精品解析：河南省新乡市红旗区新乡市第一中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

新乡市一中2025--2026学年上期初三年级月考 数学试卷 分值：120分 时间：100分钟 亲爱的同学，欢迎你参加这次学习回溯之旅．我们相信，在这紧张而又愉快的时间里，你一定会有更好的表现！ 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 2. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，且，设直线截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的　　 A. B. C. D. 7. 二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 8. 在二次函数yx22x3中，当时，y的最大值和最小值分别是（ ） A. 0，4 B. 0，3 C. 3，4 D. 0，0 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，O是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，则是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=__． 12. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是__． 13. 将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab=__． 14. 已知点A（4，y1），B（，y2），C（-2，y3）都在二次函数y=（x-2）2-1的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是_________. 15. 如图，抛物线的对称轴是．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是_________．（填写正确结论的序号） 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1）． （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； （3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由） 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 19. 已知二次函数 的y与x的部分对应值如表： x 1 3 y 0 1 0 （1）求这个二次函数表达式； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象； （3）当x的取值范围为 时，． 20. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？ 21. 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌 粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒． （1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价 （元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润 （元）最大？最大利润是多少？ 22. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽为4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝ax2＋bx＋c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m. (1)求该抛物线的函数表达式，并计算出拱顶D到地面OA的距离； (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴交于点M． （1）求此抛物线的解析式和对称轴； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新乡市一中2025--2026学年上期初三年级月考 数学试卷 分值：120分 时间：100分钟 亲爱的同学，欢迎你参加这次学习回溯之旅．我们相信，在这紧张而又愉快的时间里，你一定会有更好的表现！ 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，将代入方程可得：，解之求得a的值，再根据一元二次方程的定义求解可得． 【详解】解：根据题意将代入方程可得：， 解得：或， ∵是一元二次方程， ∴，即， ∴， 故选：B． 2. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、在时是二次函数，故该选项不符合题意； C、符合二次函数定义，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C 3. 已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由根与系数的关系可知，以，为根的一元二次方程是， 故选A． 考点：根与系数的关系． 4. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，充分理解对称轴与函数增减性之间的关系解题是关键．先求出对称轴，再根据题意得，求出b的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴，开口向上， ∵当时，随的增大而减小， ∴， 解得：， 故选B． 5. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据二次函数及一次函数的图象及性质可得， 当a＜0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴负半轴， 一次函数经过一、二、四象限； 当a＞0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴正半轴， 一次函数经过一、二、三象限． 符合条件的只有选项C， 故选：C． 6. 如图，中，，且，设直线截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象． 【详解】解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3， ∴∠AOB=∠A=45°， 如图，记交点分别为C，D， ∵CD⊥OB， ∴， ∴∠OCD=∠A， ∴∠AOD=∠OCD=45°， ∴OD=CD=t， ∴S△OCD=×OD×CD=t2（0≤t≤3），即S=t2（0≤t≤3）． 故S与t之间的函数关系的图象应为开口向上的二次函数图象； 故选D． 【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征，解答本题的关键是根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象． 7. 二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点问题．二次函数与x轴有交点等价于判别式，且二次项系数，据此求解即可． 【详解】解：∵ 二次函数的图象与x轴有交点， ∴且， ∴且， 解得且， 故选：A． 8. 在二次函数yx22x3中，当时，y的最大值和最小值分别是（ ） A. 0，4 B. 0，3 C. 3，4 D. 0，0 【答案】A 【解析】 【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最大值． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴是， 则当时，，是最小值； 当时，是最大值． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键． 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用关于原点对称点的坐标性质得出点坐标，进而利用关于轴对称点的坐标性质得出坐标，进而得出答案． 【详解】解：点关于原点的对称点为， ， 点关于轴的对称点为， ， ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及关于轴对称点的性质，得出点坐标是解题关键． 10. 如图，O是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和勾股定理及其逆定理，作出适当的辅助线是解决问题的关键．先连接，证明为等边三角形，再作，利用勾股定理得，再根据“手拉手模型”，证明，进一步证明为直角三角形，最后根据面积拼接法求值． 【详解】解：如图， 连接， 由旋转可得，． 为等边三角形． 过点作于点 ． ． 为正三角形， ． ． ． ． 为直角三角形． ． 故选：． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=__． 【答案】-1 【解析】 【详解】∵方程(m−1)x|m|+1−3x+1=0是关于x的一元二次方程， ∴|m|=1，m−1≠0， 解得：m=−1. 故答案为−1. 12. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是__． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上内容． 根据解一元二次方程的步骤求出方程的根，然后根据三角形的三边关系进行验证，最后求出周长即可． 【详解】解： 或 或， 当时，，不能构成三角形，舍去； 当时，，能构成三角形； ∴此三角形的周长是， 故答案为：13． 13. 将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab=__． 【答案】12 【解析】 【详解】x2−6x+5=0， x2−6x=−5， x2−6x+9=−5+9， (x−3)2=4， 所以a=3，b=4， ab=12， 故答案为12. 14. 已知点A（4，y1），B（，y2），C（-2，y3）都在二次函数y=（x-2）2-1的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是_________. 【答案】. 【解析】 【详解】解：将A,B,C三点坐标分别代入解析式，得： ， 故答案为： 15. 如图，抛物线的对称轴是．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是_________．（填写正确结论的序号） 【答案】①③⑤． 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号，及运用一些特殊点解答问题． 【详解】由抛物线的开口向下可得：a＜0， 根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0， 根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0， ∴abc＞0，故①正确； 直线抛物线的对称轴，所以，可得b=2a，a﹣2b+4c=a﹣4a+2=﹣3a+4c， ∵a＜0， ∴﹣3a＞0， ∴﹣3a+4c＞0，即a﹣2b+4c＞0，故②错误； ∵抛物线的对称轴是．且过点（，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（，0）， 当x=时，y=0，即，整理得：25a﹣10b+4c=0，故③正确； ∵b=2a，a+b+c＜0， ∴，即3b+2c＜0，故④错误； ∵x=﹣1时，函数值最大， ∴（m≠1）， ∴a﹣b＞m（am﹣b），所以⑤正确； 故答案为①③⑤． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，关键在于灵活运用这些方法 （1）利用配方法求解一元二次方程即可； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， ． 【小问2详解】 解： ， 或 ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； （3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由） 【答案】 （1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求； （3）三角形的形状为等腰直角三角形． 【解析】 【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作； （2）利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2， （3）根据勾股定理逆定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1=，A1B==， 即OB2+OA12=A1B2， 所以三角形的形状为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元一次方程根与系数的关系，掌握相关的知识是解题的关键． （1）证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，，将变形为，代入相应的值，得到关于m的方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两实根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或． 19. 已知二次函数 的y与x的部分对应值如表： x 1 3 y 0 1 0 （1）求这个二次函数表达式； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象； （3）当x的取值范围为 时，． 【答案】（1）； （2） 函数图象如图： （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）用待定系数法，设二次函数的表达式为，把代入即可求解； （2）利用描点法画二次函数图象； （3）根据图象，所求结果是二次函数在直线以上的对应的的取值范围，据此解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，设二次函数的表达式为：， 把代入得：， 解得：， ∴二次函数的表达式为：， 即； 【小问2详解】 解：根据题意，抛物线的顶点坐标为，描点画图， 【小问3详解】 解：当时，， 解得：，， 如图： 根据图象可得：当时，x的取值范围为：， 故答案为：． 20. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？ 【答案】所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m时，猪舍面积为80m2 【解析】 【分析】可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得出方程 求出边长的值． 【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的 一边的长为m， 由题意得 ， 化简，得，解得：， 当时，（舍去）， 当时，， 答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m． 【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键． 21. 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌 粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒． （1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价 （元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润 （元）最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y=-20x+1600；（2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元． 【解析】 【详解】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）根据利润=1盒粽子所获的利润×销售量列出函数关系式整理，然后根据二次函数的最值问题解答即可． 试题分析： 试题解析：（1）由题意得，y=700-20（x-45）=-20x+1600； （2），∵x≥45，抛物线的开口向下，∴当x=60时，P最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元． 考点：二次函数的应用． 22. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽为4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝ax2＋bx＋c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m. (1)求该抛物线的函数表达式，并计算出拱顶D到地面OA的距离； (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 【答案】(1) 10m；(2)能 【解析】 【分析】（1）先确定B点和C点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配方法确定顶点D的坐标，从而得到点D到地面OA的距离； （2）由于抛物线的对称轴为直线x＝6，而隧道内设双向行车道，车宽为4m，则货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），然后计算自变量为2或10的函数值，再把函数值与6进行大小比较即可判断． 【详解】(1)由题意得点B的坐标为(0，4)，点C的坐标为(3，)，点B1的坐标为(12，4)， ∴解得 ∴该抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋4 ∵y＝－x2＋2x＋4＝－ (x－6)2＋10， ∴拱顶D到地面OA的距离为10m． (2)由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0）， 即，当x＝2或x＝10时，y＝－x2＋2x＋4＝－×102＋2×10＋4＝＞6， ∴这辆货车能安全通过． 【点睛】本题考查二次函数实际应用中的桥梁隧道问题，注意把实际长度和点转换都坐标轴中的横纵坐标，解题的关键就是把实际问题转换坐标，并且要熟练掌握待定系数法求函数解析式． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴交于点M． （1）求此抛物线的解析式和对称轴； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y= ，抛物线的对称轴是 x=3； （2）存在；P点坐标为（3，）． （3）在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．N（，-3） 【解析】 【详解】(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－5)． 把点A(0，4)代入上式，解得a＝． ∴y＝(x－1)(x－5)＝x2－x＋4＝(x－3)2－． ∴抛物线的对称轴是直线x＝3． (2)存在，P点的坐标是(3，)．如图1，连接AC交对称轴于点P，连接BP，AB． ∵点B与点C关于对称轴对称， ∴PB＝PC． ∴AB＋AP＋PB＝AB＋AP＋PC＝AB＋AC． ∴此时△PAB的周长最小． 设直线AC的解析式为y＝kx＋b．把A(0，4)，C(5，0)代入y＝kx＋b，得 解得 ∴y＝－x＋4． ∵点P的横坐标为3， ∴y＝－×3＋4＝． ∴P(3，)． (3)在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC的面积最大． 如图2，设N点的横坐标为tt，此时点N(t，t2－t＋4)(0＜t＜5)． 过点N作y轴的平行线，分别交x轴，AC于点F，G，过点A作AD⊥NG，垂足为D． 由(2)可知直线AC的解析式为y＝－x＋4． 把x＝t代入y＝－x＋4，得y＝－t＋4． ∴G(t，－t＋4)． ∴NG＝－t＋4－(t2－t＋4)＝－t2＋4t． ∵AD＋CF＝OC＝5， ∴S△NAC＝S△ANG＋S△CGN＝NG·AD＋NG·CF＝NG·OC ＝×(－t2＋4t)×5＝－2t2＋10t＝－2(t－)2＋． ∵当t＝时，△NAC面积的最大值为． 由t＝，得y＝×()2－×＋4＝－3． ∴N(，－3)． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $