中款的销售额是20万元，款的销售额是80万元．已知每辆款摩托车售价是每辆款摩托车售价的2倍． （1）求款摩托车与款摩托车的售价分别为每辆多少万元； （2）该摩托车专卖店想在9月摩博会期间提高销量，决定对（1）中两款车进行降价促销，款每辆售价在8月的基础上降低了万元，销量增加了40辆；款每辆售价在8月的基础上降低了万元，销量增加了20辆；若两款摩托车的总销售额是8月的1.5倍还少万元，求的值． 22. 如图1，在平行四边形中，，，．动点以每秒1个单位长度沿着运动，当点运动到点时停止运动，设运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系（图2）中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）若直线与的图象有且只有2个交点，请直接写出的取值范围． 23. 湿地是重要的自然生态系统，被誉为“地球之肾”．如图是某地两块湿地，正方形的平面示意图（是水平线段），点在上，点在上．为了积极保护湿地，当地政府决定对湿地围上护栏． 已知：点在点西北方向上，点在点北偏东方向上，且千米． （1）请计算湿地所需的护栏长度（即的周长，结果保留根号） （2）根据实际需要，在湿地正方形中建立动物栖息地，建造价格为20万元/平方千米；于点且，．请通过计算求出建造费用为多少万元？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴，轴分别交，，三点．其中，，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，连接，在线段上取点、，且的横坐标比的横坐标小1；过点、分别作轴的平行线，交抛物线于、两点．求的最大值及此时点的坐标； （3）连接，若是抛物线上一点，且，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，为等腰三角形，，，点为边的中点．过点作，连接交边于点，且．将绕着点顺时针旋转，使得点与延长线上的点重合，交边于点． （1）如图1，求的度数； （2）如图1，求证：； （3）如图2，平分交延长线于点，连接，当时，请直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $