第23章 解直角三角形（单元测试·提升卷）数学沪科版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第23章 解直角三角形·能力提升 （参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D C A B A C C B D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．． 12．． 13．． 14． ． 三、解答题（共4小题，每小题8分，共32分） 15． 【答案】（1）8；（2） 【分析】本题考查负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方，绝对值，积的乘方的逆运算，特殊角的三角函数，二次根式的加减，算术平方根，掌握知识点是解题的关键． （1）先算负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数，积的乘方的逆运算，最后进行二次根式的加减即可； （2）先算负整数指数幂，零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数，最后进行二次根式的加减即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 16． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查锐角三角形函数的知识，解题的关键是掌握正弦，余弦的应用，勾股定理的应用，利用完全平方公式，对式子进行变形，进行解答，即可． （1）根据正弦，余弦，勾股定理，可得，，，通过变形可得，，，再进行计算即可； （2）根据题意，，变形可得，再根据，即可求出． 【详解】（1）解：证明如下： ∵中，， ∴，，， ∴，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解三角形和相似三角形的判定和性质，解题关键是根据结合图形，利用相似三角形或三角函数转化线段比． （1）根据求出，进而由勾股定理求出， ，再由面积法求出， （2）过点作于点H，由相似三角形的判定和性质先求出，进而由得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴ ， ， 又∵ ， ∴ ∴ ∵ ∴ （2）过点作于点H， ∴， ∴ ∴① ∵在中， 代入①得：， ∴ ， ∴， 18． 【答案】(1)6米 (2)米 【分析】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段． （1）过点B作，垂足分别为M、N，由坡度的含义可求得，由含30度角的直角三角形的性质即可求得结果； （2）先推导出，在中可求得的长，从而可得；再由，可得，进而得的长；在中由三角函数知识可求得，根据即可求得的长． 【详解】（1）解：如图，过点作，，垂足分别为， ∴， ∵， ∴， ∴米， 即点距水平地面的高度为6米； （2）由（1）及题意，得， ∴四边形是矩形， ∴米， （米）， ∴米， ∵， ∴米， ∴米， 在中，，米， ∴（米）， ∴ （米） 答：广告牌的高约8.4米． 四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分） 19． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出相等的线段和垂线，利用线段中点的性质得出相等的线段，根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形即可得出结论； （2）令，则，根据条件证明，得出，然后利用锐角三角函数得出，再利用菱形的性质和锐角三角函数求解即可． 【详解】（1）证明：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵点O是线段的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：如图所示，令，则， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，（负值已舍去） ∴， ∴， ∵四边形是菱形； ∴， ∴． 20． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角函数，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握这些判定与性质是解题的关键． （1）利用平行得出，，再利用得出的度数，再利用平行结合角平分线得出，即可证明； （2）先利用等边三角形和证明四边形是菱形，再利用三角函数求出，即可求出四边形的周长． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴, 又∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分） 21． (3)拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝．求tan2A的值． 【答案】(1)，，≠ (2) (3) 【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值得结论； （2）根据题意，利用勾股定理求AC，得结论； （3）作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，则∠BEC=2∠A，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出EC，求tan∠BEC得结果． 【详解】（1）解：tan60°＝，tan30°＝， 发现结论：tanA≠2tan∠A 故答案为：，，≠； （2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1， ∴AB==， 如图1，延长CA至D，使得DA=AB， ∴AD=AB=， ∴∠D=∠ABD， ∴∠BAC=2∠D，CD=AD+AC=2+， ∴tan∠A=tan∠D=； （3）如图2，作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE． 则∠BEC=2∠A，AE=BE，∠A=∠ABE ∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，tanA= ∴BC=1，AB=，设AE=x，则EC=3-x， 在Rt△EBC中，x2=(3-x)2+1，解得x=， 即AE=BE=，EC=， ∴tan2A=tan∠BEC=． 22． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可求，可得点与点重合，即； （2）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解； （3）作，，垂足分别为、，根据，设，则，，通过证明，可得，得出，即可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， 点与点重合， ， 故答案为：； （2）解：是等腰三角形，故可分为三种情况： ①当时， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当时， ， ，， ， ， ， ， 即 ， 解得； ③当时，不成立． 综上所述，当是等腰三角形，求线段的长为或． （3）解：如图，作，，垂足分别为、， ， ， 故设，则， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 解得 舍去，， ． 六、解答题（共1小题，每小题14分，共14分） 23． 【答案】（1），；（2）1；（3）6或12 【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，正确画出图形，添加辅助线解答是解题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余可得，，进而可得，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质可证，得到，即可求解； （3）如图，过点作于点，由（2）知，，，即得，，进而由折叠可得四边形为正方形，连接，则，，分两种情况：①当点D的对应点F在的上方时；②当点D的对应点F在的下方时，分别画出图形解答即可求解． 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2），， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，过点作于点， 由（2）知，， ， ， ， 同理（2）可得，， ， 由折叠的性质可知， 四边形为正方形， 如图，连接，当点D的对应点F在的上方时，则，， ，即， ， ， ， ， ， ∴， ∴； 如图，当点D的对应点F在的下方时， 同理得：， ． 综上可得，的面积为6或12． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第23章 解直角三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，理解和掌握三角函数的定义是解题的关键． 根据正弦和余弦的定义即可得出答案． 【详解】解： ，， ， 故选A． 2．如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，准确识图，根据锐角三角函数的定义对题目中给出的四个选项逐一进行分析判断即可得出答案．熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：，， ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 3．若中，所对的边是，所对的边是，满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了偶次方、绝对值、三角函数、等边三角形的判定等知识点，熟记等边三角形的判定是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形． 故选：C． 4．若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 【答案】A 【分析】由已知可得，，从而可得，进而可得的形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 5．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C三点都在格点上，（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题关键．连接，先根据勾股定理可得三边的平方，再根据勾股定理的逆定理可得，然后根据正弦的定义即可得结论． 【详解】解：连接， ， ， ， ， 故选：B． 6．如图，在正方形中，E 是边的中点，将沿直线翻折，点A落在点F 处， 连接，那么的正切值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠可得，再根据三角形的外角性质及折叠的性质得到，进而可得，求解即可． 本题考查了三角形的外角性质，折叠的性质及正方形的性质，解直角三角形． 【详解】解：由折叠可得 正方形中，E是边的中点， ∴ ， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 7．如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义和勾股定理是解题的关键．过点作于点，先利用三角函数的定义和勾股定理求出和的长度，进而得到的长度，最后在中求出的度数． 【详解】如图所示，过点作于点， ，， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， 故选：C． 8．如图，菱形的边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，，两点的坐标分别为，，作射线，将菱形沿射线平移，当点落在轴上时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与平移，点的平移，解直角三角形，菱形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先求出，再根据菱形的性质以及解直角三角形求出，然后再根据点的平移方式求解即可． 【详解】解：∵，两点的坐标分别为，， ∴， ∴， ∴， ∵菱形， ∴，平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，两点的坐标分别为，， ∴点向右平移3个单位，向下平移到点， ∴点向右平移3个单位，向下平移得到， 故选：C． 9．如图，老王在江边垂钓，河堤的坡度为，长为米，甩杆之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离为米，此时沿钓竿看向钓竿顶端处，仰角为钓竿两端点的直线距离为米，钓线与江面的夹角，则浮漂与河堤下端之间的距离约为（　　）米．（参考数据：，，，，结果精确到米） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度、仰角问题，勾股定理，矩形的判定与性质，延长交于，在中，，设，则，由勾股定理求得，则米，米，延长交于，过作于，交于，求出（米），（米），然后证明四边形是矩形，则米，米，所以（米），在中，，则，即有（米），然后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于， ∴， 在中，， ∴设，则， ∴， ∴， 解得， ∴米，米， ∴米， 延长交于，过作于，交于， ∵， ∴， 在中，米，， ∴米，（米）， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∴（米）， 在中，， ∴， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）， 故选：． 10．在平行四边形中，是锐角，将沿直线l翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 或 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，求余弦值，等腰三角形的判定及性质，分别考虑在之间时和在的延长线上时两种情况，根据题意假设出每条线段的长度，根据翻折的性质可知各个角之间的关系，即可求解． 【详解】解：当在之间时，如图， 根据，不妨设，，， ∴， 由翻折的性质知：， ∵沿直线l翻折至所在直线， ∴， ∴， ∴， 过F作的垂线交于点E， ∴， ∴， 当在的延长线上时，如图， 根据，不妨设，，， 同理知：， 过点F作的垂线交于E， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标轴上，若点的坐标为，，则菱形的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，菱形的性质，坐标与图形，根据点A的坐标可得的长，解直角三角形求出的长，利用勾股定理求出的长，再根据菱形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长为， 故答案为；8． 12．如图，在菱形中，交于点E，连接，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、解直角三角形等知识，推导出是解题的关键． 由交于点E，得，因为，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：交于点E， ， ， ， ， 故答案为：． 13．在菱形中，边长为，，点是的中点，连接是上一动点，把沿折叠，使点恰好落在边上的处，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形中的折叠，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握菱形的性质及折叠的性质，用勾股定理列方程解决问题． 过作于，由四边形是菱形，可得是等边三角形，又，即得，在中，，，从而，设，则，，在中，由勾股定理即可得答案． 【详解】解：过作于，如图： 四边形是菱形，边长为， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在中， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， 故答案为：． 14．如图平面直角坐标系中，、，为线段上一个动点．以为边作直角三角形，且，连接，当有最小值时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，正切的定义，二次函数的性质等相关知识. 过点作轴于点，设，证明得出，，勾股定理求得，根据二次函数的性质得出时，取得最小值，进而求得点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∴ ∴ ∴ ∴ 设， ∵ ∴ ∴，， ∵， 在中， ∴时，取得最小值，即有最小值 ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共4小题，每小题8分，共32分） 15．计算：（1） （2）． 【答案】（1）8；（2） 【分析】本题考查负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方，绝对值，积的乘方的逆运算，特殊角的三角函数，二次根式的加减，算术平方根，掌握知识点是解题的关键． （1）先算负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数，积的乘方的逆运算，最后进行二次根式的加减即可； （2）先算负整数指数幂，零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数，最后进行二次根式的加减即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 16．如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查锐角三角形函数的知识，解题的关键是掌握正弦，余弦的应用，勾股定理的应用，利用完全平方公式，对式子进行变形，进行解答，即可． （1）根据正弦，余弦，勾股定理，可得，，，通过变形可得，，，再进行计算即可； （2）根据题意，，变形可得，再根据，即可求出． 【详解】（1）解：证明如下： ∵中，， ∴，，， ∴，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．如图，在中，为边上的高．过点作的垂线，垂足为点．若， ，的余弦值为． (1)求的长． (2)连接交边于点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解三角形和相似三角形的判定和性质，解题关键是根据结合图形，利用相似三角形或三角函数转化线段比． （1）根据求出，进而由勾股定理求出， ，再由面积法求出， （2）过点作于点H，由相似三角形的判定和性质先求出，进而由得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴ ， ， 又∵ ， ∴ ∴ ∵ ∴ （2）过点作于点H， ∴， ∴ ∴① ∵在中， 代入①得：， ∴ ， ∴， 18．校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，， ，，） (1)求点B距水平地面的高度； (2)求广告牌的高度． 【答案】(1)6米 (2)米 【分析】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段． （1）过点B作，垂足分别为M、N，由坡度的含义可求得，由含30度角的直角三角形的性质即可求得结果； （2）先推导出，在中可求得的长，从而可得；再由，可得，进而得的长；在中由三角函数知识可求得，根据即可求得的长． 【详解】（1）解：如图，过点作，，垂足分别为， ∴， ∵， ∴， ∴米， 即点距水平地面的高度为6米； （2）由（1）及题意，得， ∴四边形是矩形， ∴米， （米）， ∴米， ∵， ∴米， ∴米， 在中，，米， ∴（米）， ∴ （米） 答：广告牌的高约8.4米． 四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分） 19．如图，在四边形中，是线段的垂直平分线，且点O是线段的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点O作于点E，若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出相等的线段和垂线，利用线段中点的性质得出相等的线段，根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形即可得出结论； （2）令，则，根据条件证明，得出，然后利用锐角三角函数得出，再利用菱形的性质和锐角三角函数求解即可． 【详解】（1）证明：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵点O是线段的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：如图所示，令，则， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，（负值已舍去） ∴， ∴， ∵四边形是菱形； ∴， ∴． 20．如图，在四边形中，，，平分交于点，连接，，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角函数，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握这些判定与性质是解题的关键． （1）利用平行得出，，再利用得出的度数，再利用平行结合角平分线得出，即可证明； （2）先利用等边三角形和证明四边形是菱形，再利用三角函数求出，即可求出四边形的周长． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴, 又∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分） 21．在学习《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究． (1)初步尝试：我们知道：tan60°＝ ，tan30°＝ ，发现结论：tanA 2tan∠A（填“＝”或“≠”）； (2)实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC＝1，求tan∠A； 小明想构造包含∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，所以得到∠D＝∠A，即转化为求∠D的正切值． 请按小明的思路进行余下的求解： (3)拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝．求tan2A的值． 【答案】(1)，，≠ (2) (3) 【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值得结论； （2）根据题意，利用勾股定理求AC，得结论； （3）作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，则∠BEC=2∠A，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出EC，求tan∠BEC得结果． 【详解】（1）解：tan60°＝，tan30°＝， 发现结论：tanA≠2tan∠A 故答案为：，，≠； （2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1， ∴AB==， 如图1，延长CA至D，使得DA=AB， ∴AD=AB=， ∴∠D=∠ABD， ∴∠BAC=2∠D，CD=AD+AC=2+， ∴tan∠A=tan∠D=； （3）如图2，作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE． 则∠BEC=2∠A，AE=BE，∠A=∠ABE ∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，tanA= ∴BC=1，AB=，设AE=x，则EC=3-x， 在Rt△EBC中，x2=(3-x)2+1，解得x=， 即AE=BE=，EC=， ∴tan2A=tan∠BEC=． 22．如图1，在中，，，，点在边上由点向点运动(不与点、重合)，过点作，交射线于点． (1)当时，线段 ； (2)若是等腰三角形，求线段的长； (3)若，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可求，可得点与点重合，即； （2）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解； （3）作，，垂足分别为、，根据，设，则，，通过证明，可得，得出，即可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， 点与点重合， ， 故答案为：； （2）解：是等腰三角形，故可分为三种情况： ①当时， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当时， ， ，， ， ， ， ， 即 ， 解得； ③当时，不成立． 综上所述，当是等腰三角形，求线段的长为或． （3）解：如图，作，，垂足分别为、， ， ， 故设，则， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 解得 舍去，， ． 六、解答题（共1小题，每小题14分，共14分） 23．综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】 （1）如图1，在“双垂四边形”中，若，则________，的值为________． 【问题解决】 （2）如图2，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一点，且，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到．连接，若，请直接写出的面积． 【答案】（1），；（2）1；（3）6或12 【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，正确画出图形，添加辅助线解答是解题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余可得，，进而可得，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质可证，得到，即可求解； （3）如图，过点作于点，由（2）知，，，即得，，进而由折叠可得四边形为正方形，连接，则，，分两种情况：①当点D的对应点F在的上方时；②当点D的对应点F在的下方时，分别画出图形解答即可求解． 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2），， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，过点作于点， 由（2）知，， ， ， ， 同理（2）可得，， ， 由折叠的性质可知， 四边形为正方形， 如图，连接，当点D的对应点F在的上方时，则，， ，即， ， ， ， ， ， ∴， ∴； 如图，当点D的对应点F在的下方时， 同理得：， ． 综上可得，的面积为6或12． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第23章 解直角三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若中，所对的边是，所对的边是，满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 4．若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 5．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C三点都在格点上，（   ） A．2 B． C． D． 6．如图，在正方形中，E 是边的中点，将沿直线翻折，点A落在点F 处， 连接，那么的正切值是（   ） A．2 B． C． D． 7．如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，菱形的边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，，两点的坐标分别为，，作射线，将菱形沿射线平移，当点落在轴上时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 9．如图，老王在江边垂钓，河堤的坡度为，长为米，甩杆之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离为米，此时沿钓竿看向钓竿顶端处，仰角为钓竿两端点的直线距离为米，钓线与江面的夹角，则浮漂与河堤下端之间的距离约为（　　）米．（参考数据：，，，，结果精确到米） A． B． C． D． 10．在平行四边形中，是锐角，将沿直线l翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 或 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标轴上，若点的坐标为，，则菱形的周长为 ． 12．如图，在菱形中，交于点E，连接，若，则的值是 ． 13．在菱形中，边长为，，点是的中点，连接是上一动点，把沿折叠，使点恰好落在边上的处，且，则 ． 14．如图平面直角坐标系中，、，为线段上一个动点．以为边作直角三角形，且，连接，当有最小值时，点的坐标为 ． 三、解答题（共4小题，每小题8分，共32分） 15．计算：（1） （2）． 16．如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 17．如图，在中，为边上的高．过点作的垂线，垂足为点．若， ，的余弦值为． (1)求的长． (2)连接交边于点，求的值． 18．校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，， ，，） (1)求点B距水平地面的高度； (2)求广告牌的高度． 四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分） 19．如图，在四边形中，是线段的垂直平分线，且点O是线段的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点O作于点E，若，求． 20．如图，在四边形中，，，平分交于点，连接，，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求四边形的周长． 五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分） 21．在学习《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究． (1)初步尝试：我们知道：tan60°＝ ，tan30°＝ ，发现结论：tanA 2tan∠A（填“＝”或“≠”）； (2)实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC＝1，求tan∠A； 小明想构造包含∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，所以得到∠D＝∠A，即转化为求∠D的正切值． 请按小明的思路进行余下的求解： 22．如图1，在中，，，，点在边上由点向点运动(不与点、重合)，过点作，交射线于点． (1)当时，线段 ； (2)若是等腰三角形，求线段的长； (3)若，求线段的长． 六、解答题（共1小题，每小题14分，共14分） 23．综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】 （1）如图1，在“双垂四边形”中，若，则________，的值为________． 【问题解决】 （2）如图2，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一点，且，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到．连接，若，请直接写出的面积． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第23章 解直角三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若中，所对的边是，所对的边是，满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 4．若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 5．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C三点都在格点上，（   ） A．2 B． C． D． 6．如图，在正方形中，E 是边的中点，将沿直线翻折，点A落在点F 处， 连接，那么的正切值是（   ） A．2 B． C． D． 7．如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，菱形的边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，，两点的坐标分别为，，作射线，将菱形沿射线平移，当点落在轴上时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 9．如图，老王在江边垂钓，河堤的坡度为，长为米，甩杆之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离为米，此时沿钓竿看向钓竿顶端处，仰角为钓竿两端点的直线距离为米，钓线与江面的夹角，则浮漂与河堤下端之间的距离约为（　　）米．（参考数据：，，，，结果精确到米） A． B． C． D． 10．在平行四边形中，是锐角，将沿直线l翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 或 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标轴上，若点的坐标为，，则菱形的周长为 ． 12．如图，在菱形中，交于点E，连接，若，则的值是 ． 13．在菱形中，边长为，，点是的中点，连接是上一动点，把沿折叠，使点恰好落在边上的处，且，则 ． 14．如图平面直角坐标系中，、，为线段上一个动点．以为边作直角三角形，且，连接，当有最小值时，点的坐标为 ． 三、解答题（共4小题，每小题8分，共32分） 15．计算：（1） （2）． 16．如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 17．如图，在中，为边上的高．过点作的垂线，垂足为点．若， ，的余弦值为． (1)求的长． (2)连接交边于点，求的值． 18．校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，， ，，） (1)求点B距水平地面的高度； (2)求广告牌的高度． 四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分） 19．如图，在四边形中，是线段的垂直平分线，且点O是线段的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点O作于点E，若，求． 20．如图，在四边形中，，，平分交于点，连接，，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求四边形的周长． 五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分） 21．在学习《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究． (1)初步尝试：我们知道：tan60°＝ ，tan30°＝ ，发现结论：tanA 2tan∠A（填“＝”或“≠”）； (2)实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC＝1，求tan∠A； 小明想构造包含∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，所以得到∠D＝∠A，即转化为求∠D的正切值． 请按小明的思路进行余下的求解： 22．如图1，在中，，，，点在边上由点向点运动(不与点、重合)，过点作，交射线于点． (1)当时，线段 ； (2)若是等腰三角形，求线段的长； (3)若，求线段的长． 六、解答题（共1小题，每小题14分，共14分） 23．综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】 （1）如图1，在“双垂四边形”中，若，则________，的值为________． 【问题解决】 （2）如图2，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一点，且，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到．连接，若，请直接写出的面积． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 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