第02讲 平方根与立方根（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版新教材）

第02讲 平方根与立方根 知识点1：平方根和算术平方根的定义 知识点2：算术平方根的性质 知识点3：算术平方根小数点的移动规律 知识点4：立方根的定义和性质 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 【题型一 求一个数的算术平方根】 【典例1】计算的值为（  ） A． B．3 C． D． 【变式1】4的算术平方根是（　　） A． B．2 C． D． 【变式2】6的算术平方根是（   ） A． B． C．36 D．±36 【变式3】计算的结果为（    ） A． B． C．3 D．9 【题型二 求一个数的平方根】 【典例2】16的平方根是（    ） A．4 B． C． D． 【变式1】4的平方根是（    ） A． B．2 C． D． 【变式2】16的平方根是 ． 【变式3】若，则 ，若，则 ． 【题型三 已知一个数的平方根求这个数】 【典例3】已知一个正数的平方根是和，则这个数是（    ） A．−1 B． C．16 D．64 【变式1】如果一个正数的两个平方根分别是和，则 ． 【变式2】一个正数的两个不同的平方根分别是和，则 ． 【变式3】一个数的平方根是和，则这个数是 ． 【题型四 利用平方根解方程】 【典例4】解下列方程： (1)； (2)． 【变式1】求下列各式中的值： (1)； (2)． 【变式2】求下列各式中的值： (1)； (2)． 【变式3】求下列x的值： (1)； (2)． 【题型五 利用算术平方根的非负性解题】 【典例5】已知，那么（    ） A． B．1 C．2 D． 【变式1】若为实数，且，则的值是（    ） A．−1 B．2 C．1 D．9 【变式2】若，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式3】若与互为相反数，则的值为 ． 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【题型六 与算术平方根有关的规律探索题】 【典例6】已知，，则（   ） A．14.36 B．143.6 C．45.4 D．454 【变式1】观察下列各式，，，则依次第四个式子是 ． 【变式2】利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若 ，，则 ． 【变式3】若，则 ， ，若，则 ． 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【题型七 求一个数的立方根】 【典例7】的立方根是 ，的立方根是 ． 【变式1】8的立方根是 ． 【变式2】1的立方根是 ；的立方根是 ． 【变式3】27的立方根是 ；的平方根是 ． 【题型八 已知一个数的立方根求这个数】 【典例8】若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，且，则x= ． 【变式2】已知的立方根是3，则 ． 【变式3】已知，，，，则 ． 【题型九 与立方根有关的规律探索】 【典例9】如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 【变式1】已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【变式2】观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 【变式3】已知，，，则 ． 【题型十 算术平方根和立方根的综合应用】 【典例10】已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【变式1】已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【变式2】已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【变式3】已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根． 一、单选题 1．的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（       ） A． B． C． D． 3．在下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．计算的结果为（   ） A．2 B． C．4 D．8 5．下列说法正确的是（   ） A． B．任何数都有算术平方根 C．立方根等于本身的数只有 D．的立方根是 6．如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（    ） 　 A． B． C． D． 二、填空题 7．若，则 ． 8．的平方根是 ，它的算术平方根是 ，的立方根是 ． 9．一个正数的平方根是和，则a的值是 ． 三、解答题 10．观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 11．求x的值 (1) (2) 12.求下列各式中的值： (1) (2) 13．已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 14．已知的平方根是，的立方根是3，m是的算术平方根． (1)填空： ， ， ； (2)若m的整数部分是x，小数部分是y，求的值． 15．某正数的两个不相等的平方根分别是和． (1)求的值． (2)求的立方根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 平方根与立方根 知识点1：平方根和算术平方根的定义 知识点2：算术平方根的性质 知识点3：算术平方根小数点的移动规律 知识点4：立方根的定义和性质 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 【题型一 求一个数的算术平方根】 【典例1】计算的值为（  ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根． 根据算术平方根的意义求解即可． 【详解】解：． 故选：B． 【变式1】4的算术平方根是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据算术平方根的运算法则即可求解． 【详解】解：的算术平方根是：， 故选：B． 【变式2】6的算术平方根是（   ） A． B． C．36 D．±36 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：6的算术平方根是， 故选：A． 【变式3】计算的结果为（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 【题型二 求一个数的平方根】 【典例2】16的平方根是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据平方根的运算法则进行计算即可． 【详解】解：16的平方根是． 故选：C． 【变式1】4的平方根是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了平方根的定义，根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：4的平方根是， 故选：A． 【变式2】16的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根的概念． 如果一个数的平方为，那么叫作的平方根． 【详解】解：，，所以16的平方根为． 故答案为：． 【变式3】若，则 ，若，则 ． 【答案】 或8 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，由平方根及立方根得，，即可求解． 【详解】解： ， 解得：或8； ， ， ， 解得：； 故答案为：或8；． 【题型三 已知一个数的平方根求这个数】 【典例3】已知一个正数的平方根是和，则这个数是（    ） A．−1 B． C．16 D．64 【答案】D 【分析】本题考查了平方根，解题的关键是熟练掌握平方根的定义． 根据正数的平方根有两个并且互为相反数，列出方程，求出方程的解得到x的值，即可得到这个数． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴，， ∴这个数为． 故选：D． 【变式1】如果一个正数的两个平方根分别是和，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查平方根的性质，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．一个正数的两个平方根互为相反数，依题意，解方程即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， 故答案为：3． 【变式2】一个正数的两个不同的平方根分别是和，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查平方根的概念． 一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可． 【详解】解：由题得， 解得， 所以． 故答案为：4． 【变式3】一个数的平方根是和，则这个数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数的平方根有两个且互为相反数列方程求得的值，进而求得这个数． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴这个数的平方根是和， ∴这个数是， 故答案为：． 【题型四 利用平方根解方程】 【典例4】解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程，是基础题，熟记概念是解题的关键． （1）根据平方根的定义解答即可； （2）先把方程变形为，然后根据平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：， ， 所以，． （2）解：， ， ， 所以，． 【变式1】求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查由平方根定义与求法解方程，熟记平方根定义与求法是解决问题的关键． （1）先将方程恒等变形为，由平方根定义与求法求解即可得到答案； （2）先将方程恒等变形为，由平方根定义与求法求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 解得或； （2）解：， ， 则， 解得或． 【变式2】求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平方根，关键是掌握平方根的定义．如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根． （1）根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可； （2）根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： 解得：； （2）解：整理得：， ， 或． 【变式3】求下列x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查利用平方根的定义解方程，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得，， ∵， 解得，或； （2）解：， ∵， ∴或， 解得，或． 【题型五 利用算术平方根的非负性解题】 【典例5】已知，那么（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的非负性和代数式求值，正确求出的值是解题的关键． 先根据算术平方根的非负性得到，求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】若为实数，且，则的值是（    ） A．−1 B．2 C．1 D．9 【答案】C 【分析】本题考查平方与算术平方根的非负性，求代数式的值．根据平方和算术平方根的非负性求出m，n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】若，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查代数式求值，偶次幂和算术平方根的非负性．根据偶次幂和算术平方根的非负性，求出m，n的值，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式3】若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了相反数的性质，二次根式和绝对值的非负性等知识点，掌握这些是解题的关键． 根据题意列式，再根据二次根式和绝对值的非负性得到x，y的值，代入即可． 【详解】解： 与互为相反数， ， ，解得， ． 故答案为：9． 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【题型六 与算术平方根有关的规律探索题】 【典例6】已知，，则（   ） A．14.36 B．143.6 C．45.4 D．454 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的运算，由即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 【变式1】观察下列各式，，，则依次第四个式子是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根的规律问题，解题的关键是得到数字的一般规律；由，，，……；可知第n个式子是，然后当时即可求得第四个式子． 【详解】解：∵，，，……； ∴第n个式子是， ∴当时，第四个式子是； 故答案为． 【变式2】利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若 ，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根和被开方数间关系．先根据表格得到规律，再根据规律确定结果． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∴， 故答案为：． 【变式3】若，则 ， ，若，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了算术平方根的性质，如果被开方数扩大为原来的100倍，其算术平方根也在扩大，但只扩大为原来的10倍；同理，如果被开方数缩小为原来的，其算术平方根也在缩小，但只缩小为原来的． 根据算术平方根的性质结合题意即可求解． 【详解】解：∵ ∴，， ∵， ∴ 故答案为：，，． 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【题型七 求一个数的立方根】 【典例7】的立方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，熟知这两个概念是解题的关键．根据立方根、算术平方根的定义分别计算即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， ∵， 又，27的立方根是3， 的立方根是3， 故答案为：，3． 【变式1】8的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了立方根定义，熟练掌握立方根定义，是解题的关键．根据立方根定义，进行求解即可． 【详解】解：8的立方根是2． 故答案为：2． 【变式2】1的立方根是 ；的立方根是 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据立方根的计算方法计算即可得解，熟练掌握立方根的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：1的立方根是，的立方根是， 故答案为：1，． 【变式3】27的立方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么x叫做a的立方根．记作：根据立方根和平方根的定义求解． 【详解】解：， 的立方根是3； ， 的平方根是； 故答案为：3； 【题型八 已知一个数的立方根求这个数】 【典例8】若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据立方根求这个数，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：C． 【变式1】已知，且，则x= ． 【答案】 【分析】本题主要考查立方根的运算，根据题意，得到，再解方程即可． 【详解】，， ， ， ． 故答案为：． 【变式2】已知的立方根是3，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义列得方程，解得a的值即可． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴， 解得：， 故答案为：5． 【变式3】已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，正确理解题意、找到规律是关键．根据已知的式子结合立方根的定义找到规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，相应的立方根的小数点向右（或向左）移动一位，据此解答，注意符号． 【详解】解：，，，， ， ， 故答案为：． 【题型九 与立方根有关的规律探索】 【典例9】如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根的性质，一个数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 【变式1】已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答即可． 【详解】解：， ∴， 故选B． 【变式2】观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：根据图表中的规律得， ， 故答案为：． 【变式3】已知，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键．根据立方根的小数点就向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出的值． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：． 【题型十 算术平方根和立方根的综合应用】 【典例10】已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题； （2）根据平方根的定义解决此题． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4 ∴，． ∴，； （2）解：由（1）得，，， ∴ ， ∴的平方根为：． 【变式1】已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，代数式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先求出的值，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：的平方根是， 解得：， 的立方根是2， ． 解得：； （2）解：把代入中得：， 的算术平方根为3． 【变式2】已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)的平方根是． 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其运算方法是关键． （1）根据算术平方根，立方根的计算列式求解即可； （2）把的值代入，根据平方根的计算求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是2， ， 解得； 的立方根是2， ，即， 解得． （2）解：由（1）知，，， ； 而10的平方根是， 的平方根是． 【变式3】已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，平方根，先根据的算术平方根是，得出；再结合的立方根是，得出，最后求出的值为，即可作答． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为， 即：的平方根为． 一、单选题 1．的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，一个非负数的非负平方根就是这个数的算术平方根，因为，所以的平方根是，又因为这两个平方根中是非负数，所以的算术平方根是. 【详解】解：， 的平方根是， 又， 的算术平方根是. 故选：C． 2．下列计算正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，实数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据算术平方根的定义，实数的性质分别判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，故本选项不符合题意； B、，原写法错误，故本选项不符合题意； C、，写法正确，故本选项符合题意； D、，原写法错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．在下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0．根据平方根、算术平方根和立方根的定义逐项计算即可判断． 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项正确； C、，故选项错误； D、，故选项错误． 故选：B． 4．计算的结果为（   ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 5．下列说法正确的是（   ） A． B．任何数都有算术平方根 C．立方根等于本身的数只有 D．的立方根是 【答案】A 【分析】本题主要考查立方根和平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据立方根和平方根的定义进行作答即可． 【详解】解：A．，故本选项符合题意； B.负数没有算术平方根，故本选项不符合题意； C.立方根等于本身的数有、、，故本选项不符合题意； D.的立方根是，故本选项不符合题意． 故选：A． 6．如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（    ） 　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数立方根和算术平方根，无理数的定义，正确理解流程图是解题的关键． 将输入，按照流程图计算，直至求出是无理数，输出即可． 【详解】解：当，则，是有理数； 则当，则，是有理数； 则当，则，是无理数，直接输出， ∴当输入为时，输出的值是， 故选：B． 二、填空题 7．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，则，据此求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．的平方根是 ，它的算术平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 5 【分析】本题考查平方根、算术平方根，立方根，理解平方根、算术平方根以及立方根的定义是正确解答的前提．根据平方根、算术平方根以及立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根为，即； ∵， ∴的算术平方根为5，即； ∵， ∴的立方根为，即； 故答案为：，5，． 9．一个正数的平方根是和，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题关键．根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数可得，解方程即可得． 【详解】解：∵一个正数的平方根是和， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题 10．观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位 (2)，， (3)①；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①、②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解： 由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小百倍，它的算术平方根就扩大或缩小十倍． 故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位； （2）解：∵． ∴，； 若，则， 故答案为：，，； （3）解：①∵知， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 故答案为：． 11．求x的值 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根的定义解答即可． （2）根据立方根的定义解答即可． 本题考查了平方根，立方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 解得． （2）解：， ， 解得． 12.求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了利用平方根，立方根的定义解方程． （1）移项，利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： ∴ 解得： 13．已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键． （1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得； （2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， ∴，． （2）解：当，时，， ∵9的平方根为， ∴的平方根为． 14．已知的平方根是，的立方根是3，m是的算术平方根． (1)填空： ， ， ； (2)若m的整数部分是x，小数部分是y，求的值． 【答案】(1)5；2； (2) 【分析】本题主要考查了根据平方根和立方根求原数，无理数的估算，求一个数的算术平方根，熟知立方根和平方根的定义是解题的关键． （1）对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求出a、b的值，再根据算术平方根的定义求出m的值即可； （2）根据无理数的估算方法估算出m的取值范围，进而确定x、y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是3， ∴，， ∴， ∵m是的算术平方根， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴m的整数部分为2，小数部分为，即， ∴． 15．某正数的两个不相等的平方根分别是和． (1)求的值． (2)求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）根据正数的两个平方根互为相反数，进行求解即可； （2）先求出，再代入求出的值，然后根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正数的两个不相等的平方根分别是和 ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴其立方根为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $