第2章特殊三角形 单元达标测试题 2025-2026学年浙教版（2024）八年级数学上册

2025-2026学年浙教版（2024）八年级数学上册《第2章特殊三角形》 单元达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．汉字是中华文明的标志，它经历了甲骨文、金文、篆书、隶书、草书、楷书、行书的演变过程，每种书体都有着鲜明的艺术特征．下面文字属于轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．若等腰三角形的一边长是10，另一边长是8，则它的周长是（   ） A．28 B．26 C．18 D．26或28 3．如图，已知，点，，在的角平分线上，连接，，，，，，图形中全等三角形有（    ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 4．《九章算术》中有个“折竹抵地”的问题，其大意为：如图，一根竹子，原来高一丈，后来竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问原处还有多高的竹子（1丈尺）？设原处的竹子还有x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．如图，将长方形沿线段折叠到的位置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知和都是等腰三角形，，，为公共底边，，且，，则（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 7．将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①．彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，是的平分线，点E是边上一点，且，交于点F．下列结论正确的有（    ） ①；②和互相垂直平分；③是等腰三角形；④平分 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（满分24分） 9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 10．若的三边a，b，c满足，则的面积为 ． 11．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出 个格点三角形与成轴对称． 12．如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是 ． 13．如图，在 中，，，，，垂足为 ．若，则 的长为 ．(用含的代数式表示) 14．如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竹竿的顶端和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度为 米． 15．如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要 元． 16．如图，为线段上一动点不与点、重合，在的上方分别作和，且，，，、交于点有下列结论：①；②；③；④C点到两边的距离相等其中正确的是 把你认为正确结论的序号都填上 三、解答题（满分72分） 17．指出下列图形中的轴对称图形，并画出轴对称图形的对称轴． 18．已知等腰三角形的底边长为a，顶角的平分线的长为b，求作这个等腰三角形． 19．如图，在中，线段的垂直平分线交于点E，交于点，交延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)当时，求及的度数． 20．如图，已知，垂足为，，垂足为，，．求证： (1)平分； (2)． 21．如图，在中，于点D，，分别交，于点E、F． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，若，求证：． 22．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 23．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接．    (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当_________时，是等腰三角形． 24．新考法  已知：等边． 【观察猜想】 （1）如图①，为线段上一点，，交于点，可知为______三角形； 【实践发现】 （2）如图②，为线段外一点，连接，以为一边作等边三角形．连接．猜想与的数量关系为______，直线与相交所产生的交角中锐角的度数为______； 【深入探究】为线段上一点，为线段延长线上一点，且． （3）当点为的中点时，如图③，猜想线段与的数量关系为______； （4）当为上任意一点，其余条件不变，如图④，猜想线段与的数量关系？并说明理由． 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查轴对称图形．根据“如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形成为轴对称图形”，即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得等腰三角形边长可以是10，10，8或10，8，8， 两种情况都符合三角形三边关系， 所以周长是28或26． 故选：D． 3．D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据成轴对称图形的特征进行求解，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先说明直线为这个图形的对称轴，再根据轴对称图形的性质找出所有全等三角形． 【详解】解：如图， ∵点，，在的角平分线上， ∴直线为这个图形的对称轴， ∴，，，，，，共6对， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．可根据题意画出示意图，设原处的竹子还有x尺，则尺，尺，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 设原处的竹子还有x尺，则尺，尺， 在中，由得． 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，由折叠可得，，即得，由根据平行线的性质得到，，最后根据角的和差关系即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠可得，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故选：． 6．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，通过连接，利用等腰三角形的性质求出相关角度，再通过证明三角形全等得出角度关系，进而求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，，， ， ， ，，， ， ， ． 故选． 7．A 【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先理解题意，得，再结合勾股定理得，故，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】如图，连接． 依题意， ∵， ∵在中，， ∴， ∴． 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先结合角平分线的定义得，再证明，故，再根据，则是的垂直平分线，又因为，所以是等腰三角形，再结合等边对等角以及平行线的性质，得，即可作答． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴； 故①是符合题意的； ∵， ∴ ∵， ∴是的垂直平分线， 故②是不符合题意的； ∵， ∴是等腰三角形， 故③是符合题意的； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 故④是符合题意的； 故选：C 9．或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，三角形外角的性质，分顶角为钝角和顶角为锐角两种情况，分别求解即可得出答案，熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，当顶角为钝角时， 则顶角为； 如图，当顶角为锐角时， 则顶角为； 综上所述，底角的度数为或． 故答案为：或． 10．54 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，绝对值的非负性，熟练掌握勾股定理的逆定理及绝对值的非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性求得，，，然后根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据三角形的面积公式即可． 【详解】解：， ，，， ， ， 的面积为． 故答案为：54． 11．6 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴． 根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称． 故答案为：6． 12．/68度 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，则可得和的大小，据此建立等式，化简求解即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，三线合一，画出辅助线以及熟练掌握三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定是解题关键．作于，先根据三角形内角和定理，得出，再得出，进而得出即可求解． 【详解】解：如图，作于， 在中， ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴ ， ∴ ， ∴． 故答案为：． 14．2 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可设米，则有米，然后利用勾股定理可进行求解． 【详解】解：由题意可设米，则有米， ∵米， ∴，即， 解得：， ∴米； 故答案为：2． 15． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理可得，即得地毯的长为，进而可得地毯的面积，再乘以单价即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴地毯的长为， ∴地毯的面积为， ∴铺完这个楼道至少需要元， 故答案为：． 16．①②③④ 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质定理和判定，三角形内角和定理，三角形面积，外角的性质等，综合性较强，熟练掌握各种结论是解此题的关键． 【详解】解：，  ，即，  在和中，  ，  ，  ，故①正确；  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，故②正确；  ∴，故③正确；  如图，连接，过点作于，于，   ，  ，，  ，  ，  故④正确，  故答案为：①②③④． 17．见解析 【分析】根据轴对称图形的定义，画出对称轴即可． 本题考查了轴对称图形，对称轴的确定，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，有三个图形是轴对称图形，对称轴作图如下： ． 18．见解析 【分析】本题主要考查作图—复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，解题的关键是熟练基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图；根据等腰三角形的性质和垂直平分线的判定，先作出垂直平分线，再作出线段相等即可； 【详解】解：如图．①作线段； ②作线段的垂直平分线，与交于点D； ③在上取一点C，使； ④连接，，则就是所求作的三角形． 19．(1)见详解 (2)， 【分析】本题考查了垂直平分线，等边对等角，三角形内角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合垂直平分线的性质得，得，即可作答． （2）先根据等边对等角，三角形内角性质，得，再根据，，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵线段的垂直平分线交于点E，交延长线于点F， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵线段的垂直平分线交于点E，交延长线于点F， ∴，， ∴， 则． 20．(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“”定理证出，根据全等三角形的性质得出，根据角平分线的判定即可求证； （）证明，根据全等得出，即可求证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在角平分线上， ∴平分； （2）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．(1)7 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）先计算，结合，计算，再求的长； （2）连接，在上截取，连接，先证明，再利用等腰三角形的性质，勾股定理证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，在上截取，连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 22．(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点C作于D，可证明得到，利用等面积法求出的长，即可得到结论； （2）在线段上取两点E、F，使得，连接，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，据此可得答案． 【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴海港C受台风影响； （2）解：如图所示，在线段上取两点E、F，使得，连接， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵台风中心移动的速度为，且， ∴台风影响海港C持续的时间有， 答：台风影响海港C持续的时间有． 23．(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当或或时，是等腰三角形 【分析】此题考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可； （3）根据全等三角形的性质可得，，，再分三种情况求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 24．（1）等边；（2），；（3）；（4），见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定、平行线的性质、三角形内角和及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质与判定、平行线的性质、三角形内角和及全等三角形的性质与判定是解题的关键．（1）由题意易得，然后根据平行线的性质可知，进而问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可得，延长交于点F，进而根据三角形内角和可进行求解； （3）由题意易得，，则有，进而问题可求解； （4）过点D作，交于点E，由题意易得，然后可知，进而问题可求解． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ． ， ， 是等边三角形； 故答案为：等边． （2）∵，都是等边三角形， ， ， ， ． 延长交于点F，如图①， 在中，， ，即， ； 故答案为：，． （3）当D为的中点时，即， ∵是等边三角形， ． ， ， ， ， ， ； 故答案为． （4）．理由如下： 过点D作，交于点E，如图②， ， ， 是等边三角形， ， ． ， ． 又， ． 在和中， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $