4.1数列（教学课件）高二数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦数列概念、表示方法及函数本质，通过树木枝丫数、彗星出现年份等自然与生活实例导入，引导学生从具体现象中抽象数列规律，构建“实例观察—概念归纳—函数理解—公式应用”的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以情境创设激发兴趣，用数学眼光观察现实问题，如细胞分裂、剧场座位等实例帮助抽象数列定义。通过函数视角阐释数列本质，培养数学思维，结合典例分析与高考真题（如江苏高考分形几何题）提升数学语言表达能力。课堂小结系统梳理知识，题型全面分层，助力学生构建体系，教师可高效开展教学。

4.1数列 第四章 数列 苏教版2019选择性必修第一册•高二 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 学 习 目 标 1 2 3 理解数列的有关概念和几种简单的表示方法。 理解数列的通项公式，能根据数列的通项公式写出数列的项. 理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项. 大自然这本书是用数学语言写成的。 ——伽利略（意大利科学家） 自然世界呈现各式各样的现象，有些现象与“数”紧密联系着：树木生长过程中枝丫的数目,果实的个数与排列方式…… 这些纷杂的现象背后有规律吗? 情境导入 3 观察某树木的枝丫数，第一年为1，第二年为1，第三年为2，第四年为3，第五年为5，第六年为8，第七年为13，第八年为21，第九年为34，第十年为55，第十一年为89，第十二年为144…… 情境导入 4 将它们按年份排列起来，就是下面的一列数： １，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，１４４，… 可以发现，这列数有许多规律．例如，从第三个数开始，每一个数 都等于前两个数的和；再如，相邻两个数的比值（前一个数与后一个数之比）越来越接近于某个确定的常数…… 上面的研究过程，大致思路是： （１）首先，用“数”刻画现象中的状态； （２）将这些数按一定的顺序排成一列（与正整数建立对应关系）； （３）研究这列数的规律，用这些规律刻画并认识变化的状态和过程． 仿照这个过程，我们可以进一步去研究自然界、社会生活中的类 似现象，探索这些现象背后的规律，以解决具体的实际问题．在研究 过程中，我们 ● 应该建立怎样的数学模型来刻画这类现象？ ● 用这些数学模型能够解决哪些问题？ 考察下面的问题：某剧场有 30 排座位，第一排有 20 个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位 ，那么各排的座位数依次为20，22，24，26，28，···. ① 人类在 1740 年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔 83 年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为 1740，1823，1906，1989，2072，···. ② 某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为 2 个，那么每过 1 分钟，1 个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，···. ③ 新知探究 “一尺之捶，日取其半，万世不竭”的意思为:一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完.如果将“一尺之捶”视为1份，那么每日剩下的部分依次为 ，，，，···. ④ 某种树木第1年长出幼枝，第2年幼枝长成粗干，第3年粗干可生出幼枝，那么按照这个规律，各年树木的枝干数依次为1，1，2，3，5，8，···. ⑤ ● 这些问题有什么共同的特点? 从1984年到2016年，我国共参加了9次夏季奥运会,各次参赛获得的金牌总数依次为15，5，16，16，28，32，51，38，26. ⑥ 新知探究 按照一定次序排列的一列数称为数列(sequence of number)，数列中的每个数都叫作这个数列的项 (term). 项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列. 数列的一般形式可以写成 a1，a2，a3，···，an，···， 简记为 {an}，其中 a1 称为数列 {an} 的第 1 项或首项 (leading term)，a2 称为第 2 项······ an 称为第 n 项. 概念归纳 在数列 {an} 中，对于每一个正整数 n (或 n∈{1，2，···，k})，都有一个数 an 与之对应，因此，数列可以看成以正整数集 N* (或它的有限子集{1，2，···，k}) 为定义域的函数 an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值. 反过来，对于函数 y＝f(x)，如果 f(i) (i＝1，2，3，…) 有意义，那么我们可以得到一个数列 f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，···. 概念归纳 典例分析 例 1 已知数列的第 n 项 an 为 2n－1，写出这个数列的首项、第2项和第3项. 解 首项为 a1＝2×1－1＝1； 第2项为 a2＝2×2－1＝3； 第3项为 a3＝2×3－1＝5. 在例1中，第 n 项 an 可用一个公式 2n－1 来表示. 只要依次用 1，2，3， ···代替公式中的 n ，就可以求出这个数列的各项 a1，a2，a3，··· 教材P124 例题 一般地，如果数列 {an} 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式. 例如： 数列①的通项公式为 an＝2n＋18，其中 n∈N*，n≤30； 数列③的通项公式为 an＝2n－1，其中 n∈N*；等等. 数列可以由通项公式来给定，也可以通过列表或图象来表示. 概念归纳 例 2 已知数列 {an} 的通项公式，写出这个数列的前 5 项，并作出它的图象： 解 我们用列表法分别给出这两个数列的前5项. 典例分析 它们的图象如图 所示. 教材P124 例题 不难发现，在数列①中，某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多个座位，也就是说，a1＝20，a2＝a1＋2，a3＝a2＋2，··· a30＝a29＋2. 即有a1＝20，an＋1＝an＋2 (n∈N*，n≤29). 由上面数列的第1项，以及 an＋1与 an 的关系，可以写出这个数列的各项. 一般地，如果已知一个数列 {an} 的第 1 项(或前几项)，且任一项 an 与它的前一项 an－1 (或前几项) 间的关系可以用一个公式来表示那么这个公式就叫作这个数列的递推公式，递推公式也是给定数列的一种方法. 例如，数列 ⑤ 可以用下列递推公式给出a1＝1，a2＝1， an＋2＝an＋1＋an，其中 n∈N*. 概念归纳 例 3 （1），，，其中； （2），，其中. 分别根据下列条件，写出数列的前5项： 解： (1) 因为a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1＋2an，其中n∈N*， 所以a3＝a2＋2a1＝2＋2×1＝4，a4＝a3＋2a2＝4＋2×2＝8， a5＝a4＋2a3＝8＋2×4＝16，所以数列{an} 的前5项依次为1,2,4,8,16. （2）因为，，其中 所以，， ，， 因此，数列的前5项依次为2， ， ， ， . 典例分析 教材P126 例题 解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是分数，分子都为1，分母都等于序号与序号加1的积，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1），-，，，… （2）0，2，0，2，… (2) 这个数列的奇数项是 0，偶数项是 2，所以它的一个通项公式是an＝1＋ (－1)n. 典例分析 例 4 求数列的通项公式，就是求 an与 n 的对应关系an＝f(n). 教材P126 例题 2.根据数列{an}的通项公式，写出它的前5项： (1)an=1-3n； (2)an=(-1)n2n. 解：∵(1)an=1-3n,故前5项分别为：-2，-5，-8，-11，-14； (2)an=(-1)n2n.故前5项分别为：-2，4，-6，8，-10． 3.根据数列{an}的通项公式，写出它的第6项和第10项： (1)an=n2+n； (2)an=5-2n-1． 解：(1)∵an=n2+n,∴a6=42，a10=110， (2)∵an=5-2n-1．∴a6=-27，a10=5-512=-507． 教材P127 练习 16 4.37是否为数列{3n+1}中的项？如果是，是第几项？ 解：由3n+1=37可得n=12，故37是{3n+1}的递12项． 5.写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)-1，2，-3，4； (2)2，4，6，8； (3)1，4，9，16； (4)1- ， - ， - ， - ． 解：(1)-1，2，-3，4，则an=(-1)nn； (2)2，4，6，8，则an=2n；(3)1，4，9，16，则an=n2， (4)1- ， - ， - ， - ，则an= - ． 教材P127 练习 17 数列概念的理解 题型一 题型探究 1.（多选）下列说法正确的有( ) BD A.数列1,0,2,3与数列2,3,0,1是相同的数列 B.数列可看作是一个定义域为正整数集（或其有限子集,2, , ）的函数 C.任何一个数列不是递增数列，就是递减数列 D.若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点 解析 对于A，因为数列1,0,2,3与数列2,3,0,1的顺序不同，所以它们不是相同的数列，故A错误； 对于B，从函数的观点看，数列可看作是一个定义域为正整数集（或其有限子集,2, , ）的函 数，故B正确； 对于C，一个数列可以是常数列，故C错误； 对于D，根据数列的图象特征，可知D正确.故选 . 数列的通项公式 题型二 题型探究 2.［江苏无锡一中2024高二质量检测］写出数列1,,,,,…的一个通项公式 ( ) B A. B. C. D. 解析 数列1,,,,, ，观察可得其分子为，分母为，则其通项公式为 .故选B. 3.（多选）已知，下列选项能正确表示数列1,0,1,0,1,0, 的公式有( ) BD A. B., C. D. 解析 对于A，当为奇数时，，不符合数列1,0,1,0,1,0, ，故A错误. 对于B，由,，可得，由可得 ， 故，由，可知当为奇数时，；由，可知当为偶数时， . 故该递推公式,符合数列1,0,1,0,1,0, ，故B正确. 对于C，当时，，不符合数列1,0,1,0,1,0, ，故C错误. 对于D，当为奇数时，，当为偶数时，，符合数列1,0,1,0,1,0, ，故D正确. 故选 . 19 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等. (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式. (3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号. (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等. 方法技巧 数列递推公式的理解 题型三 题型探究 4.［江苏南京2024高二期末］分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新 的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图①的分形规律 可得如图②的一个树形图，记图②中第行黑圈的个数为，白圈的个数为 .若，则 ( ) D 图① 图② A.34 B.35 C.88 D.89 解析 由题可知，一个白圈在下一行产生一个白圈、一个黑圈，一个黑圈在下一行产生一个白圈、 两个黑圈，所以有，， . 又因为，，所以，，，，，， ， ，，，， .故选D. 6.［江苏淮阴七校2025联考］已知数列满足，， ，且 ，则 ___. 1 解析 由得，又,,，得，解得 . 则，所以 , . 5.已知数列满足，.若数列是常数列，则 ( ) A A. B. C.0 D. 解析 数列满足，， . 数列是常数列， ， 解得 故选A. 数列递推公式的理解 题型三 题型探究 22 数列的单调性 题型四 题型探究 7.下列数列的通项公式中， 是递减数列的是( ) A A. B. C. D. 解析 对于A，， 数列 为递减数列，A正确； 对于B，， 数列 为递增数列，B错误； 对于C，， 数列 为递增数列，C错误； 对于D， ， ， 当为奇数时，， 数列 不是递减数列， D错误.故选A. 8.设数列的通项公式，若数列 是递增数列，则正实数 的取值范围为 ( ) A A. B. C. D. 解析 由数列为递增数列，得，，而 ，则 ，,则，而恒成立，则 ， 所以正实数的取值范围为 .故选A. 23 数列的周期性 题型五 题型探究 9.［江苏西交大苏州附中2025高二期中］意大利数学家斐波那契的《计算之书》中记载了一个 有趣的数列1，1，2，3，5，8， ,这就是著名的斐波那契数列（从第三项开始,每一项都是它 前两项的和），该数列的前2 024项中的奇数有( ) C A.1 012个 B.1 348个 C.1 350个 D.1 352个 解析 将数列从第一项起，每三项分为一组，每组三个数中前两个都是奇数，最后一个是偶数， 又，故该数列前2 024项中有 （个）奇数.故选C. 10.［江苏南通海安高级中学2025段考］已知数列满足,，则 ( ) A A. B. C.2 D.3 解析 由,可得，即 ；又，可得 ， 所以数列是周期为2的周期数列，因此 .故选A. 忽略数列与函数的区别致错 题型五 题型探究 11.［江苏苏州2025高二月考］已知数列是递增数列，且对于任意, ， 则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 解析 因为，且数列 是递增数列，所以，即 .故选C. 12.已知数列满足,若 为递减数列，则实数 的取值范围 为( ) C A. B. C. D. 解析 由于 为递减数列，所以即 解得 .故选C. 易错警示 分段数列的单调性，要注意与分段函数的区别 对递推公式变形时忽略n的取值变化而致错 题型六 13.已知数列满足,则 _ ___________________. 题型探究 解析 当时，.由条件知,所以当 时， ,两式相除得.经检验 时不符合.所以 易错解为,忽略时的情形.注意在对数列的公式进行变形时，常常会改变 的取值 范围，要善于根据的表达形式确定 的取值范围. 易错警示 数列 定义 本质：函数 表示方法：列表、图像、通项公式及递推公式。 按一定次序排列的一列数称为数列， 数列中的每一个数都叫做这个数列的项。 数列的一般形式可以写成，，，简记为 。 项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列． 数列可以看成从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数 课堂小结 27 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 $