第2章 一元二次方程（章节复习检测培优卷）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册优选题练习卷

2025-2026学年北师大版数学九年级上册章节复习检测培优卷 第2章 一元二次方程 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（本题2分）（25-26九年级上·天津·开学考试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ）． A．2024 B．4 C．2022 D．0 【答案】B 【思路引导】本题考查一元二次方程根与系数关系． 根据一元二次方程根与系数关系，得到和的值，将代入方程可得，计算的值即可． 【规范解答】解：，， 将代入方程可得， ． 故选：B． 2．（本题2分）（25-26九年级上·四川自贡·阶段练习）若m，n是方程的两根，则代数式的值是（    ） A．15 B． C． D．29 【答案】A 【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系． 根据根与系数的关系得到，，进而得到， 代入计算即可． 【规范解答】若m，n是方程的两根， 则，， ∴，即 ， 故选：A． 3．（本题2分）（25-26九年级上·甘肃天水·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 根据一元二次方程的定义和方程有两个不相等的实数根，得到且，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且． 故选B． 4．（本题2分）（25-26九年级上·新疆和田·阶段练习）某超市1月份的营业额为200万元，3月份的营业额为450万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识，如果平均每月增长率为x，根据某超市1月份的营业额为200万元，则2月份的营业额为万元，3月份的营业额为万元，即可列方程． 【规范解答】解：根据题意，得， 故选：A． 5．（本题2分）（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）已知关于的方程的两根分别是方程两根的相反数，则的值为（   ）． A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】A 【思路引导】本题主要考查二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系，若是方程的根，则是解题的关键． 设方程的两根分别为，根据根与系数的关系可得，由题得分别是方程的两根，再利用根与系数的关系得，结合前面的关系即可求解． 【规范解答】设方程的两根分别为， 由根与系数的关系得， 又关于的方程的两根分别是方程两根的相反数， 所以方程的两根分别为， 由根与系数的关系得， ， 解得， ． 故选：A． 6．（本题2分）（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）若，则的值是（   ） A．或2 B．4 C．或4 D．2 【答案】D 【思路引导】本题考查代数式求值，涉及换元法、因式分解法解一元二次方程等知识，采用换元法转化成一元二次方程求解是解决问题的关键．令，将条件中的等式转化为一元二次方程，采用十字相乘法因式分解求解即可得到答案． 【规范解答】解：令， 则可化为， 即， ， 解得或， ， ，即的值是， 故选：D． 7．（本题2分）（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等，问：门高和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】此题主要考查一元二次方程的应用和勾股定理的应用．设门对角线长为x尺，则门高为尺，门宽为尺，根据勾股定理列出方程即可求解． 【规范解答】解：设门对角线长为x尺，则门高为尺，门宽为尺，由题意可知竿的长度为x尺． 根据勾股定理得， 故选：D． 8．（本题2分）（25-26九年级上·山西吕梁·阶段练习）在《代数学》中记载了求方程的正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，则得到的大正方形的面积为，则该方程的正数解为．小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的正方形．已知图2中阴影部分的面积为56，则该方程的正数解为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意并数形结合是解决问题的关键，根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积等于阴影部分的面积加四个小正方形的面积，从而可求得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可求解． 【规范解答】解：如图所示： 先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为， 则该方程的正数解为． 故选：C． 9．（本题2分）（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．下列方程是邻根方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查一元二次方程，掌握一元二次方程的解法，读懂题意、理解“邻根方程”是解决本题的关键．先解出一元二次方程的两个根，再根据两个根的差是否为“1”得结论． 【规范解答】解：A. ， ∴， ∴，， ∴方程不是“邻根方程”，选项A不符合题意； B.  ， ， 方程无实数根，选项B不符合题意； C. ， ∴， ∴， ∴，，， ∴方程不是“邻根方程”，选项C不符合题意； D. ， ， ∴， ∴，，， ∴方程是“邻根方程”，选项D符合题意； 故选：D． 10．（本题2分）（25-26九年级上·甘肃陇南·阶段练习）三角形两边长分别是和，第三边长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（  ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【思路引导】此题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意分类讨论思想，小心别漏解． 由，可利用因式分解法求得的值，然后分别从时，是等腰三角形；与时，是直角三角形去分析求解即可求得答案． 【规范解答】， 解得：，， 当时，则三角形是等腰三角形，如图：，，是高， ，， ， 当时，如图，，，， ， 是直角三角形，， ． 故选：B． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（本题2分）（19-20九年级上·广东深圳·阶段练习）已知m是方程的一个根，则代数式的值等于 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关键． m是方程的一个根，即，然后再变形即可解答． 【规范解答】解：∵m是方程的一个根， ∴，即． 故答案为：． 12．（本题2分）（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．由题意可得，，再将所求代数式变形为，最后整体代入即可求解． 【规范解答】解： ，是方程的两个实数根， ，，即， ， 故答案为：． 13．（本题2分）（25-26九年级上·河南鹤壁·阶段练习）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【规范解答】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（本题2分）（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段练习）定义一种新运算：※，例：．若，则的值为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，分和两种情况，列出方程解答即可，看懂新定义运算是解题的关键． 【规范解答】解：当，即时， ， 解得，（不合，舍去）； 当，即时， ， 解得，（不合，舍去）； 综上，的值为或， 故答案为：或． 15．（本题2分）（20-21九年级上·全国·单元测试）若是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，整体代入法求出分式的值即可． 【规范解答】解：由题意得， ∴； 故答案为：3． 16．（本题2分）（25-26九年级上·全国·阶段练习）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是 ． 【答案】13 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上内容． 根据解一元二次方程的步骤求出方程的根，然后根据三角形的三边关系进行验证，最后求出周长即可． 【规范解答】解： 或 或， 当时，，不能构成三角形，舍去； 当时，，能构成三角形； ∴此三角形的周长是， 故答案为：13． 17．（本题2分）（25-26九年级上·北京·阶段练习）近年来我国新能源汽车出口量快速增长，年出口量为万辆，年出口量为万辆，设新能源汽车出口量的年平均增长率为，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，设新能源汽车出口量的年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【规范解答】解：设新能源汽车出口量的年平均增长率为， 由题意得，， 故答案为：． 18．（本题2分）（25-26九年级上·重庆·阶段练习）从背面完全相同，正面分别标有数的四张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为，则使关于的方程有整数解且使关于的一元二次方程有正数解的概率为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了概率公式的应用、分式方程、一元二次方程解等知识点．掌握分式方程的解法是解题的关键． 先求得使关于x的方程有整数解，且使关于x的一元二次方程有正数解时的情况，再利用概率公式求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 当，即时原分式无解， ∴使关于x的方程有整数解的：，1，2； ∵， ∴，解得：， ∵关于x的一元二次方程x2+mx=0有正数解， ∴或， ∴使关于x的方程有整数解，且使关于x的一元二次方程有正数解的只有， ∴使关于x的一元二次方程有正数解的概率为：． 故答案为：． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26九年级上·陕西·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2)， 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【规范解答】（1）解： 或 或； （2）解： ，，， ， ， ，． 20．（本题6分）（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动． (1)几秒后，的长度为？ (2)几秒后，的面积为？ (3)的面积能否为？请说明理由． 【答案】(1)秒； (2)秒或秒 (3)不能，理由见解析． 【思路引导】本题主要考查动点与几何图形的综合，理解动点的运动规律，掌握几何图形的面积计算方法，一元二次方程根的判别式等知识是解题的关键． 设运动秒时，的长度为，则有，，利用勾股定理可得：，解方程即可求出的值； 设秒后，的面积为，根据三角形的面积公式可得：，解方程即可求出的值； 设运动秒时，的面积为，可得方程，根据一元二次根式的判别式可知，所以方程无解，所以的面积不可能为． 【规范解答】（1）解：设运动秒时，的长度为， ，， ， ， 在中，， ， 整理得：， 解得：(负值，舍去)或， 答：秒后的长度为； （2）解：设秒后，的面积为， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：或， 答：秒或秒时，的面积为； （3）解：的面积不可能为． 理由如下： 设运动秒时，的面积为， 根据题意可得：， 整理得：， ， 方程无解， 的面积不可能为． 21．（本题8分）（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）若关于的一元二次方程的根均为整数，则称这个方程为“雅乐方程”．通过计算发现，任何一个“雅乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“雅乐方程”的“雅乐值”．例如：“雅乐方程”的两个根均为整数，其“雅乐值”． (1)下列方程：①；②；③．_________是“雅乐方程”（填序号）； (2)“雅乐方程”的“雅乐值”为_________； (3)若关于的一元二次方程是“雅乐方程”，若，且为整数，求的值． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键． （1）分别解方程求出三个方程的解，再根据“雅乐方程”的定义求解即可； （2）把原方程化为一般式，再根据“雅乐值”的定义求解即可； （3）求出判别式，根据得到，再根据任何一个“雅乐方程”的判别式一定为完全平方数求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 解得或，故方程不是“雅乐方程”； ∵， ∴， ∴， 解得或，故方程是“雅乐方程”； ∵， ∴， 解得或，故方程是“雅乐方程”； 故答案为：②③； （2）解；∵， ∴， ∴， ∴“雅乐方程”的“雅乐值”为； （3）解： ， ∵， ∴， ∴， ∵关于的一元二次方程是“雅乐方程”， ∴是完全平方数， ∴或， ∴（舍去）或． 22．（本题8分）（2024·广东·模拟预测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)若为该方程的两个实数根，且满足． ①求k的值； ②若菱形的一条对角线的长为，另一条对角线的长为，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①②3 【思路引导】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，菱形的性质，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． （1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断； （2）利用根与系数的关系，求出的值，进而求出的长，根据菱形的面积公式进行计算即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴ ， ∴不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：①∵，为该方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由①知：， ∴，， ∴菱形的面积为． 23．（本题8分）（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？最小（或最大）值是多少？ 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值 （2）①矩形鸡场的面积为；②当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是平方米 【思路引导】本题主要考查配方法的运用，理解配方法的计算方法是关键． （1）根据材料提示的配方法求解即可； （2）①根据图示得到矩形的长及取值范围，由矩形的面积公式即可求解；②根据材料提示的配方法，结合矩形的面积公式即可求解． 【规范解答】解：（1） ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值； （2）①根据图示，矩形鸡场的长为米， ∵墙长24米， ∴， ∴， ∴矩形鸡场的面积为； ② ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最大值， ∴当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是平方米． 24．（本题8分）（25-26九年级上·甘肃天水·阶段练习）如图，在矩形中，，，点M从A点出发沿以速度向B点运动，同时点N从B点出发沿以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设点M、N的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，？ (2)当t为何值时，的面积是面积的一半？ 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据矩形性质和，得到，根据勾股定理得到，得到，解得； （2）根据，，可得，，根据，得到，解得，取． 【规范解答】（1）解：∵在矩形中，，， 且， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故当t值为1或时，； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 化简得， 解得， ∵， ∴， ∴当t值为3时，的面积是面积的一半． 【考点剖析】本题主要考查了矩形与动点．熟练掌握矩形性质，写动点移动距离表达式，勾股定理，三角形面积公式，是解题的关键． 25．（本题10分）（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形的边长为，动点P从点B出发，以的速度沿的方向向点D运动；动点Q从点A出发，以的速度沿的方向向点B运动．若两点同时出发，运动时间为． (1)连接，是否存在t的值，使的面积为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (2)当点P在上运动时，直接写出使是以为一腰的等腰三角形的t的值． 【答案】(1)不存在，见解析 (2)的值为或 【思路引导】本题考查了正方形、一元二次方程、等腰三角形的相关知识，解决本题的关键是分类讨论思想的运用． （1）根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解； （2）根据勾股定理、等腰三角形的性质得出一元二次方程，分情况讨论以为腰的等腰三角形即可说明． 【规范解答】（1）解：不存在， 理由：当点在上，即时， ，， ，． ， ， 解得，，均不合题意，舍去． 当点在上，即时， ，． ∵， ∴，解得(不合题意，舍去)． 不存在的值，使的面积为 ． （2）由题意，得 ，， ，． 当时，由题意，得，， ， ，即， 解得． 当时，在中，， 在中，， ，解得不合题意，舍去，． 综上：的值为或． 26．（本题10分）（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）定义：我们把关于的一元二次方程 与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是 (1)写出一元二次方程的“友好方程”：________； (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为_________．根据以上结论，猜想 的两根与其“友好方程” 的两根之间存在的一种特殊关系为_______，请证明你的结论； (3)已知关于的方程的两根是．请利用（2）中的结论，直接写出关于的方程的两根． 【答案】(1) (2)，互为倒数，见解析 (3) 【思路引导】本题考查了二次方程根的应用： （1）根据题意直接可得到答案； （2）求出的两根，与的两根对比即可得到关系；证明见解析； （3）利用（2）中结论求出其友好方程的根，再将看作整体即可求解． 【规范解答】（1）解：根据题意可知的“友好方程”是：， 故答案为：； （2）解：， ， ， 解得； 根据以上结论，猜想 的两根与其“友好方程” 的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数； 故答案为：，互为倒数； 证明：解方程， 当时，． 解方程， 得， ∴ ． 故原方程的两根与其“友好方程”的两根互为倒数； （3）解：关于的方程的两根为． ∵方程的两根是， ∴其“友好方程”的两根为2025． ，即， 将看作整体，则或， ∴． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版数学九年级上册章节复习检测培优卷 第2章 一元二次方程 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（本题2分）（25-26九年级上·天津·开学考试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ）． A．2024 B．4 C．2022 D．0 2．（本题2分）（25-26九年级上·四川自贡·阶段练习）若m，n是方程的两根，则代数式的值是（    ） A．15 B． C． D．29 3．（本题2分）（25-26九年级上·甘肃天水·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 4．（本题2分）（25-26九年级上·新疆和田·阶段练习）某超市1月份的营业额为200万元，3月份的营业额为450万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（   ） A． B． C． D． 5．（本题2分）（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）已知关于的方程的两根分别是方程两根的相反数，则的值为（   ）． A．-2 B．-1 C．0 D．1 6．（本题2分）（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）若，则的值是（   ） A．或2 B．4 C．或4 D．2 7．（本题2分）（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等，问：门高和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（  ） A． B． C． D． 8．（本题2分）（25-26九年级上·山西吕梁·阶段练习）在《代数学》中记载了求方程的正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，则得到的大正方形的面积为，则该方程的正数解为．小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的正方形．已知图2中阴影部分的面积为56，则该方程的正数解为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（本题2分）（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．下列方程是邻根方程的是（   ）． A． B． C． D． 10．（本题2分）（25-26九年级上·甘肃陇南·阶段练习）三角形两边长分别是和，第三边长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（  ） A． B．或 C．或 D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（本题2分）（19-20九年级上·广东深圳·阶段练习）已知m是方程的一个根，则代数式的值等于 ． 12．（本题2分）（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 13．（本题2分）（25-26九年级上·河南鹤壁·阶段练习）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 14．（本题2分）（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段练习）定义一种新运算：※，例：．若，则的值为 ． 15．（本题2分）（20-21九年级上·全国·单元测试）若是一元二次方程的两个根，则 ． 16．（本题2分）（25-26九年级上·全国·阶段练习）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是 ． 17．（本题2分）（25-26九年级上·北京·阶段练习）近年来我国新能源汽车出口量快速增长，年出口量为万辆，年出口量为万辆，设新能源汽车出口量的年平均增长率为，根据题意可列方程为 ． 18．（本题2分）（25-26九年级上·重庆·阶段练习）从背面完全相同，正面分别标有数的四张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为，则使关于的方程有整数解且使关于的一元二次方程有正数解的概率为 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26九年级上·陕西·期中）解方程： (1)； (2) 20．（本题6分）（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动． (1)几秒后，的长度为？ (2)几秒后，的面积为？ (3)的面积能否为？请说明理由． 21．（本题8分）（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）若关于的一元二次方程的根均为整数，则称这个方程为“雅乐方程”．通过计算发现，任何一个“雅乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“雅乐方程”的“雅乐值”．例如：“雅乐方程”的两个根均为整数，其“雅乐值”． (1)下列方程：①；②；③．_________是“雅乐方程”（填序号）； (2)“雅乐方程”的“雅乐值”为_________； (3)若关于的一元二次方程是“雅乐方程”，若，且为整数，求的值． 22．（本题8分）（2024·广东·模拟预测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)若为该方程的两个实数根，且满足． ①求k的值； ②若菱形的一条对角线的长为，另一条对角线的长为，求菱形的面积． 23．（本题8分）（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？最小（或最大）值是多少？ 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 24．（本题8分）（25-26九年级上·甘肃天水·阶段练习）如图，在矩形中，，，点M从A点出发沿以速度向B点运动，同时点N从B点出发沿以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设点M、N的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，？ (2)当t为何值时，的面积是面积的一半？ 25．（本题10分）（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形的边长为，动点P从点B出发，以的速度沿的方向向点D运动；动点Q从点A出发，以的速度沿的方向向点B运动．若两点同时出发，运动时间为． (1)连接，是否存在t的值，使的面积为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (2)当点P在上运动时，直接写出使是以为一腰的等腰三角形的t的值． 26．（本题10分）（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）定义：我们把关于的一元二次方程 与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是 (1)写出一元二次方程的“友好方程”：________； (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为_________．根据以上结论，猜想 的两根与其“友好方程” 的两根之间存在的一种特殊关系为_______，请证明你的结论； (3)已知关于的方程的两根是．请利用（2）中的结论，直接写出关于的方程的两根． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $