精品解析：辽宁省沈阳市铁路实验中学2025-2026学年高二上学期10月份月考数学试卷

沈阳铁路实验中学2024级高二10月份月考 数学试卷 时间：120分钟 分数：150分 一､单选题 1. 过点，倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 平面的一个法向量，则轴与平面所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知，若共面，则实数的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 6. 已知正方体的棱长为1，若存在空间一点，满足，则点到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，A，B分别是图象的一个最高点和最低点，M是图象与y轴的交点，，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角，在图2中，则下列结果不正确的是（ ） A. B. 点D到平面的距离为 C. 点D到直线的距离为 D. 平面与平面夹角的余弦值为 8. 在三棱锥中，棱、、两两垂直且棱长相等，点在底面内，且直线与平面所成角的余弦值为，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 已知直线，则（ ） A. 倾斜角为 B. 过点 C. 直线的方向向量为 D. 在x轴上的截距为2 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若空间向量，则在上的投影向量为 B. 若空间向量满足，则与夹角为锐角 C. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 D. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 11. 如图，六面体的一个面是边长为2的正方形，，，均垂直于平面，且，，则下列正确的有（ ） A. B. 直线与直线所成角的余弦值为 C. 平面与平面所成角的余弦值为 D. 当时，动点到平面的距离的最小值为1 三､填空题 12. 在平面直角坐标系中，已知点，则角平分线所在直线斜率为______． 13. 如图，二面角的大小为，棱上有A，B两点，线段半平面，，线段半平面，.若，，，则线段AB的长为______. 14. 已知，空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为___________. 四､解答题 15. 已知直线过点， （1）若直线过，求直线的方程. （2）若直线与轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程. 16. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且，且分别为的中点. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. （3）求点F到平面的距离. 17. 如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，. （1）求的长； （2）求异面直线和夹角的余弦值. 18. 如图，在四棱锥中，是边长为1的正三角形，面面，，，，C为的中点. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在点F，使二面角的余弦值为，若存在，求.若不存在，请说明理由. 19. 已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集. （1）若为的1阶等距平面且1阶等距集为，求的所有可能值以及相应的的个数； （2）已知为的4阶等距平面，且点与点分别位于的两侧.若的4阶等距集为，其中点到的距离为，求平面与夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳铁路实验中学2024级高二10月份月考 数学试卷 时间：120分钟 分数：150分 一､单选题 1. 过点，倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般方程可得. 【详解】由题可得直线的斜率为， 所以直线方程为：， 化简可得：； 故选：B 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由空间平行向量，先求出的值，再由模长公式求解模长. 【详解】由，则，即， 有， 所以， 所以，则 故选：D 3. 平面的一个法向量，则轴与平面所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线的方向向量和平面的法向量可求线面角的大小. 【详解】设轴与平面所成的角为， ∵在轴上的单位向量，平面的一个法向量， ∴,故. 故选：B 4. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程得到恒过定点，利用坐标得到，，然后结合图象可得的取值范围. 【详解】 直线恒过定点，且，，由图可知，或. 故选：C. 5. 已知，若共面，则实数的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】用向量，表示向量，利用共面向量定理构造方程组，求解方程组即得结果. 【详解】显然向量与不平行，而，，共面， 则存在实数，使，即， 于是，解得，所以实数的值为5. 故选：B 6. 已知正方体的棱长为1，若存在空间一点，满足，则点到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线BC的距离. 【详解】正方体的棱长为1，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， ，，， 由，得，， 所以点到直线BC的距离. 故选：B 7. 如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，A，B分别是图象的一个最高点和最低点，M是图象与y轴的交点，，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角，在图2中，则下列结果不正确的是（ ） A. B. 点D到平面的距离为 C. 点D到直线的距离为 D. 平面与平面夹角的余弦值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出图1中点 A,B,D,M的坐标，建立空间直角坐标系，求出图2中点A,B,D,M 的坐标，再逐项判断作答. 【详解】在图1中，由，得，，，， 在图2中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，得，A正确． 设平面的法向量为，， 则，即，取，则，， 所以平面的一个法向量， 所以点D到平面的距离为，B正确． 取，， 则，，所以点D到直线的距离为，C错误． 平面的一个法向量为， 则平面与平面夹角的余弦值为，D正确. 故选：C. 8. 在三棱锥中，棱、、两两垂直且棱长相等，点在底面内，且直线与平面所成角的余弦值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，其中、、，利用空间向量法求出和的值，然后利用空间向量数量积的运算可求得结果. 【详解】在三棱锥中，棱、、两两垂直且棱长相等， 不妨设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、 、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、， 设点，其中、、，设平面的法向量为， ，，则， 取，可得， 因为点在平面内，且，则， 可得， 设直线与平面所成的角为，则， 且，所以，， 所以， . 故选：B. 二､多选题 9. 已知直线，则（ ） A. 倾斜角为 B. 过点 C. 直线的方向向量为 D. 在x轴上的截距为2 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线的方程求出斜率得倾斜角判断A，点的坐标代入直线方程可判断B，根据直线斜率判断C，求出直线在轴上截距判断D. 【详解】由可得， 即直线斜率，所以倾斜角为，故A错误； 点代入直线方程，成立，故B正确； 因为直线斜率，而与原点连线斜率也是，与直线平行，所以是直线的一个方向向量，故C正确； 令，可得，即在x轴上的截距为，故D错误. 故选：BC 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若空间向量，则在上的投影向量为 B. 若空间向量满足，则与夹角为锐角 C. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 D. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据投影向量的定义列式运算得解；对于B，当，同向共线时也成立可判断；对于C，由空间向量共面的推论判断；对于D，由可判断. 【详解】对于A，在上的投影向量为，故A正确； 对于B，当，同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，故B错误； 对于C，在中，故四点共面，故C正确； 对于D，由，即，故，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，六面体的一个面是边长为2的正方形，，，均垂直于平面，且，，则下列正确的有（ ） A. B. 直线与直线所成角的余弦值为 C. 平面与平面所成角的余弦值为 D. 当时，动点到平面的距离的最小值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面垂直证明线线垂直判断A，建立空间直角坐标系，利用向量法求线线角判断B，求二面角判断C，利用点面距离判断D. 【详解】对A，由平面，平面，得，又由正方形可得，又平面，所以平面， 由平面，可得，故A正确； 如图，建立空间直角坐标系， 则， 设是平面的法向量，， 由，令，可得， ， ，解得，即， 对B，，，故B错误； 对C，平面的法向量，平面的法向量， 则，故C正确； 对D，由知，在以为球心，半径为1的球面上，， 球心到平面的距离， 到平面的距离的最小值为，故D正确. 故选：ACD 三､填空题 12. 在平面直角坐标系中，已知点，则角平分线所在直线斜率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】在坐标系中描点连线判断出为等腰三角形，得出角平分线所在直线的斜率即为中线的斜率，即可求解． 【详解】如下图：在平面直角坐标系中，描出， ，， 所以为等腰三角形，则的角平分线也为中线， 边的中点为，所以角平分线所在直线斜率为：， 故答案为：． 13. 如图，二面角的大小为，棱上有A，B两点，线段半平面，，线段半平面，.若，，，则线段AB的长为______. 【答案】6 【解析】 【分析】，两边平方，得到方程，求出AB的长为6. 【详解】设，由题意得， 两边平方得， 因为，，，，，二面角的大小为， 所以， 解得，线段AB的长为6. 故答案为：6 14. 已知，空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意分别求出这三个平面的法向量，设直线的方向向量为，由直线与平面与的法向量垂直，得出，由向量的夹角公式可得答案. 【详解】由，解得 ，即直线与平面的交点坐标为 平面的方程为，可得 所以平面的法向量为 平面的法向量为，的法向量为 设直线的方向向量为，则，即 取，设直线与平面所成角 则 故答案为： 四､解答题 15. 已知直线过点， （1）若直线过，求直线的方程. （2）若直线与轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用点斜式直线方程解题即可； （2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可. 【小问1详解】 直线的斜率， 此时直线方程为，即， 所以直线的方程为 【小问2详解】 设直线的方程为，由题意可得， 令，则；令，则， 即，， 从而， 当且仅当，即时取到最小值， 所以直线方程为，即. 16. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且，且分别为的中点. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. （3）求点F到平面的距离. 【答案】（1） 不妨设，则，如图建立空间直角坐标系， 则 所以 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 所以平面的一个法向量， 又，所以，因为平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设正方体线段长，以整体一个顶点和三条相邻的棱建立空间直角坐标系，求出线的方向向量和面的法向量，从而证明线面平行； （2）由（1）中的空间直角坐标系求得两个面的法向量，由空间向量求得面面角的余弦值； （3）由（2）中的面的法向量和，由向量的投影求得点到面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设是平面的一个法向量，， 则，令，则，即， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 因为，平面的一个法向量， 所以F到平面的距离为. 17. 如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，. （1）求的长； （2）求异面直线和夹角的余弦值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）在平行六面体中，由棱长及夹角，由和向量运算可得，平方可得，求出数量积，可得的大小； （2）由（1）可得的值，进而求出异面直线和夹角的余弦值. 【小问1详解】 在平行六面体中， 因为，，，，，是的中点， ， 所以， 由题意，，， ， ， 所以， 所以； 【小问2详解】 ， ，， 所以. 设异面直线和夹角为，则， 所以. 所以异面直线和夹角的余弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，是边长为1的正三角形，面面，，，，C为的中点. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在点F，使二面角的余弦值为，若存在，求.若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 解法一：取中点E，连接和. C为中点，且， 且，且， 四边形为平行四边形，则， 面，面，面. 解法二：如图所示，取的中点Q，连接，， 在，C为中点，Q为中点，， 平面， 平面，平面， 在四边形中，，，Q为中点， ，， 四边形为平行四边形，， 平面， 平面，平面 又，平面，平面平面， 由平面，平面 （2）存在， 【解析】 【分析】（l）由线线平行或面面平行证明线面平行； （2）通过建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值，或利用几何法解决. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一： 取中点O，连接，则等边中. 面面，面面，面， 面，面，可得. 又，，面，面， 以N为坐标原点，，为x，y轴，过点垂直于平面的直线为z轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 设，则， ， 依题意可得平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， 即， 二面角为，则， ，（舍）， ，则. 解法二： 取中点O，连接，则等边中. 面面，面面，面， 面，面，可得. 又，，面，面 取的中点E，以O为原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，， ，，， 由已知是平面的一个法向量，记为， 假设线段上存在点F满足已知条件，则有，且， 设，有，， ，，，即，， 设平面的一个法向量为， 则， 取， 由已知得， 整理得，即化简得， 解得，（舍去）， 线段上存在点F，当时，已知条件成立， 则有， ，. 求平面的一个法向量的另一种解法： ， 平面的一个法向量可取 解法三：几何法 作， ，，，平面，平面， 平面，， 为二面角的平面角, 设，在中，，， 在中，由得， 由已知得， 在直角三角形中，，， 在直角三角形中，， 所以在中，由,得. 19. 已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集. （1）若为的1阶等距平面且1阶等距集为，求的所有可能值以及相应的的个数； （2）已知为的4阶等距平面，且点与点分别位于的两侧.若的4阶等距集为，其中点到的距离为，求平面与夹角的余弦值. 【答案】（1）当的值为时，有4个， 当的值为时，有3个. （2）. 【解析】 【分析】（1）分两种情况得出的所有可能值以及相应的的个数； （2）先根据已知得出，再计算求得余弦值. 【小问1详解】 ①情形一：分别取的中点， 由中位线性质可知， 此时平面为的一个1阶等距平面， 为正四面体高的一半，等于. 由于正四面体有4个面，这样的1阶等距平面平行于其中一个面，有4种情况； ②情形二：分别取的中点 将此正四面体放置到棱长为1的正方体中， 则为正方体棱长的一半，等于. 由于正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线， 这样的1阶等距平面平行于其中一组异面直线，有3种情况. 综上，当的值为时，有4个；当的值为时，有3个. 【小问2详解】 在线段上分别取一点， 使得，则平面即为平面. 如图，取中点，连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系， ，设， ， 设平面法向量为 所以，即， 所以， 又平面的法向量为， 设平面与夹角为 所以， 所以平面与夹角余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $