2.1认识实数（第2课时）（导学案）数学北师大版2024八年级上册

2.1.2认识实数（第2课时） 导学案（解析版） 1.理解无理数的本质特征，掌握实数的定义与分类。 2.经历在数轴上表示无理数的方法的探索过程，体会数形结合思想． 3.在观察小数特征的过程中，归纳实数的分类标准，培养抽象概括能力． 重点：无理数的概念与判定以及实数的分类体系 难点：在数轴上表示无理数 第一环节 自主学习 温故知新： ①有理数的本质：总可表示为有限小数或无限循环小数． ②无限不循环小数的本质：不能表示为分数的数． 核心特征：小数位数无限 数字排列无循环性 新知自研：自研课本第26-28页的内容 【学法指导】 自研课本P26页内容，思考： 1、观察下列各数： 将以上各数表示为小数： 3=3.0 ，=0.8， = = =0. 以上每个数字转化后的小数都是有限小数和无限循环小数 2、在以上的数中，没有一个数是无限不循环小数，而无限不循环小数也不是有理数，那么这种数是什么呢？ 概念形成：无限不循环小数称为无理数 3、一些数学中我们常见的或者是可能误认为有循环节的小数，如： （1）是无理数 （2）0.585885888588885⋯(相邻两个5之间8的个数逐次加1)是无理数 【自研自探】 自研课本P27页例题内容，回答问题： 例 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ 3.14， ， 0.57， 0.1010001000001⋯（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2）。 解：有理数：3.14， ， 0.57；无理数: ：0.1010001000001⋯（两个 1 之间 0 的个数加 2） 1、在例题中我们发现同时出现了有理数和无理数，有理数和无理数统称为实数。 2、在例题中，我们区分以上数字是按照有理数和无理数区分的，若按照正负来分，则 正数是：3.14，0.57，0.1010001000001⋯（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2）；负数是： 3、还记得有理数的分类方法吗？你能用类似的方法对实数进行分类吗？ 有理数可分为正有理数、负有理数和0；类似的，可将实数分为正实数、负实数和0 4、实数运算规则（核心迁移内容） （1）在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的完全一样； （2）实数可以进行加、减、乘、除、乘方运算，有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用； （3）近似计算例子：求a=1.41421356…与π=3.14159265…的和（保留两位小数） 1.414， 3.141， ≈4.56 5、试一试：将下列实数填入相应的集合中（每个数只能填一次）： 、−3、、、、、、​、0 1. 无理数集合：____ 1. 有理数集合：__−3、、​、0_ 1. 正实数集合：__、、、、、 1. 负实数集合：_−3、 1. 非负实数集合：、、、、、、0_ 6. 总结归纳无理数和实数的概念，以及实数的分类和运算性质.（完成在随堂笔记处） 第二环节 合作探究 小组群学： P28页思考与交流的内容，回答问题： A,在小组长的带领下：商讨如何在数轴表示无理数； 1.前面讨论的两个正方形，边长分别是 a, b，且满足 .; 如图，数轴上点 A 对应 a, b 中的哪个数？ 解；如图，点A表示的是数a B, 总结无理数在数轴上表示的方法.（完成在随堂笔记处） C,拓展提升 在数轴上找到与对应的点，并说明你是如何画出来的。 解：① 作直角边长为_1和2的直角三角形； ② 以原点O为圆心，以_斜边长度为半径画弧交数轴于E，点E即是数b 1. 下列各数中，属于无理数的是（ B ） A. B. （相邻两个1之间0的个数逐次加1） C. ​ D. 2. 实数的正确分类是（ B ） A. 正数、负数和0 B. 有理数和无理数 C. 整数和分数 D. 有限小数和无限小数 3. 下列说法正确的是（ C ） A. 无理数都是带根号的数 B. 有理数都是有限小数 C. 无限不循环小数是无理数 D. 4. 比较大小 -3.14 > . 5.请你列举出一个无理数：，列举出一个实数：10（答案不唯一） 类型一：有理数与无理数的识别 1.下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ 有理数： 无理数： 类型二：实数的分类 2.将下列数分类： −0.6，，0，0.121121112⋯（相邻两个2之间1的个数逐次加1） 有理数：−0.6，，0 无理数：0.121121112⋯（相邻两个2之间1的个数逐次加1） 类型三：实数性质迁移应用 3.a是一个实数，它的相反数和绝对值如何表示？若 ，则它的倒数如何表示？ 解: a的相反数是-a； a的绝对值是|a| a的倒数是（a 类型四： 4.请你在方格纸上分别按照如下要求设计一个直角三角形：  （1）使它的三边中恰有一边边长是无理数；  （2）使它的三边中恰有两边边长是无理数；  （3）使它的三边边长都是有无理数。 1.（2023•北京）下列实数中，是无理数的是（A ） A. √3 B. C. 0.666… D. -2． 2.（2023•南京）请写出一个比2大且比3小的无理数：______． 3.（2023•广东）下列关于实数的分类，正确的是（ A） A. 正实数包括正有理数和正无理数 B. 负数包括负整数和负分数 C. 有理数包括整数、分数和无理数 D. 无理数包括正无理数、0和负无理数 4.（2024•湖北）在实数- 、0、3.14、中，有理数有____3__个 5.（2024•浙江）估计数轴上的位置介于（A ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 1. 有理数：有限小数或无限循环小数； 2. 无理数：无限不循环小数； 3. 实数：有理数 + 无理数； 4. 实数分类：正实数（正有理数+正无理数）/0/负实数（负有理数+负无理数）； 5. 运算规则迁移： （1）相反数、倒数、绝对值的意义与有理数相同； （2）有理数的运算法则（加、减、乘、除、乘方）和运算律（交换律、结合律、分配律）对实数仍然适用； 6. 在数轴上表示无理数的步骤： （1）准备数轴（标记 0 和 1）。 （2）对于代数无理数（如 √2），使用勾股定理和圆规进行精确构造。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.2认识实数（第2课时） 导学案 1.理解无理数的本质特征，掌握实数的定义与分类。 2.经历在数轴上表示无理数的方法的探索过程，体会数形结合思想． 3.在观察小数特征（有限、循环、不循环）的过程中，归纳实数的分类标准，培养抽象概括能力． 重点：无理数的概念与判定以及实数的分类体系 难点：在数轴上表示无理数 第一环节 自主学习 温故知新： ①有理数的本质：总可表示为_____________或_____________． ②无限不循环小数的本质：不能表示为_____________的数． 核心特征：小数位数_____________ 数字排列_____________ 新知自研：自研课本第26-28页的内容 【学法指导】 自研课本P26页内容，思考： 1、观察下列各数： 将以上各数表示为小数： 3=_____ ，=_____， =_____ =_____ =_____ 以上每个数字转化后的小数都是_____________和_____________ 2、在以上的数中，没有一个数是无限不循环小数，而无限不循环小数也不是有理数，那么这种数是什么呢？ 概念形成：无限不循环小数称为_____________ 3、一些数学中我们常见的或者是可能误认为有循环节的小数，如： （1）是_____________ （2）0.585885888588885⋯(相邻两个5之间8的个数逐次加1)是_____________ 【自研自探】 自研课本P27页例题内容，回答问题： 例 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ 3.14， ， 0.57， 0.1010001000001⋯（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2）。 解：有理数：__________________________；无理数:__________________________ 1、在例题中同时出现了有理数和无理数，有理数和无理数统称为_____。 2、在例题中，我们区分以上数字是按照有理数和无理数区分的，若按照正负来分，则 正数是：_________________________________负数是；__________________ 3、还记得有理数的分类方法吗？你能用类似的方法对实数进行分类吗？ ____________________________________________________ 4、实数运算规则（核心迁移内容） （1）在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与_____________范围内的完全一样； （2）实数可以进行加、减、乘、除、乘方运算，_____________的运算法则与运算律对实数仍然适用； （3）近似计算例子：求a=1.41421356…与π=3.14159265…的和（保留两位小数） _____________， _____________， ≈_____________ 5、试一试：将下列实数填入相应的集合中（每个数只能填一次）： 、−3、、、、、、​、0 1. 无理数集合：__________________________ 1. 有理数集合：__________________________ 1. 正实数集合：__________________________ 1. 负实数集合：__________________________ 1. 非负实数集合：__________________________ 6. 总结归纳无理数和实数的概念，以及实数的分类和运算性质.（完成在随堂笔记处） 第二环节 合作探究 小组群学： P28页思考与交流的内容，回答问题： 在小组长的带领下：商讨如何在数轴表示无理数； A.前面讨论的两个正方形，边长分别是 a, b，且满足 .; 如图，数轴上点 A 对应 a, b 中的哪个数？ 解；如图，点A表示的是_____________ B. 总结无理数在数轴上表示的方法.（完成在随堂笔记处） C,拓展提升 在数轴上找到与对应的点，并说明你是如何画出来的。 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ） A. B. （相邻两个1之间0的个数逐次加1） C. ​ D. 2. 实数的正确分类是（ ） A. 正数、负数和0 B. 有理数和无理数 C. 整数和分数 D. 有限小数和无限小数 3. 下列说法正确的是（ ） A. 无理数都是带根号的数 B. 有理数都是有限小数 C. 无限不循环小数是无理数 D. 4. 比较大小 -3.14 > . 5.请你列举出一个无理数：__________，列举出一个实数：_____________ 类型一：有理数与无理数的识别 1.下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ 有理数： 无理数： 类型二：实数的分类 2.将下列数分类： −0.6，，0，0.121121112⋯（相邻两个2之间1的个数逐次加1） 类型三：实数性质迁移应用 3.a是一个实数，它的相反数和绝对值如何表示？若 ，则它的倒数如何表示？ 解: 类型四： 4.请你在方格纸上分别按照如下要求设计一个直角三角形：  （1）使它的三边中恰有一边边长是无理数；  （2）使它的三边中恰有两边边长是无理数；  （3）使它的三边边长都是有无理数。 1.（2023•北京）下列实数中，是无理数的是（ ） A. √3 B. C. 0.666… D. -2． 2.（2023•南京）请写出一个比2大且比3小的无理数：______． 3.（2023•广东）下列关于实数的分类，正确的是（ ） A. 正实数包括正有理数和正无理数 B. 负数包括负整数和负分数 C. 有理数包括整数、分数和无理数 D. 无理数包括正无理数、0和负无理数 4.（2024•湖北）在实数- 、0、3.14、中，有理数有____个 5.（2024•浙江）估计数轴上的位置介于（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 1. 有理数：_________________________ 2. 无理数：_________________________ 3. 实数：_____________ + _____________ 4. 实数分类：__________________________________________________ 5. 运算规则迁移： （1）相反数、倒数、绝对值的意义与_____________相同； （2）有理数的运算法则（加、减、乘、除、乘方）和运算律（交换律、结合律、分配律）对_____________仍然适用； 6. 在数轴上表示无理数的步骤： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$