江苏省南通市海门区2025-2026学年高三上学期第一次调研测试数学试卷

2026届高三第一次调研测试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上 指定位置，在其他位置作答一律无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知全集U={2,4,6,8,10},集合M满足CM={2,6,则M= A.{2,4,8 B.{4,6,8} C.{4,8,10y D.{8,10} 2.若a<b<0,则 A.合分 B.a2>b2 c.b>1 D.ab<b2 a 3.下列函数与函数f(x)=sin(2x+牙)的图象相同的是 A.y=f(x+π) B.y=f(π-x) C.y=f(x+ D.y=f(x-) 4.已知函数(x)的定义域为R,设甲：f(2)>fI),乙：f(x)不是减函数，则 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5.已知x>0,y>0,x+y=1,则上+2的最小值为 x V A.4 B.5 C.4W5 D.3+2W5 6.若P是正方体ABCD-AB,C,D,的面AB,C,D,上的一个动点，则下列结论不可能成立的是 A.AP∥BC B.AP//BC C.AP⊥BC D.AP⊥AC 数学试卷第1页（共4页） 7.在平面四边形ABCD中，己知AB=5√5，BC=1,CD=3反，DA=5,A+C=180°，则 △ABD的外接圆的直径长度为 A.4 B.5 C.4W5 D.55 8己知e*2=2,e*3=三，e5=三，其中e为自然对数的底数，则 A.x<y<z B.y<x<z C.z<y<x D.x<z<y 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知m,n是两条不同直线，a,B,y是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是 A.若m⊥a,n⊥a,则m∥n B.若a⊥B,a⊥Y,则B∥y C.若m⊥a,m⊥B,则a∥B D.若ml∥a,n∥a,则m∥n 10.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=ccosB,△ABC的面积为巨 c=√5，则 A.A=B B.a2+b2=3 C.a+b=√2+1 D.sin 4+cos=+ 3 11.己知函数f(x)=x3-6x2+12x-6-lh4-x,则 A.f(0)+f(3)=4 B.x=2是f(x)的极值点 C.当V6<x<3时，x2-6)<fx) D.当f(a)+fb)>4时，a+b>4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若两个平行平面之间的距离为6，一条直线与这两个平面分别交于A,B两点，线段AB与 其中一个平面所成角为30°，则AB的长度为 13.若直线y=x+a是曲线y=lnx的切线，也是曲线y=eb的切线，则a+b=_ 14.若对于v0eR,总3e唔+0，m+,使得sinx≤，则实数m的最小值为 数学试卷第2页（4而1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数f)=sin克-cos克 )若0=号0e号动，求品。： (2)若f(x)在[0，a]上是增函数，求a的取值范围. 16.(15分) 已知偶函数(x)与奇函数g(x)的定义域均为R,∫(x)+g(x)=2. (1)求函数f(x),g(x)的解析式： (2)若h(x)=f(2x)+2mg(x)在[0，+o)上有2个不同的零点，求实数m的取值范围. 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，'PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=I,AD=2, ∠ABC=∠BAD=90°. (1)求证：CD⊥平面PAC: (2)设E为棱PD上一点，若平面ABC与平面EAC 的夹角的正弦值为5，求 3 P 数学试卷第3页（共4页） 4调性 18.(17分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2 ecos C=acosB+bcosA. (1)求C (2)若D在AB上，CD平分∠ACB. 》若b=2.4D=29,求B0: (i)若E在AC上，BE平分∠ABC,且BC+BD=BE+CE,求∠ABC. 19.(17分) (1)若函数f)=alnx+上在x=上处取得极值，求实数a的值： (2)已知b≤2，求证：对于任意x≤0，b(e*-l)≥x(e+1): (3)若，，，2是关于x的方程xnx+c=0的两个不等实根，求证：nnx2-lnc> 数学试卷第4页（共4页）2026届高三第一次调研测试 数学阅卷参考 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 2 3 4 5 6 7 8 C B A A D B D C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9 10 11 AC BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共！5分。 12.12 13.3 14.要 四、解答题：本题共5小题，共7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解】(1)因为f0)=专，所以号-co号- 平方特，1-血0=方，所以sm0= 25 3分 因为sin20+co920=l,日e受，， 所以cos0=一名 5分 7 所似品1 25 7分 24 7 25 法2：因为sm号-co号-，所以1-s0=方即s山0=装， 所以6m号+os号=1+sn0=器 因为8e受，动，所以叠<号受，即sin号+cos号>0， 所以sn号+ceos号 25 ”列4学一写 数学试卷解析第1页（共1山页） 所以器品 (6in号+cossin号+cos号 (2)法1：因为f)=sin青-cos5=2sim(5-孕， 9分 令1=-子，则e-音号-引 因为fx)在0，a上单调递增， 所以y=V2sint在1-吾，号-孕上单调遍增. 1分 因为y=sinx在-受孕上递增， 所以号登即a≤受， 由于a>0, 所以0<a≤红 13分 因为fw=sin登-cos登=isin(登-争， 9分 令-号+2m≤登-晋≤受+2m,kez. 所以-受+4h≤x≤经+4，ke2, 即西数因的婚区间为受+狐，受+3keZ。 所以0，as-受+4瓶，受+4mke2, 分 02-受+4，nf0, 所以 即 ≤受+，a≤受+h, 因为a>0,所以-是<0，由于keZ,故k=0: 所以0<a≤受 3分 16.(15分) 【解】(1)因为f-x)=f(),g(-x)=-g(), 且f(x)+g)=2①， 数学试卷解析第2页（共1山页） 红州名 所以f（x）-g(x）=2②.2分 联立.①② 解得f(x)=2'+2",g(x)=2-2 6分 (2)由(1》得，x)=22:22+22-2),x20 设t=2”-2,别(x)可以化为i)=2+2d+2.8分 因为1在xe0,+∞)上单调递增， 所以， 所以h()在「0，+四)上有两个不同签点.…10分 ⑨当m0，即≥0时，在0，：)上递增 因为0)一2.0，所以不满足存在两个譬点： 2分 ②当-m>0,即m<0时， 因为(t)在0，-m)上递减，在(-m,+∞)上进增， h(2)>0, 所以{h-m)<0,解行m<-反：i4分 im<0 综上，m反. 5分 (分高参数构造函数需要交待函数单调性) 17.（15分) 【解】(1)因为∠ABC=90°，AB=BC=1, 所以AC=√2，∠乃AC=45°. 2分 因为∠BAD=0°，所以∠CAD=45°， 在△MCD中，AC=V2,AD=2,∠CAD=45, 所拟CD=反，则4C2:CD2=4D2,即∠4C0-y, 所以CD14C.4分 丙为PAL平面ABCD,CDs孚面AB(D, 所以CD⊥PA,PA∩AC=A, 所以CD⊥平面PAC. .6分 法2：因为PA⊥平面ABCD,AB,AD三平面ABCD, 所以PA⊥AB,PA⊥AD、 数学试卷解析第3页（共11页） 因为∠AD=90,所以AB⊥AD,专 如图，以8，D,P为止交基底遣立空间直角坐标系，3分 因为∠ABC=∠BAD=90,所以BC∥AD,BC⊥AB,AD⊥AB, 所以P0,0,1).C1,1,0),D0,20) 因为=e,0,,衣=日.C西-（-： 所以C而.P=0,CD.AC=-1+1+0=0,5分 所以C⑦⊥平面PAC,，即诎CD⊥平白PAC. …6分 (2)如图，以西，D,的为止交荟底，是立空同直角坐怀系A-y2,8分 因为∠ABC=∠BAD=90,所以BCii AD,BC⊥AB,AD⊥AB, 所以P0,0,1),C0,1,0),D0,2,0), 设0，m,n),E=ADP, 所以m=2-21,n=无.10分 因为=0,2-21，)，A0=01,0), 设平洒E4C的一个法向置n=(x,y,), 所以 E=0,即-2y+z=0, n,AC=0,x+y=0, 不纷戒4-，器元-，-，2-2入 ……2分 平面A2C的-个法向量为=(0,0，)， 因为平面C与平面EAC的夹角的正弦值为9， 12-2A 所以iw<n,n'水 18…} ialel 解得2= 1A分 所似器- 15分 18.(17分) 【解】(1)依据正弦定理品品万 b 所以等式2 ccosC=acos B+bcosA可化为 2sin Ccos C =sin Acos B+sin BcosA, 所以2 sinCcosC=sin(A+B).… 2分 因为A+B+C=π， 所以2 sin CcosC=sinC, 因为Ce(0,),sinC>0, 所以cosC=7,即C=60.m 4分 (2)因为CD平分∠ACB,所以∠ACD=∠BCD=30 (iD法1：因为c= ACx CDsin30 AD SABDC BCx CDsin30 AB 5 所以尧品，即名=品 在△ABC中，由余弦定理得， 2y5+9a=62+4-2a,即c-5+4=0, 所以a=1或a=4.… 7分 ①当a=1时，=02+e,即B=90,此时BD=号； ②当a=4时，。2=b2+c2,即4=90，此时D=4y5 3 综上，0=9玻D=4 9分 法2：在△4CD中，由余弦定理得，AD2=AC2+CD2-2AC×CD×cos30°， 所以3CD2-63CD+8=0, 解得cD=2或cD= 0当cD=25时，cD=AD,所以∠ACD=A=30, 所以∠CDB=60°，则∠B=90°， B 在直角三角形BDC中，BD=cCD=9 数学试卷解析第5页（共11页）之 8当cD=时，因为S4C=Sa4n+Sac, 3 所以ACxCBxsin血60=4 CxCDxsin30+CDxCB×sin30, 化简得，CB=4. 因为AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos50°=12， 所以BD=AB-AD=45 3 (其他方法亦可) (i)法1：因为CD平分∠ACB，,所以∠ACD=∠BCD, 在△4cD.△scD中，2cn2鼎cD'如%cn20cm BC BD 所以器-餐，即吧=6，所以0=6 …11分 a+b 同理，CE=b a+c 因为宁a×BEsn号+exBEin号-cs油B, 所以BE= 2ac60 …13分 a+c 因为BD+BC=CE+BE, 所以_ac.+a=a驰+ 2acos号 a+b a+c a+c 所t以ac+c2+a2+ac+ab+bc=ab+82+2ze+b)cos号 化简得c2+a2-b2+2ac+bc=2ca+b)cos号 由余弦定理c2+a2-b2=2 ac cosB, 所t以2ac(eosB+)+bc=2aa+b)cos号 即4acos2号-2a+b小cos号+b=0, …15分 所以(2a6os号-b2cos号-)=0， 因为0<B<受，所以0<号<号，则2os号-10， 所以2acos号=b. 由正弦定理得，2血4cos号-油8，即知A=s知号， 因为4号e0,利，且4+号<，所以A=号 所以∠ABC=80°. 17分 法2：在△BDC中，由正弦定理得， BD BC sin30°sin(B+30) 同理，CE BC .BE s血号 咖r号+607 sin60° 因为BD+BC=CE+BE, 所以BCsi30+BC= BCsin 2 BCsin60' 11分 sin(B+30) sin(号+60)sin(号+60】 即sin30 sin+sin60" sin(B+30') +1= sin(号+60】 12分 因为 s如号+s油60=si号+30)+（是-30归+si2+30)-(是30】=25县+30）加s是30) 所以，sin30+1= c09-30 sin(B+30") cos(号+30】 即si山30 防9 4 sin(B+30)eo(号+30) 14分 所以sn30cos(号+30)=s边昙n(8+30).（) 因为sinsin=-cos(a+)-cos(a-别， 所以（)式可化为：0s(学+30)=c0婴+30)-c0(9+30), 所以eos(号+30）+co(9+30)=eos(2+30), 所以2co(2+30eos号=6o(2+30).- 16分 因为因为0<B<号，所以0<号<晋，则cos号+生： 数学试卷解析第7页（共11页） 所以cos9+30)=0, 所以2+30=90， 所以B=80°.… …7分 19.(17分) 【解】1因为=是子=号， 因为f目=0，所以吕-1=0，即a=c.… 2分 当a=e时，f=, 所以x∈0，日，f)<0,xe+),f)>0. 所以满足f(x）)在x=上处取得授值。3分 (2)因为e,所以e2-1≤0， 所以当b≤2时，b(-)≥2(e-)恒成立. 要证任意x≤0，b(c-)≥x(e'+),， 即证：2(e-1)-xe2+100.… 5分 设g(x)=2(e-1)-x(e'+), 因为g'(x)=e-xe'-1, 令r(x)=c-e-1,则x≤0时，r(x)=-xe>0, 所以r(x)在(-，0)递增，即r(x)=g'(x)≤g'(0)=0, 所以g(x)在(-0,0递减， 7分 所以g(x)2g(0)=0,即证。 8分 (其他方法亦可，注意不同构造函数下单调性、最值处理) (3》由题意h+号=巧+号=0 设四=血x+兰，所以(=号， 因为h(x)有两个零点，故c>0, 所以h(x)在(0，c)上单谓递减，在(c,+四)上单调递增， 数学试卷解析第8页（共11页） 所以⊙)=lnc+1<0,即0<c< 法1：不妨设0<：<c<为，则0<点<1<三 0分 由(2)得，令t=e,te(0,1),2u-)≥lntc+), 所以0<1<1，h1<2-D 1+1, 2(点-0 所以-s=nx=n点+lnc<d +Inc, +1 c 化简每，(nc+2)x+g+chc-c>0①： 12分 同理，血c+2+g三+enc-c<0@: D②，mc+24-)>￡-￡--， 1小分 因为x-名<0，所以nc+2<c 16分 而 所以(-lnx-a)>nc+2, 即证n为n为-nc>2>e .17分 法2：令in为=，nx2=, 则e+c=0, (*) {2e+c=0, 设k)=1e+c,则k')=0+e', 所以)在(-o,-)上递减，在(-l,+∞)上递增，且k(0=c>0, 不妨设6<-1<52<0. 10分 e=-, [3=lnc-ln(-4), (*)式可以化为 取对数得， =hc-ln(-42)》 4()=l. 所以武)--④ 22-) 由(2得0<停<1，则导 数学试卷解析第9页（共11页） 所以(-)-(-4)<2-2.2-)-(， 43+ -42-41 即）-）-.2分 n(-42)-ln(-4)2 所以+4<-2，即nx+n馬<-2， 所以1>. 14分 五 要证：hh与>hc+号 即远：居>hc+是 x 因为二>e,所以只要证c:-lhc-号>0. X X2 设1o=eg2-hc-是，0<c<号 因为"e)=2ec-1.2-, c 所以a在0会京， 所以@22公受+hE+1-是=鱼反>0， 即证nxa>hc+, 法3：令hx)=xhx￥c, 因为h(x)=nx+1, 所以纠在0，上单调递减，在+四)上递增 因为x)在定义域内有2个零点， 所以=c-<0,且x0,h)→c, 所以0<c<日 因为(%)=3)=0，不纺设0<名<<名0分 令p闭=因-M安，0<x<, 所似p树-因+安。存=hx+1+古+切安 数学试卷解析第10页（共11页）