山东省淄博市临淄区临淄益中外语学校2025-2026学年九年级上学期月考数学试题

【2025.10.10】初四上月考数学试卷-临淄益中外语 一．选择题（共10小题） 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 2．已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，cosA，则AC的长为（　　） A．5 B．8 C．12 D．13 4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣1（k≠0）和的图象大致是（　　） A． B． C． D． 5．如图，双曲线y的一个分支为（　　） A．① B．② C．③ D．④ 6．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（　　） A．（6）米 B．12米 C．（4+2）米 D．6米 7．下面四个图中反比例函数的表达式均为，则阴影部分的图形的面积为3的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y（x＜0），y（x＞0）的图象上，则sin∠ABO的值为（　　） A． B． C． D． 9．如图是由全等的含60°角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A，B，C在格点上，则tan∠CAB的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图所示，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（　　） A．2 B． C． D． 二．填空题（共5小题） 11．若函数y＝16x与y的图象有一个交点是，则另一个交点坐标是　 　 ． 12．在△ABC中，∠C＝90°，tanA，则cosB＝　 　 ． 13．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C都在格点上，则tan∠BAC的值为　 　 ． 14．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在线段BC上，且BD＝3CD，函数的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，顺次连结点D、O、M，若△ODM的面积为4.5，则k的值为　 　 ． 15．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线y（x＞0）上，BC与x轴交于点D．若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．计算：（1）； （2）． 17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝3，，求BC的长． 18．如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西60°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？ 19．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y（m≠0）的图象相交于点A（1，2），B（a，﹣1）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）请直接写出不等式kx+b0的解集． （3）x轴上是否存在一点P，使S△ABP＝S△AOB？ 若存在，请求出点P坐标；若不存在，说明理由． 20．如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点． （1）求此反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）在x轴上找一点C使△ABC 的周长最小，求点C坐标； （3）在y轴上是否存在一点P，使A、O、P的三点围成等腰三角形，若存在直接写出点P坐标；若不存在请说明理由． 21．某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度，BE＝6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°． （1）求点B离水平地面的高度AB． （2）求电线塔CD的高度（结果保留根号）． 22．某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： （1）这个恒温系统设定的恒定温度为多少℃； （2）求全天的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系式； （3）若大棚内的温度低于12℃时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 23．矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y（k＞0）的图象与边AC交于点E． （1）当点F运动到边BC的中点时，点E的坐标为　 　 ． （2）连接EF，求∠EFC的正切值； （3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求BG的长度． 【2025.10.10】初四上月考数学试卷-临淄益中外语 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C A C A A B D B A B 一．选择题（共10小题） 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．∵， ∴y＝﹣x，y是x的正比例函数，故本选项不符合题意； B.，可以变成，y是x的反比例函数，故本选项符合题意； ，y是x+1的反比例函数，故本选项不符合题意； ，y是x的正比例函数，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 【解答】解：在反比例函数y中k＜0，反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵C（3，y3）在第四象限， ∴y3＜0， ∵﹣2＜﹣1， ∴0＜y1＜y2， ∴y3＜y1＜y2， 故选：C． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，cosA，则AC的长为（　　） A．5 B．8 C．12 D．13 【解答】解：∵cosA，即，AB＝13， ∴AC＝AB•cosA＝5， 故选：A． 4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣1（k≠0）和的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx﹣1（k≠0）经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限； 当k＜0时，一次函数y＝kx﹣1（k≠0）经过二、三、四象限，反比例函数经过一、三象限． 故选：C． 5．如图，双曲线y的一个分支为（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【解答】解：∵在y中k＝﹣6＜0， ∴图象的两个分支分别位于第二、四象限，排除③④， 又当x＝﹣2时，y＝3，排除②， 故正确答案应该为①． 故选：A． 6．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（　　） A．（6）米 B．12米 C．（4+2）米 D．6米 【解答】解：延长AC交BF延长线于D点， 则∠CFE＝30°，作CE⊥BD于E， 在Rt△CFE中，∠CFE＝30°，CF＝4m， ∴CE＝2（米），EF＝4cos30°＝2（米）， 在Rt△CED中， ∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE＝2，CE：DE＝1：2， ∴DE＝4（米）， ∴BD＝BF+EF+ED＝8+24＝12+2（米）， 在Rt△ABD中，ABBD（12+2）＝（6）（米）， 故选：A． 7．下面四个图中反比例函数的表达式均为，则阴影部分的图形的面积为3的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：第1个图中，阴影面积为3， 故符合题意； 第2个图中，阴影面积为， 故不符合题意； 第3个图中，阴影面积为， 故符合题意； 第4个图中，阴影面积为， 故不符合题意； 故选：B． 8．在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y（x＜0），y（x＞0）的图象上，则sin∠ABO的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E， ∵点A在反比例函数y（x＜0）上，点B在y（x＞0）上， ∴S△AOD，S△BOE＝2， 又∵∠AOB＝90° ∴∠AOD＝∠OBE， ∴△AOD∽△OBE， ∴（）2， ∴ 设OA＝m，则OB＝2m，AB， 在Rt△AOB中，sin∠ABO 故选：D． 9．如图是由全等的含60°角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A，B，C在格点上，则tan∠CAB的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图所示，连接BE，交AC于点D 设菱形的边长为a， ∴BD＝3a，DE＝2a，AE＝4a，． ∴． 故选：B． 10．如图所示，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：连接AC交MN于点F，设AB＝2m，则BC＝2AB＝4m， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∴AC2m， ∵将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处， ∴点C与点A关于直线MN对称， ∴AM＝CM，MN垂直平分AC， ∴BM＝BC﹣CM＝4m﹣AM，∠AFM＝90°，AF＝CFACm， ∵AB2+BM2＝AM2， ∴（2m）2+（4m﹣AM）2＝AM2， ∴AMm， ∴MFm， ∴tan∠AMN2， 解法2：∵∠ABC＝∠CFM，∠ACB＝∠ACB， ∴△ABC∽△MFC， ∴∠AMF＝∠CMF＝∠BAC， ∵tan∠BAC2， ∴tan∠AMF＝2； 故选：A． 二．填空题（共5小题） 11．若函数y＝16x与y的图象有一个交点是，则另一个交点坐标是　　 ． 【解答】解：∵两函数图象关于原点对称， ∴两函数图象交点关于原点对称， ∴的对称点为（，﹣4）． 故答案为（，﹣4）． 12．在△ABC中，∠C＝90°，tanA，则cosB＝　　 ． 【解答】解：法一： 利用三角函数的定义及勾股定理求解． ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA， 设ax，b＝3x，则c＝2x， ∴cosB． 法二： 利用特殊角的三角函数值求解． ∵tanA ∴∠A＝30°， ∵∠C＝90° ∴∠B＝60°， ∴cosB＝cos60°． 故答案为：． 13．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C都在格点上，则tan∠BAC的值为　　 ． 【解答】解：如图，连接BC． 根据勾股定理可得AC2＝22+22＝8， BC2＝12+12＝2， AB2＝12+32＝10， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°， ∴tan∠BAC． 故答案为：． 14．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在线段BC上，且BD＝3CD，函数的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，顺次连结点D、O、M，若△ODM的面积为4.5，则k的值为　6　 ． 【解答】解：如图，连接BM． 由条件可知点O、M、B三点共线，且OM＝BM，△DOB的面积为9， ∵BD＝3CD． ∴， ∴k＝2S△COD＝6， 故答案为：6． 15．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线y（x＞0）上，BC与x轴交于点D．若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为　（4，）　 ． 【解答】解：∵矩形OABC的顶点A、B在双曲线y（ x＞0）上，点A的坐标为（1，2）， ∴2， 解得：k＝2， ∴双曲线的解析式为：y，直线OA的解析式为：y＝2x， ∵OA⊥AB， ∴设直线AB的解析式为：yx+b， ∴21+b， 解得：b， ∴直线AB的解析式为：yx， 将直线AB与反比例函数联立得出：， 解得：或， ∴点B（4，）． 故答案为：（4，）． 三．解答题（共8小题） 16．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ． （2）原式 ＝4 17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝3，，求BC的长． 【解答】解：∵， ∴， ∴设AC＝、BC＝3x， 而BD＝3， ∴CD＝BC﹣BD＝3x﹣3， ∵∠ADC＝45°， ∴∠DAC＝45°， ∴CD＝CA， ∴3x﹣3＝， ∴x＝， ∴BC＝． 18．如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西60°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？ 【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于D， 设AD＝x海里， 由题意得，∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，BC＝6海里， 在Rt△ACD中，∠ACD＝∠CAD＝45°， ∴AD＝CD＝x海里， 在Rt△ABD中，tan∠ABD， ∴BD6+x， 解得，x＝， ∵， ∴9＞， ∴如果船不改变航线继续向西航行，有触礁危险． 19．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y（m≠0）的图象相交于点A（1，2），B（a，﹣1）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）请直接写出不等式kx+b0的解集． （3）x轴上是否存在一点P，使S△ABP＝S△AOB？若存在，请求出点P坐标；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）把点A（1，2）代入y得，2， ∴m＝2， ∴反比例函数的解析式为y； 把B（a，﹣1）代入y得，a＝﹣2， ∴B（﹣2，﹣1）， 把点A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b得， 解得：， ∴一次函数的解析式为y＝x+1； （2）kx+b0变形得， kx+b， 由图象可知，x＜﹣2或0＜x＜1时，kx+b0； （3）∵A（1，2），B（﹣2，﹣1） ∴直线AB解析式为：y＝x+1 ∴直线AB与y轴交点坐标为（0，1） ∴S△AOB（1+2） ∴S△AOBS△ABP 当y＝0时，0＝x+1， 解得：x＝﹣1， ∴C（﹣1，0）， 设P（x，0）， ∴S△ABP， ∴x＝0或x＝﹣2， ∴P（0，0）或（﹣2，0）． 20．如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点． （1）求此反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）在x轴上找一点C使△ABC 的周长最小，求点C坐标； （3）在y轴上是否存在一点P，使A、O、P的三点围成等腰三角形，若存在直接写出点P坐标；若不存在请说明理由． 【解答】解：（1）∵点A（﹣1，a）在一次函数y＝x+4的图象上， ∴a＝﹣1+4＝3， ∴点A的坐标为（﹣1，3）． ∵点A（﹣1，3）在反比例函数y（k为常数且k≠0）的图象上， ∴k＝﹣1×3＝﹣3， ∴反比例函数的表达式为y． 联立直线AB与反比例函数的表达式，得：， 解得：或， ∴点B的坐标为（﹣3，1）． （2） （3） 21．某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度，BE＝6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°． （1）求点B离水平地面的高度AB． （2）求电线塔CD的高度（结果保留根号）． 【解答】解：（1）由题意得：BA⊥AE， ∵斜坡BE的坡度， ∴， 在Rt△ABE中，tan∠BEA， ∴∠BEA＝30°， ∵BE＝6m， ∴ABBE＝3（m），AEAB＝3（m）， ∴点B离水平地面的高度AB为3m； （2）过点B作BF⊥CD，垂足为F， 由题意得：AB＝CF＝3m，BF＝AC， 设EC＝x米， ∵AE＝3米， ∴BF＝AC＝AE+CE＝（x+3）米， 在Rt△CDE中，∠DEC＝60°， ∴CD＝CE•tan60°x（米）， 在Rt△BDF中，∠DBF＝45°， ∴DF＝BF•tan45°＝（x+3）米， ∵DF+CF＝CD， ∴x+33x， 解得：x＝6+3， ∴CDx＝（69）米， ∴电线塔CD的高度为（69）米． 22．某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： （1）这个恒温系统设定的恒定温度为多少℃； （2）求全天的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系式； （3）若大棚内的温度低于12℃时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 【解答】解：（1）设直线AB的函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），根据题意，可得， 解得， ∴直线y＝2x+10， 当x＝5时，y＝2×5+10＝20， ∴恒定温度为：20℃； （2）由（1）可知：正比例函数解析式为y＝2x+10（0≤x≤5）， 根据图象可知：y＝20（5＜x≤10）， 设10＜x≤24小时内函数解析式为：， 根据题意，可得方程：， ∴k＝200， ∴函数解析式为：， ∴24小时函数解析式为：y； （3）当0≤x≤5时，12＝2x+10， ∴x＝1， ∵当10＜x≤24时，12， ∴x， ∴（h）， ∴这天内恒温系统最多可以关闭小时，才能避免水果生长受到影响． 23．矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y（k＞0）的图象与边AC交于点E． （1）当点F运动到边BC的中点时，点E的坐标为　（2，3）　 ． （2）连接EF，求∠EFC的正切值； （3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求BG的长度． 【解答】解：（1）∵OB＝4，OA＝3， ∴点A、B、C的坐标分别为：（0，3）、（4，0）、（4，3）， 点F运动到边BC的中点时，点F（4，）， 将点F的坐标代入y并解得：k＝6， 故反比例函数的表达式为：y， 当y＝3时，x2，故E（2，3）， 故答案为：（2，3）； （2）∵F点的横坐标为4，点F在反比例函数上， ∴F（4，）， ∴CF＝BC﹣BF＝3， ∵E的纵坐标为3， ∴E（，3）， ∴CE＝AC﹣AE＝4， 在Rt△CEF中，tan∠EFC； （3）如图，由（2）知，CF，CE，， 过点E作EH⊥OB于H， ∴EH＝OA＝3，∠EHG＝∠GBF＝90°， ∴∠EGH+∠HEG＝90°， 由折叠知，EG＝CE，FG＝CF，∠EGF＝∠C＝90°， ∴∠EGH+∠BGF＝90°， ∴∠HEG＝∠BGF， ∵∠EHG＝∠GBF＝90°， ∴△EHG∽△GBF， ∴， ∴， ∴BG． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $