第五章 投影与视图（必备知识+7大题型+分层训练）（复习讲义）数学北师大版九年级上册

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第五章投影与视图（复习讲义) 单元目标聚焦·明核心 1.了解投影（含中心投影、平行投影、正投影）的意义，体会投影与视图之间的整体联系。 2.能用正投影的方法绘制物体的三视图，明确三视图的位置关系（俯视图在主视图下方、左视图在主视图右 方)和大小关系（长对正、高平齐、宽相等）。 3理解并利用中心投影与平行投影的区别（光线、影子与物体高度比例、影子方向）与联系解决问题，能通 过三视图想象几何体的形状。 知识图谱梳理·固基础 1投影现象：物体在光线照射下，在地面或其他平面上留下影子的现象，影子所在平面为投影面 2.中心投影：手电筒、路灯和台灯等光线可看成从一点发出，这样的光线照射物体所形成的投 影为中心投影 投影 3.平行投影：太阳光线可看成平行光线，其形成的投影为平行投影 4.正投影：当平行光线与投影面垂直时的投影，是特殊的平行投影 1区别：太阳光线平行，太阳光下影子长度与物体高度成比例，同一时刻影 子方向总是相同：灯光发散，灯光下影子与物休高度不一定成比例，影子方 向可能相同也可能不同 投影与视图 中心投影与平行投 2联系：都是研究物体投影的方式，平行投影油平行光线形成，如太阳光线。 影的区别与联系 月光等；中心投影油一点发出的光线形减，如灯泡、手电筒的光线等 1.三视图的概念：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形称为视图 2.三视图的关系：位置上，俯视图在主视图下方，左视图在主视图右方：大小上，遵循主视图 与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，左视恩与俯视图宽相等的原则 3.画几何体的三视图：先确定主视图位置并画出，再在主视图正下方画出俯视图，保证长对 视图 正，在主视图正右方画出左视图，做到高平齐、宽相等，几何体上被遮挡看不见部分的轮廓线 画成虚线 4.由三视图想象几何体的形状：分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和 左侧面 教材要点精析·夯重点 知识点01投影 1投影现象：物体在光线照射下，在地面或其他平面上留下影子的现象，影子所在平面为投影面。 2.中心投影：手电筒、路灯和台灯等光线可看成从一点发出，这样的光线照射物体所形成的投影为中心投影。 等高物体垂直地面放置时，离点光源近的影子短，远的影子长；等长物体平行于地面放置时，离点光源越 1/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 近，影子越长，越远则越短，但不会短于物体本身长度。 3平行投影：太阳光线可看成平行光线，其形成的投影为平行投影。等高物体垂直地面放置时，在太阳光下 影子一样长；等长物体平行于地面放置时，在太阳光下影子一样长且等于物体本身长度。在同一时刻，不 同物体的物高与影长成正比例。 4.正投影：当平行光线与投影面垂直时的投影，是特殊的平行投影。 知识点02中心投影与平行投影的区别与联系 1.区别：太阳光线平行，太阳光下影子长度与物体高度成比例，同一时刻影子方向总是相同；灯光发散，灯 光下影子与物体高度不一定成比例，影子方向可能相同也可能不同。 2联系：都是研究物体投影的方式，平行投影由平行光线形成，如太阳光线、月光等；中心投影由一点发出 的光线形成，如灯泡、手电筒的光线等。 知识点03视图 1.三视图的概念：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形称为视图。从正面、左面和上面观察物体， 分别得到主视图、左视图和俯视图，它们统称为三视图。 2三视图的关系：位置上，俯视图在主视图下方，左视图在主视图右方；大小上，遵循主视图与俯视图长对 正，主视图与左视图高平齐，左视图与俯视图宽相等的原则。 3画几何体的三视图：先确定主视图位置并画出，再在主视图正下方画出俯视图，保证长对正，在主视图正 右方画出左视图，做到高平齐、宽相等，几何体上被遮挡看不见部分的轮廓线画成虚线。 4.由三视图想象几何体的形状：分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面，再综 合考虑整体图形，可根据实线和虚线想象看得见和看不见的轮廓线，也可通过熟记简单几何体的三视图来 帮助想象复杂几何体的形状。 考点题型突破·拓思维 题型一平行投影 【例1】下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是() A. 【变式1-1】树甲在阳光下的影子如图所示 2/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 KKKKK 树丙 地面 树乙 树甲 (①)请在图中分别画出此时树乙和树丙的影子（用线段表示并说明）； (②)如果想让此时树乙的影子落在树甲的影子里，那么树甲至少要多高？请画图表示并说明. 【变式1-2】地面上有一根高度未知且与地面垂直的旗杆.为了测得旗杆的高度，一个小组的同学进行了如 下测量：某一时刻，在太阳光的照射下，旗杆的影长为9.4米，身高为1.6米的学生的影长为0.8米.依据这 些数据，该小组的同学计算出了旗杆的高度 (①)该小组的同学在这里利用的是投影的有关知识进行计算的； (②)求旗杆的高度. 【变式1-3】如图，在一条马路1上有路灯AB(灯泡在点A处)和小树CD,某天早上9：O0,路灯AB的 影子顶部刚好落在点C处. D B C (1)画出小树CD在这天早上9：O0太阳光下的影子CE和晚上在路灯AB下的影子CF; (2)若点E恰为CF的中点，小树CD高1.5米，求路灯AB的高度. 题型二中心投影 【例2】如图，公路上有一个10米高的路灯.晚上小红站在位置A的影子和站在位置B的影子相比() B A.在位置A的影子长些 B.一样长 C.在位置B的影子长些D.无法确 定 【变式2-1】如图，路灯下一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC,小明（用线段DE表示）的影子是EF, 在M处有一棵大树，它在这个路灯下的影子是MN. 3/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DI M B CEF (1)在图中画出路灯的位置并用点P表示： (2)在图中画出表示大树的线段MQ 【变式2-2】如图，学习完投影后，小光同学在灯光下观察自己的影子.线段AB表示小光站立的位置，线 段CD表示此时操场上的灯杆，点C为路灯所在位置 C (I)画出小光在路灯C照明下的投影示意图，并记作BE; (2)如果小光身高1.8m,他站在距离灯杆CD为5m的B处时，测得自己的影长BE=3m,求灯杆CD的高度. 【变式2-3】如图，亮亮、明明利用家门口路灯的灯光来测量该路灯的高度，明明在A处时，亮亮测得明明 的影长AM为2米，明明向前走2米到B处时，亮亮测得明明的影长BM'为1米，已知明明的身高， AA'(BB）为1.72米， M A MB C (I)求路灯高CD (②)在此路灯下，明明在直线MC上运动，明明应由点A前进或后退多少米，亮亮恰好测得明明的影长是其 身高的2倍。 题型三判断几何体的三视图 【例3】如图所示，该几何体的俯视图是() 4/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 正面 A B D 【变式31】中国历史文化悠久，瓷器文化是中国极具代表性的文化，如图是醴陵出产的釉下彩瓷杯子，它 的主视图是（) A. C D 【变式3-2】下列几何体中，主视图、左视图和俯视图完全相同的是() A. 圆锥 长方体 C 圆柱 正方体 【变式3-3】如图是一个空心圆柱，它的左视图为() 才正面 A. D 题型四己知一种或两种视图，判断其他视图 5/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【例4】下面是由若干个小立方体搭成的几何体的主视图与俯视图，则它的左视图不可能是() 主视图 俯视图 【变式41】超市货架摆放着某品牌方便面8盒，它们的主视图和俯视图如图，则它的左视图可能是() 88 主视图 俯视图 【变式42】如图是由6个小立方块所搭成的几何体从上面看到的图形，小正方形中的数字表示该位置小立 方块的个数，这个几何体的主视图是() 21 12 A 【变式43】由若千个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体的 左视图可能是() 主视图 俯视图 题型五画几何体的三视图 6/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【例5】画出如图所示的正六棱柱的三视图. 正面 【变式5-1】在如图的方格图中画出如图所示（图中单位：cm)的几何体的主视图、左视图和俯视图，每 个小方格的边长代表1cm 止面 主视图 左视图 俯视图 【变式5-2】画出如图所示组合体的三视图 从正面看 主视图 左视图 俯视图 【变式53】如图是由一些棱长为单位1的相同的小正方体堆成的简单几何体， 主视图 左视图 俯视图 正面 (1)请在方格中画出该几何体的三视图 (②)堆成该几何体需要 块小正方体. (3)该几何体的表面积（含下底面）为 题型六己知三视图求表面积或体积 【例6】某几何体的三视图如下图所示，求这个几何体的表面积. 7119 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 业 16 10 主视图 左视图 15 ←208 俯视图 【变式6-1】已知下图为一几何体的三视图 主视图：长方形左视图：长方形 俯视图：等边三角形 (1)写出这个几何体的名称； (2)任意画出它的一种表面展开图： (3)若主视图的长为10cm,俯视图中三角形的边长为4cm,求这个几何体的侧面积. 【变式6-2】如图所示的是从不同方向观察一个几何体得到的形状图. 3 主视图 左视图 俯视图 (1)这个几何体的名称是 (2)由图中数据计算此几何体的侧面积（结果保留)· 【变式63】一个几何体的三视图如图（其俯视图是正五边形），请解答下列问题： 3cm 主视图 左视图 2cm 俯视图 (1)这个几何体的名称是 8/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)根据图中标注的尺寸，求这个几何体的侧面积. 题型七由三视图，求小立方体的个数 【例7】在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为1cm的小正方体堆成一个几何体，如图所示： 主视图 左视图 俯视图 (1)这个几何体是由 个小正方体组成，请画出这个几何体的三视图： (2)如果在这个几何体露在外面的表面（不含底面）喷上黄色的漆，每平方厘米用2克，则共需 克 漆； (3)若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加 个小 正方体. 【变式7-1】如图是由10个边长为1的小正方体组合成的简单几何体. 从正面看 主视图 左视图 俯视图 (①)画出该几何体的主视图、左视图和俯视图； (2)该几何体的表面积（含底面)是 (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多 可以再添加 个小正方体 【变式7-2】(1)由一些棱长为单位1大小相同的小立方块搭成的几何体如图，请在如图的方格中画出该 几何体的俯视图和左视图. 止面 俯视图 左视图 (2)用小立方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在如图方格中所画的图一致，则这样的几何体 9/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 最少要_个小立方块，最多要_个小立方块 (3)如果在其表面涂漆，则要涂平方单位，（几何体放在地上，底面无法涂上漆） 【变式7-3】如图是一些棱长为1cm的小立方块组成的几何体 主视图 左视图 俯视图 (1)请画出这个几何体的三视图. (②)如果在其表面喷上黄色的油漆（几何体放在地上，底面无法涂漆），每平方厘米用2克，则共需_克漆 (3)如果保持从主视图和俯视图形状不变，最多可以再添加个小立方块。 分层阶梯训练 提能力 基础巩固通关测 一、单选题 1.如图所示，将一个长方体挖掉一个小的长方体，它的俯视图是() 主视方向 A. B c. D. 2.如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个 数是() 主()视图 左视图 俯视图 A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 3.一个几何体有若干块大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中 10/19 第五章 投影与视图（复习讲义） 1.了解投影（含中心投影、平行投影、正投影）的意义，体会投影与视图之间的整体联系。 2.能用正投影的方法绘制物体的三视图，明确三视图的位置关系（俯视图在主视图下方、左视图在主视图右方）和大小关系（长对正、高平齐、宽相等）。 3.理解并利用中心投影与平行投影的区别（光线、影子与物体高度比例、影子方向）与联系解决问题，能通过三视图想象几何体的形状。 知识点01 投影 1.投影现象：物体在光线照射下，在地面或其他平面上留下影子的现象，影子所在平面为投影面。 2.中心投影：手电筒、路灯和台灯等光线可看成从一点发出，这样的光线照射物体所形成的投影为中心投影。等高物体垂直地面放置时，离点光源近的影子短，远的影子长；等长物体平行于地面放置时，离点光源越近，影子越长，越远则越短，但不会短于物体本身长度。 3.平行投影：太阳光线可看成平行光线，其形成的投影为平行投影。等高物体垂直地面放置时，在太阳光下影子一样长；等长物体平行于地面放置时，在太阳光下影子一样长且等于物体本身长度。在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例。 4.正投影：当平行光线与投影面垂直时的投影，是特殊的平行投影。 知识点02 中心投影与平行投影的区别与联系 1.区别：太阳光线平行，太阳光下影子长度与物体高度成比例，同一时刻影子方向总是相同；灯光发散，灯光下影子与物体高度不一定成比例，影子方向可能相同也可能不同。 2.联系：都是研究物体投影的方式，平行投影由平行光线形成，如太阳光线、月光等；中心投影由一点发出的光线形成，如灯泡、手电筒的光线等。 知识点03 视图 1.三视图的概念：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形称为视图。从正面、左面和上面观察物体，分别得到主视图、左视图和俯视图，它们统称为三视图。 2.三视图的关系：位置上，俯视图在主视图下方，左视图在主视图右方；大小上，遵循主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，左视图与俯视图宽相等的原则。 3.画几何体的三视图：先确定主视图位置并画出，再在主视图正下方画出俯视图，保证长对正，在主视图正右方画出左视图，做到高平齐、宽相等，几何体上被遮挡看不见部分的轮廓线画成虚线。 4.由三视图想象几何体的形状：分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面，再综合考虑整体图形，可根据实线和虚线想象看得见和看不见的轮廓线，也可通过熟记简单几何体的三视图来帮助想象复杂几何体的形状。 题型一 平行投影 【例1】下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行投影的定义，掌握平行投影的定义是解题的关键．根据太阳光线是平行的，同一地点同一时刻树与影长的比应是一样的，影子的方向也应相同即可求解． 【详解】A、影子的方向相同，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项符合题意； B、影子的方向不相同，故本选项不符合题意； C、影子的方向不相同，故本选项不符合题意； D、树高与影子长度不成正比，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】树甲在阳光下的影子如图所示.    (1)请在图中分别画出此时树乙和树丙的影子（用线段表示并说明）； (2)如果想让此时树乙的影子落在树甲的影子里，那么树甲至少要多高？请画图表示并说明． 【答案】(1)表示树丙的影子，表示树乙的影子 (2)见解析 【分析】本题考查了平行投影： （1）根据太阳光是平行光，则根据平行投影的特点作，进而可求解； （2）延长、相交于，根据平行投影的特点，即可求解； 熟练平行投影的特点是解题的关键． 【详解】（1）根据太阳光是平行光，则根据平行投影的特点作，如图：   表示树丙的影子，表示树乙的影子． （2）延长、相交于，根据平行投影的特点， 如图所示时，此时树乙的影子落在树甲的影子里，树甲的高度为． 【变式1-2】地面上有一根高度未知且与地面垂直的旗杆．为了测得旗杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光的照射下，旗杆的影长为米，身高为米的学生的影长为米．依据这些数据，该小组的同学计算出了旗杆的高度． (1)该小组的同学在这里利用的是 投影的有关知识进行计算的； (2)求旗杆的高度． 【答案】(1)平行 (2)旗杆的高度为米 【分析】本题考查了平行投影，相似三角形的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． （1）有太阳光是平行光线可得利用的是平行投影； （2）设旗杆的高度为x米，根据平行投影时同一时刻物体与他的影子成比例求出旗杆的高度． 【详解】（1）解：该小组的同学在这里利用的是平行投影的有关知识进行计算的， 故答案为：平行． （2）解：设旗杆的高度为x米， 根据题意可得， 解得：米， 故旗杆的高度为米． 【变式1-3】如图，在一条马路上有路灯（灯泡在点A处）和小树，某天早上9：00，路灯的影子顶部刚好落在点C处． (1)画出小树在这天早上9：00太阳光下的影子和晚上在路灯下的影子； (2)若点E恰为的中点，小树高米，求路灯的高度． 【答案】(1)见解析 (2)路灯的高度为． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行投影，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）如图，连接，作，交直线l于点E，连接并延长交直线l于点F，则分别为在这天早上9：00太阳光下的影子和晚上在路灯下的影子； （2）先证明，得到，再证明，得到，则． 【详解】（1）解：如图，连接，作，交直线l于点E，连接并延长交直线l于点F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴分别为在这天早上9：00太阳光下的影子和晚上在路灯下的影子． （2）解：∵点E为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：路灯的高度为． 题型二 中心投影 【例2】如图，公路上有一个10米高的路灯．晚上小红站在位置A的影子和站在位置B的影子相比（　　） A．在位置A的影子长些 B．一样长 C．在位置B的影子长些 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查投影．根据同一物体，离光源越远，影子越长，进行判断即可． 【详解】解：因为同一物体，离光源越远，影子越长， 由图可知：位置B离比位置离路灯远， 所以在位置B的影子长些； 故选C． 【变式2-1】如图，路灯下一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在M处有一棵大树，它在这个路灯下的影子是． (1)在图中画出路灯的位置并用点P表示； (2)在图中画出表示大树的线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接并延长与的延长线交于点P，点P即路灯的位置； （2）连接，作垂直于与交于点Q，线段即为表示大树的线段． 此题考查了中心投影，解题的关键是熟练掌握中心投影的性质． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求， （2）如图，线段即为所求． 【变式2-2】如图，学习完投影后，小光同学在灯光下观察自己的影子．线段表示小光站立的位置，线段表示此时操场上的灯杆，点为路灯所在位置． (1)画出小光在路灯C照明下的投影示意图，并记作； (2)如果小光身高，他站在距离灯杆为的处时，测得自己的影长，求灯杆的高度． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）连接并延长交直线于点E，线段即为所作； （2）根据相似三角形的判定与性质得出，代入数据求出的长即可． 【详解】（1）如图， （2）由题意可知，， ， ， ， ． 答：灯杆的高度为． 【变式2-3】如图，亮亮、明明利用家门口路灯的灯光来测量该路灯的高度，明明在A处时，亮亮测得明明的影长为2米，明明向前走2米到B处时，亮亮测得明明的影长为1米，已知明明的身高，为米， (1)求路灯高 (2)在此路灯下，明明在直线上运动，明明应由点A前进或后退多少米，亮亮恰好测得明明的影长是其身高的2倍． 【答案】(1)的长为米 (2)明明应由点A前进米，亮亮恰好测得明明的影长是其身高的2倍 【分析】本题考查了相似三角形的应用； （1）由题意首先判定，，然后根据相似三角形的对应边成比例解答； （2）根据中心投影可得离点光源越远，则影长越长，设明明应由点A前进米，则，，可得，进而根据相似三角形的对应边成比例，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，则． ∴，即， 同理，， ∴，即， 解得：， ∴灯高的长为米； （2）解：如图所示，依题意， 根据中心投影可得离点光源越远，则影长越长则明明应由点A前进， 设明明应由点A前进米，则， 依题意, ∴, ∴, 解得：, 答：明明应由点A前进米，亮亮恰好测得明明的影长是其身高的2倍． 题型三 判断几何体的三视图 【例3】如图所示，该几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，要包含所有能从上面看到的棱. 【详解】解：从上面看该几何体，所看到的图形是长方形，中间有一条实线. 故选：C． 【变式3-1】中国历史文化悠久，瓷器文化是中国极具代表性的文化，如图是醴陵出产的釉下彩瓷杯子，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查几何体的三视图知识点，解题的关键是理解主视图是从物体的正前方观察得到的视图． 从给定彩瓷杯子的正面观察，确定其形状对应的选项． 【详解】从杯子正面看，会看到梯形，选项D符合从正面看到的形状． 故选：D． 【变式3-2】下列几何体中，主视图、左视图和俯视图完全相同的是（    ） A．圆锥 B．长方体 C．圆柱 D．正方体 【答案】D 【分析】本题考查的是简单几何体的三视图，根据圆锥，长方体，圆柱，正方体的三视图进行判断即可． 【详解】解：A、圆锥的主视图和左视图是相同的，都为一个三角形，但是俯视图是一个圆形（含圆心），故本选项不符合题意； B、长方体的主视图和左视图、俯视图都是长方形，但是长方形不一定相同，故本选项不符合题意． C、圆柱的主视图和左视图都是长方形，但俯视图也是一个圆形，故本选项不符合题意； D、正方体的主视图和左视图、俯视图都是大小一样的正方形，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式3-3】如图是一个空心圆柱，它的左视图为(    )    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到而存在的线画虚线．根据从左边看得到的图形是左视图． 【详解】解：从左边看是矩形，中间空心圆柱看不到用虚线， 故选：C． 题型四 已知一种或两种视图，判断其他视图 【例4】下面是由若干个小立方体搭成的几何体的主视图与俯视图，则它的左视图不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据三视图判断几何体．根据几何体的主视图与俯视图判断即可． 【详解】解：从主视图看，原来的几何体有2列，由俯视图易得最底层有3个立方体，第二层最多有2个立方体，最少有1个立方体，则左视图可以有如选项A、C、D的三种情况． ∴它的左视图不可能是， 故选：B． 【变式4-1】超市货架摆放着某品牌方便面盒，它们的主视图和俯视图如图，则它的左视图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由三视图判断几何体，做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依此即可求解． 【详解】解：观察图形可知，最底层有盒方便面， 因为共盒方便面，所以由主视图可知，第二层有盒，第三层有盒方便面， 故它的左视图可能是C选项． 故选：C． 【变式4-2】如图是由6个小立方块所搭成的几何体从上面看到的图形，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，这个几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从上面看到的图形中小立方块的个数，画出几何体，再结合主视图是从几何体的前面看到的图形，进行作答即可． 【详解】解：由从上面看到的图形中小立方块的个数，可知该几何体如图所示． 由前面观察该几何体时，中间为两层，两边都是一层， 即这个几何体的主视图是 故选B． 【变式4-3】由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体的左视图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三视图的概念，需根据主视图和俯视图判断出左视图．根据主视图和俯视图可得该改几何体可能出现的情况，再根据左视图是从左边看到的图形即可解得． 【详解】解：如图，结合主视图、俯视图可知：改几何体可能的情况为： 或或 故这个几何体的左视图是或或，故选：A． 题型五 画几何体的三视图 【例5】画出如图所示的正六棱柱的三视图． 【答案】 【分析】此题主要考查了作三视图，正确掌握观察角度是解题关键． 直接利用三视图观察角度，得出几何体的三视图即可． 【详解】解：如图所示． 【变式5-1】在如图的方格图中画出如图所示（图中单位：）的几何体的主视图、左视图和俯视图，每个小方格的边长代表．    【答案】见解析 【分析】本题考查了画三视图；用到的知识点为：主视图、俯视图、左视图；它们分别是从正面看，从上面看，从左面看得到的平面图形．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等；注意看不见的轮廓线要画虚线．分别从正面、左面、上面看得到的图形即可．看到的棱用实线表示，实际存在但是被挡住看不见的棱用虚线表示． 【详解】解：如图，    【变式5-2】画出如图所示组合体的三视图 【答案】画图见解析． 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据三视图的定义即可求解，熟练掌握三视图的定义，会看得出三视图是解题的关键． 【详解】如图， 【变式5-3】如图是由一些棱长为单位1的相同的小正方体堆成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体的三视图． (2)堆成该几何体需要__________块小正方体． (3)该几何体的表面积（含下底面）为__________． 【答案】(1)画图见解析 (2)10 (3)38 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单几何体三视图的画法是解题的关键． （1）根据几何体的三视图画法，即可求解， （2）将每层的三列小正方体数量相加，再求和，即可求解 （3）先求出每个小正方体的表面积，再减掉小正方体相互接触的面积，即可求解． 【详解】（1）解：如图： （2）解：一层小正方体数量：， 二层小正方体数量：， 三层小正方体数量：， 全部小正方体数量：， 故答案为：10， （3）解：一个小正方体的表面积：， 全部小正方体的表面积：， 图中小正方体相互接触的面积：， 该几何体的表面积：， 故答案为：38． 题型六 已知三视图求表面积或体积 【例6】某几何体的三视图如下图所示，求这个几何体的表面积． 【答案】2108 【分析】根据三视图还原出几何体的形状，再根据几何体的表面积公式进行计算即可得出答案. 【详解】解：由题图可知，这个几何体是从一个长方体中切去一个三棱柱所形成的，如下图所示： 由图可知，这个几何体的表面积为 ． 【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键． 【变式6-1】已知下图为一几何体的三视图 (1)写出这个几何体的名称； (2)任意画出它的一种表面展开图； (3)若主视图的长为，俯视图中三角形的边长为，求这个几何体的侧面积． 【答案】(1)三棱柱 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查根据三视图判断几何体，画简单几何体的展开图，求几何体的侧面积，解题的关键是熟练掌握常见几何体的三视图． （1）根据三棱柱的三视图可得； （2）三棱柱的展开图侧面是长方形、上下底面是等边三角形，据此画图即可； （3）根据长方形的面积公式计算可得． 【详解】（1）解：由三视图知该几何体是：三棱柱； （2）解：其展开图如下： （3）解：． 【变式6-2】如图所示的是从不同方向观察一个几何体得到的形状图． (1)这个几何体的名称是______； (2)由图中数据计算此几何体的侧面积（结果保留）． 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，以及几何体的侧面积，理解圆柱的特征是解答本题的关键． （1）根据从不同方向看到的图形判断即可； （2）根据圆柱的侧面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由从不同方向观察一个几何体得到的形状图可知该几何体是圆柱． 故答案为：圆柱； （2）解：由图可知，圆柱体的底面直径为2，高为3， ∴侧面积． 【变式6-3】一个几何体的三视图如图（其俯视图是正五边形），请解答下列问题： (1)这个几何体的名称是___________； (2)根据图中标注的尺寸，求这个几何体的侧面积． 【答案】(1)五棱柱 (2) 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图． （1）根据三视图的知识即可判断出该几何体是五棱柱； （2）根据三视图可知底面是正五边形，用底面的边长乘以高再乘以5即可求出侧面积． 【详解】（1）解：根据三视图的知识即可判断出该几何体是五棱柱； 故答案为：五棱柱； （2）解：由三视图可知，这个几何体的侧面是五个长为，宽为的矩形， 这个几何体的侧面积为：， 答：这个几何体的侧面积是． 题型七 由三视图，求小立方体的个数 【例7】在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由_________个小正方体组成，请画出这个几何体的三视图； (2)如果在这个几何体露在外面的表面（不含底面）喷上黄色的漆，每平方厘米用2克，则共需_________克漆； (3)若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加________个小正方体． 【答案】(1)10，见解析 (2)64 (3)4 【分析】本题考查作图三视图，解题的关键是理解题意，学会正确作出三视图． （1）根据三视图的画法，画出从正面、左面、上面看到的形状即可； （2）求出表面积，不含底面，即可求出需要漆的质量； （3）从俯视图上相应位置增加小立方体，使左视图不变，确定添加的数量． 【详解】（1）由图可知小正方形的个数为：， 这个几何体的主视图、左视图、俯视图的形状图如下： 故答案为：10； （2）解：（克）， 故答案为：64； （3）解：在俯视图的相应位置上，添加小正方体，使左视图不变，添加的位置和最多的数量如图所示： 因此最多可添加4块． 故答案为：4． 【变式7-1】如图是由10个边长为1的小正方体组合成的简单几何体． (1)画出该几何体的主视图、左视图和俯视图； (2)该几何体的表面积（含底面）是______________． (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加______________个小正方体． 【答案】(1)见解析 (2)38 (3)4 【分析】本题考查了作图−三视图，用到的知识点为：计算几何体的表面积应有顺序的分为相对的面进行计算不易出差错；三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． （1）从正面看得到从左往右3列正方形的个数依次为3，1，2；从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为3，2，1；从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次3，2，1，依此画出图形即可； （2）有顺序的计算上下面，左右面，前后面的表面积之和即可； （3）根据保持这个几何体的俯视图和左视图不变，可知添加小正方体是2列的第2行加1个、第3行加2个，3列加1个，依此即可求解． 【详解】（1）解：如图， ； （2）解：， ∴该几何体的表面积（含底面）是38， 故答案为：38； （3）解：由分析可知，最多可以再添加个小正方体； 故答案：4. 【变式7-2】（1）由一些棱长为单位1大小相同的小立方块搭成的几何体如图，请在如图的方格中画出该几何体的俯视图和左视图． （2）用小立方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在如图方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要 个小立方块，最多要 个小立方块． （3）如果在其表面涂漆，则要涂 平方单位． （几何体放在地上，底面无法涂上漆） 【答案】（1）图见解析（2）（3）32 【分析】本题考查从不同方形看几何体； （1）画出从上面和左面看到的图形即可； （2）根据俯视图定位置，左视图确定个数，进行判断即可； （3）根据三视图，进行计算即可． 【详解】解：（1）俯视图和左视图，如图： （2）如图， 最少有：（个）小正方体； 最多有：（个）小正方体； 故答案为：； （3）要涂漆的面积为：平方单位； 故答案为：32． 【变式7-3】如图是一些棱长为1cm 的小立方块组成的几何体． (1)请画出这个几何体的三视图． (2)如果在其表面喷上黄色的油漆（几何体放在地上，底面无法涂漆），每平方厘米用2克，则共需 克漆． (3)如果保持从主视图和俯视图形状不变，最多可以再添加______个小立方块． 【答案】(1)见解析 (2)56克 (3)2 【分析】本题主要考查三视图的作图、求表面积、按条件增加方块等知识点，审清题意、正确画出三视图是解题的关键． （1）直接根据三视图的定义，画出图形即可解答； （2）求出这个几何体的表面积，然后再乘以2即可解答； （3）主视图和俯视图不变，构成图形即可解答； 【详解】（1）解：这个几何体的三视图如图所示： （2）解：这个几何体的表面有34个正方形，去了地面上的6个，28个面需要喷上黄色的漆， ∴表面积为，克， ∴共需56克漆． 故答案为56． （3）解：如果保持主视图和俯视图形状不变，，最多可以再添加2个． 故答案为2． 基础巩固通关测 一、单选题 1．如图所示，将一个长方体挖掉一个小的长方体，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了简单几何体的三视图的判断，正确理解俯视图为从上方看物体是解题的关键． 根据几何体三视图的判断方法解答． 【详解】解：这个几何体的俯视图为： 故选：D． 2．如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【分析】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出小立方块的个数． 结合三视图的知识，主视图以及左视图底面有6个小正方体，共有两层三行，第二层有2个小正方体． 【详解】综合主视图，俯视图，左视图底面有6个正方体，第二层有2个正方体，所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是8． 故选D． 3．一个几何体有若干块大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．下面表示从左面看到的形状图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查几何体的三视图，左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字，据此选出图形即可． 【详解】解：由题意可得：从左面看有3列，每列小正方形数目分别为2，4，3， 故选：A． 4．如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为（    ）    A． B． C．5 D．6 【答案】D 【分析】延长、分别交轴于、，作轴于，交于，证明，得到，即可求解． 【详解】解：延长、分别交轴于、，作轴于，交于，如图， ，，． ，，， ， ， ，即， ， 故选：D．    【点睛】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系． 5．如图1，某小区内有一条笔直的小路，路的旁边有一盏路灯，图象（图2）表示小红晚上在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的关系，则小红的行走过程是（　　） A．由A走向D，再走回A B．由B走向C C．由A走向C，再走回A D．由C走向B，再走回A 【答案】C 【分析】此题主要考查了函数图象以及中心投影的性质，得出l随s的变化规律是解决问题的关键． 根据中心投影的性质得出小红在灯下走的过程中影长随路程之间的关系，进而得出符合要求的选项． 【详解】路的旁边有一盏路灯，当小红走到灯下以前：l随s的增大而减小；当小红走到灯下以后再往前走时：l随s的增大而增大， 小红的行走过程是由A走向C，再走回A， 故选：C． 二、填空题 6．如图，一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据三视图确定该几何体是圆柱体，再根据圆柱体的体积公式即可求解，理解简单几何体的三视图是解题的关键． 【详解】解：由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是，高是6， 则这个几何体的体积为． 故答案为：． 7．宋代诗人释惠明在《手影戏》中写到：“三尺生绡作戏台，全凭十指逞诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来．”手影戏是一种独特的艺术形式，它的表演全部靠手部动作投影的改变，幻化形成各种不同的形象．“手影戏”中的手影属于 ．（填写“平行投影”或“中心投影”） 【答案】中心投影 【分析】根据中心投影和平行投影的定义即可判断． 【详解】解：由图可知，“手影戏”中的投影是光由一点向外散射形成的投影，属于中心投影， 故答案为：中心投影． 【点睛】本题考查中心投影和平行投影的识别，解题的关键是掌握两者的定义：中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影． 8．几何体的三视图如图，其中俯视图是正六边形，则该几何体的侧面积为 ． 【答案】108 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够根据三视图判断几何体的形状及各部分的尺寸，难度不大．观察该几何体的三视图发现该几何体为正六棱柱，然后根据提供的尺寸求得其侧面积即可． 【详解】因为俯视图是正六边形，主视图和左视图是矩形，可知这个几何体是一个正六棱柱．将正六棱柱的侧面展开是一个矩形，如图， 矩形的一条边长是正六边形的周长，即为，矩形的另一条边长是主视图的高，即为6， 所以展开图的矩形的面积为.故该几何体的侧面积为108. 故答案为：108 9．一个直四棱柱的三视图如图所示，俯视图是一个正方形，则这个直四棱柱的体积是 ． 【答案】48 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，根据题意可知该直四棱柱的底面正方形的对角线长为，它的高为，进而得出这个直四棱柱的体积． 【详解】解：这个直四棱柱的体积为： ． 故答案为：48． 10．公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子长为（直线过底面圆心），则： （1）小山包的半径为 ； （2）小山包的高为 ．（取） 【答案】 【分析】此题考查平行投影，解题关键是根据通过三角形相似，将小山包的高转化为的长进行求解．根据平行投影，即可得相似三角形，那么可得到，根据圆锥底面周长求出圆锥底面圆的半径，最后推论出高． 【详解】连接，过作于， 由题意可知， ∴ ∵圆锥底面周长为． ∴，解得， ∵, ∴ ∴小山包的高为． 故答案为：，． 三、解答题 11．已知一个几何体的三视图如图所示，根据所示数据，求该几何体的侧面积和体积． 【答案】侧面积为，体积为 【分析】本题考查由三视图判断几何体以及几何体的表面积、体积计算，根据三视图以及各部分的长度，可得出该组合体的形状，再根据表面积、体积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：根据该组合体的三视图的形状可知， 该组合体为下面是长为，宽为，高为的长方体，上面是底面直径为，高为的圆柱体，所以该组合体的侧面积为： ， 体积为：. 12．如图，小丽在观察某建筑物AB. (1)请你根据小亮在阳光下的投影，画出建筑物AB在阳光下的投影. (2)已知小丽的身高为1.65m，在同一时刻测得小丽和建筑物AB的投影长分别为1.2m和30m，求建筑物AB的高. 【答案】(1)见解析 (2)建筑物的高为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，并利用相似三角形的性质求解是解题的关键． （1）根据投影的定义作图即可； （2）根据在同一时刻物高与影长成正比例，据此列比例式求解即可． 【详解】（1）解：如图，“即为在阳光下的投影” ． （2）解：如图，因为都垂直于地面，且光线， 所以， 所以，即，解得：，即建筑物的高为． 13．如图，这是由5个同样大小的小正方体搭成的几何体，其从正面看到的形状如图所示．    (1)请在网格中画出它的左视图和俯视图． (2)如果让该几何体变成一个长方体，那么至少需要添加________个同样大小的小正方体． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了几何体的三视图， （1）根据从不同方向观察到的几何图形作图即可； （2）将该几何体变成一个的立方体时，需要添加的小正方体最少，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，该几何体的三视图如下．    （2）解：根据题意得，在原图形基础上，让该几何体变成一个的长方体， ∴至少需要添加个这样的小正方体， 故答案为：7． 14．小明和爸爸在公园散步，此时爸爸的影子落在了身后的地面和墙上，如图1所示．其中，段为地上的影子，段为墙上的影子．小明想利用所学知识测量出爸爸的身高．他向工作人员询问得知：公园地面与墙面所用均为厚度，长度的砖块，小明数了一下，段刚好是4块地砖的长度，而段恰好为4块地砖的厚度；同一时刻，小明观察到公园门口指示牌影子的顶端刚好到达保安亭，如图2所示，其中为指示牌的影子．已知爸爸、墙面、指示牌和保安亭均与地面垂直，指示牌高，指示牌距保安亭，请你根据以上信息，帮小明求出爸爸的身高． 【答案】184cm 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，准确熟练地进行计算是解题的关键．过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后根据同一时刻的物高与影长成正比例可得，从而进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作，垂足为， 由题意得：，， 指示牌高，指示牌距保安亭， ， ， ， 爸爸的身高为． 15．如图①，在平整的地面上，用多个棱长均为的小正方体堆成一个几何体． (1)在图①中，共有_______个小正方体． (2)在图②，图③中分别画出这个几何体的主视图（从前面看）与俯视图（从上面看），并写出俯视图的面积． (3)若现在你还有一些棱长均为的小正方体，要求保持俯视图（从上面看）与左视图（从左面看）的形状不变，最多可以再添加_______个小正方体． 【答案】(1)9 (2)见解析， (3)5 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单三视图的画法是正确解答的关键． （1）根据拼图可直接得出答案； （2）画出主视图、俯视图，并求出俯视图的面积即可； （3）结合三视图，在俯视图上的相应位置添加相应数量的正方体，直至最多． 【详解】（1）解：根据拼图可知，堆成如图所示的几何体需要9个小正方体， 故答案为：9； （2）如图所示． 俯视图的面积为， （3）要求保持俯视图（从上面看）与左视图（从左面看）的形状不变，最多可以再添加5个小正方体． 故答案为：5 16．如图，小华在晚上由路灯走向路灯． 当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯的底部． 已知小华的身高是，两个路灯的高度都是，且．    (1)标出小华站在P处时，在路灯下的影子． (2)求两个路灯之间的距离． (3)当小华走到路灯的底部时，他在路灯下的影长是多少？ 【答案】(1)画图见解析 (2)两路灯的距离为； (3)当他走到路灯时，他在路灯下的影长是． 【分析】（1）连接并延长与交于点K，从而可得答案； （2）如图，先证明，利用相似比可得，即得，则，从而可得答案； （3）如图，他在路灯下的影子为，证明，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可． 【详解】（1）解：如图，连接并延长与交于点K，线段即为小华站在P处时，在路灯下的影子    （2）如图，    ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， ∴． 答：两路灯的距离为； （3）如图，他在路灯下的影子为，    ∵， ∴， ∴，即，解得． 答：当他走到路灯时，他在路灯下的影长是． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，投影的含义，要求学生能根据题意画出对应图形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解决求线段长的问题等，蕴含了数形结合的思想方法． 能力提升进阶练 一、单选题 1．下列四个几何体中，俯视图是长方形的是（ ） A．长方体 B．圆柱 C．球 D．三棱柱 【答案】A 【分析】此题主要考查了立体图形的三视图，关键是掌握俯视图是从上面看所得到的图形． 分别找出立体图形从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：、长方体的俯视图是长方形，故此选项正确； B、圆柱的俯视图是圆形，故此选项错误； C、球的俯视图是圆形，故此选项错误； D、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项错误； 故选：． 2．某种机器零件如图所示，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单组合体的三视图．根据从左面看几何体得到的平面图形可得答案． 【详解】解：根据零件图形，从左面看到的几何体的形状图是： ． 故选：C． 3．如图，小树在路灯O的照射下形成投影．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形是解题关键．利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， 故选：D． 4．兴趣小组测量学校的旗杆，在阳光下，甲同学测得长1米的竹竿影长为米，同一时刻乙同学测量时发现旗杆的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，墙壁垂直地面，如图所示，落在墙上的影长为2米，，落在地面上的影长AB为9米，则旗杆的高度是（    ）米． A．8 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的应用．由题意可知在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．经过旗杆在教学楼上的影子的顶端作旗杆的垂线和经过旗杆顶的太阳光线以及旗杆所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到旗杆的顶端的高度，再加上墙上的影高就是旗杆高． 【详解】解：设从墙上的影子的顶端到旗杆的顶端的垂直高度是x米． 则有， 解得． 旗杆高是（米）． 故选：A． 二、填空题 5．如图，周一某校升国旗时，甲、乙两名同学分别站在、的位置时，乙的影子刚好在甲的影子里边，已知甲身高为米，乙身高为米，甲的影长是6米，则甲、乙同学相距 米． 【答案】/ 【分析】根据甲的身高与影长构成的三角形与乙的身高和影长构成的三角形相似，列出比例式解答． 【详解】解：设两个同学相距米， ∵，， ∴， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据身高与影长的比例不变，得出三角形相似，运用相似比即可解答． 6．用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，则搭成这样一个几何体至少需要小正方体木块的个数为 ．    【答案】13 【分析】根据主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看所得到的图形，逐层分析即可得到答案． 【详解】解：综合主视图和俯视图，这个几何体的底层最少有个小正方体，第二层最少有3个，第三层最少有2个，第四层最少有1个， 搭成这样一个几何体至少需要小正方体木块的个数为：个， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，考查对三视图掌握程度和灵活运用，体现了对空间想象能力的考查． 7．如图，一电线杆的影子落在地面（）和墙壁（）上，经过测量，地面上的影长米，墙壁上的影长米．同一时刻，小明在地面上竖立一根1米高的标杆（），量得其影长（）为0.5米，则电线杆的长度为 米． 【答案】7.5 【分析】过点C作于点E，说明四边形为矩形，米，米，根据平行投影求出米，即可得出结果． 【详解】解：过点C作于点E，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∵， ∴， 解得：米， ∴（米）， 故答案为：7.5． 【点睛】本题主要考查了平行投影，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，根据平行投影，求出米． 8．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，这个几何体的体积为 ．（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了根据三视图求几何体的体积，根据三视图可以得到它是一个空心的圆柱体，圆柱体底面外圆的直径为4，内圆直径为2，高为6，用外圆柱的体积减去内圆柱的体积即可求解． 【详解】解：由几何体的三视图可知，这个几何体是一个空心的圆柱，圆柱体底面外圆的直径为4，内圆直径为2，高为6， ∴几何体的体积为． 故答案为： 三、解答题 9．某金属零件如图，请画出该几何体的三视图． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面观察，所得到的图形，结合几何体画图即可． 【详解】解：三视图如下所示： ． 10．某小组的项目式学习活动内容是测量某棵古树的高度，如图，在阳光下，某一时刻，古树的影子落在了地上和围墙上，落在地上的长度米，落在墙上的长度米，在古树的附近有一棵小树，同一时刻，小树的影长米，小树的高米．已知点N，P，B，D在一条水平线上，，，，请求出该古树的高度．    【答案】该古树的高度米 【分析】作于点F，如图，可得米，米，然后根据同一时刻的物高与其影长成比例求出，再加上即得答案． 【详解】解：作于点F，如图， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 根据同一时刻的物高与其影长成比例可得：，即， 解得：米， ∴（米）； 答：该古树的高度米．    【点睛】本题考查了平行投影，正确理解题意、掌握求解的方法是解题的关键． 11．如图是一个几何体的三视图． (1)该几何体名称是_________； (2)根据图中给的信息，求该几何体的表面积和体积． 【答案】(1)长方体 (2)这个长方体的表面积为．体积为 【分析】本题考查根据三视图判定几何体，几何体的表面积以及体积等知识． （1）根据从不同方向看到的图形判定几何体的形状即可； （2）根据长方体的表面积公式以及体积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：这个几何体是长方体， 故答案为：长方体； （2）解：这个长方体的表面积． 这个长方体的表面积为． 体积为： 12．如图，在路灯下，甲的身高为图中线段所示，影子为，乙的身高为图中线段所示，路灯灯泡在射线上． (1)请画图确定路灯灯泡P的位置，并画出乙在路灯下的影长（不写作法）； (2)若甲、乙两人的身高分别为米和米，且甲在路灯下的影子为1米，甲与路灯的距离为3米，甲、乙两人之间距离为10米，点E，A，H，C，F在同一条直线上，请求出路灯的高度和乙在路灯下的影长． 【答案】(1)见解析 (2)路灯的高度是米，乙在路灯下的影长是2米 【分析】（1）连接并延长，交于点P，P即为灯泡的位置；连接并延长，交地面于点F，即为乙在路灯下的影长； （2）通过证明，得出，从而求出，再证明，得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图： P即为灯泡的位置，线段为乙在路灯下的影长； （2）解：根据题意得：米，米，米，米，米， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 同理， ∴，即， 解得， 答：路灯的高度是米，乙在路灯下的影长是2米． 【点睛】本题主要考查了中心投影，以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握确定点光源的方法，相似三角形的判定方法，以及相似三角形对应边成比例的性质． 13．在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由_________个小正方体组成，请画出这个几何体的三视图； (2)如果在这个几何体露在外面的表面（不含底面）喷上黄色的漆，每平方厘米用2克，则共需_________克漆； (3)若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加________个小正方体． 【答案】(1)10，见解析 (2)64 (3)4 【分析】本题考查作图三视图，解题的关键是理解题意，学会正确作出三视图． （1）根据三视图的画法，画出从正面、左面、上面看到的形状即可； （2）求出表面积，不含底面，即可求出需要漆的质量； （3）从俯视图上相应位置增加小立方体，使左视图不变，确定添加的数量． 【详解】（1）由图可知小正方形的个数为：， 这个几何体的主视图、左视图、俯视图的形状图如下： 故答案为：10； （2）解：（克）， 故答案为：64； （3）解：在俯视图的相应位置上，添加小正方体，使左视图不变，添加的位置和最多的数量如图所示： 因此最多可添加4块． 故答案为：4． 14．利用投影知识解决问题： (1)如图，晚上小亮在路灯下散步，在他由甲处走到乙处过程中，他在地上的影子　　． A．逐渐变短        B．逐渐变长    C．先变短后变长    D．先变长后变短 (2)如图，路灯点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部点）20米的A点沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【答案】(1)C (2)身影的长度变短了，变短了3.5米． 【分析】（1）根据同一个人，离路灯越近，影子越短进行分析，即可得到答案； （2）由可知，由此求出的值，同理可求出的值，再结合的长度分别求出小明在A、B处的影长，进而即可得到答案． 【详解】（1）解：根据实际生活中的常识可知，小亮在从甲走到乙的过程中，他在地上的影子先变短，后变长， 故选：C； （2）解：∵， ∴， ∴， 同理可得：， 米， ∴， 解得：． 米，米， ∴米． ∴， 解得：（米． ∴（米． ∴身影的长度变短了，变短了3.5米． 【点睛】本题主要考查了投影，相似三角形的判定和性质，掌握投影的相关知识是解答的关键． 15．顾老师布置了周末实践性作业如下，利用影子测量路灯灯泡的高． 身高为米的小明为了完成老师布置的作业，他设计了如下方案，如图所示，他先从路灯底部（A处）向东走20步到B处，发现自己的影子端点在C处，继续沿刚才自己的影子走5步到C处，此时影子的端点在D处（假设公路是东西方向笔直的公路）．根据小明设计的方案，请解决下列问题： (1)请在图中画出路灯， (2)估计路灯灯泡的高度并求影长． 【答案】(1)见解析 (2)路灯高8米，影长为步 【分析】（1）分别连接并延长，相交于点E，过点E作于点A，即为所求； （2）根据可得，则，即可求出，根据，即可求出． 【详解】（1）解：如图所示： （2）根据题意可得：步，步，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ，即， 解得：， 综上：路灯高8米，影长为步． 【点睛】本题主要考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握中心投影的性质和确定点光源的方法，以及相似三角形对应边成比例的性质． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $