精品解析：山东省济宁市汶上县第三实验中学2025-2026学年上学期九年级第一次阶段测试数学试题

汶上县第三实验中学二〇二五年九年级第一次阶段测试 数学试题 试卷类型：A 温馨提示： 1．本试卷共页，考试时间120分钟，共120分． 2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色墨水签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡相应位置． 3．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答． 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A. B. C. D. 2. 根据下列表格的对应值： 1 由此可判断方程必有一个根满足（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1 4. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 7. 若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 8. 有两人同时患了流感，经过两轮传染后共有200人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A. 8人 B. 9人 C. 10人 D. 11人 9. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 10. 抛物线的部分图象，如图所示，与x轴的一个交点为，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③若点和点在抛物线图象上，那么当，时，；④，其中正确的结论个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 若是关于的二次函数，则m的值为__________． 12. 如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β，那么α2+4α+β＝___． 13. 我校八年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），若共进行了45场比赛，则有_______个班级篮球队参加． 14. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该三角形的周长为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，，形状相同的抛物线的顶点在直线上，其对称轴与轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线的顶点坐标为_________． 三．解答题（共75分） 16. 选择合适的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，且，求的值． 18. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的长方形花圃． 求： （1）当的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？ （2）围成的花圃面积能否80平方米？若能，请求出的长度；若不能，请说明理由． 19. 已知函数， （1）通过配方化为顶点式并写出其开口方向，对称轴，顶点坐标； （2）分别求出其与轴、轴的交点坐标； （3）观察图象，请直接写出当取何值时， ①？ ②？ ③？ 20. 位于宁波市江北区的保国寺以其精湛绝伦的建筑工艺闻名全国，其中大雄宝殿（又称无梁殿）更是以四绝“鸟不栖，虫不入，蜘蛛不结网，梁上无灰尘”吸引了各地游客前来参观．据统计，假期第一天保国寺的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）据悉，景区附近商店推出了保国寺旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低1元，平均每天可多售出200个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？ 21. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 22. 如图，在中，，，．现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为，求： （1）用含的代数式表示的面积； （2）当秒时，这时，、两点之间的距离是多少？ （3）当为多少秒时，？ 23. 已知抛物线的图象经过点和，与轴的两个交点、（点在点左边），与轴的交点为，抛物线顶点为． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求四边形的面积； （3）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汶上县第三实验中学二〇二五年九年级第一次阶段测试 数学试题 试卷类型：A 温馨提示： 1．本试卷共页，考试时间120分钟，共120分． 2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色墨水签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡相应位置． 3．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答． 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：A、该方程没有规定，故本选项错误； B、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误； C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确； D、该方程不是整式方程，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 根据下列表格的对应值： 1 由此可判断方程必有一个根满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的综合应用，熟悉二次函数的图象与性质是解题的关键．通过观察表格中函数值的变化，当时函数值为负，时函数值为正，根据函数性质，所对应的方程的根在． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴方程必有一个根满足，。 故选：C． 3. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意得：k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0， 解得：k＞且k≠1． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 4. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，利用平移可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后抛物线解析式为，即， ∴顶点坐标为， 故选：D． 5. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先观察解析式可得两函数图象在y轴上交于一点，再根据二次函数图象和一次函数图象的性质分析即可． 【详解】观察解析式发现：一次函数与二次函数与y轴的交点为同一点，故排除B、C选项； A、二次函数图象开口向上，则，但是一次函数y随x的增大而减小，则，a的取值矛盾，故A不符合题意； D、二次函数图象开口向上，则，一次函数y随x的增大而增大，则，符合，故D符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图象性质，若能根据解析式先排除掉部分选项，则先进行排除．另外，用假设法来搞定这种数形结合题也是一种很好的方法． 6. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 7. 若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不为． 把代入求解，注意的取值范围． 【详解】解：把代入得， 解得或， ， ， 故选：B． 8. 有两人同时患了流感，经过两轮传染后共有200人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A. 8人 B. 9人 C. 10人 D. 11人 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查增长问题，应理解“增长率”的含义，并可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，注意要舍去不合题意的解．根据题意设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，那么由题意可列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人， 第一轮过后有个人感染，第二轮过后有个人感染， 那么由题意可知， 整理得，， 解得或， 不符合题意，舍去． 那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人． 故选：B． 9. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 10. 抛物线的部分图象，如图所示，与x轴的一个交点为，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③若点和点在抛物线图象上，那么当，时，；④，其中正确的结论个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断①②；由时可与x轴另一交点为，判断③；由时可判断④． 【详解】解：抛物线开口向上， ∴, ∵抛物线对称轴为直线为， ∴, ∴, ②正确； ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴, ∴, ①正确； ∵对称轴为直线,与x轴的一个交点为， ∴与x轴另一交点为， ∴当时，，当时，， ∴ ③错误； ·.抛物线经过， ∴ ∵, ∴ ④正确； 正确结论有个， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 若是关于的二次函数，则m的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数定义，利用二次函数定义可得，且，解方程即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，且， 解得：． 故答案为：． 12. 如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β，那么α2+4α+β＝___． 【答案】4 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解结合根与系数的关系可得出，将其代入即可得出结论． 【详解】解：关于x的一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β， ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，牢记两根之和等于是解题关键． 13. 我校八年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），若共进行了45场比赛，则有_______个班级篮球队参加． 【答案】10 【解析】 【分析】设有x个班级篮球队参加比赛，则每一个班比赛场，由于是单循环形式，故篮球赛的总场数为场，从而即可建立方程，求解并检验即可． 【详解】解：设有x个班级篮球队参加比赛， 由题意得， 解得（舍）， ∴有10个班级篮球队参加比赛． 故答案为：10． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系“共进行了45场比赛”是解决本题的关键． 14. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该三角形的周长为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理； 求出一元二次方程的解，根据三角形三边关系定理得出等腰三角形的三边为2，4，4，即可得出答案． 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，， 当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理； 当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，周长为， ∴该三角形的周长为10， 故答案为：10． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，，形状相同的抛物线的顶点在直线上，其对称轴与轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线的顶点坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据A（-3，0），B（0，1）的坐标求直线AB的解析式为，根据横坐标的变化规律可知，C8的横坐标为55，代入直线AB的解析式中，可求纵坐标． 【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，（k≠0）， ∵A（-3，0），B（0，1）， ， 解得， ∴直线AB的解析式为； ∵对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…， 观察发现：每个数都是前两个数的和， ∴抛物线C8的顶点坐标的横坐标为55， 当x=55时， ∴抛物线C8的顶点坐标为 故答案为： 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的对称性，还考查了点与函数关系式的关系，考查了学生的分析归纳能力． 三．解答题（共75分） 16. 选择合适的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法和公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接运用因式分解法求解即可； （2）直接运用公式法求解即可； （3）先变形，然后再运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ，． 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，且，求的值． 【答案】（1）证明： ， ∵， ∴， ∴不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识﹒ （1）计算出，据此即可证明一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）根据一元二次方程根与系数关系得到，代入，得到，即可求出﹒ 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵一元二次方程两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴﹒ 18. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的长方形花圃． 求： （1）当的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？ （2）围成的花圃面积能否80平方米？若能，请求出的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）当的长是7米时，围成的花圃面积为63平方米； （2）不能，理由如下： 依题意得：，整理得：， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴不能围成的花圃． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当时，方程无实数根”。 （1）设花圃的一边为，的长可用含x的代数式表示为，令该面积等于63平方米，求出符合题意的x的值，即是所求的长； （2）不能，根据花圃的面积为80平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程没有实数根，即不能围成80平方米的花圃． 【小问1详解】 解：设花圃的一边为，的长可用含x的代数式表示为， 依题意有， 解得； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 故当的长是7米时，围成的花圃面积为63平方米； 【小问2详解】 略 19. 已知函数， （1）通过配方化为顶点式并写出其开口方向，对称轴，顶点坐标； （2）分别求出其与轴、轴的交点坐标； （3）观察图象，请直接写出当取何值时， ①？ ②？ ③？ 【答案】（1）顶点式，抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 （2）， （3）①当或时，；②当或时，．②当时，． 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质、把求二次函数解析式化成顶点式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可； （2）解方程求得抛物线与x轴交点的横坐标，即可确定其与x交点的坐标，求得横坐标为0时的点坐标即为抛物线与y轴交点的坐标； （3）先画出二次函数图象，①找出函数图象在x轴上方部分对应x的取值范围；②图象与x轴的交点的横坐标；③找出函数图象在x轴下方所对应的自变量的范围． 【小问1详解】 解：∵，即顶点式， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 【小问2详解】 解：当时，，解得：， ∴抛物线与x轴的交点坐标为， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 【小问3详解】 解：根据题意画出函数图像如下： 由函数图象可得： ①当或时，； ②当或时，． ②当时，． 20. 位于宁波市江北区的保国寺以其精湛绝伦的建筑工艺闻名全国，其中大雄宝殿（又称无梁殿）更是以四绝“鸟不栖，虫不入，蜘蛛不结网，梁上无灰尘”吸引了各地游客前来参观．据统计，假期第一天保国寺的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）据悉，景区附近商店推出了保国寺旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低1元，平均每天可多售出200个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x,根据题意得关于x的一元二次方程，解方程，然后根据问题的实际意义作出取舍即可； （2）设售价应降低m元，根据每个的利润乘以销售量，等于，列方程并求解，再结合问题的实际意义作出取舍即可． 【小问1详解】 解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）． 答：平均增长率为； 【小问2详解】 设售价应降低m元，则每天的销量为个． 根据题意可得， 解得． ∵让游客尽可能得到优惠 , ∴（舍去）， 答：售价应降低元． 【点睛】本题考查了一元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． 21. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由题意，根据抛物线的交点式表示解析式，再将交点式转化为顶点式即可得到答案； （2）由抛物线的图象与性质可知，当时，在对称轴处取最小值，再比较当与时的函数值即可得到的取值范围； （3）由平面直角坐标系中三角形面积得到，解方程得或，分类将其代入抛物线解析式解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线经过两点， 抛物线解析式为， 则抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，在对称轴处取最小值，则； 当时，；当时，； 当时，的取值范围是； 【小问3详解】 解：如图所示： ， ， ， ， ， 解得或， 当时，代入抛物线的解析式为，得， 解得或， 则此时点的坐标为或； 当时，代入抛物线的解析式为，得， 此方程无解； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及求二次函数解析式、二次函数图象与性质、求函数值的范围、平面直角坐标系中三角形面积、直接开平方法解一元二次方程，熟记二次函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． 22. 如图，在中，，，．现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为，求： （1）用含的代数式表示的面积； （2）当秒时，这时，、两点之间的距离是多少？ （3）当为多少秒时，？ 【答案】（1） （2） （3）t为2秒或3秒时． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的面积公式、勾股定理、一元二次方程的应用个知识点，灵活应用方程思想是解题的关键． （1）将用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解即可； （2）先求出当时，线段的长，利用勾股定理求P、Q两点之间即可； （3）在中，，，可得的面积，再由（1）可表示出的面积，进而得到一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，则， ∴的面积为； ∴． 【小问2详解】 解：根据题意得：， ∴当秒时，， ∵， ∴．，即当秒时，P、Q两点之间的距离是． 【小问3详解】 解：， ∴， 由（1）可得：， ∴，解得：或． ∴t为2秒或3秒时． 23. 已知抛物线的图象经过点和，与轴的两个交点、（点在点左边），与轴的交点为，抛物线顶点为． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求四边形的面积； （3）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）9 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是： （1）把和代入函数解析式求解即可； （2）分别求出A、B、C 、D 的坐标，然后根据割补法求解即可； （3）依据题意，由，得当时，取最大值为4，再结合和分别进行讨论，同时结合即可判断得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的图像经过点和， ∴， 解得， ∴这条抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∴，， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：的对称轴为直线， 分以下两种情况： ①当时， 又∵， ∴当时，随的增大而增大， 当时，取最大值为； 当时，取最小值为． 又∵， ． ． 解得． ②当时， 当时，取最大值为； 当到对称轴的距离大于到对称轴的距离时，即，此时， 当时，取最小值为，此时，符合题意． 当到对称轴的距离小于到对称轴的距离时，即，即， 当时，取最小值为． 又∵， ． ． 或，不合题意． 综上，若，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $