精品解析：河南省周口市太康县第一高级中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

2025—2026学年度上学期高二第一次月考 数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，四个大题，满分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上.写在试卷上的答案无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示求解. 【详解】∵， ∴ 故选：A. 2. 过点且平行于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据平行关系设直线方程，再代入点的坐标，求直线方程. 【详解】设与直线平行的直线是，代入点得，得，所以直线方程是. 故选：A 3. 若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】若二元二次方程表示圆，则必须满足. 【详解】由， 得， 即, 解得 故选： 4. 两平行直线：，：之间的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两平行直线之间的距离公式求解即可． 【详解】由题意得： 直线，， ，，两直线为平行直线， 直线， 两平行直线之间的距离为． 故选：A 5. 如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取向量为空间向量的一组基底向量，表示出与，再借助空间向量运算即可计算作答. 【详解】在正三棱柱中，向量不共面，，， 令，则，而，， 于是得， 因此，， 所以与所成角的大小为. 故选：B 6. 已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】根据两条直线垂直得出,再根据基本不等式计算求解即可. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以即得, 所以, 因为，都是正实数，所以. 当且仅当时，取最小值25. 故选：D. 7. 如图，已知空间四边形，其对角线为，分别为的中点，点在线段上，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理求解，即用表示出即可得． 【详解】由题意， 又， 所以，． 故选：C． 8. 点到直线（为任意实数）的距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知直线恒过点，由此可知到直线的最远距离为，最短距离为0，即可得答案. 【详解】解：将直线方程变形为， 由，解得， 由此可得直线恒过点， 所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于 到直线的最短距离为0，此时直线经过点． 又， 所以到直线的距离的取值范围是． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于空间向量的命题中，是真命题的是（ ） A. 若三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们一定不共面 B. 若，则，的夹角是锐角 C. 不相等的两个空间向量的模可能相等 D. 若，是两个不共线的向量，且且，则构成空间的一个基底 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理即可判断AD；对B，举例即可反驳；根据空间向量定义即可判断C. 【详解】选项A，由空间向量基本定理可知正确； 选项B，当且，时，，故B错误； 选项C，由空间向量定义可知正确； 选项D，由空间向量基本定理可知，与，共面，则不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：AC. 10. 已知直线，直线，则（ ） A. 当时，与的交点为 B. 存在，使 C. 若，则 D. 直线恒过点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两直线方程及位置关系直接判断. 【详解】选项，当时，直线，直线， 联立，解得， 所以两直线的交点为，A选项正确； B选项，假设存在，使，则，解得或， 当，，，两直线重合，舍去， 当时，，即，，即，两直线重合，舍去， 所以不存在，使，B选项错误； C选项：若，则，解得，C选项正确； D选项，直线，即， 令，即，所以直线恒过点，D选项正确； 故选：ACD. 11. 已知正方体的棱长为1，是线段上的动点，则下列说法正确的是,（ ） A. 存在点使 B. 点到平面的距离为 C. 的最小值是 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， 设， ，当时，， 此时与重合，所以A选项正确. 设平面的法向量为， 则，故可设， 所以点到平面的距离为，B选项错误. ，， ， 所以当时，取得最小值为，C选项错误. ，为定值，D选项正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知到直线的距离等于3，则a的值为_________. 【答案】或 【解析】 【分析】由距离公式，解方程得出a的值. 【详解】由距离公式可得，， 即，解得或. 故答案为：或. 13. 如图，二面角的大小为，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱.若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算可得，再根据向量所成角，结合数量积公式平方即可得解. 【详解】根据题意，， 由二面角大小为，可得， ， 所以， 故答案为： 14. 如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出关于的对称点和它关于y轴的对称点，则就是所求的路程长. 【详解】解：直线的方程为，即， 设点关于直线AB的对称点为， 则，解得，即， 又点关于y轴的对称点为， 由光的反射规律以及几何关系可知，光线所经过的路程长． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间三点，设. （1）求和的夹角的余弦值; （2）若向量与互相垂直，求的值. 【答案】（1） （2）2或 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的坐标表示求出，再利用向量夹角的坐标表示计算即得. （2）利用垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律，结合（1）中信息列出方程求解即可. 【小问1详解】 由点，得， 所以，所以和夹角的余弦值为 【小问2详解】 由（1）可得， 因为向量与互相垂直， 则， 整理可得，解得或， 所以的值为2或. 16. 已知直线，直线． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用直线平行的判定列方程求参数值，需要验证所得参数是否符合要求. （2）利用直线垂直的判定列方程求参数值即可. 【小问1详解】 由，则，即， 所以或， 当，，，两线重合，不合题意； 当，，，符合题意； 综上，. 【小问2详解】 由，则，即， 所以，即或. 17. 如图，正方体的棱长为2. （1）用空间向量方法证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明:根据题意以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： AI    易知， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则可得，即； 又，即， 又平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出平面的法向量，易得，即可得出证明； （2）求出，利用（1）中的法向量，即可求得直线与平面所成角的正弦值为. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 易知，则， 由（1）知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 圆C过点，，且圆心在直线上. （1）求圆C的方程； （2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）求得线段垂直平分线的方程，与直线方程联立，求得圆心的坐标，由求得半径，由此求得圆的方程. （2）设出点坐标，由此求得点坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程. 【详解】（1）直线的斜率， 所以的垂直平分线m的斜率为1. 的中点的横坐标和纵坐标分别为，. 因此，直线m的方程为.即. 又圆心在直线上，所以圆心是直线m与直线的交点.联立方程组 ， 解得 所以圆心坐标为，又半径， 则所求圆的方程是. （2）设线段的中点， M为线段的中点，则， 解得 代入圆C中得， 即线段中点M的轨迹方程为. 【点睛】本小题主要考查圆的方程的求法，考查动点轨迹方程的求法，属于中档题. 19. 古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家帕普斯（Pappus，公元3世纪末）在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：平面上，到两条已知直线距离的乘积是到第三条直线距离的平方的倍的动点轨迹为二次曲线（在平面上，由二元二次方程所表示的曲线，叫做二次曲线）.常数的大小和直线的位置等决定了曲线的形状.为了研究方便，我们设平面内三条给定的直线为，当三条直线中有相交直线时，记，，，动点到直线的距离为，且满足.阅读上述材料，完成下列问题： （1）当，时，若，且与的距离为2，点在与之间运动时，求动点的轨迹所围成的面积. （2）若是等腰直角三角形，是直角，点在内（包括两边）运动，试探求为何值时，的轨迹是圆？ （3）若是等腰三角形，，点在内（包括两边）任意运动，当时，问在此等腰三角形对称轴上是否存在一点，使为大于1的定值.若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）当时，的轨迹是圆 （3）存在，点为中点 【解析】 【分析】（1）适当建系，以为轴，为轴，同时，再结合新定义确定轨迹方程即可求解； （2）适当建系，以为坐标原点，为轴，为轴，同时.再结合新定义即可求解； （3）适当建系，以为坐标原点，的角平分线为轴，设，，，结合新定义列出等式即可求解. 【小问1详解】 以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，，设， 因为在，之间，所以，，， 由定义得，所以，化简得， 表示以为圆心，1为半径的圆. 所以动点的轨迹围成的图形面积. 【小问2详解】 以为坐标原点，（）为轴，（）为轴，建立平面直角坐标系. 设，点， 则，，，， 代入坐标得：. 化简整理：① 当时，方程①没有项，此时方程①为：. 即，此方程表示圆心为，半径为的圆， 所以当时，的轨迹是圆. 【小问3详解】 以为坐标原点，的角平分线为轴，建立平面直角坐标系， 设，，，点， 先求点的轨迹方程：由，因为在内部，所以，得. 同理：，又. 由题意，当时，得. 化简整理得：.② 假设存在点，满足条件，则③ 由②得：. 代入③得. 要使此式为定值，则，化简得， 故存在点，即点为与的角平分线的交点，即点为中点， 此时. 【点睛】关键点点睛：这类新定义的关键是适当建系，简化计算过程，减少计算量是关键点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期高二第一次月考 数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，四个大题，满分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上.写在试卷上的答案无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 过点且平行于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 两平行直线：，：之间的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 5. 如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 25 7. 如图，已知空间四边形，其对角线为，分别为的中点，点在线段上，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 点到直线（为任意实数）的距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于空间向量的命题中，是真命题的是（ ） A. 若三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们一定不共面 B. 若，则，的夹角是锐角 C. 不相等的两个空间向量的模可能相等 D. 若，是两个不共线的向量，且且，则构成空间的一个基底 10. 已知直线，直线，则（ ） A. 当时，与的交点为 B. 存在，使 C. 若，则 D. 直线恒过点 11. 已知正方体的棱长为1，是线段上的动点，则下列说法正确的是,（ ） A. 存在点使 B. 点到平面的距离为 C. 的最小值是 D. 三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知到直线的距离等于3，则a的值为_________. 13. 如图，二面角的大小为，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱.若，则__________. 14. 如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间三点，设. （1）求和的夹角的余弦值; （2）若向量与互相垂直，求的值. 16. 已知直线，直线． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 17. 如图，正方体的棱长为2. （1）用空间向量方法证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 圆C过点，，且圆心在直线上. （1）求圆C的方程； （2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程. 19. 古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家帕普斯（Pappus，公元3世纪末）在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：平面上，到两条已知直线距离的乘积是到第三条直线距离的平方的倍的动点轨迹为二次曲线（在平面上，由二元二次方程所表示的曲线，叫做二次曲线）.常数的大小和直线的位置等决定了曲线的形状.为了研究方便，我们设平面内三条给定的直线为，当三条直线中有相交直线时，记，，，动点到直线的距离为，且满足.阅读上述材料，完成下列问题： （1）当，时，若，且与的距离为2，点在与之间运动时，求动点的轨迹所围成的面积. （2）若是等腰直角三角形，是直角，点在内（包括两边）运动，试探求为何值时，的轨迹是圆？ （3）若是等腰三角形，，点在内（包括两边）任意运动，当时，问在此等腰三角形对称轴上是否存在一点，使为大于1的定值.若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $