精品解析：云南省昆明市第一中学宜良学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷

昆一中宜良学校2024-2025学年高二上学期9月月考试卷 数学科目 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知两点到直线的距离相等，则（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或 5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 正方体中，为的中点，则直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则 B. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 C. 两个不同的平面α，β的法向量分别是，则 D. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 10. 设为实数，直线的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 当变化时，恒过定点 B. 若，则在轴，轴上的截距之和为4 C. 若，则的斜率为1 D. 当时，点关于直线的对称点坐标为 11. 如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，是上的动点.则（ ） A. 为的中点时，平面平面 B. 为的中点时，点到平面的距离为 C. 存在点使得直线与平面所成的角为 D. 为所在直线的动点，则的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则在方向上的投影向量是______. 13. 已知直线，若且，则__________. 14. 设,过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知顶点、、. （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 16. 已知内角所对的边分别为，． （1）求； （2）若，，求的周长． 17. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，是的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 云南师大附中在组织选拔数学英才班的过程中，对高一年级的300名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，学校将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． （1）求的值，并估计此次校内测试分数的平均值； （2）学校要求按照分数从高到低选拔首100名的学生进行培训，试估计这100名学生的最低分数（计算结果保留一位小数）； （3）试估计这300名学生的分数的方差，并判断此次得分为63分和86分的两名同学的成绩是否进入到了范围内？ （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）． 19. 如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆一中宜良学校2024-2025学年高二上学期9月月考试卷 数学科目 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线一般式化为斜截式，利用斜率与倾斜角的关系即可得解. 【详解】因为直线，可化为， 所以直线的斜率为（其中为直线的倾斜角）， 又，所以. 故选：C. 2. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知化简得出，即可根据复数的几何意义得出答案. 【详解】由， 可知复数在复平面内所对应的点为，该点位于第四象限． 故选：D． 3. 已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知直线的斜率为，再根据点斜式方程求解即可. 【详解】解：因为直线的斜率为，直线与直线平行， 所以，直线的斜率为， 因为直线经过点， 所以，直线的方程为：，即 故选：A 4. 已知两点到直线的距离相等，则（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】分在的同侧和异侧分类讨论求解. 【详解】（1）若在的同侧， 则，所以，， （2）若在的异侧， 则的中点在直线上， 所以解得, 故选:D. 5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由和差角公式以及辅助角公式即可化简求解. 【详解】根据题意，，即， 故， 故选：A 7. 正方体中，为的中点，则直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】平移直线到，将直线DP与所成的角转化为DP与所成的角，利用几何求法求解即可. 【详解】 连接，根据正方体的性质可知， 所以或其补角为直线 DP与所成的角， 因为平面，⊂平面，所以又， ，⊂平面，所以平面 又平面，所以 设正方体的棱长为2，则 在中， 所以故直线与所成的角的正切值为. 故选: C. 8. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据和进行分类讨论，结合余弦函数的值域计算出的范围，则倾斜角的取值范围可知. 【详解】当时，此时直线方程，垂直于轴，所以倾斜角； 当时，此时直线的斜率， 因为，所以， 结合正切函数的图象可知， 综上所述，倾斜角的取值范围是， 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则 B. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 C. 两个不同的平面α，β的法向量分别是，则 D. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由直线方向向量的平行判断直线平行，由直线的方向向量与平面的法向量的平行与垂直判断直线与平面的平行与垂直，由两平面的法向量的垂直判断两平面垂直． 【详解】对于A，由，得，所以，所以，故A正确； 对于B，假设，则存在唯一得实数λ，使得，即，所以无解，所以不共线，所以l，α不垂直，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，因为，所以不垂直，所以l，α不平行，故D错误． 故选：AC． 10. 设为实数，直线的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 当变化时，恒过定点 B. 若，则在轴，轴上的截距之和为4 C. 若，则的斜率为1 D. 当时，点关于直线的对称点坐标为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，将直线方程转化为，由解方程组即可；对于B，求出直线在轴，轴上的截距即可；对于C，化为斜截式即可得解；对于D，根据点关于直线的对称的求法，求得对称点的坐标. 【详解】对于A项，直线的方程为化为， 由，解得，所以直线恒过定点，A正确； 对于B项，时，，令，，令，， 此时在轴，轴上的截距之和为，B错误； 对于C项，由B项可知，故的斜率为1，C正确； 对于D项，时，， 设关于直线对称点坐标为， 则，解得， 即点关于直线的对称点坐标为，D错误. 故选：AC 11. 如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，是上的动点.则（ ） A. 为的中点时，平面平面 B. 为的中点时，点到平面的距离为 C. 存在点使得直线与平面所成的角为 D. 为所在直线的动点，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由几何体性质，利用面面垂直的判定定理即可判断A正确，建立空间直角坐标系并求得平面的法向量，再利用点到平面距离的向量求法可得B正确，由线面角的向量求法得到方程，根据方程无解可判断C错误，以为旋转轴将四边形旋转至四边形位置，则由三角形三边关系可知当三点共线时，取得最大值为，可判断D正确. 【详解】对于A，由题可知，半圆柱和三棱柱的底面在同一平面内，由圆柱性质可知平面， 又平面，， 为的中点，， ， ，即. 又平面，且，平面， 平面，平面平面.故A正确； 对于B，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 为的中点，， 则， 设平面的一个法向量， 则，令，则，所以. ，点到平面的距离为.故B正确； 对于C，设点，其中， 是上的动点，弧所在圆的圆心（即线段的中点）坐标为，半径为， ，即. ，， 设平面的一个法向量， 则，令，则，所以. 若直线与平面所成的角为， 则， 由可得，代入上式整理得， 由可知此方程无解， 所以不存在点使得直线与平面所成的角为，故C错误； 对于D，如图， 以为旋转轴将四边形旋转至四边形位置，则平面平行于底面， 且， 则由三角形两边之差小于第三边可知，当三点共线时，取得最大值为， 又弧所在圆的圆心为，半径为， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则在方向上的投影向量是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量模的坐标运算求得，然后代入投影向量公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以在方向上的投影向量是. 故答案为： 13. 已知直线，若且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由两直线平行和垂直关系求解. 【详解】因为直线，且， 所以，解得，经检验成立， 因为直线，且， 所以，解得， 所以. 故答案为： 14. 设,过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据已知直线确定所过的定点坐标，再根据直线垂直的判定易得，由两点距离公式、勾股定理及基本不等式求目标式的最大值，注意等号成立条件. 【详解】由题设知：，， 对任意，有则两条动直线垂直，即，又， 所以， 由基本不等式，当且仅当时等号成立， 因此所求最大值为5． 故答案为：5. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知顶点、、. （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据，，即可得的中点及斜率，进而根据点斜式可得其垂直平分线方程； （2）当直线过坐标原点时可直接求得直线方程；当直线不过坐标原点时，可根据直线的截距式进行求解. 【小问1详解】 由、可知中点为，且， 设边的垂直平分线的斜率为， 所以垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； 【小问2详解】 当直线过坐标原点时，其斜率，此时直线方程为，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为， 综上所述，直线的方程为或. 16. 已知内角所对的边分别为，． （1）求； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，及二倍角公式化简求解； （2）由得，结合余弦定理求得，得解. 【小问1详解】 由正弦定理及二倍角公式得， 因为，所以，，故， 所以. 【小问2详解】 由，得，则， 由余弦定理得， 所以，故， 所以周长为. 17. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，是的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：取的中点为，连接、， 因为、分别是、的中点，所以且， 又且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接、，即可证明四边形是平行四边形，从而得到，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为，底面，所以两两互相垂直，以为坐标原点， 以分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示， 则， 则， 设平面的一个法向量为，所以， 即，令，则， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 云南师大附中在组织选拔数学英才班的过程中，对高一年级的300名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，学校将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． （1）求的值，并估计此次校内测试分数的平均值； （2）学校要求按照分数从高到低选拔首100名的学生进行培训，试估计这100名学生的最低分数（计算结果保留一位小数）； （3）试估计这300名学生的分数的方差，并判断此次得分为63分和86分的两名同学的成绩是否进入到了范围内？ （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）． 【答案】（1） （2） （3）； 得分为63分的同学的成绩没有进入到范围， 得分为86分的同学的成绩进入到范围了. 【解析】 【分析】（1）先由各组的频率和为1，求出，然后利用平均数的定义可求出， （2）先求出这100名学生的最低分数就是该次校内测试分数的分位数，然后利用百分位的定义求解即可， （3）先利用方差公式求出方差后再判断即可 【小问1详解】 ，所以， 所以该次校内考试测试分数的平均数的估计值为： 分. 【小问2详解】 因为， 设这100名学生的最低分数为， 则，解得 所以这100名学生的最低分数的估计值为分. 【小问3详解】 ， ， 故得分为63分的同学的成绩没有进入到内， 得分为86分的同学的成绩进入到了内. 即：得分为63分的同学的成绩没有进入到范围， 得分为86分的同学的成绩进入到范围了. 19. 如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：在图1中，由，，得，则， 所以，由，得，即， 在图2中，，取的中点，连接，由为的中点， 得，则，由，得，而， 平面，则平面，又平面，所以. （2） （3）线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且 【解析】 【分析】（1）在平面图形中证得，，取的中点，连接，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）由（2）中信息，利用点到平面的距离的向量公式计算得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知及（1）得平面平面，平面平面，， 于是平面，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为， 则， 由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 假设线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为， 在中，，所以， 因为三棱锥的体积为，设点到平面的距离为， 所以，所以，所以点到平面的距离为， 令，由（2）得，， 又平面的法向量为， 则点到平面的距离为，解得， 线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $