精品解析：山东省淄博市临淄区溡水实验学校（五四制）2024-2025学年九年级上学期第一次反馈数学试题

初四数学阶段学习素养评估 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中是反比例函数的是（　　） A. y= B. y=﹣ C. y=x2 D. y= 【答案】B 【解析】 【分析】此题应根据反比例函数的定义进行判断，反比例函数的一般形式是（k≠0）． 【详解】A、该函数属于正比例函数，故本选项错误； B、该函数属于反比例函数，故本选项正确； C、该函数属于二次函数，故本选项错误； D、该函数是y与x+1成反比例函数关系，故本选项错误； 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义．判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为（k为常数，k≠0）或y=kx﹣1（k为常数，k≠0）． 2. 如图，一个不可伸拉的梯子与地面所成的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法正确的是（ ） A. 值越大，梯子越陡 B. 值越大，梯子越陡 C. 值越小，梯子越陡 D. 陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角度的增大而增大；余弦值是随着角度的增大而减小，根据规律，结合选项逐项判断即可得到答案，熟记锐角三角函数值的变化规律是解决问题的关键． 【详解】解：A、正弦值是随着角度的增大而增大，则值越大，越大，梯子越陡，选项说法正确，符合题意； B、余弦值是随着角度的增大而减小，则值越大，越小，梯子越缓，选项说法错误，不符合题意； C、正切值是随着角度的减小而减小，则值越小，越小，梯子越缓，选项说法错误，不符合题意； D、由锐角三角函数值的变化规律可知，梯子的陡缓程度与的函数值有关，选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 3. 在一个可以改变容积的密闭容器内，装有质量为m 的气体，当改变容积V时，气体的密度p也随之改变，与V在一定范围内满足，它的图象如的质量m为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的求法，根据反比例函数的性质求出m值即可． 【详解】解：， 故选：D． 4. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形， 先根据勾股定理逆定理说明，再根据可得答案. 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意可知， ∴， ∴. 在中，. 故选：D. 5. 已知一次函数与反比例函数，其中m，n为常数，且，则它们在同一坐标系中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象中一次函数图象的位置确定m、n的值，然后根据m、n的值来确定反比例函数和一次函数所在的象限． 【详解】∵， ∴m、n异号， ∴当时，， 的图像位于第二、四象限， 的图像经过第一、二、四象限； 当时，， 的图像位于第一、三象限， 的图像经过第一、三、四象限， ∴只有选项A符合． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质和一次函数的图象与性质，属于基础题，要掌握它们的性质才能灵活解题． 6. 已知，将如图的三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB．则∠α的余弦值为（　　） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质可求出，从而求出的度数，继而求出答案． 【详解】解：∵CD∥AB ∴ ∴ ∴ 故选：A 【点睛】本题主要考查了特殊的三角函数值的计算，特殊的三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择、填空、计算为主．记住特殊的三角函数值是解本题的关键． 7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是( ) A. B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先求出AC，再根据正切的定义求解即可． 【详解】设BC=x，则AB=3x， 由勾股定理得，AC=， tanB===， 故选：D． 8. 如图所示，在正方形网格中的位置如图所示（均在格点上），于点.下列四个选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的定义判断即可． 【详解】由图知未在直角三角形中，所以直接排除； 在中，， ∴，， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了在网格中，借助直角三角形进行三角函数值的计算，熟知三角函数的定义是解题的关键． 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝t（t为常数）与反比例函数y1，y2的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，则△OAB的面积为（　　） A. 5t B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由反比例函数中的的几何意义直接可得特定的三角形的面积，从而可得答案. 【详解】解：如图，记直线y＝t与轴交于点 由反比例函数的系数的几何意义可得： 故选： 【点睛】本题考查的是反比例函数的系数的几何意义，掌握反比例函数的系数与特定的图形的面积之间的关系是解题的关键. 10. 如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3＝的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是（ ） A. x＜﹣1 B. ﹣0.5＜x＜0或x＞1 C. 0＜x＜1 D. x＜﹣1或0＜x＜1 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象，找出双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方的部分对应的自变量x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，当x＜﹣1或0＜x＜1时，双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方，即y3＞y1＞y2， ∴若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 已知函数（为整数），当为_____时，是的反比例函数． 【答案】 【解析】 【分析】根据（）是反比例函数，可得答案． 【详解】解：函数（为整数）是反比例函数， ，且， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟记定义和定义的条件是解本题的关键． 12. 已知α、β均为锐角，且满足+=0，则α+β= ___________． 【答案】75°##75度 【解析】 【分析】根据非负数的性质得到sinα=，tanβ=1，利用特殊角的三角函数值分别求出α、β，计算即可． 【详解】由已知得sinα－=0，tanβ－1=0， ∴α=30°，β=45°， ∴α+β=75°． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键． 13. 如图所示，点是反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线．若，则函数表达式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义的应用．根据反比例函数的几何意义解答即可． 【详解】解：与坐标轴围成的矩形部分面积为3， 由反比例函数的几何意义得，， ， 图象位于第二、四象限， ． 函数表达式为． 故答案为：． 14. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是___． 【答案】 【解析】 【详解】∵∠BAC=∠ACD=90°， ∴AB∥CD． ∴△ABE∽△DCE． ∴． ∵在Rt△ACB中∠B=45°， ∴AB=AC． ∵在RtACD中，∠D=30°， ∴． ∴． 故答案为 15. 如图，点A在双曲线y＝（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上且BC：CA＝1：2，双曲线y＝（x＞0）经过点C，则k＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论． 【详解】解：连接OC， ∵点A在双曲线y＝（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B， ∴S△OAB＝×6＝3， ∵BC：CA＝1：2， ∴S△OBC＝3×＝1， ∵双曲线y＝（x＞0）经过点C， ∴S△OBC＝|k|＝1， ∴|k|＝2， ∵双曲线y＝（x＞0）在第一象限， ∴k＝2， 故答案为2． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知反比例函数y=﹣. (1)说出这个函数的比例系数； (2)求当x=﹣10时函数y的值； (3)求当y=6时自变量x的值． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数一般式即可解答； （2）直接把x=－10带入反比例函数解析式即得结果； （3）直接把y=6带入反比例函数解析式即得结果． 【详解】解：（1）y＝，比例系数为﹣； （2）当x＝﹣10时，y＝﹣＝； （3）当y＝6时，﹣＝6，解得，x＝﹣． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，将函数化为一般形式是解题的关键． 17. 求下列各式的值： （1） （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键． （1）直接把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式的乘法法则计算即可； （1）直接把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知反比例函数y＝（m﹣2） （1）若它的图象位于第一、三象限，求m的值； （2）若它的图象在每一象限内y的值随x值的增大而增大，求m的值． 【答案】（1）m＝3；（2）m＝﹣2． 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数的定义与性质，得出，进而求解即可； （2）根据反比例函数的定义与性质，得出，进而求解即可． 【详解】（1）由题意，可得， 解得m＝3； （2）由题意，可得， 解得m＝﹣2． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质；用到的知识点为：反比例函数y=kx（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．也考查了反比例函数的定义． 19. 在中，，求． 【答案】 【解析】 【分析】根据∠A的正切值和BC的长度求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， 【点睛】此题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法． 20. 某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（单位：微克/毫升）与服药时间x（单位：h）之间函数关系如图所示， （1）求y与x之间的函数表达式． （2）血液中药物浓度不低于4微克/毫升的时候对人体是有效的，服药后对人体的有效时间是多少？ 【答案】（1） （2）服药后对人体的有效时间是 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意得出函数解析式是解题关键． （1）设出解析式，利用待定系数法求解析式，并写出自变量的取值范围即可； （2）根据题意得出时两个函数中的自变量的值，即可找出取值范围． 【小问1详解】 当时，函数为正比例函数，设：， ∵函数经过点， ∴，即， ∴当时，； 当时，函数为反比例函数，设：， ∵函数经过点， ∴，即， ∴当时，， ∴； 【小问2详解】 当药物浓度为4微克/毫升时，即时， 由，得， 由，得， ∴根据图象可以判断出：当时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升， ∴持续时间为． 21. 如图，在中，是边上的高，， （1）求线段的长； （2）求的值． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，熟练掌握好三角形边角之间的关系是解题的关键． （1）根据，求得，由勾股定理得，从而计算出， （2）再利用三角函数，求出的值即可． 【小问1详解】 ∵在中 ∴ 设， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴的长为5 【小问2详解】 在中， 由勾股定理得， ∴ 22. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝3x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2，AC⊥x轴，垂足为C，连接BC． （1）求反比例函数的表达式； （2）求△ABC的面积； （3）若点P是反比例函数y＝图象上的一点，△OPC与△ABC面积相等，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）y＝；（2）S△ABC＝12；（3）P点坐标为（1，12）或（﹣1，﹣12）． 【解析】 【分析】（1）把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式； （2）根据反比例函数的对称性得出点B的坐标，再利用三角形的面积公式解答即可； （3）由条件可求得B、C的坐标，可先求得△ABC的面积，再结合△OPC与△ABC的面积相等求得P点坐标． 【详解】解：（1）把x＝2代入y＝3x中，得y＝2×3＝6， ∴点A坐标为（2，6）， ∵点A在反比例函数y＝的图象上， ∴k＝2×6＝12， ∴反比例函数的解析式为y＝； （2）∵AC⊥OC， ∴OC＝2， ∵A、B关于原点对称， ∴B点坐标为（﹣2，﹣6）， ∴B到OC的距离为6， ∴S△ABC＝2S△ACO＝2××2×6＝12， （3）∵S△ABC＝12， ∴S△OPC＝12， 设P点坐标为（x，），则P到OC的距离为||， ∴×||×2＝12，解得x＝1或﹣1， ∴P点坐标为（1，12）或（﹣1，﹣12）． 【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在（1）中求得A点坐标，在（3）中求得P点到OC的距离是解题的关键． 23. 阅读下面的材料： 如果函数满足：对于自变量的取值范围内的任意，， （1）若，都有，则称是增函数； （2）若，都有，则称是减函数． 例题：证明函数是减函数． 证明：设， ． ∵，∴，．∴．即． ∴．∴函数（）是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数（）， （1）计算：_______，_______； （2）猜想：函数（）是_______函数（填“增”或“减”）； （3）请仿照例题证明你的猜想． 【答案】（1），；（2）增； （3）证明：= ∵，∴，． ∴＜0．即． ∴ ∴函数（）是增函数． 【解析】 【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以解答本题； （2）由（1）答案可得结论； （3）根据题目中例子的证明方法可以证明（2）中的猜想成立． 【详解】（1） （2）增函数 （3）略． 【点睛】本题考查函数的概念，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用函数的性质解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学阶段学习素养评估 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中是反比例函数的是（　　） A. y= B. y=﹣ C. y=x2 D. y= 2. 如图，一个不可伸拉的梯子与地面所成的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法正确的是（ ） A. 值越大，梯子越陡 B. 值越大，梯子越陡 C. 值越小，梯子越陡 D. 陡缓程度与的函数值无关 3. 在一个可以改变容积的密闭容器内，装有质量为m 的气体，当改变容积V时，气体的密度p也随之改变，与V在一定范围内满足，它的图象如的质量m为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 5. 已知一次函数与反比例函数，其中m，n为常数，且，则它们在同一坐标系中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，将如图的三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB．则∠α的余弦值为（　　） A. B. C. D. 1 7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是( ) A. B. 3 C. D. 2 8. 如图所示，在正方形网格中的位置如图所示（均在格点上），于点.下列四个选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝t（t为常数）与反比例函数y1，y2的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，则△OAB的面积为（　　） A. 5t B. C. D. 5 10. 如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3＝的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是（ ） A. x＜﹣1 B. ﹣0.5＜x＜0或x＞1 C. 0＜x＜1 D. x＜﹣1或0＜x＜1 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 已知函数（为整数），当为_____时，是的反比例函数． 12. 已知α、β均为锐角，且满足+=0，则α+β= ___________． 13. 如图所示，点是反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线．若，则函数表达式为__________． 14. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是___． 15. 如图，点A在双曲线y＝（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上且BC：CA＝1：2，双曲线y＝（x＞0）经过点C，则k＝_____． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知反比例函数y=﹣. (1)说出这个函数的比例系数； (2)求当x=﹣10时函数y的值； (3)求当y=6时自变量x的值． 17. 求下列各式的值： （1） （2） 18. 已知反比例函数y＝（m﹣2） （1）若它的图象位于第一、三象限，求m的值； （2）若它的图象在每一象限内y的值随x值的增大而增大，求m的值． 19. 在中，，求． 20. 某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（单位：微克/毫升）与服药时间x（单位：h）之间函数关系如图所示， （1）求y与x之间的函数表达式． （2）血液中药物浓度不低于4微克/毫升的时候对人体是有效的，服药后对人体的有效时间是多少？ 21. 如图，在中，是边上的高，， （1）求线段的长； （2）求的值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝3x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2，AC⊥x轴，垂足为C，连接BC． （1）求反比例函数的表达式； （2）求△ABC的面积； （3）若点P是反比例函数y＝图象上的一点，△OPC与△ABC面积相等，请直接写出点P的坐标． 23. 阅读下面的材料： 如果函数满足：对于自变量的取值范围内的任意，， （1）若，都有，则称是增函数； （2）若，都有，则称是减函数． 例题：证明函数是减函数． 证明：设， ． ∵，∴，．∴．即． ∴．∴函数（）是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数（）， （1）计算：_______，_______； （2）猜想：函数（）是_______函数（填“增”或“减”）； （3）请仿照例题证明你的猜想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $