专题01 三角形的基础及性质（10大题型）（专项训练）数学湘教版2024八年级上册

专题01 三角形的基础及性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角形的分类与识别 1 题型二、三角形三边关系的应用（常考点） 3 题型三、三角形的高 6 题型四、三角形的中线 6 题型五、三角形的角平分线 6 题型六、三角形的高、中线、角平分线的综合应用（重点） 6 题型七、三角形中的折叠问题 8 题型八、三角形内角和定理的应用 10 题型九、三角形外角的定义及性质 13 题型十、三角形内角和与外角的定义及性质综合（难点） 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三角形的分类与识别 1．图中以为边的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了对三角形的认识，正确理解三角形的定义是解题的关键．观察图形，根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：以为边的三角形有：、、，共个． 故选：C ． 2．下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 3．是一个三角形的三个内角，且，那么这个三角形一定是（    ）三角形． A．钝角 B．直角 C．锐角 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理及三角形的分类．解题的关键是利用三角形内角和为，结合已知角的关系求出最大角的度数，进而判断三角形类型． 根据三角形内角和定理可知；结合已知，通过等量代换求出，从而确定三角形为直角三角形． 【详解】解：∵三角形三个内角的和为， ∴． 又∵， ∴，即． 解得． ∴这个三角形一定是直角三角形， 故选：B． 4．下面给出的四个三角形都有一部分被长方形纸片遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：A、可以判断是直角三角形，故A不符合题意； B、可以判断是锐角三角形，故B不符合题意； C、不能判断出三角形的类型，故C符合题意； D、可以判断是钝角三角形，故D不符合题意； 故选：C． 5．如图，图中有 个三角形；其中以为边的三角形有 ；以为内角的三角形有 ；在中，的对角是 ，的对边是 ． 【答案】 8 【分析】本题考查三角形的个数问题，三角形的边、角，根据三角形的有关概念逐项求解即可． 【详解】解：图中有8个三角形，分别为：，，； 其中以为边的三角形有：； 以为内角的三角形有：； 在中，的对角是：；的对边是：； 故答案为：8；；；；． 6．有一个三角形的三个内角的度数之比是，这个三角形按边分，属于 三角形，按角分，属于 三角形． 【答案】 等腰 钝角 【分析】本题考查了三角形的内角和定理及三角形按边和按角的分类方法，解题的关键是根据内角的度数之比求出各内角的度数，再结合边和角的特征进行分类． 先根据三角形内角和为 以及三个内角度数之比，求出每个内角的具体度数；再根据角的度数判断三角形按角的分类，根据相等角所对的边相等的性质判断三角形按边的分类． 【详解】解：设三角形三个内角的度数分别为 、、．​ ∵三角形内角和为 ，​ ，​则，​ ∴．​ 则三个内角的度数分别为 ．​ 按边分，因为有两个角相等（均为 ，所以这两个角所对的边相等，属于等腰三角形；​ 按角分，因为有一个角是 （钝角），所以属于钝角三角形．​ 故答案为：等腰；钝角． 题型二、三角形三边关系的应用（常考点） 7．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）下列各组线段能构成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 根据三角形的三边关系，逐一比较两条较小边的和与最大边的大小即可得答案． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B、，能构成三角形，故本选项符合题意； C、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； D、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 8．下列长度的线段中，能与和的线段围成三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A不符合题意； B、，能构成三角形，故B符合题意； C、，不能构成三角形，故C不符合题意； D、，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 9．如图是马扎及其模型图，若，则马扎的宽可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系．确定第三边的取值范围是解题的关键．由题意知，，即，然后判断作答即可． 【详解】解：根据题意，由三角形的三边关系得，， 综上所述，只有选项D正确， 故选：D． 10．三角形的三边长分别为5，8，x，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：根据题意得：， 即x的取值范围是． 故选：C 11．（24-25七年级下·甘肃张掖·期末）已知三角形两边长分别为4和9，则此三角形的周长C的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，熟记关系求出第三边的取值范围是解题的关键．根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边的范围，然后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴第三边， ∴ 即． 故选：C． 12．已知三角形的三条边长为6、9和．若6是最短边长，求的取值范围 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用：三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此可得，再由是最短边长，可得； 【详解】解：由题意得：，即， 是最短边长， ， 的取值范围是； 故答案为： 13．一个三角形的两边长为和，三角形周长为偶数，则第三边的长为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系，同时还要注意偶数这一条件． 根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．可知第三边的取值范围是大于1而小于5，三角形周长为偶数，故第三边为奇数，即可解答． 【详解】解：第三边的范围是：． 三角形周长为偶数 第三边长是奇数， 第三边是， 故答案为：3． 14．若是三角形的三边，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，根据三角形的三边关系判断式子的符号，再根据绝对值的意义，进行化简即可． 【详解】解：∵是三角形的三边， ∴， ∴原式 ． 故答案为： 15．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，较短的两条边长分别为2和3，则第三条边的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．根据“倍长三角形”的定义求出第三边的长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】解：当第三条边的长是2的2倍时，第三条边的长为4， 2，3，4能组成三角形； 当第三条边的长是3的2倍时，第三条边的长为6， ∵， ∴长为2，3，6的三条线段不能组成三角形， ∴第三条边的长为4， 故答案为：4． 16．（三角形三边长）三边长都是整数且周长为10的三角形共有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，是解题的关键． 先确定三边取的值为，再根据周长为10，且满足三角形三边关系那么只有2个． 【详解】解：由题意得三角形的各边必定小于5， 则能取的值为， 满足周长为10， 则符合三角形三边关系的只有和，共2个， 故答案为：2． 题型三、三角形的高 17．下列四个图中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高，根据三角形的高线定义即可得出答案． 【详解】解：根据三角形的高线定义可知，选项D中的线段是的高， 故选：D 18．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的面积，解题的关键掌握三角形的面积公式．据此列式解答即可． 【详解】解：∵，分别是的边，的高线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即的长为． 故选：A． 19．已知是的高，，，的面积为12，则 ． 【答案】5或7 【分析】本题考查求线段长，涉及三角形的面积公式，解答的关键是分两种情况进行讨论：①是锐角三角形，②是钝角三角形．根据题意，可分两种情况进行分析：①是锐角三角形，②是钝角三角形，再利用三角形的面积公式列式求解是解决问题的关键． 【详解】解：①当是锐角三角形时，如图所示： ∵是的高，，，的面积为12， ∴， 即，则， 解得； ②当是钝角三角形时，如图所示： ∵是的高，，，的面积为12， ∴， 即， 解得， ， 综上所述，或7． 故答案为：5或7． 题型四、三角形的中线 20．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，是的中线，是的中线，是的中线．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了利用三角形的中线求线段，熟练掌握三角形的中线等分线段是解题的关键． 根据三角形的中线等分线段得到，，，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：B． 21．如图，的周长是16，是边上的中线，，则与的周长之差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的有关计算，掌握三角形中线的定义是关键． 根据三角形的中线，周长的计算得到，，根据的周长为，的周长为，得到与的周长之差为，由此即可求解． 【详解】解：的周长为， ∴， ∵是边上的中线， ∴，则， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴， ∴与的周长之差为， 故选：B． 22．如图，在中，已知分别为的中点，且，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质，由点是的中点， 可得，进而由点是的中点，得到，，即得到，最后根据点是边上的中点， 可得，即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， ∵， ∴， 故选：． 23．如图，在四边形中，E，F分别是的中点，连接，若四边形的面积为18，则四边形的面积为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．连接，先根据三角形中线的定义得出，再根据得出即可求解． 【详解】解：连接， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∵与同高，与同高， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 24．如图，在中，是边上的中线，，，E，F分别是垂足．已知，则与的长度之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，根据三角形的中线把其面积分成相等的两个三角形得出和的面积相等，再根据三角形面积公式计算即可得出高之间的关系． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即与的长度之比是， 故选：C． 25．如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查三角形的重心，根据三角形的重心是三角形的三条中线的交点，得到分别为的中点，进而得到，即可得出结果． 【详解】解∶∵点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E． ∴，， ∴． 故答案为：5． 26．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，的周长为．若为的中线，则的周长是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，解题时要注意三角形的中线和周长的综合应用．先根据的周长求出，再根据三角形中线的定义求得，即可求出结果． 【详解】解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：8． 27．如图，已知是的中线，若的周长比的周长长，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查三角形中线，掌握相关知识是解决问题的关键．利用中线的性质将的周长与的周长差转化为与长度差即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长长， ∴ ． 故答案为：3． 题型五、三角形的角平分线 28．下列说法中错误的是（    ） A．三角形的角平分线有三条 B．三角形三条角平分线交于一点 C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的角平分线平分一个内角 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线，根据三角形角平分线的定义逐一排除即可，正确理解三角形角平分线定义是解题的关键． 【详解】解：、三角形每个内角都可作一条角平分线，原选项正确，不符合题意； 、三角形的角平分线交于三角形内的一点，原选项正确，不符合题意； 、三角形的角平分线是线段，不是射线，原选项错误，符合题意； 、三角形的角平分线平分一个内角，原选项正确，不符合题意； 故选：． 29．在中，，，是的角平分线，则的度数为 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，解题的关键是掌握三角形内角和定理．先求出的度数，再根据角平分线定义求解即可． 【详解】解：在中，， ， 是的角平分线， ， 故答案为： 30．如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的含义，根据三角形的角平分线的含义可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 31．如图，是的角平分线，，交于点E．图中与有什么关系？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据三角形的角平分线得到，再由平行得到，即可等量代换出结果． 【详解】解：．理由如下： 是的角平分线， ． ， ， ． 题型六、三角形的高、中线、角平分线的综合应用（重点） 32．关于三角形的高，中线和角平分线，下列说法正确的是（    ） A．三角形的角平分线是直线 B．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 D．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的重心、三角形的角平分线、中线和高及三角形的面积，根据三角形角平分线的定义、高线的定义及重心的定义，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由题知， 因为三角形一个内角平分线与另一边交点之间的线段称为三角形的角平分线，所以三角形的角平分线是一条线段．故A选项不符合题意． 三角形的高所在的直线交于一点，这一点在三角形内或在三角形外或在三角形顶点，故B选项不符合题意． 因为重心是三角形三条中线的交点，故C选项符合题意． 因为三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，而角平分线不一定能分成两个面积相等的三角形，故D选项不符合题意． 故选：C． 33．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图所示是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线、角平分线、高 B．高、中线、角平分线 C．角平分线、高、中线 D．角平分线、中线、高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三线，折叠的性质，根据折叠的性质，得到图①中，图②中，图③中，结合角平分线，中线和高线的定义，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：图①中，故是的角平分线； 图②中，故，故是的高线； 图③中，故是的中线； 故选C． 34．如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴不一定是的中点，即不一定成立， ∴不一定成立，D说法错误，符合题意． 故选：D． 35．如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（    ） ①的周长的周长；②的面积的面积；③；④；⑤． A．①③⑤ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高以及角的相关性质与运算，同时还考查了等积法． 解题的关键在于对三角形相关知识的熟练掌握与灵活应用． 【详解】① 是的中线， ， 的周长， 的周长， 的周长的周长， 故①说法正确； ②在中，， ， ， ， 又 ，，，是角平分线， ， ， 故②说法不正确； ③ ，是的高， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， 故③说法正确； ④ ，是的高， ， ， ， 是的角平分线， ， ， 故④说法正确； ⑤ ，，，，是的高， ， ， ， 故⑤说法错误． ①③④说法正确． 故选：D． 36．根据条件画图，并回答问题： (1)作出 边上的中线和高； (2)写出两个以为高的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了作三角形中线和高，以及三角形高线定义． （1）根据三角形中线和高的定义作图即可； （2）结合图形写出两个以为高的三角形即可． 【详解】（1）解：所作 边上的中线和高如图所示； （2）解：以为高的三角形有（或任写两个即可）． 37．如图，分别是的高和中线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求与的周长差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形高、中线的计算，掌握高的定义，中线的定义是关键． （1）根据三角形的面积公式计算即可； （2）根据中线得到，分别表示出的周长，的周长，列式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，，， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长，的周长， ∴的周长减去的周长表示为 ， ∴与的周长差为． 38．如图，在中，于点D，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小9，求的长． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线、高，熟记三角形的角平分线、中线、高的定义是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，进而求出； （2）根据三角形的中线的性质得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ， 平分， ， ； （2）解：是的中线， ， ， ， ∵的周长比周长小9， ， ， ， ． 题型七、三角形中的折叠问题 39．如图，把折叠，使A，B两点重合，得到折痕，再沿折叠，点C恰好与点D重合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是牢固掌握翻折变换的性质．如图，运用翻折变换的性质证明；进而证明，即可解决问题． 【详解】解：由折叠可得：， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：C． 40．如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠的性质可知，，求出，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴． 在中，，， ∴． 故选：． 41．如图，在中，，，点E、F在边上，沿向内折叠得到，则图中等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握翻折变换的性质和三角形内角和定理．利用三角形内角和定理，先求出，再利用翻折变换的性质求出，再根据，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 沿向内折叠得到， ，，， 在中，， ， ， ， 故选：C． 42．如图，在中，，，是的中点，点是边上一动点，将沿翻折，使点落在点处，则的度数为 ；当时，则的度数为 ． 【答案】 /度 或 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理的应用，平行线的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 当时，，分两种情况考虑，根据翻折可得或，再根据三角形内角和定理，即可解决问题． 【详解】解：由折叠可知，， 当点在上方时，如图所示，    ∵ ∴， 由翻折可知：， ∴． 当点在下方时，如图所示， ∵ ∴， 由翻折可知：， ∴， ∴．   故答案为：；或． 43．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质，连接．首先求出，再证明即可解决问题． 【详解】解：连接． ∵平分，平分，， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：． 44．是一张三角形的纸片，点D、E分别是边、上的点．将沿折叠，点A落在点的位置． (1)如图①，当点落在四边形的边上时，的大小为________度，与之间的数量关系是________． (2)如图②，当点落在四边形的内部时，直接写出与、之间的数量关系是________． (3)如图③，当点落在四边形的外部时，写出与、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查折叠问题，三角形的外角性质，关键是掌握折叠的性质，熟练应用三角形的外角性质来解决问题． （1）由折叠的性质得到，，由邻补角的性质得到，求出，由三角形的外角性质得到； （2）由折叠的性质得到，由三角形的外角性质推出，，因此； （3）由折叠的性质得到，由三角形的外角性质推出，，得到． 【详解】（1）解：如图 由折叠的性质得到：，， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：如图， ，理由如下： 连接， 由折叠的性质得到：， ，， ， 故答案为：； （3）解：如图， ，理由如下： 连接， 由折叠的性质得到：， ，， ． 题型八、三角形内角和定理的应用 45．如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形的三个内角的和等于，结合已知条件即可求出的度数． 【详解】解：在中，， ， ， 故选：A． 46．一副三角板如图方式摆放，平分，平分，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的性质、三角形内角和为，掌握其性质及两特殊三角形角的度数是解题的关键． 由题可知，，再结合角平分线及三角形内角和为即可求解． 【详解】根据题意， ， 又平分，平分， 所以， 在中，， 解得． 故选：C． 47．如图，点在点的北偏西方向，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方位角和三角形内角和定理，根据方位角的概念求出三角形中相关角的度数，再利用三角形内角和定理即可． 【详解】解：由题意可知平行于，， ， ， ， ， ． 故选：D． 48．如图，直线，，若，则三角形的面积等于（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据，推出，再根据，推出，最后利用求得面积． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 49．在中，三个内角，，满足，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，求出是解题的关键．先整理得到，再利用三角形的内角和等于列出方程求解即可． 【详解】解：， ， 又， ， ． 故答案为：． 50．如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交直线于点E．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义．首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 51．已知：，平分，点、、分别是射线、、上的动点（都不与点重合），连接，与射线交于点，设． (1)如图1，若，则 ①当时，　　　； ②当时，　　　． (2)如图2，若，且中有两个相等的角，求的值． 【答案】(1)， (2)，，， 【分析】本题主要考查了平行线的性质求角的度数以及三角形内角和定理的应用等知识． （1）①由角平分线的性质得出，由平行线的性质得出，，结合已知条件利用角的和差关系即可得出答案． ②由角平分线的性质得出，由平行线的性质得出，，结合已知条件利用角的和差关系即可得出答案． （2）分两种情况，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：①∵，平分， ∴， ∵， ∴，， 当时， ∴． 故答案为：120 ②∵，平分， ∴， ∵， ∴， ， 当， ∴． 故答案为：60 （2）解：①当点D在线段上时， 若， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， 若， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 若， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当点D在射线上时， ∵，且三角形的内角和为， ∴只有，且， ∴． ∴． 综上可知，、、、． 题型九、三角形外角的定义及性质 52．如图，在中，点D在上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握外角的定义与性质是解题的关键．根据题意，根据三角形外角的性质可知，进而即可求出的度数． 【详解】解：，， ，， ， ， 故选：B． 53．飞飞将一副三角板按图中方式叠放，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图，熟知三角板各角的度数是解题的关键． 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】由题可知， 又为的外角， 所以，即， 解得． 故选：B． 54．如图，已知，，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质以及三角形的外角性质，延长交于，由平行线的性质得出，再由三角形的外角性质得即可．熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． 故选：B． 55．点P是内任意一点，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质，延长，利用三角形的外角的性质即可判断． 【详解】解：如图，延长， ∵， ∴， 故答案为： ． 56．一个零件的形状如图，按规定．已知，要判断这个零件是否合格，只要检验的度数就可以了．量得，这个零件 （填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【分析】本题考查了三角形的外角知识，熟练掌握三角形的外角性质，连接并延长是解题的关键； 连接并延长，根据三角形的外角的性质得到，，因此，即可作出判断． 【详解】解：连接并延长，如图： 由三角形的外角性质可得，，， ∴，， ∴ ， ∴这个零件符合规定，是合格的． 故答案为：合格． 57．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，平分的外角，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）先求解，可得，再利用三角形的外角的性质可得结论； （2）证明，结合，，可得结论． 【详解】（1）解：由条件可知， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由条件可知， 又∵， ∴ ， 即． 58．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，是边上的高，，平分交于点，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高和角平分线，三角形内角和定理及外角性质，由三角形高的定义可得，进而由三角形外角性质得到，再由角平分线的定义得到，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 题型十、三角形内角和与外角的定义及性质综合（难点） 59．如图，的度数是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了三角形外角的性质和内角和定理，把所求的五个角转化在一个三角形中是解题的关键．根据三角形外角的性质可得：，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，根据三角形外角的性质可知： ，，， ． 故选：A ． 60．如图，点，分别在线段，上，连接，交于点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 先根据三角形内角和定理求出的度数，再由三角形外角的性质得出的度数，由对顶角相等即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的外角，， ∴， ∴． 故选：B． 61．如图，在中，，平分交于D，作交于E，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出，根据平分交于D，得，又因为，，进行列式计算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分交于D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 62．如图，已知，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理与三角形外角性质，通过延长线段构造三角形，利用外角与内角的关系进行求解，熟练掌握三角形外角性质是解题的关键．通过延长 交 于 ，构造三角形，利用三角形内角和定理及外角性质来求解． 【详解】解：延长 交 于 ． ∵，， ． ∵，， ． 故答案为：． 63．如图，从△ABC的纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE．若，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角与外角，掌握“三角形内角和是180度”是解题关键． 根据分别为的一个外角，，，然后根据，结合三角形内角和为180度得出即可． 【详解】解：∵分别为的一个外角， ∴，， ∴， 故答案为：． 64．如图，在中，，，则 ． 【答案】55 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．根据三角形内角和定理得到，由三角形外角的性质得到，最后在中，利用三角形内角和定理可知，代入即可求得答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得， 故答案为：55． 65．【题目】如图1，根据图形填空． （1）______，______； （2）____________； 【应用】 （3）如图2，求的度数； 【拓展】 （4）如图3，若，则为______度． 【答案】（1）；（2）；（3）（4）220 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角性质是解答本题的关键． （1）利用三角形外角性质即可求出； （2）根据外角性质，将转化到一个三角形内计算即可； （3）利用三角形外角性质将转化到一个三角形中，再根据三角形内角和即可得到结果； （4）利用外角套外角可得，，根据对顶角相等，即可计算出结果． 【详解】解：（1）因为是三角形的外角， 所以． 因为是三角形的外角， 所以． 故答案为；． （2）因为，， 所以． 故答案为；． （3）因为，， 所以． （4）根据三角形外角性质可得， ，． 因为， 所以． 所以． 故答案为：220． 66．如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若是高，，求的度数； (3)若是角平分线，，求的度数． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，中线和高，理解三角形的角平分线，中线和高的定义，灵活运用三角形的内角和定理及外角性质进行角的计算是解决问题的关键． （1）根据的周长为：，的周长为：，可得与的周长差为：，再根据中线定义得，以及，即可得出答案； （2）根据是的平分线得，再根据是的高得，再由三角形外角性质得，据此即可得出答案； （3）根据得，再根据角平分线定义得，然后再由三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】（1）解：的周长为：， 的周长为：， 与的周长差为：， 是的中线， ， 又，， ， 即与的周长差为：1． 故答案为：1． （2）解：是的平分线，， ， 是的高， ， ； （3）解：在中，， ， 是的平分线，是平分线， ，， ， ． 67．已知点A，B分别是锐角（）的边，上的点，先将沿着折叠，折叠后点P的对应点为Q， (1)如图1，若折叠后点Q落到的内部，且，与相等吗？若相等说明理由？ (2)如图2，若折叠后，试说明； (3)在（2）的条件下，过点Q作交于点C，当时，求度数？ 【答案】(1)；理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据折叠得出，即可得出结论； （2）根据三角形内角和得出，根据三角形外角的性质得出，根据折叠得出，即可得出结论； （3）根据平行线的性质得出，根据，得出，根据，求出，根据折叠得出，即可得出，从而求出结果． 【详解】（1）解：；理由如下： ∵， ∴， 根据折叠可知：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据折叠可知：， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 根据解析（2）可知：， ∴， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握折叠的性质． 68．在中，，、、分别为三边上的点，． (1)如图1，当时，求证：． (2)如图2，直接写出图中两对相等的角________（已知相等的角除外） (3)如图3，延长到，作和的平分线交于，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】本题考查了三角形外角和定理，三角形内角和定理，角平分线的性质，熟练掌握定理是解决本题的关键 （1）由可得，又由，且可得进而证明垂直关系； （2）根据，再根据三角形的外角和定理即可找到两对相等的角； （3）先设设，，即可表示与，进而可得两角关系，再根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵，且， ∴， 即， 即； （2）解：∵，且， 又∵，， ∴， 由（1）可得， ∵，， ∴； 故答案为：；； （3）解：设，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∴． 1．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，小深在池塘一侧选取了点，测得，，那么池塘两岸，间的距离可能是（    ）． A．9 B．8 C．5 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：， 即， 逐一核对选项，只有选项C符合， 故选：C 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，的周长为，是边上的中线，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的周长等知识，根据三角形中线的性质得到，求出，再根据三角形的周长即可得出答案． 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）如图，的面积为，，，则图中四边形的面积等于（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的面积计算，弄清楚各部分面积之比以及利用底一定时三角形面积与高成正比的性质成为解题的关键． 如图：连接，由的面积为、、，可求出的面积．根据底一定时，三角形面积与高成正比或高一定时，三角形面积与底成正比，求出的面积，从而得到与高之比为，即与的高之比为，进而得到的面积，最后求出四边形的面积． 【详解】解：如图：连接， ∵的面积为，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴与面积比为， ∴与高之比为，即与的高之比为， ∴， ∴四边形的面积为． 故选：B． 4．（2025·河南郑州·三模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，，，，，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质等知识，先根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据两直线平行，同位角相等求出的度数，再根据三角形外角的性质求出的度数，最后根据平角的定义即可求出的度数，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，与交于点O，且O为中点，，下列说法： 与面积相等； 是的外角； 是的中线； 中，正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查平行线间的距离，三角形外角的性质，三角形的中线．根据平行线间距离处处相等，可判断；根据外角的定义及性质可判断 ；根据三角形中线的定义可判断． 【详解】解： ， 点A与点D到边的距离相等， 与面积相等，故正确； 不是的外角，故错误； O为中点， 是的中线，故错误； ， ，故正确； 综上可知，正确的有2个， 故选B． 6．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，在三角形中，分别把其余的两个角平均分成两份，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理． 利用三角形内角和定理及角平分线的定义，逐步进行求解即可． 【详解】解：由三角形的内角和定理得， ， ∵把平均分成两份， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，点C在线段上，且平分，，点E在上，若，，，则的度数为 ． 【答案】/63度 【分析】根据平行线的性质及角平分线定义求出，，根据题意，设，则，在中，，从而有，解得，最后由，求得的值． 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，综合运用题设条件是解题的关键． 【详解】解：， ， 平分， ， ∵， ， 设，则， ， ， 在中，， 又，， ， ，，，， ， ， 解得：， ， 故答案为： 8．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，． (1)求证：． (2)若恰好平分，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、折叠的性质． 根据折叠的性质可知，根据平角的定义可以求出，从而可求，根据内错角相等，两直线平行，可证结论成立； 根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可以求出，根据角平分线的定义可以求出，根据三角形内角和定理可以求出的度数． 【详解】（1）证明：由折叠可知， ， ， ， ， ； （2）解：是的外角， ， ， ， 平分， ， 在中，， ． 9．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，，C点在上，，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求和的大小． 【答案】(1)证明过程见解析部分； (2)，． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由两直线平行，内错角相等可得，再结合题意得出，即可得证； （2）由平行线的性质结合三角形外角的定义及性质即可求出的度数，再由三角形内角和定理并结合平行线的性质即可得出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 10．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，为边上的高，为边上的中线，平分，交于点． (1)若，的面积为20，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了三角形的中线和高、角平分线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形相关线段的性质是解题的关键． （1）根据三角形的面积求出，再根据三角形中线得到的长； （2）求出，由和三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】（1）解：∵为边上的高，的面积为20， ∴， ∵， ∴， ∵点为边上的中点， ∴． （2）∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 11．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）【概念认识】 如图①，在内，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻AB三分线”， 是“邻三分线”． 【问题解决】 (1)如图①，是“邻三分线”，则______； (2)如图②，在中，，若的“邻三分线” 交于点，则______； (3)如图③，在中，，分别是和的“邻三分线”，且，求的度数． 【答案】(1)20 (2)84 (3)54° 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，关键是应用角的“三分线”定义来解决问题． （1）由是“邻三分线”，即可求出的度数； （2）由是“邻三分线”，求出，由三角形的外角性质得到； （3）由三角形内角和定理求出，由角的“三分线”定义得到，求出，由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图①，是“邻三分线”， ， 故答案为：20； （2）解：如图②，是“邻三分线”， ， ． 故答案为：84． （3）解：如图③，， ， ，分别是和的“邻三分线”， ，， ， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形的基础及性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角形的分类与识别 1 题型二、三角形三边关系的应用（常考点） 3 题型三、三角形的高 6 题型四、三角形的中线 6 题型五、三角形的角平分线 6 题型六、三角形的高、中线、角平分线的综合应用（重点） 6 题型七、三角形中的折叠问题 8 题型八、三角形内角和定理的应用 10 题型九、三角形外角的定义及性质 13 题型十、三角形内角和与外角的定义及性质综合（难点） 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三角形的分类与识别 1．图中以为边的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．是一个三角形的三个内角，且，那么这个三角形一定是（    ）三角形． A．钝角 B．直角 C．锐角 4．下面给出的四个三角形都有一部分被长方形纸片遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，图中有 个三角形；其中以为边的三角形有 ；以为内角的三角形有 ；在中，的对角是 ，的对边是 ． 6．有一个三角形的三个内角的度数之比是，这个三角形按边分，属于 三角形，按角分，属于 三角形． 题型二、三角形三边关系的应用（常考点） 7．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）下列各组线段能构成三角形的是（   ） A． B． C． D． 8．下列长度的线段中，能与和的线段围成三角形的是（ ） A． B． C． D． 9．如图是马扎及其模型图，若，则马扎的宽可能为（    ） A． B． C． D． 10．三角形的三边长分别为5，8，x，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·甘肃张掖·期末）已知三角形两边长分别为4和9，则此三角形的周长C的取值范围是（　　） A． B． C． D． 12．已知三角形的三条边长为6、9和．若6是最短边长，求的取值范围 13．一个三角形的两边长为和，三角形周长为偶数，则第三边的长为 ． 14．若是三角形的三边，化简： ． 15．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，较短的两条边长分别为2和3，则第三条边的长为 ． 16．（三角形三边长）三边长都是整数且周长为10的三角形共有 个． 题型三、三角形的高 17．下列四个图中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 19．已知是的高，，，的面积为12，则 ． 题型四、三角形的中线 20．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，是的中线，是的中线，是的中线．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．4 21．如图，的周长是16，是边上的中线，，则与的周长之差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．如图，在中，已知分别为的中点，且，则的面积为（     ） A． B． C． D． 23．如图，在四边形中，E，F分别是的中点，连接，若四边形的面积为18，则四边形的面积为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 24．如图，在中，是边上的中线，，，E，F分别是垂足．已知，则与的长度之比是（   ） A． B． C． D． 25．如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则 ． 26．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，的周长为．若为的中线，则的周长是 ． 27．如图，已知是的中线，若的周长比的周长长，则 ． 题型五、三角形的角平分线 28．下列说法中错误的是（    ） A．三角形的角平分线有三条 B．三角形三条角平分线交于一点 C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的角平分线平分一个内角 29．在中，，，是的角平分线，则的度数为 30．如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为 ． 31．如图，是的角平分线，，交于点E．图中与有什么关系？为什么？ 题型六、三角形的高、中线、角平分线的综合应用（重点） 32．关于三角形的高，中线和角平分线，下列说法正确的是（    ） A．三角形的角平分线是直线 B．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 D．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形 33．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图所示是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线、角平分线、高 B．高、中线、角平分线 C．角平分线、高、中线 D．角平分线、中线、高 34．如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 35．如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（    ） ①的周长的周长；②的面积的面积；③；④；⑤． A．①③⑤ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 36．根据条件画图，并回答问题： (1)作出 边上的中线和高； (2)写出两个以为高的三角形． 37．如图，分别是的高和中线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求与的周长差． 38．如图，在中，于点D，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小9，求的长． 题型七、三角形中的折叠问题 39．如图，把折叠，使A，B两点重合，得到折痕，再沿折叠，点C恰好与点D重合，则等于（   ） A． B． C． D． 40．如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A． B． C． D． 41．如图，在中，，，点E、F在边上，沿向内折叠得到，则图中等于（　　） A． B． C． D． 42．如图，在中，，，是的中点，点是边上一动点，将沿翻折，使点落在点处，则的度数为 ；当时，则的度数为 ． 43．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ． 44．是一张三角形的纸片，点D、E分别是边、上的点．将沿折叠，点A落在点的位置． (1)如图①，当点落在四边形的边上时，的大小为________度，与之间的数量关系是________． (2)如图②，当点落在四边形的内部时，直接写出与、之间的数量关系是________． (3)如图③，当点落在四边形的外部时，写出与、之间的数量关系，并说明理由． 题型八、三角形内角和定理的应用 45．如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 46．一副三角板如图方式摆放，平分，平分，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 47．如图，点在点的北偏西方向，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向，则的度数为（   ） A． B． C． D． 48．如图，直线，，若，则三角形的面积等于（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 49．在中，三个内角，，满足，则 ． 50．如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交直线于点E．若，，则的度数为 ． 51．已知：，平分，点、、分别是射线、、上的动点（都不与点重合），连接，与射线交于点，设． (1)如图1，若，则 ①当时，　　　； ②当时，　　　． (2)如图2，若，且中有两个相等的角，求的值． 题型九、三角形外角的定义及性质 52．如图，在中，点D在上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 53．飞飞将一副三角板按图中方式叠放，则（   ）． A． B． C． D． 54．如图，已知，，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 55．点P是内任意一点，则与的大小关系是 ． 56．一个零件的形状如图，按规定．已知，要判断这个零件是否合格，只要检验的度数就可以了．量得，这个零件 （填“合格”或“不合格”）． 57．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，平分的外角，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 58．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，是边上的高，，平分交于点，，求的度数． 题型十、三角形内角和与外角的定义及性质综合（难点） 59．如图，的度数是（   ） A． B． C． D．不确定 60．如图，点，分别在线段，上，连接，交于点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 61．如图，在中，，平分交于D，作交于E，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 62．如图，已知，则的度数是 ． 63．如图，从△ABC的纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE．若，则 °． 64．如图，在中，，，则 ． 65．【题目】如图1，根据图形填空． （1）______，______； （2）____________； 【应用】 （3）如图2，求的度数； 【拓展】 （4）如图3，若，则为______度． 66．如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若是高，，求的度数； (3)若是角平分线，，求的度数． 67．已知点A，B分别是锐角（）的边，上的点，先将沿着折叠，折叠后点P的对应点为Q， (1)如图1，若折叠后点Q落到的内部，且，与相等吗？若相等说明理由？ (2)如图2，若折叠后，试说明； (3)在（2）的条件下，过点Q作交于点C，当时，求度数？ 68．在中，，、、分别为三边上的点，． (1)如图1，当时，求证：． (2)如图2，直接写出图中两对相等的角________（已知相等的角除外） (3)如图3，延长到，作和的平分线交于，若，求的度数． 1．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，小深在池塘一侧选取了点，测得，，那么池塘两岸，间的距离可能是（    ）． A．9 B．8 C．5 D．2 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，的周长为，是边上的中线，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）如图，的面积为，，，则图中四边形的面积等于（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 4．（2025·河南郑州·三模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，，，，，则的度数是（） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，与交于点O，且O为中点，，下列说法： 与面积相等； 是的外角； 是的中线； 中，正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，在三角形中，分别把其余的两个角平均分成两份，则 °． 7．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，点C在线段上，且平分，，点E在上，若，，，则的度数为 ． 8．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，． (1)求证：． (2)若恰好平分，求的度数． 9．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，，C点在上，，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求和的大小． 10．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，为边上的高，为边上的中线，平分，交于点． (1)若，的面积为20，求的长； (2)若，，求的度数． 11．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）【概念认识】 如图①，在内，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻AB三分线”， 是“邻三分线”． 【问题解决】 (1)如图①，是“邻三分线”，则______； (2)如图②，在中，，若的“邻三分线” 交于点，则______； (3)如图③，在中，，分别是和的“邻三分线”，且，求的度数． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $