4.1 第2课时 数列的递推公式(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

第2课时　数列的递推公式 [教学方式:深化学习课梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解递推公式的含义,能根据递推公式求出数列的前几项. 2.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法(累加法、累乘法). 题型(一)　数列的递推公式及应用 1.递推公式的定义 一般地,如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫作这个数列的递推公式.递推公式也是给定数列的一种方法. 2.递推公式的特点 (1)利用递推公式求一个数列,必须具备:①数列第1项或前几项,②递推关系,这两个条件缺一不可. (2)有些数列的通项公式与递推公式可以相互转化. (3)与所有数列不一定有通项公式一样,并不是所有的数列都有递推公式. [例1]　已知数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项由an=an-1+an-2(n≥3)给出. (1)写出此数列的前5项; (2)通过公式bn=(n≥1)构造一个新的数列{bn},写出数列{bn}的前4项. 解:(1)∵an=an-1+an-2(n≥3), 且a1=1,a2=2,∴a3=a2+a1=3, a4=a3+a2=3+2=5, a5=a4+a3=5+3=8. 故数列{an}的前5项依次为 a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8. (2)∵bn=,且a1=1,a2=2,a3=3,a4=5, a5=8,∴b1==,b2==,b3==, b4==. 故数列{bn}的前4项依次为b1=,b2=,b3=,b4=. |思|维|建|模| 由递推关系写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可; (2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1; (3)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an+1=. 　　[针对训练] 1.在数列{an}中,a1=3,且an+1=,则a2 025= (　　) A.3 B.-2 C.- D. 解析:选A　数列{an}中,a1=3,且an+1=,则a1=3,a2=-2,a3=-,a4=,a5=3,…,所以an+4=an,即数列{an}是以4为周期的数列,所以a2 025=a4×506+1=a1=3. 2.试分别根据下列条件,写出数列{an}的前5项: (1)a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*; (2)a1=2,an+1=2-,其中n∈N*. 解:(1)因为a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*,所以a3=a2+2a1=2+2×1=4,a4=a3+2a2=4+2×2=8,a5=a4+2a3=8+2×4=16.因此数列{an}的前5项依次为1,2,4,8,16.(2)因为a1=2,an+1=2-,其中n∈N*,所以a2=2-=2-=,a3=2-=2-=,a4=2-=2-=,a5=2-=2-=.因此数列{an}的前5项依次为2,,,,. 题型(二)　由递推公式求数列的通项公式 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2]　(1)在数列{an}中,a1=1,=an+-,则an等于 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　法一:归纳法 数列的前5项分别为a1=1,a2=1+1-=2-=,a3=+-=2-=,a4=+-=2-=,a5=+-=2-=,又a1=1,由此可得数列的一个通项公式为an=. 法二:迭代法 a2=a1+1-,a3=a2+-,…,an=+-(n≥2),则an=a1+1-+-+-+…+-=2-=(n≥2).又a1=1也适合上式,所以an=(n∈N*). 法三:累加法 由题意得-an=-,又a1=1,所以a2-a1=1-,a3-a2=-,a4-a3=-,…,an-=-(n≥2),以上各式相加得an=1+1-+-+…+-=(n≥2).因为a1=1也适合上式,所以an=(n∈N*). (2)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an,则{an}的通项公式为　　　　　　　　　.  解析:已知an+1=an,将n换为n-1,可得an=an-1=an-1, 那么=(n≥2). 由=(n≥2)可得an=··…··a1=··…·×1, 观察发现,约分后可得an=n·2n-1(n≥2). 当n=1时,a1=1×21-1=1,与已知a1=1相符. 所以an=n·2n-1,n∈N*. 答案:an=n·2n-1,n∈N* |思|维|建|模| 由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法:根据数列的某项和递推公式,求出数列的前几项,归纳出通项公式.(只适用于选择题、填空题) (2)迭代法、累加法或累乘法:递推公式对应的有以下几类: ①-an=常数或-an=f(n)(f(n)是可以求和的),使用累加法或迭代法. ②=pan(p为非零常数)或=f(n)an(f(n)是可以求积的),使用累乘法或迭代法. ③=pan+q(p,q为非零常数),适当变形后转化为第②类解决. 　　[针对训练] 3.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2,n∈N*,则an=　　　　.  解析:由题意得,an=an-1+2=an-2+2×2=…=a1+2×(n-1)=2n-1,n≥2,又a1=1适合上式,∴an=2n-1,n∈N*. 答案:2n-1 4.已知数列{an},a1=2,an+1=2an,写出数列的前4项,猜想an,并加以证明. 解:由a1=2,=2an,得 a2=2a1=4=22,a3=2a2=2·22=23,a4=2a3=2·23=24. 猜想an=2n(n∈N*).证明如下: 由a1=2,an+1=2an, 得==…===2(n≥2). ∴an=··…···a1=2·2·…·2·2=2n. 又当n=1时,a1=21=2符合上式, ∴an=2n(n∈N*). [课时检测] 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.已知数列{an}满足a1=2,an=1+(n≥2),则a3= (　　) A. B. C. D. 解析:选C　因为a1=2,所以a2=1+=,a3=1+=1+=.故选C. 2.数列1,3,6,10,15,…的递推公式是 (　　) A.an+1=an+n,n∈N* B.an=an-1+n,n∈N* C.an+1=an+(n+1),n∈N* D.an=an-1+(n-1),n∈N*,n≥2 解析:选C　由已知得a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,…,an+1-an=n+1,n∈N*.故选C. 3.已知在数列{an}中,a1=2,an+1=an+n(n∈N*),则a4的值为 (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 解析:选D　因为a1=2,an+1=an+n,所以a2=a1+1=2+1=3,a3=a2+2=3+2=5,a4=a3+3=5+3=8. 4.已知数列{an}中,a1=1,=,则数列{an}的通项公式是 (　　) A.an=2n B.an= C.an= D.an= 解析:选C　法一　由已知可知,a1=1,a2=,a3=,a4=,…,∴an=. 法二　an=··…···a1=·1=. 5.在数列{an}中,若a1=2,an=1-(n≥2),则a2 024= (　　) A.-1 B. C.2 D.1 解析:选B　由题意得a1=2,a2=1-=1-=,a3=1-=1-2=-1,a4=1-=1+1=2,…,故{an}为周期数列,周期为3,故a2 024=a674×3+2=a2=.故选B. 6.已知数列{an}满足a1=1,且an+1=,则a10= (　　) A. B. C. D. 解析:选B　∵an+1=,则==+n,∴-=1,-=2,…,-=9,以上各式相加可得,-=1+2+3+…+9=45,∴a10=.故选B. 7.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,满足an+2=an+1+an(n≥1),那么1+a2+a4+a6+…+a2 024等于 (　　) A.a2 022 B.a2 023 C.a2 024 D.a2 025 解析:选D　由于an+2=an+1+an(n≥1),则1+a2+a4+a6+…+a2 024=a1+a2+a4+a6+…+a2 024=a3+a4+a6+…+a2 024=a5+a6+…+a2 024=a2 023+a2 024=a2 025. 8.(5分)已知数列{an}满足an=若a4∈[2,3],则a1的取值范围是　　　　.  解析:设a4=m,则m∈[2,3],得a3=m-1,a2=2(m-1)=2m-2,所以a1=2m-3∈[1,3]. 答案:[1,3] 9.(5分)若数列{an}满足a2=11,an+1=,则a985=　　　　　.  解析:因为a2=11,an+1=, 所以a1=,a3==-,a4==,所以{an}是周期为3的数列,故a985=a1=. 答案: 10.(5分)在数列{an}中,a1=,an=n(an+1-an)(n∈N*),则a2 024=　　　　.  解析:因为an=n(an+1-an)(n∈N*), 所以(n+1)an=nan+1,所以=, 所以是常数列,又==, 所以a2 024=2 025. 答案:2 025 11.(5分)若数列{an}对任意正整数n,满足a1a2…an=n2,则数列{an}的通项公式an=　　　　.  解析:当n=1时,a1=1;当n≥2时,由a1a2…an=n2可得a1a2…an-1=(n-1)2,两式作商可得an=,又a1=12不符合上式,所以an= 答案: 12.(10分)已知数列{an}中,a1=1,an+1=an. (1)写出数列{an}的前5项;(4分) (2)猜想数列{an}的通项公式,并证明;(4分) (3)画出数列{an}的图象.(2分) 解:(1)a1=1,a2=×1=, a3=×=,a4=×=, a5=×=. (2)猜想:an=.证明如下: 因为an+1=an,显然an≠0,所以=,则=,=,=,…,=(n≥2),累乘得=(n≥2),所以an=(n≥2),对n=1也适合.所以an=. (3)图象如图所示, 13.(10分)数列{an}满足a1=1,an+1+2anan+1-an=0. (1)写出数列的前5项;(4分) (2)由(1)写出数列{an}的一个通项公式;(4分) (3)实数是否为这个数列中的一项?若是,应为第几项?(2分) 解:(1)由已知可得a1=1,a2=,a3=,a4=,a5=. (2)由(1)可得数列的每一项的分子均为1,分母分别为1,3,5,7,9,…, 所以它的一个通项公式为an=. (3)令=,解得n=50, 故是这个数列的第50项. 14.(10分)已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+-,n∈N*,求数列的通项公式an. 解:∵an+1-an=-,∴a2-a1=-,a3-a2=-,a4-a3=-,…,an-an-1=-(n≥2),将以上n-1个式子相加,得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=++…+,即an-a1=1-(n≥2,n∈N*).∴an=a1+1-=-1+1-=-(n≥2,n∈N*).又当n=1时,a1=-1也符合上式.∴an=-,n∈N*. 15.(10分)数列{an}满足an+1=4an+3,且a1=1,求此数列的通项公式. 解:法一:累乘法　由an+1=4an+3,可得an+1+1=4(an+1),即=4,∴=4,=4,=4,…,=4(n≥2). 以上各式的两边分别相乘,得=4n-1(n≥2), 即an=2·4n-1-1=22n-1-1(n≥2). 又a1=1也满足上式,∴an=22n-1-1. 法二:迭代法　由an+1=4an+3,可得an+1+1=4(an+1),则a2+1=4(a1+1),a3+1=4(a2+1),a4+1=4(a3+1),…,an+1=4(an-1+1)(n≥2), ∴an+1=4n-1(a1+1)(n≥2), 即an=2·4n-1-1=22n-1-1(n≥2). 又a1=1也满足上式,∴an=22n-1-1. 学科网（北京）股份有限公司 $$