4.1第1课时 数列的概念及通项公式 学案-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

第1课时　数列的概念及通项公式 [学习目标]　1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.3.理解数列的通项公式，能根据数列的通项公式写出数列的项． 一、数列的概念与分类 问题1　观察以下几列数： ①古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7,49,343,2 401,16 807； ②战国时期庄周引用过一句话：一尺之捶，日取其半，万世不竭．这句话中隐藏着一列数：1，，，，，…； ③从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的年份：2025,2025，…，2025； ④小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7,0,2,5,7,0,2,5，…； ⑤－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－，，－，，…； 你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ 知识梳理 1．按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫作这个数列的______．数列的第一个位置上的数叫作这个数列的第______项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫作这个数列的第______项，用a2表示……，第n个位置上的数叫作这个数列的第n项，用______表示．其中第1项也叫作______． 2. 数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为______． 3．数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数______的数列 无穷数列 项数______的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 周期数列 项呈现周期性变化 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 例1　下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？ (1)1,0.84,0.842,0.843，…； (2)2,4,6,8,10，…； (3)7,7,7,7，…； (4)，，，，…； (5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1； (6)0，－1,2，－3,4，－5，…. 反思感悟　(1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断． (2)判断数列是递增(或递减)数列时，一定要满足数列单调性的定义，即从第2项起，每一项都大于(或小于)它的前一项，不能有例外． 跟踪训练1　下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是周期数列？ (1)2 020,2 021,2 022,2 023,2 024； (2)0，，，…，，…； (3)1，，，…，，…； (4)－，，－，，…； (5)1,0，－1，…，sin ，…； (6)9,9,9,9,9,9. 二、数列的通项公式 问题2　我们发现问题1中的①②③⑤，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？ 知识梳理 一般地，如果数列{an}的第n项与______之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的______． 例2　写出下列数列的一个通项公式，使它的前6项分别是下列各数： (1)－1，，－，，－，； (2)，2，，8，，18； (3)0,1,0,1,0,1； (4)9,99,999,9 999,99 999,999 999； (5)，，－，，－，. 延伸探究　 1．试写出前4项为1,11,111,1 111的一个通项公式． 2．试写出前4项为7,77,777,7 777的一个通项公式． 反思感悟　根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分与对应序号间的函数解析式，有时也可以通过探求各部分间的关系来归纳通项公式． (3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号． (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 跟踪训练2　写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是： (1)1,3,7,15,31； (2)，，，，； (3)－，，－，，－； (4)2×3,3×4,4×5,5×6. 三、数列的通项公式的简单应用 例3　已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N*. (1)写出数列的前3项； (2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项． 反思感悟　(1)利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． (2)判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则该数值是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则该数值不是数列的一项． 跟踪训练3　已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72. (1)求实数q的值； (2)判断－81是否为此数列中的项． 1．知识清单： (1)数列的概念与分类． (2)数列的通项公式． (3)数列的通项公式的简单应用． 2．方法归纳：观察法、归纳法、猜想法． 3．常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系． 1．下列说法正确的是(　　) A．数列中不能重复出现同一个数 B．1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列 C．1,1,1,1不是数列 D．若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同 2．已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，则该数列的前4项依次为(　　) A．1,0,1,0 B．0,1,0,1 C.，0，，0 D．2,0,2,0 3．在数列1,2，，，，…中，2是这个数列的(　　) A．第16项 B．第24项 C．第26项 D．第28项 4．已知数列1，－3,5，－7,9，…，则该数列的第100项为________． 第1课时　数列的概念及通项公式 问题1　共同点：都是按照确定的顺序进行排列的．不同点：从项数上来看：①③项数有限，②④⑤项数无限；从项的变化上来看：①每一项在依次变大，②每一项在依次变小，③项没有发生变化，④项呈现周期性的变化，⑤项的大小交替变化． 知识梳理 1．项　1　2　an　首项 2．{an} 3．有限　无限 例1　解　(5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列；(6)是摆动数列． 跟踪训练1　解　(1)(6)是有穷数列；(2)(3)(4)(5)是无穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(6)是常数列；(5)是周期数列． 问题2　对于①，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈； 对于②，an＝n－1，n∈N*； 对于③，an＝2 025，n∈； 对于⑤，an＝n，n∈N*. 知识梳理 序号n　通项公式 例2　解　(1)这个数列的前6项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*. (2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，，， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*. (3)这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成an＝也可以写成an＝(n∈N*)或an＝(n∈N*)． (4)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000,100 000,1 000 000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*. (5)分母为2n，易看出第2,3,4,5,6项的分子均比分母少3，因此第1项为－， 因此原数列的前6项可以化为－，， －，，－，， 所以它的一个通项公式为an＝(－1)n·，n∈N*. 延伸探究　 1．解　由本例的第(4)题每一项除以9即可得到该数列，则它的一个通项公式为an＝(10n－1)，n∈N*. 2．解　由本例的第(4)题的每一项乘以即可得到该数列， 则它的一个通项公式为an＝(10n－1)，n∈N*. 跟踪训练2　解　(1)由1＝2－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，31＝25－1， 可得an＝2n－1，n∈N*. (2)由＝，＝，＝，＝，＝， 可得an＝，n∈N*. (3)由－，，－，，－，可知奇数项为负数，偶数项为正数， 可得an＝(－1)n×，n∈N*. (4)由2×3＝×，3×4＝×，4×5＝×，5×6＝×， 可得an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N*. 例3　解　(1)在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别为1,6,15. (2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－(舍去)，故45是数列{an}中的第5项． 令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝，故3不是数列{an}中的项． 跟踪训练3　解　(1)由题意知，q4－q2＝72， 则q2＝9或q2＝－8(舍去)， ∴q＝±3. (2)当q＝3时，an＝3n. 显然－81不是此数列中的项； 当q＝－3时，an＝(－3)n. 令(－3)n＝－81，无解， ∴－81不是此数列中的项． 随堂演练 1．D　[由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如1,1,1,1，故A，C不正确； B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B不正确；由数列的定义可知，D正确．] 2．A　[把n＝1,2,3,4依次代入通项公式，得a1＝＝1，a2＝＝0，a3＝＝1，a4＝＝0.] 3．C　[数列1,2，，，，…就是数列，，，，，…， ∴an＝＝， ∴＝2＝， ∴n＝26， 故2是这个数列的第26项．] 4．－199 解析　由题知，该数列的通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)， 所以a100＝(－1)100＋1×(2×100－1)＝－199. 学科网（北京）股份有限公司 $$