4.1第2课时 数列的递推公式 学案-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

第2课时　数列的递推公式 [学习目标]　1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求数列的前几项.2.进一步理解数列与函数的关系． 一、数列的递推公式 某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位． 问题1　写出前五排座位数． 问题2　第n排与第n＋1排座位数有何关系？ 问题3　第n排座位数an与第n＋1排座位数an＋1能用等式表示吗？ 知识梳理 一般地，如果已知一个数列的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用______来表示，那么这个公式就叫作这个数列的______． 例1　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a2 023. 反思感悟　递推公式反映的是相邻两项(或多项)之间的关系．对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性． 跟踪训练1　已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第3项是(　　) A．1 B. C. D. 二、由递推公式求通项公式 例2　(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an等于(　　) A. B. C. D. (2)已知数列满足a1＝1，an＋1＝an，则an等于(　　) A．n＋1 B．n C. D. 反思感悟　由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式． (2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法； ②an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的，且不为0)，使用累乘法或迭代法． 跟踪训练2　(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋－(n≥2)，求an. (2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求an. 三、数列的单调性与最值 问题4　在数列的通项公式中，给定任意的序号n，就会有唯一确定的an与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？ 知识梳理 通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为正整数的函数． 例3　已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·n，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由． 反思感悟　(1)研究数列单调性的方法 ①定义法：通过判断an＋1－an与0的大小关系来得出an＋1与an的大小关系，从而得到an的单调性． ②转化为函数的单调性：令an＝f(n)，通过研究函数f(x)的单调性来确定f(n)即an的单调性． (2)求数列最值的方法 ①数列的单调性法：通过研究通项公式an的单调性来研究最大(小)项． ②不等式组法：先假设有最大(小)项．不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值． 跟踪训练3　已知数列an＝n2－6n＋5，则该数列中最小项的序号是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 1．知识清单： (1)数列的递推公式． (2)由递推公式求数列的通项公式． (3)数列的单调性与最值． 2．方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法． 3．常见误区：累加法、累乘法中不注意检验首项是否符合通项公式． 1．已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 2．在数列中，an＝，则(　　) A．是常数列 B．不是单调数列 C．是递增数列 D．是递减数列 3．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2 024的值为(　　) A．2 B．1 C. D. 4． 在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，n∈N*，则该数列从第______项开始递增，该数列的最小值为________． 第2课时　数列的递推公式 问题1　20,22,24,26,28. 问题2　第n＋1排比第n排多2个座位． 问题3　能．an＋1＝an＋2. 知识梳理 一个公式　递推公式 例1　解　因为a1＝2，an＋1＝，n∈N*， 所以a2＝＝＝－3， a3＝＝＝－， a4＝＝＝， a5＝＝＝2＝a1， … 所以{an}是周期为4的数列， 所以a2 023＝a4×505＋3＝a3＝－. 跟踪训练1　C　[因为a1＝1，an＋1＝an＋，则a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝.] 例2　(1)B　[方法一　(归纳法)　数列的前5项分别为 a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝， a3＝＋－＝2－＝， a4＝＋－＝2－＝， a5＝＋－＝2－＝， 又a1＝1， 由此可得数列的一个通项公式为an＝. 方法二　(迭代法)　a2＝a1＋1－， a3＝a2＋－，…， an＝an－1＋－(n≥2)， 则an＝a1＋1－＋－＋－ ＋…＋－ ＝2－＝(n≥2)． 又a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*)． 方法三　(累加法)　an＋1－an＝－， a1＝1， a2－a1＝1－， a3－a2＝－， a4－a3＝－， … an－an－1＝－(n≥2)， 以上各项相加得 an＝1＋1－＋－＋…＋－. 所以an＝(n≥2)． 因为a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*)．] (2)D　[由题意，因为数列满足an＋1＝an，所以＝， 所以an＝··…···a1＝××…×××1＝.] 跟踪训练2　(1)解　因为an＝an－1＋－(n≥2)， 所以an－an－1＝－. 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋1 ＝－＋1. 又a1＝1也符合上式， 所以an＝－＋1，n∈N*. (2)解　因为ln an－ln an－1＝1，所以ln ＝1， 即＝e(n≥2)． 所以an＝··…··a1 ＝en－1(n≥2)， 又a1＝1也符合上式， 所以an＝en－1，n∈N*. 问题4　函数． 例3　解　方法一　an＋1－an＝(n＋2)n＋1 －(n＋1)n＝， 当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an. 则a1<a2<a3<…<a9＝a10 且a10>a11>a12>…， 故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×9. 方法二　根据题意，令 即 解得9≤n≤10. 又n∈N*，则n＝9或n＝10. 故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×9. 跟踪训练3　A　[因为an＝－4＝2－4， 所以当n＝3时，an取得最小值．] 随堂演练 1．D　[因为a1＝2，an＋1＝an＋n，所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，a3＝a2＋2＝3＋2＝5，a4＝a3＋3＝5＋3＝8.] 2．D　[在数列中，an＝＝1＋， 由反比例函数的性质得是递减数列．] 3．A　[an·an＋2＝an＋1(n∈N*)， 由a1＝1，a2＝2，得a3＝2， 由a2＝2，a3＝2，得a4＝1， 由a3＝2，a4＝1，得a5＝， 由a4＝1，a5＝，得a6＝， 由a5＝，a6＝，得a7＝1， 由a6＝，a7＝1，得a8＝2， 由此推理可得数列{an}是一个周期为6的周期数列，所以a2 024＝a337×6＋2＝a2＝2.] 4．4　－36 解析　因为an＋1－an＝2n－7，所以当an＋1－an>0时，n>，故数列{an}从第4项开始递增． an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，根据二次函数的性质知，当n＝4时，an取得最小值－36， 即这个数列有最小值，最小值为－36. 学科网（北京）股份有限公司 $$