第2章 一元二次方程（章节复习检测中等卷）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册优选题练习卷

2025-2026学年北师大版数学九年级上册章节复习检测中等卷 第2章 一元二次方程 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.54 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（本题2分）（25-26九年级上·河北保定·阶段练习）下列一元二次方程中，有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此此题可根据“当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，当时，一元二次方程有两个相等的实数根，当时，一元二次方程没有实数根”进行排除选项即可． 【规范解答】解：A、由可知：，所以原方程没有实数根，故不符合题意； B、由可知：，所以原方程没有实数根，故不符合题意； C、由可知：，所以原方程没有实数根，故不符合题意； D、由可知：，所以原方程有两个不相等的实数根，故符合题意； 故选：D． 2．（本题2分）（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）据山东省工信厅对重点车企的排产调研，预计2025年10月全省新能源汽车整车的产量约万辆，按计划12月将达到万辆．若11，12两月的月平均增长率为，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设11，12两月的月平均增长率为，根据10月全省新能源汽车整车的产量约万辆，12月将达到万辆，列出方程即可． 【规范解答】解：设11，12两月的月平均增长率为，根据题意得： ． 故选：A． 3．（本题2分）（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）用配方法解方程，方程应变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了配方法解一元二次方程，首先把常数项移到等号的右边，可得：，把方程的两边同时加上，把等号左边凑成完全平方式，可得：，再把等号左边的用完全平方公式分解因式，可得：． 【规范解答】解：， 移项得：， 方程两边同时加上得：， 分解因式得：． 故选：C． 4．（本题2分）（25-26九年级上·重庆·开学考试）若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【思路引导】本题考查根据一元二次方程的解求参数：熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，把代入一元二次方程得到，然后解关于m的一次方程即可． 【规范解答】解：把代入方程得， 解得：． 故选：C． 5．（本题2分）（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）定义：是一元二次方程的倒方程．下列四个结论中，错误的是（　　） A．如果是一元二次方程的倒方程的解，那么 B．如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根 C．如果一元二次方程无实数根，那么它的倒方程也无实数根 D．如果一元二次方程有两个不相等的实数根，那么它的倒方程也有两个不相等的实数根 【答案】D 【思路引导】本题考查一元二次方程的根的判别式（，用于判断方程根的情况）以及倒方程的定义．解题运用了方程根的判别式知识，通过计算原方程和倒方程的判别式来分析根的情况；解题关键是准确理解倒方程定义，熟练运用判别式判断根的个数；易错点是在分析选项D时，容易忽略特殊情况（如二次项系数为0的情况），导致错误判断． 根据倒方程的定义，结合一元二次方程根的判别式，对每个选项逐一分析．选项A，先写出原方程的倒方程，再将代入倒方程求解c；选项B，先判断出，然后分别求出原方程和倒方程的判别式，结合判断判别式的正负；选项C，先由原方程无实数根得出的范围，判断出，再计算倒方程的判别式并判断；选项D，通过举反例（如原方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为0），说明原方程有两个不相等实数根时，倒方程不一定有两个不相等实数根，从而得出该选项错误． 【规范解答】对于A：一元二次方程的倒方程是． 把代入倒方程，得， 解得． 该选项正确． 对于B：对于方程，判别式；由，得，其倒方程，判别式． ， 又， ，，这两个方程都有两个不相等的实数根． 该选项正确． 对于C：方程无实数根，则，即． 由，得，它的倒方程是的判别式， ， ，则，倒方程也无实数根． 该选项正确． 对于D：举反例：取，，，方程有两个不相等的实数根，其倒方程为（一元一次方程），只有一个实数根． 故“若原方程有两个不相等的实数根，倒方程也有两个不相等的实数根”不成立． 所以该选项错误． 故选：D． 6．（本题2分）（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知实数满足，则的值为（　　） A．或1 B．或6 C．6 D．1 【答案】D 【思路引导】本题考查换元法解一元二次方程以及完全平方数的非负性．解题运用了换元的思想，将设为t，把原方程转化为关于t的一元二次方程，简化计算；解题关键是通过换元降次，同时要注意利用完全平方数的非负性对求出的t的值进行取舍；易错点是容易忽略完全平方数的非负性，误将不符合条件的t值保留． 首先观察到方程中多次出现，所以采用换元法，设，将原方程转化为．然后用因式分解法解这个关于t的一元二次方程，得到或．接着，因为，而一个数的平方是非负的，所以t不能为负数，舍去，最终得到，即可得的值． 【规范解答】设，则原方程可化为． 得． 则或， 解得或． 又因为，一个数的平方是非负数，所以． 不符合要求，舍去，所以，即的值为1． 故选：D． 7．（本题2分）（25-26九年级上·山西吕梁·阶段练习）对于关于的一元二次方程，下列说法错误的是（　　） A．若方程的两个根是和，则 B．若，则方程有一个根是 C．若是方程的一个根，则一定有成立 D．若，且方程有实数根，则 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，根的与系数的关系，解一元二次方程以及根的判别式． 根据根的与系数的关系可判断A，根据一元二次方程的解法可判断B，根据一元二次方程的根可判断C，根据根的判别式可判断D，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：、∵方程的两个根是和， ∴， ∵， ∴， ∴，原选项说法正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，， ∴方程有一个根是，原选项说法正确，不符合题意； 、∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或，原选项说法不一定正确，符合题意； 、∵， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 8．（本题2分）（25-26九年级上·湖北十堰·阶段练习）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则每个支干长出（    ）支小分支． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用；设每个支干长出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57”得出一元二次方程，解方程可得答案． 【规范解答】解：设每个支干长出x个小分支，由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故每个支干长出7支小分支， 故选：B． 9．（本题2分）（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的应用，矩形的性质．设运动时间为，则，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设运动时间为，则，依题意，得： ， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 即当的面积等于时，运动时间为． 故选：A． 10．（本题2分）（24-25九年级上·新疆·期末）九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系． 假设全班有名学生，根据留言的数量，列出方程即可． 【规范解答】解：假设全班有名学生，根据题意得， 故选：C． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（本题2分）（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）“中国体育彩票杯”山东省冰球锦标赛在临港区威海冰球馆吹哨开赛，分别采用单循环赛和小组赛．若在单循环赛中（每两支队伍之间进行一场比赛）共进行了78场，则本次锦标赛共有参赛队伍 支． 【答案】13 【思路引导】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设本次锦标赛共有参赛队伍x支，由题意：有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了78场，列出方程，解方程即可． 【规范解答】解：设本次锦标赛共有参赛队伍x支， 根据题意得：， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴本次锦标赛共有参赛队伍13支． 故答案为：13． 12．（本题2分）（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）是关于的一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的定义，将代入方程，结合一元二次方程的定义求解即可． 【规范解答】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴，即， 解得：或2， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 13．（本题2分）（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）的两边分别是4和6，第三边的长度是方程的根，则的周长是 ． 【答案】13或14/14或13 【思路引导】本题主要考查了三角形三边的关系，解一元二次方程，三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求出第三边的长的取值范围，再解方程确定第三边的长，最后根据三角形周长计算公式求解即可． 【规范解答】解：∵的两边分别是4和6， ∴第三边的长， 解方程得或， ∵，， ∴第三边的长为3或4， ∴的周长是或， 故答案为：13或14． 14．（本题2分）（19-20九年级上·广东深圳·阶段练习）已知m是方程的一个根，则代数式的值等于 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关键． m是方程的一个根，即，然后再变形即可解答． 【规范解答】解：∵m是方程的一个根， ∴，即． 故答案为：． 15．（本题2分）（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）某药品原价是50元，经过连续两次降价后，价格变为32元，如果每次降价的百分率是相同的，那么每次降价的百分率是 . 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的降低率问题，熟练掌握解题模型是解题的关键． 设每次降价的百分率为，用含有x的代数式表示两次降价后的售价，与已知变化后的售价是相等的，从而列方程求解即可． 【规范解答】解：设药品每次降价的百分率为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这件药品每次降价的百分率是． 故答案为： 16．（本题2分）（25-26九年级上·河南鹤壁·阶段练习）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【规范解答】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（本题2分）（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段练习）定义一种新运算：※，例：．若，则的值为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，分和两种情况，列出方程解答即可，看懂新定义运算是解题的关键． 【规范解答】解：当，即时， ， 解得，（不合，舍去）； 当，即时， ， 解得，（不合，舍去）； 综上，的值为或， 故答案为：或． 18．（本题2分）（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）把方程化成的形式，则的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查配方法，将方程通过配方法转化为完全平方形式是解题的关键．将方程通过配方法转化为完全平方形式，确定和值后再相加即可． 【规范解答】 ， ， ，即， 则，， ， 故答案为：． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）先移项，然后把方程左边利用提公因式法分解因式，进而解方程即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 20．（本题6分）（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段练习）利民商场销售一种成本为20元/千克的水果，按24元/千克销售，每天可售出320千克．经过市场调查发现：每千克涨价1元，每天销售量就减少20千克，商场规定售价不低于24元/千克． (1)当这种水果售价为28元/千克时，分别求出每天的销售量和利润； (2)当商场这种水果每天销售利润为1500元时，求这种水果的售价； (3)请通过计算说明，这种水果每天销售利润能否达到2200元？如果能，求出相应售价．如果不能，请说明理由． 【答案】(1)每天销售量为240千克，每天利润为1920元 (2)25元/千克或35元/千克 (3)不能，理由见解析 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是根据题意，列出方程． （1）求出每天销售量，即可求解； （2）设这种水果的售价为元/千克，依题意列出方程，再解一元二次方程，即可解答本题； （3）设这种水果的售价为元/千克，，依题意列出方程，再利用判别式解答即可． 【规范解答】（1）解：当这种水果售价为28元/千克时， 每天销售量为：（千克）， 每天利润为：（元）， 当这种水果售价为28元／千克时，每天销售量为240千克，每天利润为1920元． （2）解：设这种水果的售价为元/千克， 依题意可列方程为，， 整理得， 解得 当时，销售量为300千克；当时，销售量为100千克． 这种水果的售价为25元/千克或35元／千克时，商场每天销售利润为1500元． （3）解：设这种水果的售价为元/千克，依题意可列方程为， 整理得：， 此时方程，方程无实数解， 这种水果每天销售利润不能达到2200元． 21．（本题8分）（25-26九年级上·河北保定·阶段练习）下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第______步开始出现了错误：此题的正确结果是____________； (2)用因式分解法解方程：． 【答案】(1)二；，； (2)，． 【思路引导】本题考查了等式的性质、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （）根据解题过程结合等式的性质，利用因式分解法解一元二次方程即可解答； （）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【规范解答】（1）解：他从第二步开始出现了错误， 正确解法： 或， ∴，， 故答案为：二；，； （2）解： 或， ∴，． 22．（本题8分）（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案． 【任务一】测量矩形空地的长和宽． 经测量，矩形的长为8米，宽为6米． 【任务二】拟定设计方案，按照的比例尺画出设计图纸． (1)第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为6厘米，在边上确定中点H，则的长应为____； 步骤二：在图纸上分别找到其他边的中点，顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图1．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； (2)第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ (3)第三小组计划设计的花坛部分整体为轴对称图形，请你帮助他们完成如下任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【思路引导】本题考查矩形的性质，一元二次方程的实际应用，设计轴对称图案，理解题意是解题的关键． （1）根据比例尺求出的长，根据中点求出的长即可； （2）设小路的宽为厘米时符合设计要求，根据题意，列出一元二次方程进行求解即可； （3）连接，交于点，两部分作为花坛即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：图纸上画出矩形的宽为6厘米，矩形的长为8米，宽为6米． 故， ∵H为边的中点， ∴， 故答案为：． （2）解：设小路的宽为时符合设计要求，根据题意，得 ， 整理，得， 解得，（舍去）， 答：当小路的宽为时符合设计要求； （3）解：如图，连接，交于点， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， 同理：， ∴， ∴，且阴影部分是轴对称图形； ∴第三小组计划设计的花坛部分符合要求． 23．（本题8分）（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动． (1)几秒后，的长度为？ (2)几秒后，的面积为？ (3)的面积能否为？请说明理由． 【答案】(1)秒； (2)秒或秒 (3)不能，理由见解析． 【思路引导】本题主要考查动点与几何图形的综合，理解动点的运动规律，掌握几何图形的面积计算方法，一元二次方程根的判别式等知识是解题的关键． 设运动秒时，的长度为，则有，，利用勾股定理可得：，解方程即可求出的值； 设秒后，的面积为，根据三角形的面积公式可得：，解方程即可求出的值； 设运动秒时，的面积为，可得方程，根据一元二次根式的判别式可知，所以方程无解，所以的面积不可能为． 【规范解答】（1）解：设运动秒时，的长度为， ，， ， ， 在中，， ， 整理得：， 解得：(负值，舍去)或， 答：秒后的长度为； （2）解：设秒后，的面积为， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：或， 答：秒或秒时，的面积为； （3）解：的面积不可能为． 理由如下： 设运动秒时，的面积为， 根据题意可得：， 整理得：， ， 方程无解， 的面积不可能为． 24．（本题8分）（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）若关于的一元二次方程的根均为整数，则称这个方程为“雅乐方程”．通过计算发现，任何一个“雅乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“雅乐方程”的“雅乐值”．例如：“雅乐方程”的两个根均为整数，其“雅乐值”． (1)下列方程：①；②；③．_________是“雅乐方程”（填序号）； (2)“雅乐方程”的“雅乐值”为_________； (3)若关于的一元二次方程是“雅乐方程”，若，且为整数，求的值． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键． （1）分别解方程求出三个方程的解，再根据“雅乐方程”的定义求解即可； （2）把原方程化为一般式，再根据“雅乐值”的定义求解即可； （3）求出判别式，根据得到，再根据任何一个“雅乐方程”的判别式一定为完全平方数求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 解得或，故方程不是“雅乐方程”； ∵， ∴， ∴， 解得或，故方程是“雅乐方程”； ∵， ∴， 解得或，故方程是“雅乐方程”； 故答案为：②③； （2）解；∵， ∴， ∴， ∴“雅乐方程”的“雅乐值”为； （3）解： ， ∵， ∴， ∴， ∵关于的一元二次方程是“雅乐方程”， ∴是完全平方数， ∴或， ∴（舍去）或． 25．（本题10分）（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段练习）学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田的长为米． (1)的长为________米（用含的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为180平方米，求的值； (3)通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 【答案】(1) (2)10 (3)不能 【思路引导】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据题意列出，计算整式的加减即可得； （2）根据题意建立方程，解方程求出的值，再根据位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米即可得； （3）根据题意建立方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【规范解答】（1）解：由题意得：（米）， 故答案为：． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：的值为10． （3）解：假设该实验田的面积能为240平方米， 则， 整理得：， 这个方程根的判别式为，方程没有实数根，假设不成立， 答：该实验田的面积不能为240平方米． 26．（本题10分）（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案． 【任务一】测量矩形空地的长和宽．经测量，矩形的长为8米，宽为6米． 【任务二】拟定设计方案，按照的比例尺画出设计图纸． （1）第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为6厘米，在图纸上分别找到其他边的中点，则的长应为 ； 步骤二：顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图1．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； （2）第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ （3）第三小组计划设计的花坛部分为轴对称图形，请你帮助他们完成任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 【答案】（1）5厘米（2）宽为2厘米时符合设计要求（3）见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理解三角形，解一元二次方程，矩形的性质，熟练掌握勾股定理并正确计算是解决本题的关键． （1）根据，，结合中点可得，，根据勾股定理求解即可； （2）先求解矩形面积，再表示出花坛总面积，根据“花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半”建立等量关系求解即可； （3）先由勾股定理求解出的长度，再根据面积的关系判断即可． 【规范解答】解：（1）∵，， 又∵点E与点F分别为与的中点， ∴，， 在中，厘米； 故答案为：5厘米； （2）设小路的宽为时符合设计要求， 矩形面积为平方厘米，平方厘米， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（舍去）， 答：当小路的宽为2厘米时符合设计要求； （3）连接，交于点O，则阴影两部分三角形区域作为花坛即可． 理由如下：根据矩形的性质，勾股定理，得厘米， 故厘米， 故， 故，且阴影部分是轴对称图形，故设计符合题意． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版数学九年级上册章节复习检测中等卷 第2章 一元二次方程 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.54 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（本题2分）（25-26九年级上·河北保定·阶段练习）下列一元二次方程中，有实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题2分）（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）据山东省工信厅对重点车企的排产调研，预计2025年10月全省新能源汽车整车的产量约万辆，按计划12月将达到万辆．若11，12两月的月平均增长率为，则可列方程（　　） A． B． C． D． 3．（本题2分）（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）用配方法解方程，方程应变形为（　　） A． B． C． D． 4．（本题2分）（25-26九年级上·重庆·开学考试）若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 5．（本题2分）（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）定义：是一元二次方程的倒方程．下列四个结论中，错误的是（　　） A．如果是一元二次方程的倒方程的解，那么 B．如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根 C．如果一元二次方程无实数根，那么它的倒方程也无实数根 D．如果一元二次方程有两个不相等的实数根，那么它的倒方程也有两个不相等的实数根 6．（本题2分）（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知实数满足，则的值为（　　） A．或1 B．或6 C．6 D．1 7．（本题2分）（25-26九年级上·山西吕梁·阶段练习）对于关于的一元二次方程，下列说法错误的是（　　） A．若方程的两个根是和，则 B．若，则方程有一个根是 C．若是方程的一个根，则一定有成立 D．若，且方程有实数根，则 8．（本题2分）（25-26九年级上·湖北十堰·阶段练习）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则每个支干长出（    ）支小分支． A．6 B．7 C．8 D．9 9．（本题2分）（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 10．（本题2分）（24-25九年级上·新疆·期末）九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为 （   ） A． B． C． D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（本题2分）（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）“中国体育彩票杯”山东省冰球锦标赛在临港区威海冰球馆吹哨开赛，分别采用单循环赛和小组赛．若在单循环赛中（每两支队伍之间进行一场比赛）共进行了78场，则本次锦标赛共有参赛队伍 支． 12．（本题2分）（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）是关于的一元二次方程的一个根，则 ． 13．（本题2分）（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）的两边分别是4和6，第三边的长度是方程的根，则的周长是 ． 14．（本题2分）（19-20九年级上·广东深圳·阶段练习）已知m是方程的一个根，则代数式的值等于 ． 15．（本题2分）（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）某药品原价是50元，经过连续两次降价后，价格变为32元，如果每次降价的百分率是相同的，那么每次降价的百分率是 . 16．（本题2分）（25-26九年级上·河南鹤壁·阶段练习）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 17．（本题2分）（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段练习）定义一种新运算：※，例：．若，则的值为 ． 18．（本题2分）（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）把方程化成的形式，则的值是 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）解方程： (1) (2) 20．（本题6分）（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段练习）利民商场销售一种成本为20元/千克的水果，按24元/千克销售，每天可售出320千克．经过市场调查发现：每千克涨价1元，每天销售量就减少20千克，商场规定售价不低于24元/千克． (1)当这种水果售价为28元/千克时，分别求出每天的销售量和利润； (2)当商场这种水果每天销售利润为1500元时，求这种水果的售价； (3)请通过计算说明，这种水果每天销售利润能否达到2200元？如果能，求出相应售价．如果不能，请说明理由． 21．（本题8分）（25-26九年级上·河北保定·阶段练习）下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第______步开始出现了错误：此题的正确结果是____________； (2)用因式分解法解方程：． 22．（本题8分）（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案． 【任务一】测量矩形空地的长和宽． 经测量，矩形的长为8米，宽为6米． 【任务二】拟定设计方案，按照的比例尺画出设计图纸． (1)第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为6厘米，在边上确定中点H，则的长应为____； 步骤二：在图纸上分别找到其他边的中点，顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图1．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； (2)第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ (3)第三小组计划设计的花坛部分整体为轴对称图形，请你帮助他们完成如下任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 23．（本题8分）（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动． (1)几秒后，的长度为？ (2)几秒后，的面积为？ (3)的面积能否为？请说明理由． 24．（本题8分）（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）若关于的一元二次方程的根均为整数，则称这个方程为“雅乐方程”．通过计算发现，任何一个“雅乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“雅乐方程”的“雅乐值”．例如：“雅乐方程”的两个根均为整数，其“雅乐值”． (1)下列方程：①；②；③．_________是“雅乐方程”（填序号）； (2)“雅乐方程”的“雅乐值”为_________； (3)若关于的一元二次方程是“雅乐方程”，若，且为整数，求的值． 25．（本题10分）（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段练习）学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田的长为米． (1)的长为________米（用含的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为180平方米，求的值； (3)通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 26．（本题10分）（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案． 【任务一】测量矩形空地的长和宽．经测量，矩形的长为8米，宽为6米． 【任务二】拟定设计方案，按照的比例尺画出设计图纸． （1）第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为6厘米，在图纸上分别找到其他边的中点，则的长应为 ； 步骤二：顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图1．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； （2）第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ （3）第三小组计划设计的花坛部分为轴对称图形，请你帮助他们完成任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 第 1 页 共 16 页 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