第1章三角形知识归纳与题型突破2025-2026学年苏科版八年级上册

三角形知识归纳与题型突破2025-2026学年 苏科版八年级上册 知识归纳： 知识点一：三角形的边与角的关系 1.三角形三边关系 （1）定义：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 （2）符号表达：在△ABC中，AB + AC > BC，AB - AC < BC。 （3）应用场景：判断三条线段能否构成三角形，已知两边长度求第三边取值范围。 2.三角形边角关系 （1）定理：在同一个三角形中，较大的边所对的角较大，较大的角所对的边较大。 （2）证明方法：通过折纸实验或不等式性质证明。 （3）应用场景：比较三角形内角或边的大小关系。 知识点二：全等三角形 1.全等三角形定义 （1）定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。 （2）性质：对应边相等，对应角相等，周长和面积相等。 （3）特殊性质：全等三角形的对应中线、角平分线、高线分别相等。 2.全等三角形判定方法 （1）SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。 （2）SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 （3）ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 （4）AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （5）HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 3.全等三角形证明思路 （1）已知两边：找第三边（SSS），找夹角（SAS），判断是否为直角三角形（HL）。 （2）已知一边一角：找另一角（AAS或ASA），找夹边（SAS）。 （3）已知两角：找夹边（ASA），找其他边（AAS）。 知识点三：线段垂直平分线与角平分线 1.线段垂直平分线 （1）性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。 （2）判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （3）拓展应用：三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等。 2.角平分线 （1）性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 （2）判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 （3）拓展应用：三角形三个角的角平分线的交点到三条边的距离相等。 知识点四：等腰三角形与等边三角形 1.等腰三角形 （1）定义：有两条边相等的三角形称为等腰三角形。 （2）性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。 （3）三线合一：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。 （4）判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 2.等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形称为等边三角形。 （2）性质：三个内角都相等，都等于60°；每条边都能运用三线合一性质。 （3）判定定理：三条边都相等；三个角都相等；有两个角是60°；有一个角是60°的等腰三角形。 题型突破： 题型1 组成三角形的条件 1.下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．6，8，10 C．4，5，9 D．5，15，8 2.下列长度的三条线段，首尾相接能构成三角形的是（    ） A． B． C． D． 3.以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4.以下列线段a，b，c为边，能构成三角形的是（    ） A． B． C． D． 5．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（　　） A．2，6，3 B．3，8，6 C．10，16，8 D．9，15，12 题型2 全等三角形的性质 1.如图，△ABC≌△ADE，∠D＝25°，∠C＝105°，∠CAE＝70°，则∠BAE的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 2.如图，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC＝7，DE＝3，则CE等于（　　） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 3.如图，△ABC≌△DEF，B，E，C，F四个点在同一直线上，若EF＝7，EC＝4，则BE的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4.如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝70°，∠C＝30°，∠DAC＝25°，则∠EAC的度数为 　 　． 5.如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2． （1）求∠F的度数及DH的长； （2）AB与DE平行吗？说明理由． 题型3 添加条件证全等 1．如图，已知，，下列添加的条件中，下列哪一个选项不能用于判定的选项是（   ）    A． B． C． D． 2.如图，在 和 中，点共线，已知，添加下列条件不能使得的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3.如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（　　） A．∠ABC＝∠ABD B．∠BAC＝∠BAD C．AC＝AD D．AC＝BC 4．如图，已知∠ABD＝∠BAC，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的依据是（　　） A．AC＝BD B．∠DAB＝∠CBA C．∠C＝∠D D．BC＝AD 5．如图，AB＝AD，∠1＝∠2，请问添加下列哪个条件不能得△ABC≌△ADE的是（　　） A．BC＝DE B．AC＝AE C．∠B＝∠D D．∠E＝∠C 题型4 全等形的依据 1.如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，∠C＝∠F，则△ABC≌△DEF的依据是（　　） A．SSA B．SAS C．SSS D．ASA 2.如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 3.如图，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝DB，据此可以证明△ABC≌△DBC，依据是（　　） A．SSS B．AAS C．ASA D．HL 4．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测量A′B′就可以，这是利用什么数学原理呢？（　　） A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS 5.工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 题型5全等三角形的性质与判定综合 1．如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（  ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，，，，有下列结论：①；②；③．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，过点C作直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E． （1）求证：△ABD≌△ECD； （2）若AC＝3，CE＝5，求线段BC的取值范围． 4.如图，AB＝BC，∠BCD＝45°，∠A＝135°，点E，F分别在CD，AD上，EF＝CE+AF，延长DC至点H，使得CH＝AF，连接BH．求证： （1）△BCH≌△BAF； （2）． 5．如图，，，D为上一点，分别过A、C作的垂线，垂足分别为E、F， (1)； (2)求证：． 题型6 垂直平分线的性质与判定 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，直线DE垂直平分AB垂足为点E，DE交AC于点D，连接BD，则∠DBC的度数为（　　） A．30° B．40° C．55° D．75° 2.如图，在中，、分别垂直平分和，垂足为，．且分别交于点，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 3.如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点与点重合，已知的周长是，，则的周长是 ． 4．如图，已知平分，，在上，结论：①；②；③平分；④所在的直线是的垂直平分线．其中正确的是 （填序号） 5.如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 题型7 角平分线的性质与判定 1.如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若PD＝3，则PE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB，DE＝3，AC＝4，则△ADC的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 3.如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（　　） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 4.如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 5.如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 题型8等腰三角形的性质与判定 1.已知一个三角形有两条边相等，一边长为，另一边长为，则这个三角形的周长为（   ） A． B． C．不能确定 D．或 2.已知等腰三角形的一个内角为，则它的底角为（ ） A． B． C．或 D．或 3.若等腰三角形一个外角是度，那么它的底角是 度． 4.如图，在中，，于点D，若，则的周长是 ． 5.如图，在中，点、在边上，，．求证：． 题型9等边三角形的性质与判定 1.如图，在等边三角形中，，点是的中点，过点作于点，过点作于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 2.如图，已知等边和等边，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接；下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.如图，在等边中，，是的平分线，则 ． 4.如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ． 5.如图所示，是等边三角形，、、分别在，，上，且，，． (1)试判断是否为等边三角形，并说明理由； (2)若，请直接写出的周长． 【答案】 三角形知识归纳与题型突破2025-2026学年 苏科版八年级上册 知识归纳： 知识点一：三角形的边与角的关系 1.三角形三边关系 （1）定义：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 （2）符号表达：在△ABC中，AB + AC > BC，AB - AC < BC。 （3）应用场景：判断三条线段能否构成三角形，已知两边长度求第三边取值范围。 2.三角形边角关系 （1）定理：在同一个三角形中，较大的边所对的角较大，较大的角所对的边较大。 （2）证明方法：通过折纸实验或不等式性质证明。 （3）应用场景：比较三角形内角或边的大小关系。 知识点二：全等三角形 1.全等三角形定义 （1）定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。 （2）性质：对应边相等，对应角相等，周长和面积相等。 （3）特殊性质：全等三角形的对应中线、角平分线、高线分别相等。 2.全等三角形判定方法 （1）SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。 （2）SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 （3）ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 （4）AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （5）HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 3.全等三角形证明思路 （1）已知两边：找第三边（SSS），找夹角（SAS），判断是否为直角三角形（HL）。 （2）已知一边一角：找另一角（AAS或ASA），找夹边（SAS）。 （3）已知两角：找夹边（ASA），找其他边（AAS）。 知识点三：线段垂直平分线与角平分线 1.线段垂直平分线 （1）性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。 （2）判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （3）拓展应用：三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等。 2.角平分线 （1）性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 （2）判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 （3）拓展应用：三角形三个角的角平分线的交点到三条边的距离相等。 知识点四：等腰三角形与等边三角形 1.等腰三角形 （1）定义：有两条边相等的三角形称为等腰三角形。 （2）性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。 （3）三线合一：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。 （4）判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 2.等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形称为等边三角形。 （2）性质：三个内角都相等，都等于60°；每条边都能运用三线合一性质。 （3）判定定理：三条边都相等；三个角都相等；有两个角是60°；有一个角是60°的等腰三角形。 题型突破： 题型1 组成三角形的条件 1.下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．6，8，10 C．4，5，9 D．5，15，8 【答案】B 2.下列长度的三条线段，首尾相接能构成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3.以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 4.以下列线段a，b，c为边，能构成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 5．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（　　） A．2，6，3 B．3，8，6 C．10，16，8 D．9，15，12 【答案】A 题型2 全等三角形的性质 1.如图，△ABC≌△ADE，∠D＝25°，∠C＝105°，∠CAE＝70°，则∠BAE的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】A 2.如图，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC＝7，DE＝3，则CE等于（　　） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 3.如图，△ABC≌△DEF，B，E，C，F四个点在同一直线上，若EF＝7，EC＝4，则BE的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 4.如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝70°，∠C＝30°，∠DAC＝25°，则∠EAC的度数为 　 　． 【答案】55° 5.如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2． （1）求∠F的度数及DH的长； （2）AB与DE平行吗？说明理由． 【答案】（1）∠F＝35°，DH＝6． （2）AB∥DE，理由见解析． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEF， ∴∠F＝∠ACB，DE＝AB＝8， ∴DH＝DE﹣EH＝8﹣2＝6， ∵∠A＝85°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝35°， ∴∠F＝∠ACB＝35°； （2）AB∥DE，理由如下： ∵△ABC≌△DEF， ∴∠ABC＝∠DEF， ∴AB∥DE． 题型3 添加条件证全等 1．如图，已知，，下列添加的条件中，下列哪一个选项不能用于判定的选项是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 2.如图，在 和 中，点共线，已知，添加下列条件不能使得的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 3.如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（　　） A．∠ABC＝∠ABD B．∠BAC＝∠BAD C．AC＝AD D．AC＝BC 【答案】C。 4．如图，已知∠ABD＝∠BAC，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的依据是（　　） A．AC＝BD B．∠DAB＝∠CBA C．∠C＝∠D D．BC＝AD 【答案】D 5．如图，AB＝AD，∠1＝∠2，请问添加下列哪个条件不能得△ABC≌△ADE的是（　　） A．BC＝DE B．AC＝AE C．∠B＝∠D D．∠E＝∠C 【答案】A 题型4 全等形的依据 1.如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，∠C＝∠F，则△ABC≌△DEF的依据是（　　） A．SSA B．SAS C．SSS D．ASA 【答案】D 2.如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【答案】B 3.如图，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝DB，据此可以证明△ABC≌△DBC，依据是（　　） A．SSS B．AAS C．ASA D．HL 【答案】D 4．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测量A′B′就可以，这是利用什么数学原理呢？（　　） A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS 【答案】B 5.工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 【答案】A 题型5全等三角形的性质与判定综合 1．如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（  ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 2．如图，，，，有下列结论：①；②；③．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 3．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，过点C作直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E． （1）求证：△ABD≌△ECD； （2）若AC＝3，CE＝5，求线段BC的取值范围． 【答案】（1）证明过程见解答；（2）2＜BC＜8． 【解答】（1）证明：∵D是边BC的中点，∴， ∵CE∥AB， ∴∠B＝∠DCE，∠E＝∠BAD， 在△ABD和△ECD中， ∴△ABD≌△ECD（AAS）； （2）由（1）可知：△ABD≌△ECD， ∴AB＝CE＝5， 在△ABC中，AB﹣AC＜BC＜AB+AC，AC＝3，CE＝5， ∴2＜BC＜8． 4.如图，AB＝BC，∠BCD＝45°，∠A＝135°，点E，F分别在CD，AD上，EF＝CE+AF，延长DC至点H，使得CH＝AF，连接BH．求证： （1）△BCH≌△BAF； （2）． 【答案】（1）∵∠BCD＝45°，∠A＝135°，点H在DC的延长线上， ∴∠BCH＝180°﹣∠BCD＝135°， ∴∠BCH＝∠A， 在△BCH和△BAF中， ， ∴△BCH≌△BAF（SAS）． （2）由（1）得△BCH≌△BAF， ∴BH＝BF，∠CBH＝∠ABF， ∴∠CBH+∠CBF＝∠ABF+∠CBF， ∴∠HBF＝∠CBA， ∵CH＝AF， ∴EH＝CE+CH＝CE+AF， ∵EF＝CE+AF， ∴EH＝EF， 在△BEH和△BEF中， ， ∴△BEH≌△BEF（SSS）， ∴∠EBH＝∠EBF∠HBF， ∴∠EBF∠CBA． 5．如图，，，D为上一点，分别过A、C作的垂线，垂足分别为E、F， (1)； (2)求证：． 【答案】（1）证明：∵过作的垂线，垂足分别为， ， ， ， ， 在和中 ， ． （2）证明：， ， ． 题型6 垂直平分线的性质与判定 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，直线DE垂直平分AB垂足为点E，DE交AC于点D，连接BD，则∠DBC的度数为（　　） A．30° B．40° C．55° D．75° 【答案】A 2.如图，在中，、分别垂直平分和，垂足为，．且分别交于点，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 3.如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点与点重合，已知的周长是，，则的周长是 ． 【答案】 4．如图，已知平分，，在上，结论：①；②；③平分；④所在的直线是的垂直平分线．其中正确的是 （填序号） 【答案】①②③④ 5.如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【详解】（1）垂直平分， ， 同理， ； （2）点在边的垂直平分线上， 理由：连接，，， 与是，的垂直平分线， ，， ， 点在边的垂直平分线上． 题型7 角平分线的性质与判定 1.如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若PD＝3，则PE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 2.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB，DE＝3，AC＝4，则△ADC的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 3.如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（　　） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 【答案】A 4.如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 【答案】4 5.如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型8等腰三角形的性质与判定 1.已知一个三角形有两条边相等，一边长为，另一边长为，则这个三角形的周长为（   ） A． B． C．不能确定 D．或 【答案】D 2.已知等腰三角形的一个内角为，则它的底角为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 3.若等腰三角形一个外角是度，那么它的底角是 度． 【答案】或 4.如图，在中，，于点D，若，则的周长是 ． 【答案】 5.如图，在中，点、在边上，，．求证：． 【答案】证明：作于点， ， ， ， ，即， ， ． 题型9等边三角形的性质与判定 1.如图，在等边三角形中，，点是的中点，过点作于点，过点作于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2.如图，已知等边和等边，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接；下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 3.如图，在等边中，，是的平分线，则 ． 【答案】5 4.如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ． 【答案】4 5.如图所示，是等边三角形，、、分别在，，上，且，，． (1)试判断是否为等边三角形，并说明理由； (2)若，请直接写出的周长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析； (2)27 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴是等边三角形； （2）由（1）可知：是等边三角形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 在中 ∵ ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴的周长为． 学科网（北京）股份有限公司 $