专题05圆（期中复习讲义）九年级数学上学期浙教版

专题05 圆（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆的基本概念 掌握圆的定义（定点为圆心、定长为半径）及相关概念（弧、弦、圆心角、直径），学会识别优弧、劣弧与弦的对应关系。 基础题，多以选择 / 填空形式考查，难度低，易因混淆优弧（标注 3 个字母）与劣弧（标注 2 个字母）出错。 点与圆的位置关系 掌握点在圆内、圆上、圆外的判定依据，学会根据 d 与 r 判断位置关系。 基础题，选择 / 填空为主，常结合距离计算考查，易因 d 与 r 的大小比较失误（如漏看等号）出错。 三角形的外心 掌握三角形外心的定义及性质，学会找任意三角形的外心。 中档题，选择 / 填空为主，易与三角形内心（角平分线交点）混淆，或忽略 “钝角三角形外心在外部” 的特征。 旋转图形 旋转现象判断 掌握旋转的定义，学会判断生活场景或图形中的旋转现象，区分旋转与平移、轴对称。 基础题，选择 / 填空为主，难度低，易因未抓住 “绕定点旋转” 的核心（如误将平移当旋转）出错。 旋转中心、旋转角 掌握旋转中心、旋转角（对应点与旋转中心连线的夹角）的定义，学会从旋转图形中找出旋转中心和旋转角。 中档题，常结合具体图形考查，选择 / 填空 / 解答题小问均有涉及，易找错旋转中心（如误将图形顶点当中心）。 平面直角坐标系上图形的旋转 掌握坐标系中图形旋转的坐标变化规律，学会计算旋转后点的坐标。 高频中档题，选择 / 填空 / 解答题小问均有，易记错旋转方向对应的坐标变化（如顺时针与逆时针旋转 90° 的坐标符号差异）。 旋转的规律探究 掌握旋转图形的不变性（边长、角度不变）与变化规律（对应点连线夹角等于旋转角），学会探究旋转中的循环或递推规律。 中档偏难题，填空 / 解答题为主，常考 “旋转多次后图形位置”“线段长度规律”，易因未发现循环周期（如旋转 3 次重合）出错。 利用旋转的性质求解 掌握旋转的性质（对应边相等、对应角相等、旋转角相等），学会运用性质求线段长度、角度或证明线段 / 角相等。 高频中档题，解答题为主，常结合三角形、四边形考查，易忽略 “对应关系”（如找错对应边 / 角）导致计算错误。 利用垂径定理求解 掌握垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧）及推论，学会用定理求弦长、半径、弦心距。 高频考点，解答题核心，常需构造 “半径、弦心距、半弦长” 的直角三角形，易漏用 “弦不是直径” 的前提或计算半弦长失误。 垂径定理的应用 掌握垂径定理在实际问题（如水管直径、拱桥高度、油桶液面宽度）中的应用，学会建立圆的模型分析关键线段关系。 中档题，解答题为主，易因坐标系建立不当（如未以直径中点为原点）或关键数据提取错误出错。 利用弧、弦、圆心角的关系求解 掌握 “同圆或等圆中，等弧对等弦、等弧对等圆心角” 的关系，学会运用关系证明线段相等、角相等或判断弧的大小。 高频基础题，选择 / 填空 / 解答题小问均有，易忽略 “同圆或等圆” 的前提（不同圆中弧相等不一定弦相等）。 圆周角定理 掌握圆周角定理（圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半）及推论（同弧或等弧所对的圆周角相等），学会用定理求角度。 高频考点，贯穿选择、填空、解答题，易混淆 “所对的弧”（如误将不同弧对应的圆周角用定理计算）。 半圆所对的圆周角是 90 度 掌握 “直径所对的圆周角是直角” 的推论，学会用推论判断直角、构造直角三角形或证明线段垂直。 高频中档题，解答题为主，常结合直径、直角三角形性质考查，易忽略 “直径” 前提（非直径弦所对圆周角不是 90°）。 圆内接四边形 掌握圆内接四边形的性质（对角互补、外角等于内对角），学会用性质求未知内角或外角的度数。 中档题，选择 / 填空 / 解答题小问为主，易忘记 “对角互补”（如误按普通四边形内角和计算）或混淆 “内角与外角” 的关系。 圆与正多边形 掌握圆与正多边形的关系（正多边形的外接圆、中心、中心角、边心距），学会求正多边形的边长、中心角、面积。 中档题，选择 / 填空为主，易混淆 “中心角”（360°÷ 边数）与 “内内（(n-2)×180°÷n）的计算公式。 知识点01圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 注意：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 知识点02点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 注意：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 （3）弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 知识点03定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 知识点04三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）. 【清单04】旋转的概念 一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角. 注意： （1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. （2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点. 点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段. 知识点05旋转的性质 一般地，图形的旋转有下面的性质： (1)图形经过旋转所得的图形和原图形全等； (2)对应点到旋转中心的距离相等；　　 (3)任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.　 要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 知识点06旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 注意：作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点. 知识点07垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 如图，几何语言为： AE=BE 要点：CD是直径 CD⊥AB 2.推论 　　定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 　　定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点： （1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. （2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 知识点08垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （2） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. （3） 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 注意： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 知识点09圆心角与弧的定义 1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB. 2. 1°的弧的定义 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图， 要点： (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. （2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）. 知识点10圆心角定理及推论 1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等. 要点：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等 知识点11圆周角 圆周角定义： 　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　　　　 知识点12圆周角定理： 内容：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 要点：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 1.圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 2.圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等. 知识点13圆内接四边形 　如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 知识点14圆内接四边形性质定理 圆内接四边形的对角互补. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）. 要点：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点15正多边形的概念 　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 知识点16正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 知识点17正多边形的性质 　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 知识点18弧长公式 　　半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： 　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 要点：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； 　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； 　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 知识点19扇形面积公式 1.扇形的定义 　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 　　半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： 　　n°的圆心角所对的扇形面积公式： 要点：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 即 　　 (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； 　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：. 题型一 圆的基本概念 【典例1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形三条角平分线的交点 C．等弧就是长度相等的两条弧 D．圆中最长的弦是直径 【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知点A，B，且，画经过，B两点且半径等于3的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【变式2】给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③以长为半径的圆有无数个；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（　　） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【变式3】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知⊙O的半径为．则⊙O中最长的弦长是（　　） A． B． C． D． 题型二 点与圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 ①计算 d（用两点间距离公式）；②按 “d>r（点在圆外）、d=r（点在圆上）、d<r（点在圆内）” 判断。 【典例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）与圆心的距离大于半径的点位于（　　） A．圆的外部 B．圆的内部 C．圆上 D．圆的外部或圆上 【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）在中，，，，以点为圆心，12为半径画圆，则点在（      ） A．外 B．上 C．内 D．无法确定 【变式2】（20-21九年级上·浙江温州·期中）已知的半径为4，点在内，则的长可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）已知点P在半径为r的内，．则满足条件的r的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型三 三角形的外心 解｜题｜技｜巧 ①找外心：作任意两边的垂直平分线，交点即为外心； ②用性质：外心到顶点距离相等，列方程求半径或点坐标。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，直角坐标系中，，，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段，则点D与的位置关系为（   ） A．点D在上 B．点D在外 C．点D在内 D．无法确定 【变式2】（23-24九年级上·浙江温州·期中）如果三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【变式3】如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 题型四 旋转图形 旋转现象判断 【典例1】平移和旋转在我们生活中随处可见．下面属于旋转的现象是（    ） A．乘坐电梯 B．用钥匙开锁 C．推拉窗户 D．火箭升空 【变式1】下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“气球升空”属于平移现象 D．“摆钟的钟摆在摆动”属于旋转现象 【变式2】（23-24九年级上·浙江衢州·期中）下列杭州亚运会体育图标中，由如图所示图标旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 题型五 判断旋转中心，旋转角 【典例1】如图，将绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，可由旋转而成，点的对应点是，点的对应点是，在平面直角坐标系中，三点坐标为，，，则旋转中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是点（    ）    A．O B．P C．Q D．M 【变式3】如图，是由绕A点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数分别为（    ） A． B． C． D． 【变式4】如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 题型六 平面直角坐标系上图形的旋转 【典例1】以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】在在平面直角坐标系中，点的坐标是，将坐标原点绕点顺时针旋转得到点，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【变式2】如图，点A，B的坐标分别为、，将绕点A按逆时针方向旋转，得到（其中点A和点对应，点B和点对应，点C和点对应）． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标为______． (3)连接，直接写出的度数为______． 【变式3】在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，， (1)将以点C为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的；平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (2)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，点的坐标为．请解答下列问题：（保留作图痕迹） (1)将绕点顺时针旋转得到图形，请画出此图形； (2)求出的面积． 题型七 旋转的规律探究 解｜题｜技｜巧 列表记录前几次旋转的位置、角度，总结循环规律，用 “总数 ÷ 周期” 求对应状态。 【典例1】如图，在菱形中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且，，以为边构造等边三角形，将和菱形组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，第一次旋转结束时点E的对应点记为，第二次旋转结束时记为，依次类推，第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向连续翻转2013次，点依次落在点，，，，的位置，则点的横坐标为 ． 【变式2】如图，在直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换，依次得到、、、，则的直角顶点的坐标为 ． 【变式3】如图，把小矩形放在第二象限，使两条边与坐标轴重合，然后将小矩形无滑动地沿x轴顺时针滚动，每一次边落在x轴上记作一次操作，已知顶点，则经过2025次操作后点的坐标为 ． 题型八 利用旋转的性质求解 解｜题｜技｜巧 ①遇线段和差、角度转化，构造旋转图形（如将三角形绕顶点旋转，使已知边重合）； ②用 “对应边相等” 证全等，或 “旋转角相等” 求角度。 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，绕点顺时针旋转到的位置，已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，相交于点F，若时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则 ． 【变式4】（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，将绕点A逆时针旋转得到，点在上．若，则的度数为 °． 题型九 利用垂径定理求解 解｜题｜技｜巧 ①作辅助线：连半径或作弦心距（垂直于弦），构造 “半径、弦心距、半弦长” 的直角三角形； ②用勾股定理（r²=d²+(l/2)²，r = 半径，d = 弦心距，l = 弦长）计算。 【典例1】如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（   ） A．6 B．16 C．8 D．12 【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）我们可用丁字尺来确定圆心位置，如图，点C是的中点，测量数据得，，则圆的半径长为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）的半径为5，是圆外一点，，，则弦的长为（    ） A．4 B．6 C． D．8 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，弦于点F，于点E，若的半径为5，，则的长为（　　） A．1 B． C． D． 题型十 垂径定理的应用 解｜题｜技｜巧 ①遇 “弦的中点”“垂直于弦的线”，联想垂径定理； ②复杂图形中，先找 “直径” 或 “垂直关系”，定位定理适用条件。 【典例1】（19-20九年级上·浙江宁波·期中）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（   ） A．1.2 m B．1.4 m C．1.6 m D．1.8 m 【变式1】（21-22九年级上·浙江衢州·期末）如图，已知圆心在水面上方，且 被水面截得弦长为米．半径长为米， 若点 为运行轨道的最低点．则点到弦 所在直线的距离是（   ） A．1米 B．2米 C．米 D．米 【变式2】（22-23九年级下·浙江温州·期中）泰顺县南浦溪大桥是浙江省高速公路跨径最大的上承式拱桥，如图所示，主拱桥呈圆弧形．跨度约为260米，拱高约为70米，则大桥的桥拱半径约为（    ） A．146米 B．156米 C．166米 D．176米 【变式3】（24-25九年级上·浙江温州·期中）图1是建在溪边的一部水车，是水车旋转中心，水车上的两个竹筒，到的距离相等，当，离地高度相等时（如图2），水平距离为3米，当转动到最低位置时，它的高度下降了0.5米，也随之转动到的位置，此时的高度上升了 米． 【变式4】我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具—筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为8米，水面到运行轨道最低点的距离为2米，求的半径长． 题型十一 利用弧、弦、圆心角的关系求解 解｜题｜技｜巧 ①证弧 / 弦相等，先证对应圆心角相等； ②求圆心角，先找对应弧的度数（圆心角 = 所对弧的度数） 【典例1】如图，是的直径，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（　　） A．4 B．5.5 C． D． 【变式3】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图所示，已知，求证：． 【变式4】（21-22九年级上·浙江杭州·期中）如图，，为两弦，且，、分别为，的中点．求证：． 题型十二 圆周角定理 解｜题｜技｜巧 ①找 “同弧对应的圆周角和圆心角”，用 “圆周角 = 1/2 圆心角” 转化角度； ②遇多个圆周角共弧，直接用 “同弧圆周角相等”。 【典例1】如图，点、、在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分． (1)连接，求证：平分； (2)若，，求的长． 【变式2】如图，是的直径，、两点在上，若． (1)求的度数； (2)若，，求的半径． 题型十四 半圆所对的圆周角是90度 解｜题｜技｜巧 ①遇直径，构造直径所对的圆周角，证直角或用勾股定理； ②证直径，先证圆周角为 90°，再用 “90° 圆周角所对的弦是直径”。 【典例1】如图，是的直径，C、D是上的点，若，则等于（   ）． A． B． C． D． 【变式1】如图，已知是的直径，B，C，E是上的三个点，连接，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，是的直径，，是上一点，于点，，则的长为 ． 【变式3】如图，在四边形中，于点于点，若，，则的长为 ． 【变式4】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知半圆．点在半圆上，，在 取点，连接，作于点，连接，则的最小值等于 ．    题型十四 圆内接四边形 【典例1】如图，在的内接四边形中，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，中，为的直径，分别交于点D，E，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型十五 圆与正多边形 【典例1】如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23九年级下·浙江温州·期中）刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图1，将半径为2的圆进行12等分分割，拼接成如图2所示图形．连结，交于点E，则的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 【变式2】如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式3】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，给出以下结论：①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形；②Ⅲ中最大的内角是；③，其中正确的是 （   ） A．只有① B．①② C．①③ D．①②③ 题型十六 求弧长、扇形半径 解｜题｜技｜巧 公式记忆： ◦弧长 L=nπr/180（n = 圆心角度数，r = 半径）； ◦扇形面积 S=nπr²/360 或 S=1/2LR（L = 弧长）； ①已知 L、n 求 r：用 L 公式变形（r=180L/(nπ)）； ②已知 S、r 求 n：用 S 公式变形（n=360S/(πr²)）。 【典例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在的内接四边形中， ， ． 若⊙O的半径为， 则弧的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，将以点为中心顺时针旋转得到，若点的对应点恰为边的中点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为 ． 【变式3】已知扇形的弧长是，圆心角，则这个扇形的半径是 ． 题型十七 求扇形 不规则图形面积 【典例1】（21-22九年级上·浙江杭州·期中）一张圆心角为的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，面积都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，是的直径，弦，，，则（   ） A．π B．2π C．π D．π 【变式3】杭扇，素称“杭州雅扇”，与杭州丝绸、龙井茶被誉为“杭产三绝”．如图，某款杭扇完全打开后的展开图为扇形，该扇形圆心角为，半径是，则扇形的面积为 ．        【变式4】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点求； (1)求弧的长； (2)求阴影部分的面积． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）若四边形为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在圆O中，，为半径，点C为圆O上一点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（16-17九年级上·浙江杭州·期中）如图，是正五边形的外接圆，连接，则的度数为 ． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知点A、B、C、D在上，弦、的延长线交外一点E，，，则的度数为 ． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在扇形中，，将扇形进行折叠，使点O落在弧的中点C处．若折痕，则图中阴影部分的面积为 ． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B在小正方形的顶点上，将线段绕着点O顺时针方向旋转，得到线段． (1)在网格中画出线段； (2)直接写出的外接圆的直径的长． 7．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知的一条弦和该圆上的一点C， (1)请按尺规作图的要求作出上的点D，使得． (2)在（1）的条件下，连结，，若，的半径为1，求扇形的面积． 8．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，的弦，相交于点E，且，求证：． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结相交于点，连结． 已知于点，；下列结论：①；②若点为的中点，则；③若，则；④；其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 2．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）如图，将纸片绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的外接圆，弦交于点E，，过点O作于点F，延长交于点G，若，则的长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）折叠一张圆形纸片，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点D，再将沿翻折交于点E．若，则的度数为（　） A． B． C． D． 5．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）（1）证明：同一圆中，两条平行弦所夹弧相等（画图，并写出已知、求证以及证明过程）； （2）计算：已知的半径为13，，是两条弦，，，，求与之间的距离； （3）应用：如图所示，自上一点引三条弦，，，且平分，过点作弦交于点，线段与相等吗？为什么？ 6．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）有一破损的水管，截面如图． (1)请用直尺和圆规补全这个图（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若水管直径，水面宽度，求最大水深和弧的长． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，点是上一点，连接，，于，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 8．（21-22九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的直径，点A在上，，垂足为D，，分别交，于点F，G． (1)证明：； (2)若，求的长度． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·浙江·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则的度数为 ． 4．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ． 5．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 ．    6．（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，则_______． 7．（2023·浙江宁波·中考真题）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．    (1)在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形，再画出该三角形向右平移2个单位后的． (2)将图2中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的． 8．（2023·浙江金华·中考真题）如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点．    (1)求证：四边形为矩形． (2)已知的半径为4，，求弦的长． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆的基本概念 掌握圆的定义（定点为圆心、定长为半径）及相关概念（弧、弦、圆心角、直径），学会识别优弧、劣弧与弦的对应关系。 基础题，多以选择 / 填空形式考查，难度低，易因混淆优弧（标注 3 个字母）与劣弧（标注 2 个字母）出错。 点与圆的位置关系 掌握点在圆内、圆上、圆外的判定依据，学会根据 d 与 r 判断位置关系。 基础题，选择 / 填空为主，常结合距离计算考查，易因 d 与 r 的大小比较失误（如漏看等号）出错。 三角形的外心 掌握三角形外心的定义及性质，学会找任意三角形的外心。 中档题，选择 / 填空为主，易与三角形内心（角平分线交点）混淆，或忽略 “钝角三角形外心在外部” 的特征。 旋转图形 旋转现象判断 掌握旋转的定义，学会判断生活场景或图形中的旋转现象，区分旋转与平移、轴对称。 基础题，选择 / 填空为主，难度低，易因未抓住 “绕定点旋转” 的核心（如误将平移当旋转）出错。 旋转中心、旋转角 掌握旋转中心、旋转角（对应点与旋转中心连线的夹角）的定义，学会从旋转图形中找出旋转中心和旋转角。 中档题，常结合具体图形考查，选择 / 填空 / 解答题小问均有涉及，易找错旋转中心（如误将图形顶点当中心）。 平面直角坐标系上图形的旋转 掌握坐标系中图形旋转的坐标变化规律，学会计算旋转后点的坐标。 高频中档题，选择 / 填空 / 解答题小问均有，易记错旋转方向对应的坐标变化（如顺时针与逆时针旋转 90° 的坐标符号差异）。 旋转的规律探究 掌握旋转图形的不变性（边长、角度不变）与变化规律（对应点连线夹角等于旋转角），学会探究旋转中的循环或递推规律。 中档偏难题，填空 / 解答题为主，常考 “旋转多次后图形位置”“线段长度规律”，易因未发现循环周期（如旋转 3 次重合）出错。 利用旋转的性质求解 掌握旋转的性质（对应边相等、对应角相等、旋转角相等），学会运用性质求线段长度、角度或证明线段 / 角相等。 高频中档题，解答题为主，常结合三角形、四边形考查，易忽略 “对应关系”（如找错对应边 / 角）导致计算错误。 利用垂径定理求解 掌握垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧）及推论，学会用定理求弦长、半径、弦心距。 高频考点，解答题核心，常需构造 “半径、弦心距、半弦长” 的直角三角形，易漏用 “弦不是直径” 的前提或计算半弦长失误。 垂径定理的应用 掌握垂径定理在实际问题（如水管直径、拱桥高度、油桶液面宽度）中的应用，学会建立圆的模型分析关键线段关系。 中档题，解答题为主，易因坐标系建立不当（如未以直径中点为原点）或关键数据提取错误出错。 利用弧、弦、圆心角的关系求解 掌握 “同圆或等圆中，等弧对等弦、等弧对等圆心角” 的关系，学会运用关系证明线段相等、角相等或判断弧的大小。 高频基础题，选择 / 填空 / 解答题小问均有，易忽略 “同圆或等圆” 的前提（不同圆中弧相等不一定弦相等）。 圆周角定理 掌握圆周角定理（圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半）及推论（同弧或等弧所对的圆周角相等），学会用定理求角度。 高频考点，贯穿选择、填空、解答题，易混淆 “所对的弧”（如误将不同弧对应的圆周角用定理计算）。 半圆所对的圆周角是 90 度 掌握 “直径所对的圆周角是直角” 的推论，学会用推论判断直角、构造直角三角形或证明线段垂直。 高频中档题，解答题为主，常结合直径、直角三角形性质考查，易忽略 “直径” 前提（非直径弦所对圆周角不是 90°）。 圆内接四边形 掌握圆内接四边形的性质（对角互补、外角等于内对角），学会用性质求未知内角或外角的度数。 中档题，选择 / 填空 / 解答题小问为主，易忘记 “对角互补”（如误按普通四边形内角和计算）或混淆 “内角与外角” 的关系。 圆与正多边形 掌握圆与正多边形的关系（正多边形的外接圆、中心、中心角、边心距），学会求正多边形的边长、中心角、面积。 中档题，选择 / 填空为主，易混淆 “中心角”（360°÷ 边数）与 “内内（(n-2)×180°÷n）的计算公式。 知识点01圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 注意：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 知识点02点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 注意：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 （3）弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 知识点03定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 知识点04三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）. 【清单04】旋转的概念 一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角. 注意： （1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. （2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点. 点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段. 知识点05旋转的性质 一般地，图形的旋转有下面的性质： (1)图形经过旋转所得的图形和原图形全等； (2)对应点到旋转中心的距离相等；　　 (3)任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.　 要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 知识点06旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 注意：作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点. 知识点07垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 如图，几何语言为： AE=BE 要点：CD是直径 CD⊥AB 2.推论 　　定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 　　定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点： （1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. （2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 知识点08垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （2） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. （3） 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 注意： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 知识点09圆心角与弧的定义 1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB. 2. 1°的弧的定义 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图， 要点： (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. （2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）. 知识点10圆心角定理及推论 1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等. 要点：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等 知识点11圆周角 圆周角定义： 　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　　　　 知识点12圆周角定理： 内容：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 要点：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 1.圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 2.圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等. 知识点13圆内接四边形 　如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 知识点14圆内接四边形性质定理 圆内接四边形的对角互补. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）. 要点：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点15正多边形的概念 　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 知识点16正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 知识点17正多边形的性质 　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 知识点18弧长公式 　　半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： 　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 要点：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； 　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； 　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 知识点19扇形面积公式 1.扇形的定义 　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 　　半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： 　　n°的圆心角所对的扇形面积公式： 要点：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 即 　　 (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； 　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：. 题型一 圆的基本概念 【典例1】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形三条角平分线的交点 C．等弧就是长度相等的两条弧 D．圆中最长的弦是直径 【答案】D 【分析】本题考查了圆的相关知识点，根据圆的相关知识点逐项分析即可得解，熟练掌握圆的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：A、三个不在一条直线上的点可以确定一个圆，故原说法错误，不符合题意； B、三角形的外心是这个三角形三边垂直平分线的交点，故原说法错误，不符合题意； C、长度相等的两条弧不一定是等弧，故原说法错误，不符合题意； D、圆中最长的弦是直径，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知点A，B，且，画经过，B两点且半径等于3的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查确定圆的条件的知识点，作的垂直平分线，在垂直平分线上找到距A、B两点距离为3的点，该点有两个． 【详解】解：作线段的垂直平分线，以点为圆心，3为半径画圆，交于的垂直平分线交于两点，以这两点为圆心，可以画出经过， 所以经过A，B两点且半径为3的圆有两个， 故选：C． 【变式2】给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③以长为半径的圆有无数个；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（　　） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是圆的认识，根据等圆、等弧和半圆的定义以及确定圆的条件，分别进行判断． 【详解】解：①半径相等的圆是等圆，故①正确； ②同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故②不正确； ③以长为半径的圆有无数个，没有指定圆心，故③正确； ④平面上不共线的三点能确定一个圆，故④不正确； 故选：B． 【变式3】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知⊙O的半径为．则⊙O中最长的弦长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解． 【详解】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，的半径为． ∴中最长的弦长为， 故选：B. 【点睛】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 题型二 点与圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 ①计算 d（用两点间距离公式）；②按 “d>r（点在圆外）、d=r（点在圆上）、d<r（点在圆内）” 判断。 【典例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）与圆心的距离大于半径的点位于（　　） A．圆的外部 B．圆的内部 C．圆上 D．圆的外部或圆上 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，设圆的半径为，圆心为，点到圆心的距离为，当时，点在圆的外部；当时，点在圆上；当时，点在圆的内部，据此进行判断即可． 【详解】解：∵点与圆心的距离大于半径， ∴点位于圆的外部； 故选A． 【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）在中，，，，以点为圆心，12为半径画圆，则点在（      ） A．外 B．上 C．内 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，利用勾股定理求得的长，然后通过比较与半径的长即可得到结论． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴点A在外， 故选：A． 【变式2】（20-21九年级上·浙江温州·期中）已知的半径为4，点在内，则的长可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系解答即可，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵的半径为4，点在内， ∴， ∴的长可能是3， 故选：A． 【变式3】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）已知点P在半径为r的内，．则满足条件的r的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系．根据“”即可作答． 【详解】解：∵点P在半径为r的内， ∴， ∵， ∴， 观察四个选项，只有选项A符合题意， 故选：A． 题型三 三角形的外心 解｜题｜技｜巧 ①找外心：作任意两边的垂直平分线，交点即为外心； ②用性质：外心到顶点距离相等，列方程求半径或点坐标。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形，外心的性质与定义，两点距离公式，解题的关键在于能够熟知外心是三角形三边垂直平分线的交点．由两点的坐标可以得到直线轴，则直线BC的垂直平分线为直线，再由外心的定义可知外心的纵坐标为1，设的外心为，利用两点距离公式和外心的性质求解，即可解题． 【详解】解： B点坐标为，C点坐标为， 直线轴， 直线的垂直平分线为直线， 外心是三角形三条边的垂直平分线的交点， 外心的纵坐标为1， 设的外心为， ， ， 解得， 外心的坐标为， 故选：D． 【变式1】（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，直角坐标系中，，，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段，则点D与的位置关系为（   ） A．点D在上 B．点D在外 C．点D在内 D．无法确定 【答案】C 【分析】连接，作和的垂直平分线，交点为，则圆心的坐标为，然后求出的半径，比较即可解答． 【详解】解：如图： 连接，作和的垂直平分线，交点为， ∴圆心M的坐标为， ∵， ∴， ∵线段， ∴半径， ∴点D在内， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理的应用，确定圆心的位置是解题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·浙江温州·期中）如果三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，掌握外心的形成和性质是本题突破的关键，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于，那么这个三角形一定是钝角三角形， 故选：C． 【变式3】如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等，也考查了勾股定理．根据题意作出图形，得到点B和点C的位置，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，    ∵点O为的外心， ∴，点B和点C的位置如图所示， ∴， 故选：A． 题型四 旋转图形 旋转现象判断 【典例1】平移和旋转在我们生活中随处可见．下面属于旋转的现象是（    ） A．乘坐电梯 B．用钥匙开锁 C．推拉窗户 D．火箭升空 【答案】B 【分析】此题考查了旋转的概念，平移的概念，掌握旋转的概念是解题的关键。 根据旋转的概念求解即可． 【详解】解：A．乘坐电梯啊，电梯整体沿着直线上下移动，属于平移现象，故不符合题意； B．用钥匙开锁，钥匙需要绕着锁芯这个固定点转动，属于旋转现象，故符合题意； C．推拉窗户时，窗户沿着轨道做直线移动，属于平移现象，故不符合题意； D．火箭升空属于平移现象，故不符合题意； 故选：B． 【变式1】下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“气球升空”属于平移现象 D．“摆钟的钟摆在摆动”属于旋转现象 【答案】D 【分析】本题主要考查平移、轴对称和旋转的定义，在实际当中的运用，把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫作平移；在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫作旋转． 【详解】解：A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，故A选项错误，不符合题意； B、能够互相重合的两个图形不一定成轴对称，故B选项错误，不符合题意； C、“气球升空”路线不固定，不一定是平移，故C选项错误，不符合题意； D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·浙江衢州·期中）下列杭州亚运会体育图标中，由如图所示图标旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的定义．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转．根据旋转的定义，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知， 能由经过旋转得到，其他三项中的图形都不能得到， 故选：B． 题型五 判断旋转中心，旋转角 【典例1】如图，将绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转中心的确定，两组对应点连成的线段的垂直平分线的交点就是旋转中心．分别找到两组对应点A与，C与，然后作线段的垂直平分线，它们的交点即为所求． 【详解】解：如图， 由图可知，点； 故选：B． 【变式1】如图，可由旋转而成，点的对应点是，点的对应点是，在平面直角坐标系中，三点坐标为，，，则旋转中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，线段垂直平分线的性质．连接，分别作和的线段垂直平分线，且它们的交点即为旋转中心，由图写出其坐标即可．理解两线段垂直平分线的交点即为旋转中心是解答本题的关键． 【详解】如图，连接，分别作和的线段垂直平分线，且交于点P．则P点即为旋转中心． 由图可知P点坐标为，即旋转中心的坐标为． 故选：A． 【变式2】如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是点（    ）    A．O B．P C．Q D．M 【答案】B 【分析】根据旋转中心的定义即可求解． 【详解】解：连接，，，，，如图所示：   ，，，且， 点P是旋转中心， 故选B． 【点睛】本题考查了旋转中心的定义，熟练掌握旋转中心的定义是解题的关键． 【变式3】如图，是由绕A点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得旋转角为，即可求解． 【详解】解∶∵是由绕A点旋转得到的， ∴旋转角为， ∵，， ∴， 即旋转角的度数为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键． 【变式4】如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等； 分别以C、D、的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形旋转后能与正方形重合，即可求解． 【详解】以点C为旋转中心，把正方形逆时针旋转，可得到正方形； 以点D为旋转中心，把正方形顺时针旋转，可得到正方形； 以的中点为旋转中心，把正方形旋转，可得到正方形； 所以旋转中心有3个． 故选：C． 题型六 平面直角坐标系上图形的旋转 【典例1】以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点分别作轴的垂线，，继而得到，即可求解坐标． 【详解】解：过点分别作轴的垂线，垂足为点，则 ∵， ∴ 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴ 故选：A． 【变式1】在在平面直角坐标系中，点的坐标是，将坐标原点绕点顺时针旋转得到点，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转变换的性质画出图象即可解决问题． 【详解】解：观察图象可知，    故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，学会用图象法解决问题． 【变式2】如图，点A，B的坐标分别为、，将绕点A按逆时针方向旋转，得到（其中点A和点对应，点B和点对应，点C和点对应）． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标为______． (3)连接，直接写出的度数为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)45 【分析】本题考查坐标与旋转、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）根据点所在的位置，写出点的坐标即可； （3）根据旋转的性质，结合等边对等角进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由图可知：； （3）解：由旋转可知：， ∴． 故答案为：45． 【变式3】在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，， (1)将以点C为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的；平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (2)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了旋转变换作图，也考查了平移变换作图，熟练掌握旋转变换和平移变换的定义作出变换后的对应点是解题的关键， （1）利用中心对称的点的坐标特征得到、、，再顺次连接即可；利用点与点的坐标特征得到平移的方式是先向右平移3个单位，再向下平移6个单位，据此作出另外两个点的对应点，顺次连接即可； （2）连接、、交于一点，这点即为旋转中心，即可解答； 【详解】（1）解：如图所示：为所求，为所求； （2）解：∵， ∴， ∴旋转中心坐标为． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，点的坐标为．请解答下列问题：（保留作图痕迹） (1)将绕点顺时针旋转得到图形，请画出此图形； (2)求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用旋转的性质分别得出对应点位置进而得出答案； （2）利用面积的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）的面积为：． 题型七 旋转的规律探究 解｜题｜技｜巧 列表记录前几次旋转的位置、角度，总结循环规律，用 “总数 ÷ 周期” 求对应状态。 【典例1】如图，在菱形中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且，，以为边构造等边三角形，将和菱形组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，第一次旋转结束时点E的对应点记为，第二次旋转结束时记为，依次类推，第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转可知，每4次旋转一个循环，而，即点的坐标与点的坐标相同；利用菱形的性质及等边三角形的性质可求得点E的坐标，利用全等三角形的判定与性质可求得的坐标，从而求得结果． 【详解】解：如图，连接，过作轴于点F， 由题意，当旋转到时，则E与关于原点对称， 旋转到时，与关于原点对称，旋转到， 即点E的位置，每4次旋转一个循环， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同， ∵四边形是菱形， ，， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 由旋转可知，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点E在第一象限，且是顺时针旋转， ∴点在第四象限， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，规律型：点的坐标，坐标与图形变化—旋转，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式1】如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向连续翻转2013次，点依次落在点，，，，的位置，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及坐标与图形的变化规律，根据题意得出、、…的横坐标，得出规律是解本题的关键． 根据图形的翻转，分别得出、、…的横坐标，再根据规律即可得出各个点的横坐标即可． 【详解】解：观察图形结合翻转的方法可以得出、的横坐标是，的横坐标是， 、的横坐标是，的横坐标是… ∴可以看作3个点一组循环，其中前两个点的横坐标相等，且等于每一组中第一个点下标，第三个点的横坐标为前两个点的横坐标加， ∵， ∴点，的横坐标为2011，， ∴点的横坐标为． 故答案为：． 【变式2】如图，在直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换，依次得到、、、，则的直角顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，点的坐标变化规律，根据勾股定理列式求出的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用除以，则的直角顶点是第个循环组的最后一个三角形的直角顶点，求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：， ∵， ∴的直角顶点是第个循环组的最后一个三角形的直角顶点， ∵， ∴的直角顶点的坐标为， 故答案为：． 【变式3】如图，把小矩形放在第二象限，使两条边与坐标轴重合，然后将小矩形无滑动地沿x轴顺时针滚动，每一次边落在x轴上记作一次操作，已知顶点，则经过2025次操作后点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查动点坐标规律，读懂题意，理解图形从开始位置经过4次翻滚后点P进行了一次循环回到对应位置是解决问题的关键． 根据题意，确定图形从开始位置经过4次翻滚后点P进行了一次循环回到对应位置，从而结合长方形周长为，依据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴观察图形可知，经过4次翻滚后点P进行了一次循环回到对应位置， ∵长方形的周长为， 每一次完整循环，相当于P对应点的横坐标，纵坐标保持不变， ，即经过了次完整的循环后再向前翻滚次， ∴经过次翻滚后点P对应点的坐标为，即． 故答案为：． 题型八 利用旋转的性质求解 解｜题｜技｜巧 ①遇线段和差、角度转化，构造旋转图形（如将三角形绕顶点旋转，使已知边重合）； ②用 “对应边相等” 证全等，或 “旋转角相等” 求角度。 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质．由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，根据三角形外角的性质可得，再利用三角形内角和定理求得即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】如图，绕点顺时针旋转到的位置，已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了旋转的性质，由旋转性质可知，然后由即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转到的位置， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，相交于点F，若时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．先根据旋转的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：由旋转的性质得：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3】如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 先根据平行线的性质求得，再根据旋转的性质得到，，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 根据旋转的性质可得：，， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4】（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，将绕点A逆时针旋转得到，点在上．若，则的度数为 °． 【答案】80 【分析】由旋转的性质可得，则可得，由三角形内角和可求得，从而由旋转性质即可求得结果． 【详解】解：旋转的性质得，， ， 由三角形内角和得， ； 故答案为：80． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握旋转的性质是关键． 题型九 利用垂径定理求解 解｜题｜技｜巧 ①作辅助线：连半径或作弦心距（垂直于弦），构造 “半径、弦心距、半弦长” 的直角三角形； ②用勾股定理（r²=d²+(l/2)²，r = 半径，d = 弦心距，l = 弦长）计算。 【典例1】如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（   ） A．6 B．16 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理，得到，勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】解：∵是的直径，且， ∴， ∵ ∴， 在中，， ∴． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）我们可用丁字尺来确定圆心位置，如图，点C是的中点，测量数据得，，则圆的半径长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧，勾股定理，利用垂径定理的推论得到圆心在上，设圆心为O点，连接，如图，设圆的半径为，则，，利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【详解】解：，点C是的中点， 即垂直平分，， 圆心在上， 设圆心为O点，连接，如图， 设圆的半径为，则，， 在中，， 解得， 即圆的半径为． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）的半径为5，是圆外一点，，，则弦的长为（    ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分弦是解此题的关键．过作于，连接，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，再根据垂径定理得出，最后求出答案即可． 【详解】解：过作于，连接，则， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ，过， ， 即， 故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，弦于点F，于点E，若的半径为5，，则的长为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识点，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 利用勾股定理求出和，再利用垂径定理求出，再次利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， 在中，， 在中，， ， ， 在中，， 故选：． 题型十 垂径定理的应用 解｜题｜技｜巧 ①遇 “弦的中点”“垂直于弦的线”，联想垂径定理； ②复杂图形中，先找 “直径” 或 “垂直关系”，定位定理适用条件。 【典例1】（19-20九年级上·浙江宁波·期中）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（   ） A．1.2 m B．1.4 m C．1.6 m D．1.8 m 【答案】C 【分析】先根据垂径定理和勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF，即可得出结论. 【详解】如图 作OE⊥AB于点E，交CD于F ∵AB=1.2，OE⊥AB，OA=1 ∴OE=0.8m ∵水管水面上升了0.2米， ∴OF=OE-EF=0.8-0.2=0.6m ∴m ∴CD=1.6m 故选C 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理是解题关键. 【变式1】（21-22九年级上·浙江衢州·期末）如图，已知圆心在水面上方，且 被水面截得弦长为米．半径长为米， 若点 为运行轨道的最低点．则点到弦 所在直线的距离是（   ） A．1米 B．2米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接，交于D，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可． 【详解】连接，交于D， 由题意得：米，， 米，， 在中 米， 米， 即点C到弦所在直线的距离是米， 故选：C． 【变式2】（22-23九年级下·浙江温州·期中）泰顺县南浦溪大桥是浙江省高速公路跨径最大的上承式拱桥，如图所示，主拱桥呈圆弧形．跨度约为260米，拱高约为70米，则大桥的桥拱半径约为（    ） A．146米 B．156米 C．166米 D．176米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由题意得，根据垂径定理可得，设桥拱半径为米，在中利用勾股定理建立方程，解出的值即可得出答案． 【详解】解：， 米， 设桥拱半径为米，则米， 在中，， ， 解得：， 大桥的桥拱半径约为156米． 故选：B． 【变式3】（24-25九年级上·浙江温州·期中）图1是建在溪边的一部水车，是水车旋转中心，水车上的两个竹筒，到的距离相等，当，离地高度相等时（如图2），水平距离为3米，当转动到最低位置时，它的高度下降了0.5米，也随之转动到的位置，此时的高度上升了 米． 【答案】1.3 【分析】本题考查了勾股定理，生活中的旋转现象，垂径定理，设与相交于点C，过点作，垂足为D，根据题意可得：米，米，，米，然后设米，在中，利用勾股定理列出关于x的方程，进行计算可得：米，最后设米，则米，在和中，利用勾股定理可得：，从而进行计算即可解答． 【详解】解：如图：设与相交于点C，过点作，垂足为D， 由题意得，米，米， ∵当转动到最低位置时， ∴， （米），， 设米，则米， 在中，， ∴， 解得：， ∴米， 设米，则米， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴米， ∴（米）， ∴此时B的高度上升了1.3米， 故答案为：1.3． 【变式4】我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具—筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为8米，水面到运行轨道最低点的距离为2米，求的半径长． 【答案】的半径为米 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，连接交于，则米，米，，由垂径定理可得米，设的半径为米，则米，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，连接交于点， 由题意得，米，米，， ∴米， 设的半径为米，则米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为米． 题型十一 利用弧、弦、圆心角的关系求解 解｜题｜技｜巧 ①证弧 / 弦相等，先证对应圆心角相等； ②求圆心角，先找对应弧的度数（圆心角 = 所对弧的度数） 【典例1】如图，是的直径，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧对等角是解题的关键．根据得到，利用平角的定义求出，再利用即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质．首先根据可知，根据可求，根据等腰三角形的性质可求，根据，可求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接、， ， ， ， 是等边三角形， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（　　） A．4 B．5.5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，弧、圆心角、弦之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据垂径定理和点C是弧的中点得出，从而得出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图，设的半径为r， ∵， ∴，， ∵点C是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，解得， 即的半径为． 故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图所示，已知，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系，由得到，则，从而可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 【变式4】（21-22九年级上·浙江杭州·期中）如图，，为两弦，且，、分别为，的中点．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查垂径定理的推论、弦与弦心距的关系及等腰三角形的性质，熟练掌握平分弦（非直径）的直径，垂直于弦并且平分弦所对的两条弧是解题关键，根据垂径定理得出，，根据弦与弦心距的关系得出，根据等腰三角形的性质即可得答案． 【详解】证明：连接，， ∵、分别为，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十二 圆周角定理 解｜题｜技｜巧 ①找 “同弧对应的圆周角和圆心角”，用 “圆周角 = 1/2 圆心角” 转化角度； ②遇多个圆周角共弧，直接用 “同弧圆周角相等”。 【典例1】如图，点、、在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．直接利用圆周角定理求解． 【详解】解：． 故选：D． 【变式1】如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分． (1)连接，求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、直径所对的圆周角是直角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据圆周角定理即可证明； （2）根据题意推出，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵点D在上且平分， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵是直径， ∴， ∵点D在上且平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】如图，是的直径，、两点在上，若． (1)求的度数； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由是的直径，得到，由，再利用直角三角形的性质即可求出的度数； （2）连接，根据圆周角定理得到，结合，推出是等边三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的半径为5． 题型十四 半圆所对的圆周角是90度 解｜题｜技｜巧 ①遇直径，构造直径所对的圆周角，证直角或用勾股定理； ②证直径，先证圆周角为 90°，再用 “90° 圆周角所对的弦是直径”。 【典例1】如图，是的直径，C、D是上的点，若，则等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、圆周角定理等知识点，掌握直径所对的圆周角是直角、同弧所对圆周角相等是解题的关键． 如图，连接，根据直径所对圆周角是直角得到，再根据三角形内角和得到的度数，再根据同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴（同弧所对圆周角相等）． 故选：B． 【变式1】如图，已知是的直径，B，C，E是上的三个点，连接，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形对角互补的性质求得的度数，再利用直径所对的圆周角是直角进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形内接于，且， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】如图，是的直径，，是上一点，于点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识点，解题的关键熟练地运用中位线定理、垂径定理、圆周角定理、勾股定理的性质求解．根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵于点，， ， 是直径， ， 在中，，，由勾股定理得： ， 故答案为：． 【变式3】如图，在四边形中，于点于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直接所对的弦是直径，弧、弦与圆周角的关系，含度角的直角三角形的性质，勾股定理；根据题意得出在以为直径的圆上，进而根据得出则，然后根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴在以为直径的圆上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知半圆．点在半圆上，，在 取点，连接，作于点，连接，则的最小值等于 ．    【答案】 【分析】如图，取的中点，连接，．由题意点在以为圆心，为半径的 上，推出当、、共线时，的值最小． 【详解】解：连接，取的中点，连接，    ∵， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∴， ∵， ∴， 当、、三点共线时，最小， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理、圆周角定理推论“半（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径”，直角三角形斜边中线等于斜边一半，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助线圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 题型十四 圆内接四边形 【典例1】如图，在的内接四边形中，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，先由圆内接四边形的性质得，再在中，由三角形内角和定理求即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】如图，中，为的直径，分别交于点D，E，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先得到，再根据圆内接四边形的性质得到， 进而得到，即可得出结论； （2）先求出，连接， 根据，得到，进一步求出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴，即， 又∵， ∴， ∵， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 连接，如图： ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型十五 圆与正多边形 【典例1】如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求正多边形的中心角的度数，根据中心角的计算公式进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 【变式1】（22-23九年级下·浙江温州·期中）刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图1，将半径为2的圆进行12等分分割，拼接成如图2所示图形．连结，交于点E，则的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆的综合、平行四边形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设其中一个12等分分割的三角形为，过点作于点，根据圆的基本性质可得，，，，推出四边形是平行四边形，利用含角的直角三角形的性质计算出，从而得到，最后利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，设其中一个12等分分割的三角形为，过点作于点， 由题意得，，，， 四边形是平行四边形， ， ， 在中，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ． 故选：C． 【变式2】如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键． 连接，根据圆周角定理得到，进一步即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数， 故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，给出以下结论：①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形；②Ⅲ中最大的内角是；③，其中正确的是 （   ） A．只有① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查的是正多边形与圆的含义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，弧、弦的关系，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键．由六边形是正六边形，得，，从而Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确；由，，故Ⅲ中最大的内角是，故②说法错误；证明，得，故③说法正确． 【详解】解：如图所示：    ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴，Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确； ∴，， ∴Ⅲ中最大的内角是，故②说法错误； ∵六边形是正六边形， ∴，，，， ∴，和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 同理可证，， ∴，故③说法正确； 故选：． 题型十六 求弧长、扇形半径 解｜题｜技｜巧 公式记忆： ◦弧长 L=nπr/180（n = 圆心角度数，r = 半径）； ◦扇形面积 S=nπr²/360 或 S=1/2LR（L = 弧长）； ①已知 L、n 求 r：用 L 公式变形（r=180L/(nπ)）； ②已知 S、r 求 n：用 S 公式变形（n=360S/(πr²)）。 【典例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在的内接四边形中， ， ． 若⊙O的半径为， 则弧的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧长的计算、圆周角定理，连接，求出及的度数，进而得出的度数，最后根据弧长公式即可求解，熟知弧长的计算公式及圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵的半径为， ∴弧的长为：， 故选：． 【变式1】（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，将以点为中心顺时针旋转得到，若点的对应点恰为边的中点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，弧长，综合运用相关知识是解题的关键． 先根据直角三角形斜边上中线的性质得到，由旋转得，从而证得是等边三角形，得到，即旋转角为，再根据勾股定理求出，根据弧长公式即可解答． 【详解】解：∵点D是的斜边的中点， ∴， 由旋转可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴由旋转可得， ∵点D是的中点， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：C 【变式2】如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题关键． 利用弧长公式 （为圆心角度数，为半径）直接计算即可求解． 【详解】解：的长为 ． 故答案为： ． 【变式3】已知扇形的弧长是，圆心角，则这个扇形的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式：，其中是弧长，是扇形的半径，是扇形的圆心角，熟练掌握弧长公式是解题关键．直接利用弧长公式计算即可得． 【详解】解：设这个扇形的半径是， 则， 解得， 所以这个扇形的半径是2， 故答案为：2． 题型十七 求扇形 不规则图形面积 【典例1】（21-22九年级上·浙江杭州·期中）一张圆心角为的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，面积都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形性质、圆内接四边形性质、扇形的面积公式的应用；解此题的关键是求出扇形和圆的面积，题目比较好，难度适中． 分别求出扇形和圆的半径，再根据扇形和圆的面积公式求出面积，最后求出比值即可． 【详解】 解：如图1，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， 由勾股定理得：， 扇形的面积是； 如图2，连接、， 四边形是的内接四边形，四边形是正方形， ，， ， ， ， 的面积是， 扇形和圆形纸板的面积比是． 故选：B． 【变式1】（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形的面积（，其中为圆心角的度数、为半径），熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去扇形的面积即可得． 【详解】解：∵圆心角，，， ∴阴影部分的面积等于 ， 故选：D． 【变式2】如图，是的直径，弦，，，则（   ） A．π B．2π C．π D．π 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形面积的计算等知识，求出，，得出，所以． 【详解】解：如图，， ∵是直径， ∴， 又∵ ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴ 故选：D． 【变式3】杭扇，素称“杭州雅扇”，与杭州丝绸、龙井茶被誉为“杭产三绝”．如图，某款杭扇完全打开后的展开图为扇形，该扇形圆心角为，半径是，则扇形的面积为 ．        【答案】 【分析】本题考查了扇形面积公式，根据扇形面积公式计算即可得解，熟练掌握扇形面积公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：扇形的面积为， 故答案为：． 【变式4】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点求； (1)求弧的长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查扇形的面积、等腰三角形的性质、弧长的计算，掌握扇形的面积和弧长的计算公式及等腰三角形的性质、平行线的判定与性质是解题的关键． （1）连接，利用等腰三角形的性质和平行线的判定与性质求出，再由弧长公式计算弧的长； （2）利用扇形和三角形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积的面积”计算即可． 【详解】（1）解： 连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长， 弧的长是． （2）解： ， 阴影部分的面积是． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）若四边形为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的内接四边形对角互补的性质，解题关键是理解概念，并能得出比例中的数据之间的关系．本题据此求解即可． 【详解】解：∵四边形为圆内接四边形， ∴ ∴与的比例份数之和等于与的比例份数之和， ∵， ∴A选项不正确，不符合题意； ∵， ∴B选项不正确，不符合题意； ∵， ∴C选项正确，符合题意； ∵， ∴D选项不正确，不符合题意； 故选： C． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在圆O中，，为半径，点C为圆O上一点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，根据定理进行计算即可． 【详解】解：， ， 故选：C． 3．（16-17九年级上·浙江杭州·期中）如图，是正五边形的外接圆，连接，则的度数为 ． 【答案】/72 度 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． 利用正五边形的性质求出的度数，然后再利用圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴五边形的各边都相等， ∴的度数为， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知点A、B、C、D在上，弦、的延长线交外一点E，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，熟练掌握圆周角定理是解答的关键．先根据圆周角定理求得，再根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的一个外角，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 故答案为： 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在扇形中，，将扇形进行折叠，使点O落在弧的中点C处．若折痕，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，扇形面积的计算，不规则图形面积的计算，掌握正方形的判定方法和性质，不规则图形面积的计算方法是解题的关键． 根据折叠的性质可得，可得，，可得四边形是正方形，再根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点， ∵将扇形折叠，点落在弧的中点处， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B在小正方形的顶点上，将线段绕着点O顺时针方向旋转，得到线段． (1)在网格中画出线段； (2)直接写出的外接圆的直径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了旋转作图，勾股定理和网格问题，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质． （1）先根据旋转作出点、的位置，然后连接即可； （2）根据旋转，判断得出为等腰直角三角形，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； 1 （2）解：根据旋转可知：，， ∴是等腰直角三角形， ∴的外接圆的直径是线段， ∵． ∴的外接圆的直径的长为． 7．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知的一条弦和该圆上的一点C， (1)请按尺规作图的要求作出上的点D，使得． (2)在（1）的条件下，连结，，若，的半径为1，求扇形的面积． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查作图复杂作图，圆周角定理，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，记住扇形的面积． （1）在点C的上方作，连接即可； （2）求出，利用扇形面积公式求解． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求； （2）解：∵，， ∴， ∴． 8．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，的弦，相交于点E，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，等弧所对的圆周角相等，等角对等边等知识点，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系及等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 由弧、弦、圆心角的关系可得，进而可得，由等弧所对的圆周角相等可得，然后由等角对等边即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结相交于点，连结． 已知于点，；下列结论：①；②若点为的中点，则；③若，则；④；其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】由垂径定理，圆周角定理的推论得出，由是的直径，进而根据等角的余角相等进而判断①；点为的中点，得出，进而证明，得出，进而根据三角形中位线定理得出，等量代换得出即可判断②，连接，根据垂径定理得出，根据得出，则，得出为等边三角形，由，即可得出继而判断③；勾股定理得出，当时，，即可判断④． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴ 故①正确，符合题意； ②∵点为的中点， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ③连接， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， 故③正确，符合题意； ④∵， ∴， 当时，， 故④错误，不符合题意； 故正确的有：①②③． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是掌握并熟练应用以上知识点． 2．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）如图，将纸片绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．设与交于点，根据旋转角，求得，，根据等边对等角求得的度数，根据三角形内角和定理即可得答案． 【详解】解：设与交于点， ∵将纸片绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的外接圆，弦交于点E，，过点O作于点F，延长交于点G，若，则的长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，圆周角定理，垂径定理，连接，等边对等角，得到，进而推出，得到，进而推出，得到是等边三角形，含30度角的直角三角形的性质，得到，垂径定理，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵过圆心O，且， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）折叠一张圆形纸片，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点D，再将沿翻折交于点E．若，则的度数为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换，圆周角定理等知识，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 作点D关于直线的对称点L，点E关于直线的对称点F，连接、，进而垂直平分垂直平分，结合圆周角定理推出，即可求出的度数． 【详解】解：作点D关于直线的对称点L，点E关于直线的对称点F，连接、， ∵垂直平分垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴的度数为， 故选：B． 5．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）（1）证明：同一圆中，两条平行弦所夹弧相等（画图，并写出已知、求证以及证明过程）； （2）计算：已知的半径为13，，是两条弦，，，，求与之间的距离； （3）应用：如图所示，自上一点引三条弦，，，且平分，过点作弦交于点，线段与相等吗？为什么？ 【答案】（1）见解析；（2）7或17；（3）线段与相等，理由见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，平行线间的距离等知识，根据题意分类讨论是解决问题的关键． （1）根据题意分两种情况画出图形，写出已知、求证及证明过程即可； （2）分、在圆心的同一侧和两侧，两种情况分类讨论，即可得出答案； （3）利用圆周角定理及同一圆中，两条平行弦所夹弧相等证明，进而证明，得出，利用角平分线和平行线证出，即可证明． 【详解】解：（1）已知：、是的两条弦，， 求证：； 证明：分两种情况： ①如图1，当、在圆心的同一侧时， 过点作于点，交于点，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ②如图2，当、在圆心的两侧时， 过点作于点，交于点，交于点、，则是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，； （2）分两种情况： ①如图3，当、在圆心的同一侧时， 过点作于点，交于点，连接、， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 与之间的距离为7， ②如图3，当、在圆心的两侧时， 过点作于点，交于点，连接、， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 与之间的距离为17， 综上所述，与之间的距离为7或17； （3）线段与相等， 理由：平分， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 6．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）有一破损的水管，截面如图． (1)请用直尺和圆规补全这个图（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若水管直径，水面宽度，求最大水深和弧的长． 【答案】(1)见解析 (2)最大水深为，弧的长为 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理及弧长公式，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）作的垂直平分线，交截面图于，交于，连接，作的垂直平分线，交于，以点为圆心，为半径画圆，即为所求； （2）根据垂径定理得出，，利用勾股定理求出，即可得出最大水深的长，进而证明是等边三角形，，利用弧长公式即可得弧的长． 【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线，交截面图于，交于，连接，作的垂直平分线，交于，以点为圆心，为半径画圆，即为所求． （2）解：如（1）中图，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴最大水深， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，即是等边三角形， ∴，， ∴弧的长． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，点是上一点，连接，，于，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的半径为 【分析】本题主要考查直径或半圆所对圆周角为直角，垂径定理，勾股定理，掌握直径或半圆所对圆周角为直角，垂径定理与勾股定理的结合求线段长的方法是解题的关键． （1）根据直径所对圆周角为直角，垂直的定义可得，结合同位角相等，两直线平行即可求证； （2）根据垂径定理可得，，设的半径为，则，在中，由勾股定理得，据此计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：设的半径为， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴的半径为． 8．（21-22九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的直径，点A在上，，垂足为D，，分别交，于点F，G． (1)证明：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了圆周角定理和应用，以及弧长的计算方法，要熟练掌握． （1）根据是 的直径，，，推出，即可得到结论； （2）连接、，根据，，求出，再根据，求出，进而可得出答案． 【详解】（1）证明：∵是 的直径， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接、， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴弧的长度． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·浙江·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求弧长，斜边上的中线，根据斜边上的中线求出得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴的长为； 故选B． 2．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点，则可得到，即可得到，根据垂线段最短和三角形三边关系得到，即可得到点P在时，的值最大为长，利用勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当点P在时，的值最大为长， ∵是正方形， ， ∴， ∴的值最大为， ∴的最大面积是， 故选：C． 3．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆与正多边形，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关计算公式是解题的关键． 先根据正五边形的内角公式求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理求出，最后由即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ． 【答案】3 【分析】根据垂径定理可得的长，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 5．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 ．    【答案】2 【分析】连接，首先证明出是的内接正三角形，然后证明出，得到，，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接，    ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∴是的内接正三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， 又∵， ∴， ∴， 由圆和正六边形的性质可得，， 由圆和正三角形的性质可得，， ∵， ∴． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 6．（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，则_______． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，垂径定理，勾股定理，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证； （2）先证明四边形为平行四边形，等积法推出，即可得证； （3）垂径定理结合勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （3）∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 由（2）知：四边形为菱形， ∴设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得； ∴． 7．（2023·浙江宁波·中考真题）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．    (1)在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形，再画出该三角形向右平移2个单位后的． (2)将图2中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）先画等腰三角形，，再确定平移后的对应点，再顺次连接即可； （2）确定A，B旋转后的对应点，而C的对应点是其本身，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，，即为所求作的三角形；    （2）如图，即为所求作的三角形，    【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，作等腰三角形，熟练的利用网格特点以及平移旋转的性质进行作图是解本题的关键． 8．（2023·浙江金华·中考真题）如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点．    (1)求证：四边形为矩形． (2)已知的半径为4，，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可． （2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可． 【详解】（1）证明：∵与轴相切于点， ∴轴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）如图，连接．   四边形是矩形， ． 在中，， ． 点为圆心，， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关键． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $