第06讲 直线系圆系方程及阿氏圆讲义（思维导图+知识要点+解题测率+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学一轮复习圆的方程（新高考通用）

第06讲 直线系方程与圆系方程及阿波罗尼斯圆 一：直线系和圆系方程在高考中常作为工具性知识进行考查，多与其他知识点综合命题，以下是对其高考情况的分析： 1.考查形式与频率 考查形式：主要以选择题、填空题的形式出现，偶尔也会在解答题中作为其中的一个环节或工具出现。 出现频率：属于高考中的常规考查内容，但通常不会单独针对直线系或圆系方程命制整道题目，而是融入直线与圆、圆锥曲线等相关问题中，每年各地高考试题中涉及相关知识的题目大概有1 - 2道。 2.命题规律与趋势 规 律：注重基础与综合，常将直线系、圆系方程与直线的斜率、截距、两直线位置关系，以及圆的半径、圆心、直线与圆、圆与圆的位置关系等基础知识相结合，考查学生对知识的理解和运用能力。 趋 势：未来高考仍会延续这种考查风格，可能会更加强调直线系和圆系方程在实际问题或创新性问题中的应用，比如与平面向量、三角函数等知识融合，以体现对学生综合素养的要求。 3.备考建议 熟练掌握直线系和圆系方程的各种形式及其推导原理，理解参数的意义和作用。多做与直线、圆相关的综合练习题，体会直线系和圆系方程在简化计算、快速求解方面的优势，提高运用方程解决问题的能力。 注重知识的迁移和拓展，关注直线系、圆系方程与其他章节知识的联系，培养综合运用知识的思维习惯。 二：阿波罗尼斯圆高考分析 阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）是高考解析几何的高频考点，常以中档题形式出现，侧重考查几何条件转化与代数运算能力。 1.考查形式与频率 考查形式：主要在选择题、填空题的压轴位置或解答题的第（1）问出现，偶尔作为解答题第（2）问的背景知识。 出现频率：属于高考热点内容，全国卷及各省市自主命题卷中，平均每1-2年就会有1道直接或间接考查阿氏圆的题目。 核心考查内容 1. 定义理解：平面内到两个定点的距离之比为常数（大于0且不等于1）的点的轨迹，核心是“距离比为定值”的几何条件转化。 2. 方程推导：已知定点坐标和距离比，建立平面直角坐标系，通过代数运算推导阿氏圆的标准方程或一般方程，是高考的基础考查点。 3. 几何应用： 利用阿氏圆的定义判断轨迹形状，快速确定圆心和半径。 结合距离最值问题（如求PA + kPB的最值，其中k为常数且与阿氏圆的距离比相关），通过阿氏圆转化线段长度，简化最值求解。 4. 综合融合：常与直线方程、圆的方程、两点间距离公式、基本不等式等知识结合，有时会融入平面向量、三角形等背景。 命题规律与趋势 命题规律： 题目多以“给出距离比条件”“隐藏阿氏圆背景”两种方式呈现，重点考查“几何条件代数化”的转化能力，即如何将“距离比为定值”转化为坐标方程，同时强调运算的简洁性。 命题趋势： 逐渐淡化直接推导方程，更侧重利用阿氏圆的性质解决实际问题（如最值、轨迹判断）。 常与其他曲线（如椭圆、抛物线）或几何模型结合，增强题目综合性；部分题目会通过实际场景（如动点运动轨迹）引入阿氏圆，体现数学应用价值。 备考建议 1. 吃透定义：深刻理解阿氏圆的定义，明确“距离比为定值（非1）”是轨迹为圆的关键，区分其与椭圆、双曲线定义的差异。 2. 熟练推导：掌握给定定点A、B和比值，阿氏圆方程的推导步骤，总结参数（圆心、半径）与定点、比值的关系。 3. 聚焦题型：重点突破“阿氏圆与距离最值”题型，掌握通过定义转化线段长度（如将kPB转化为某点到定点的距离）的技巧，结合圆的性质求最值。 4. 强化运算：在推导方程和求解综合问题时，注重运算步骤的规范性和简洁性，避免因代数运算失误丢分。 一．直线系和圆系方程学习目标 1. 理解概念本质：掌握直线系、圆系方程的定义，明确其核心是通过引入参数，表示具有某一共同性质的直线或圆的集合，理解参数的几何意义。 2. 掌握方程形式：熟记各类直线系（如平行、垂直、过交点的直线系）和圆系（如同心圆、过直线与圆交点、过两圆交点的圆系）的标准表达式，能根据已知条件快速选择合适的方程形式。 3. 提升转化能力：能将直线与圆的位置关系、定点、定性质等几何条件，转化为直线系或圆系方程中的参数关系，实现“几何条件代数化”。 4. 强化应用技能：会运用直线系和圆系方程简化问题求解过程，如快速求过定点的直线方程、过交点的圆的方程，以及解决与直线、圆相关的综合问题（如位置关系判断、参数求值等）。 5. 构建知识体系：将直线系、圆系方程与直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等知识融会贯通，形成完整的解析几何基础框架，为后续学习圆锥曲线等内容奠定基础。 二．阿波罗尼斯圆学习目标 1. 理解核心定义：准确掌握阿波罗尼斯圆的定义，明确“平面内到两定点距离之比为常数（大于0且不等于1）的点的轨迹”这一本质，能区分该定义与椭圆、双曲线定义的差异。 2. 掌握推导方法：会根据定义，通过建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式推导阿氏圆的标准方程或一般方程，能总结出圆心、半径与定点坐标、距离比之间的关系。 3. 提升转化能力：能将“距离比为定值”的几何条件转化为代数方程，实现“几何问题代数化”；反之，也能根据给定的阿氏圆方程，识别其对应的定点和距离比。 4. 强化应用技能：熟练运用阿氏圆的性质解决相关问题，尤其是距离最值问题（如求PA + kPB型最值），掌握通过定义转化线段长度、结合圆的性质简化求解的技巧。 5. 构建知识关联：将阿氏圆与直线方程、圆的方程、两点间距离公式等知识融合，形成完整的解析几何知识链条，为解决更复杂的轨迹问题和综合题奠定基础。 知识点一.直线系和圆系方程 1 直线系方程 过点的直线系方程为(其中不全为零) 平行于直线的直线系方程； 垂直于直线的直线系方程； 过两条已知直线和交点的直线系方程 (这个直线系下不包括直线，解题时注意检验是否满足题意) 2 圆系方程 以为圆心的同心圆圆系方程：； 与圆同心圆的圆系方程为； 过直线与圆交点的圆系方程为 ； 过两圆，交点的圆系方程为此圆系不含 特别地，当时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 知识点二.过圆上一点的切线方程 过圆上一点作圆的切线方程为 证明 向量法 向量，设切线上任意一点， ，，即， 即切线方程为. 切线方程也可以写成. 知识点三. 切点弦方程 过圆外一点引圆的两条切线，切点分别是， 则直线的方程为. 证明 方法1 设切点， 则过点的切线方程为， 由于点在切线上，所以有 ①， 设切点，同理得 ②， 由①②得点与点在直线上， 则直线的方程为. 方法2 以为直径的圆方程为，记为圆， 因为，所以点在圆上， 则是圆与圆的两个交点， 由圆系方程可知，两圆方程相减即得直线方程 (这跟圆上点的切线方程形式一致) 知识点四. 阿波罗尼斯圆（阿氏圆） 1.阿波罗尼斯圆的定义 平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点M的轨迹是圆（，此圆被称为阿波罗尼斯圆．特别的，当时，点M的轨迹是线段AB的中垂线. 证明 以直线AB为x轴建立平面直角坐标系，并设，，． 因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以，所以点M的轨迹是圆． 2.阿波罗尼斯圆的性质——三角形相似 当把点A，B的坐标分别记为，时，其阿波罗尼斯圆的方程为， 即，则阿波罗尼斯圆圆心为，半径为， 此时有，于是与相似． 若取，，则如下图所示．虽然是取特殊坐标推导的，但结论具有普遍性，即当M为阿波罗尼斯圆上一点，且M不与O，A，B三点所在直线共线时，相似于． 题型01：直线系方程 【典型例题】求过点，圆的切线的方程．  【解析】方法一 当直线斜率不存在时，方程为，显然不是切线， 故可设切线方程为， 直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径， 故，解得或， 故所求直线的方程为或． 方法二 如方法二，设切线方程为， 由得 其判别式 , 解得或 , 故所求直线的方程为或． 方法三 设所求直线的方程为(其中不全为零)，  直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，故 整理，得，即(这时)或．    故所求直线的方程为或． 【点拨】本题的方法很多，这里利用了直线系方程，过点的直线系方程为(其中不全为零) , 它比起斜截式的设法好在不用对的存在进行讨论. 【变式训练1】求过两直线和的交点，且分别满足下列条件的直线的方程． 过点； 和直线垂直． 【答案】. 【解析】由 解得，． 方法一 由两点的坐标求得斜率为， 由点斜式求得直线方程为， 化简得． 方法二 设过点的直线方程为， 过点，， 故所求直线方程为. 方法一 依题意得所求直线的斜率为， 由点斜式求得直线方程为，即． 方法二 设所求直线为 过点，， 故所求直线方程为. 此题是直线系问题.从本题来看，用直线系方程的方法求解对于一般的解法也没有优势，这里只是拓展大家的思路. 【变式训练2】 求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： 斜率为；过点；平行于直线． 【答案】 【解析】直线与的交点为， 当斜率为时，由直线的点斜式方程得：直线方程为． 直线方程为． 过点时，由两点式得：即为． 直线方程为． 平行于直线时，得直线斜率为，直线方程为， 直线方程为． 方法二 由直线系方程可设所求直线为 (1) 直线的斜率为时，，解得， 故所求直线方程为． (2) 过点时，代入方程得， 故所求直线方程为． (3) 平行于直线时，，解得, 故所求直线方程为． 题型02：直线与圆相交系方程 【典型例题1】求过直线和圆的交点，并且面积最小的圆的方程． 【答案】 【解析】设所求的圆的方程为， 即， 该圆的半径的平方为[， 故当时，圆的半径的平方最小，圆的面积最小， 此时，圆的方程为 ． 【典型例题2】求经过圆与直线的交点且在轴上的弦长为的圆的方程． 【答案】 或 【解析】设所求的圆的方程为，且与轴的交点坐标为， 令得，化简得 ， 由两边平方得 ，化简得 解得或 所求圆的方程为， 或 所求圆的方程为或 【变式训练1】求经过直线与圆的交点，且经过点的圆的方程. 【答案】，即. 【解析】设所求圆的方程为， 又在圆上，则，解得， 故所求圆的方程为，即. 【变式训练2】求过直线和圆的交点，且面积最小的圆的方程. 【答案】 【解析】根据题意，设出圆的方程为，求得圆的半径，结合二次函数的性质，即可求解. 设过直线和圆的交点的圆系方程， 可设为， 即， 可得圆的半径为， 故当时对应圆的半径最小，且最小半径为. 故所求圆的方程为. 【变式训练3】经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为 . 【答案】 【解析】根据题意设出过直线和圆的交点的圆系方程，代入已知点坐标，可求出的值，即可确定所求圆的方程. 设过已知直线和圆的交点的圆系方程为： ∵所求圆过点 ∴ 解得 所以圆的方程为，化简得. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查求解圆的方程，设出过已知直线和圆的交点的圆系方程是解本题的关键. 【变式训练4】 求圆心在直线上，且过两圆与的交点的圆的方程． 【答案】 【解析】方法一 (先求出两个交点，再求圆心与半径得圆的方程，思路很直接) 将两圆的方程联立得方程组， 解方程组求得两圆的交点坐标．(这里还是有些计算量的) 弦的中垂线为， 它与直线交点就是圆心，又半径， 故所求圆的方程为． 方法二 过两圆与的交点的圆的方程可设为， 整理得 其圆心为， 又由圆心在直线上， 则有，解得, 所以所求圆的方程为. 【变式训练5】已知圆与直线相交于、两点，点为坐标原点，若，求实数的值． 【答案】 【解析】设，，由条件，根据数量积垂直公式可得．将直线方程与圆的方程联立消去可得关于的一元二次方程，再由韦达定理可得两根之和，两根之积，进而可得，代入即可求得的值. 设，，由，消得到， 由，得到， 由韦达定理知：， 又， 又因为，所以，即， 所以，得到，所以，满足， 故实数的值为3. 题型03：两圆交点的圆系方程 【典型例题1】求过两圆和的交点，且与直线相切的圆的方程． 【答案】或. 【解析】设所求的圆的方程为， 即 圆心，半径 圆心到直线的距离 ∵所求圆与直线相切， ∴，即 ∴所求的圆的方程为，即 又圆的圆心到直线的距离 ∴圆也符合题意， ∴所求的圆的方程为或. 【典型例题2】求与圆切于点，且过点的圆的方程． 【答案】 【解析】法一：视点为点圆， 构造圆系 代入点，可得， ∴所求的圆的方程为 法二：过点的已知圆的切线方程为， 与已知圆构造圆系 代入点，可得， ∴所求的圆的方程为 【变式训练1】圆系中，任意两个圆的位置关系如何？ 【答案】 【解析】圆系方程可化为： ∵，∴，即 易知圆心到直线的距离恰等于圆的半径， 故直线与圆相切， 即上述方程组有且只有一个解， 从而圆系方程所表示的任意两个圆有且只有一个公共点， 故它们的关系是外切或内切． 【变式训练2】已知圆，圆. （1） 求圆与圆的公共弦长； （2） 求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】，即. 【解析】（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程， 即，化简得， 所以圆的圆心到直线的距离为， 则，解得， 所以公共弦长为. 设过两圆的交点的圆为， 则； 由圆心在直线上，则，解得， 所求圆的方程为，即. 【变式训练3】求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程. 【答案】 【解析】根据题意，求得两圆的公共弦的方程为，再设出所求圆的方程，结合题意和圆的性质，求得的值，即可求解. 【详解】由圆和， 两圆的方程相减，可得两圆的公共弦方程为， 过直线与圆的交点的圆， 可设为，即， 要使得所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径， 圆心必在公共弦所在直线上， 即，解得， 代回圆系方程得所求圆方程. 【变式训练4】求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（    ） A． B． B． D． 【答案】A 【解析】由两圆方程设出所求圆方程，求出圆心，代入直线即可解出参数，即可确定圆的方程. 设所求圆的方程为，则， 则圆心坐标为，代入直线，可解得. 故所求圆的方程为，即. 故选：A. 【变式训练5】求过圆：与圆：的交点，圆心在直线：圆的方程. 【答案】 【解析】根据题意，设圆的方程为，得出圆心坐标代入直线方程，求得的值，进而得到圆的方程. 设所求圆的方程为， 整理得， 即， 可得所求圆的圆心坐标为， 因为所求圆的圆心在直线上，可得， 解得，代入整理得 即所求圆的方程为. 【变式训练6】对于任意实数λ，曲线(1+λ)x2+(1+λ)y2+(6-4λ)x-16-6λ=0恒过定点 . 【答案】(1，3)和(1，-3) 【解析】先将曲线方程整理成，可得且，从而得出答案. 曲线可化为， ∴且， 可得恒过定点(1，3)和 . 故答案为：(1，3)和 【点睛】本题考查曲线过定点问题，考查方程思想，属于基础题. 【变式训练7】关于曲线有以下五个结论： 1 当时，曲线C表示圆心为，半径为的圆； 2 当，时，过点向曲线C作切线，切点为A，B，则直线AB的方程为； 3 当，时，过点向曲线C作切线，则切线方程为； 4 当时，曲线C表示圆心在直线上的圆系，且这些圆的公切线方程为或； 5 当，时，直线与曲线C表示的圆相离. 以上正确结论的序号为 . 【答案】②④ 【解析】根据题意，结合圆的标准方程以及其切线方程的知识，对选项逐一判断，即可得到结果. 对于①，当时，曲线，当时，C表示点，当时，曲线C表示圆心为，半径为的圆，错误. 对于②，当，时，曲线，因此曲线C表示圆心为，半径为的圆. 由于过点（记为点D）向曲线C作切线，切点为A，B，且点到点的距离为， 根据勾股定理可得，因此A，B可看作圆与圆的交点. 又圆的方程化成一般式为， 于是直线AB的方程为， 即直线AB的方程为，正确. 对于③，当，时，曲线， 圆的切线方程可设为（直线系方程），由于切线过点，因此， 又，解得或因此过点的切线方程为或，错误. 对于④，当时，曲线，因此曲线C表示圆心为，半径为的圆. 于是曲线C的圆心在直线上，又圆心到直线的距离为，到直线的距离为， 因此曲线C表示圆心在直线上的圆系，且这些圆的公切线方程为或，正确. 对于⑤，当，时，曲线，因此曲线C表示圆心为，半径为的圆. 将直线变形为，可知直线过定点，又点在圆内， 因此直线与曲线C表示的圆相交，错误. 综上所述，正确的有②④. 故答案为：②④ 【点睛】关键点睛：本题主要考查了圆的方程以及其切线方程的相关知识，难度较大，解答本题的关键在于结合圆的切线方程公式计算. 【变式训练8】过点作曲线的两条切线，切点分别为，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，求得以为直径的圆的方程，结合两圆的公共弦方程的求法，即可求解. 由曲线，可化为，可得圆心，半径为， 因为分别切圆于，所以四点在以为直径的圆，半径为， 故圆的方程为：，即上， 两圆的方程相减，可得两圆公共弦所在直线的方程为， 即直线的方程为. 故选：A. 题型04：阿波罗尼斯圆 【典型例题1】阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据点的轨迹方程可得，结合条件可得，即得. 设，，所以， 又，所以． 因为且，所以， 整理可得， 又动点M的轨迹是， 所以，解得， 所以，又， 所以，因为， 所以的最小值为． 故选：C． 【典型例题2】已知两定点，，动点M与定点P，Q的距离之比（，），那么点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为__________． 【解析】如图所示，根据阿波罗尼斯圆的性质得，与相似， 于是有， 又，且阿波罗尼斯圆方程为， 所以，，因此，， 由于，因此，故的值为． 【典型例题3】若AB=2，，则三角形ABC面积的最大值为______． 【解析】如图所示，，．设．， 所以，化为：． 可知：当且仅当取，三角形ABC的面积的最大值， （或者直接用），故答案为． 该题也可以直接利用阿波罗尼斯圆的方程，写出圆的方程． 若三角形中出现（λ≠1），且c为定值，则点C位于阿波罗尼斯圆上． 【典型例题4】中，角的对边分别为，且，以下四个命题中正确的是（    ） A． 满足条件的不可能是直角三角形 B． 面积的最大值为 C． 是中点，的最大值为3 D． 当时，的面积为 【答案】BD 【解析】建立平面直角坐标系，由条件确定点的轨迹，由此判断各选项对错. 以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则， 设，由，得，即， ，化简得：， 即点在以为圆心，以为半径的圆上（除去两点）. 如图所示： 对于：以为圆心，为半径作圆，记该圆与圆的交点为，则 为直角三角形，错误； 对于：由图得面积的最大值为正确； 对于是中点，的值为在上的投影与的积，又点在以为圆心，以为半径的圆上（除去两点），故，错误； 对于D：若，则，， 正确. 故选：BD 【典型例题5】已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则最小值为 . 【答案】 【解析】建立坐标系，设，，，设，，则，构造相似三角形，设，可得，所以． 如图，，设，则向量满足，设，所以点为以为圆心，以为半径的圆上的一点， 所以，同理， 取点，则，又因， 所以， 所以，即， 所以， 由三角形的三边关系知. 故填：. 【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量的模，向量模的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造相似三角形等知识，属于难题． 【典型例题6】已知，P是圆：上任意一点，x轴上是否存在一点B，使？若存在，求出点B的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】存在， 【解析】假设存在，设，则，根据条件再结合点在圆上，整理可得，解出即可. 假设存在满足条件，即有， 设，，则， 整理可得①， 又因为点在圆上，则②， 将②代入①可得， 由题可得，解得， 所以，故存在点满足条件. 【变式训练1】在平面直角坐标系中，点，直线，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标a的取值范围． 【答案】 【解析】设，由得出点的轨迹方程，轨迹是圆，由此圆与圆有公共点可得． 因为圆心C在直线． 可设圆心，则圆C的方程为． 设，由，得， 化简整理得， 所以点M在以为圆心，2为半径的圆上， 由题意得点M也在圆C上， 所以圆D和圆C有公共部分， 即  ， ， 解得， 故圆心C的横坐标a的取值范围． 【变式训练2】在中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，若面积，且，则c最小值为 ． 【答案】 【解析】由三角形的面积公式可得，再将其代入余弦定理化简可得，由二倍角的正弦、余弦公式和基本不等式求解即可. 因为面积，所以，所以， 由余弦定理可得：， 将代入可得： ，， ， 当且仅当，即时取等. 所以，c最小值为. 故答案为：. 【变式训练3】已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于 ． 【答案】4π 【解析】设点的坐标为（则 ，即（ 以点的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆，所以点的轨迹所包围的图形的面积等于4π.即答案为4π 【变式训练4】在平面直角坐标系中，已知，，P为上一动点，则最小值为 ． 【答案】 【解析】根据题意画出图象，在y轴取点C，使得，由比例关系求得并得的坐标，再用比例关系得，进而当共线时取得最小值. 根据题意画出图象如下： 连接，则， 在y轴取点C，使得，则有， 即， ，又，即. 所以，. 当共线且在之间时取等号. 故答案为：. 【变式训练5】在平面四边形ABCD中，， ，．若， 则的最小值为 ． 【答案】 【解析】以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系. 设，根据已知条件可求得点在以为圆心，2为半径的圆上，取，可得，从而有，因此＝，因此只要最小即可． 如图，以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系. 则，， 设，则，， 因为 所以，即： 整理得：，所以点在以原点为圆心，半径为2的圆上. 在轴上取，连接 可得，所以，所以 由图可得：当三点共线时，即点在图中的位置时，最小. 此时最小为. 故答案为． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查平面向量的几何应用．解题关键点有二，一是建立坐标系，求出点在一个圆上，二是取点，构造出，于是，问题转化为求的最小值． 【变式训练6】在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：与直线l：，若对圆O上任意一点P，在直线l上均存在两点E，F，使得，且，则r的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由阿氏圆的定义求出P轨迹，当E，F在直线l上滑动时，P点轨迹为宽度为的带状区域，此区域包含圆O，即可得出答案. 对于确定位置的E，F， 如图，由阿氏圆的定义知满足的P轨迹是 以为圆心，为半径的圆，其中在直线l上； 当E，F在直线l上滑动时，P点轨迹为宽度为的带状区域， 由题意，让此区域包含圆O即可，因为O到l的距离为， 所以， 故答案为：．    【变式训练7】P，Q分别为圆A：，B：上动点，则为 ． 【答案】9 【解析】取点，则，将的最小值转化为距离，即可得到所求. 为圆：上一动点，为圆：上一动点， 为坐标原点， 取，则， 故答案为：    【变式训练8】在平面直角坐标系xQy中，圆O：． (1)P为直线l：上一点． 1 若点P在第一象限，且，求过点P的圆O的切线方程； 2 若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围； (2)已知，M为圆O上任一点，问：是否存在定点D（异于点C），使为定值，若存在，求出D坐标；若不存在，说明你的理由． 【答案】(1)①或；② (2)存在， 【解析】（1）①设点P的坐标为，根据求出，再设过点P的圆O的切线为，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求出即可得出答案；②设，根据中点坐标公式求出，再根据点A、B均在圆O上，可得。解不等式即可得出答案. （2）根据阿氏圆的定义、性质和内外分比定理求解即可得出答案. （1）①设点P的坐标为，因为，故， 解得．又点P在第一象限，则，即P的坐标为， 易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k， 则切线为，即，于是有， 解得或，因此过点P的圆O的切线方程为：或. ②设，则，由点A、B均在圆O上， 有圆与圆有公共点． 于是，解得， 即点P纵坐标的取值范围是； （2）设，假设存在点，使得为定值， 由阿氏圆的定义易知点D在x轴上，设为，如图所示， 由阿氏圆性质有：，则，所以点D的坐标为， 由阿氏圆内外分比定理有：， 所以存在定点，使为定值2．      【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键点在于由阿氏圆的定义知点D在x轴上，设为，再结合阿氏圆的性质和阿氏圆内外分比定理可得出答案. 学科网（北京）股份有限公司1 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 直线系方程与圆系方程及阿波罗尼斯圆 一：直线系和圆系方程在高考中常作为工具性知识进行考查，多与其他知识点综合命题，以下是对其高考情况的分析： 1.考查形式与频率 考查形式：主要以选择题、填空题的形式出现，偶尔也会在解答题中作为其中的一个环节或工具出现。 出现频率：属于高考中的常规考查内容，但通常不会单独针对直线系或圆系方程命制整道题目，而是融入直线与圆、圆锥曲线等相关问题中，每年各地高考试题中涉及相关知识的题目大概有1 - 2道。 2.命题规律与趋势 规 律：注重基础与综合，常将直线系、圆系方程与直线的斜率、截距、两直线位置关系，以及圆的半径、圆心、直线与圆、圆与圆的位置关系等基础知识相结合，考查学生对知识的理解和运用能力。 趋 势：未来高考仍会延续这种考查风格，可能会更加强调直线系和圆系方程在实际问题或创新性问题中的应用，比如与平面向量、三角函数等知识融合，以体现对学生综合素养的要求。 3.备考建议 熟练掌握直线系和圆系方程的各种形式及其推导原理，理解参数的意义和作用。多做与直线、圆相关的综合练习题，体会直线系和圆系方程在简化计算、快速求解方面的优势，提高运用方程解决问题的能力。 注重知识的迁移和拓展，关注直线系、圆系方程与其他章节知识的联系，培养综合运用知识的思维习惯。 二：阿波罗尼斯圆高考分析 阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）是高考解析几何的高频考点，常以中档题形式出现，侧重考查几何条件转化与代数运算能力。 1.考查形式与频率 考查形式：主要在选择题、填空题的压轴位置或解答题的第（1）问出现，偶尔作为解答题第（2）问的背景知识。 出现频率：属于高考热点内容，全国卷及各省市自主命题卷中，平均每1-2年就会有1道直接或间接考查阿氏圆的题目。 核心考查内容 1. 定义理解：平面内到两个定点的距离之比为常数（大于0且不等于1）的点的轨迹，核心是“距离比为定值”的几何条件转化。 2. 方程推导：已知定点坐标和距离比，建立平面直角坐标系，通过代数运算推导阿氏圆的标准方程或一般方程，是高考的基础考查点。 3. 几何应用： 利用阿氏圆的定义判断轨迹形状，快速确定圆心和半径。 结合距离最值问题（如求PA + kPB的最值，其中k为常数且与阿氏圆的距离比相关），通过阿氏圆转化线段长度，简化最值求解。 4. 综合融合：常与直线方程、圆的方程、两点间距离公式、基本不等式等知识结合，有时会融入平面向量、三角形等背景。 命题规律与趋势 命题规律： 题目多以“给出距离比条件”“隐藏阿氏圆背景”两种方式呈现，重点考查“几何条件代数化”的转化能力，即如何将“距离比为定值”转化为坐标方程，同时强调运算的简洁性。 命题趋势： 逐渐淡化直接推导方程，更侧重利用阿氏圆的性质解决实际问题（如最值、轨迹判断）。 常与其他曲线（如椭圆、抛物线）或几何模型结合，增强题目综合性；部分题目会通过实际场景（如动点运动轨迹）引入阿氏圆，体现数学应用价值。 备考建议 1. 吃透定义：深刻理解阿氏圆的定义，明确“距离比为定值（非1）”是轨迹为圆的关键，区分其与椭圆、双曲线定义的差异。 2. 熟练推导：掌握给定定点A、B和比值，阿氏圆方程的推导步骤，总结参数（圆心、半径）与定点、比值的关系。 3. 聚焦题型：重点突破“阿氏圆与距离最值”题型，掌握通过定义转化线段长度（如将kPB转化为某点到定点的距离）的技巧，结合圆的性质求最值。 4. 强化运算：在推导方程和求解综合问题时，注重运算步骤的规范性和简洁性，避免因代数运算失误丢分。 一．直线系和圆系方程学习目标 1. 理解概念本质：掌握直线系、圆系方程的定义，明确其核心是通过引入参数，表示具有某一共同性质的直线或圆的集合，理解参数的几何意义。 2. 掌握方程形式：熟记各类直线系（如平行、垂直、过交点的直线系）和圆系（如同心圆、过直线与圆交点、过两圆交点的圆系）的标准表达式，能根据已知条件快速选择合适的方程形式。 3. 提升转化能力：能将直线与圆的位置关系、定点、定性质等几何条件，转化为直线系或圆系方程中的参数关系，实现“几何条件代数化”。 4. 强化应用技能：会运用直线系和圆系方程简化问题求解过程，如快速求过定点的直线方程、过交点的圆的方程，以及解决与直线、圆相关的综合问题（如位置关系判断、参数求值等）。 5. 构建知识体系：将直线系、圆系方程与直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等知识融会贯通，形成完整的解析几何基础框架，为后续学习圆锥曲线等内容奠定基础。 二．阿波罗尼斯圆学习目标 1. 理解核心定义：准确掌握阿波罗尼斯圆的定义，明确“平面内到两定点距离之比为常数（大于0且不等于1）的点的轨迹”这一本质，能区分该定义与椭圆、双曲线定义的差异。 2. 掌握推导方法：会根据定义，通过建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式推导阿氏圆的标准方程或一般方程，能总结出圆心、半径与定点坐标、距离比之间的关系。 3. 提升转化能力：能将“距离比为定值”的几何条件转化为代数方程，实现“几何问题代数化”；反之，也能根据给定的阿氏圆方程，识别其对应的定点和距离比。 4. 强化应用技能：熟练运用阿氏圆的性质解决相关问题，尤其是距离最值问题（如求PA + kPB型最值），掌握通过定义转化线段长度、结合圆的性质简化求解的技巧。 5. 构建知识关联：将阿氏圆与直线方程、圆的方程、两点间距离公式等知识融合，形成完整的解析几何知识链条，为解决更复杂的轨迹问题和综合题奠定基础。 知识点一.直线系和圆系方程 1 直线系方程 过点的直线系方程为(其中不全为零) 平行于直线的直线系方程； 垂直于直线的直线系方程； 过两条已知直线和交点的直线系方程 (这个直线系下不包括直线，解题时注意检验是否满足题意) 2 圆系方程 以为圆心的同心圆圆系方程：； 与圆同心圆的圆系方程为； 过直线与圆交点的圆系方程为 ； 过两圆，交点的圆系方程为此圆系不含 特别地，当时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 知识点二.过圆上一点的切线方程 过圆上一点作圆的切线方程为 证明 向量法 向量，设切线上任意一点， ，，即， 即切线方程为. 切线方程也可以写成. 知识点三. 切点弦方程 过圆外一点引圆的两条切线，切点分别是， 则直线的方程为. 证明 方法1 设切点， 则过点的切线方程为， 由于点在切线上，所以有 ①， 设切点，同理得 ②， 由①②得点与点在直线上， 则直线的方程为. 方法2 以为直径的圆方程为，记为圆， 因为，所以点在圆上， 则是圆与圆的两个交点， 由圆系方程可知，两圆方程相减即得直线方程 (这跟圆上点的切线方程形式一致) 知识点四. 阿波罗尼斯圆（阿氏圆） 1.阿波罗尼斯圆的定义 平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点M的轨迹是圆（，此圆被称为阿波罗尼斯圆．特别的，当时，点M的轨迹是线段AB的中垂线. 证明 以直线AB为x轴建立平面直角坐标系，并设，，． 因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以，所以点M的轨迹是圆． 2.阿波罗尼斯圆的性质——三角形相似 当把点A，B的坐标分别记为，时，其阿波罗尼斯圆的方程为， 即，则阿波罗尼斯圆圆心为，半径为， 此时有，于是与相似． 若取，，则如下图所示．虽然是取特殊坐标推导的，但结论具有普遍性，即当M为阿波罗尼斯圆上一点，且M不与O，A，B三点所在直线共线时，相似于． 题型01：直线系方程 【典型例题】求过点，圆的切线的方程．  【解析】方法一 当直线斜率不存在时，方程为，显然不是切线， 故可设切线方程为， 直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径， 故，解得或， 故所求直线的方程为或． 方法二 如方法二，设切线方程为， 由得 其判别式 , 解得或 , 故所求直线的方程为或． 方法三 设所求直线的方程为(其中不全为零)，  直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，故 整理，得，即(这时)或．    故所求直线的方程为或． 【点拨】本题的方法很多，这里利用了直线系方程，过点的直线系方程为(其中不全为零) , 它比起斜截式的设法好在不用对的存在进行讨论. 【变式训练1】求过两直线和的交点，且分别满足下列条件的直线的方程． 过点； 和直线垂直． 【变式训练2】 求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： 斜率为；过点；平行于直线． 题型02：直线与圆相交系方程 【典型例题1】求过直线和圆的交点，并且面积最小的圆的方程． 【答案】 【解析】设所求的圆的方程为， 即， 该圆的半径的平方为[， 故当时，圆的半径的平方最小，圆的面积最小， 此时，圆的方程为 ． 【典型例题2】求经过圆与直线的交点且在轴上的弦长为的圆的方程． 【答案】 或 【解析】设所求的圆的方程为，且与轴的交点坐标为， 令得，化简得 ， 由两边平方得 ，化简得 解得或 所求圆的方程为， 或 所求圆的方程为或 【变式训练1】求经过直线与圆的交点，且经过点的圆的方程. 【变式训练2】求过直线和圆的交点，且面积最小的圆的方程. 【变式训练3】经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为 . 【变式训练4】 求圆心在直线上，且过两圆与的交点的圆的方程． 【变式训练5】已知圆与直线相交于、两点，点为坐标原点，若，求实数的值． 题型03：两圆交点的圆系方程 【典型例题1】求过两圆和的交点，且与直线相切的圆的方程． 【答案】或. 【解析】设所求的圆的方程为， 即 圆心，半径 圆心到直线的距离 ∵所求圆与直线相切， ∴，即 ∴所求的圆的方程为，即 又圆的圆心到直线的距离 ∴圆也符合题意， ∴所求的圆的方程为或. 【典型例题2】求与圆切于点，且过点的圆的方程． 【答案】 【解析】法一：视点为点圆， 构造圆系 代入点，可得， ∴所求的圆的方程为 法二：过点的已知圆的切线方程为， 与已知圆构造圆系 代入点，可得， ∴所求的圆的方程为 【变式训练1】圆系中，任意两个圆的位置关系如何？ 【变式训练2】已知圆，圆. （1） 求圆与圆的公共弦长； （2） 求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 【变式训练3】求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程. 【变式训练4】求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（    ） A． B． B． D． 【变式训练5】求过圆：与圆：的交点，圆心在直线：圆的方程. 【变式训练6】对于任意实数λ，曲线(1+λ)x2+(1+λ)y2+(6-4λ)x-16-6λ=0恒过定点 . 【变式训练7】关于曲线有以下五个结论： 1 当时，曲线C表示圆心为，半径为的圆； 2 当，时，过点向曲线C作切线，切点为A，B，则直线AB的方程为； 3 当，时，过点向曲线C作切线，则切线方程为； 4 当时，曲线C表示圆心在直线上的圆系，且这些圆的公切线方程为或； 5 当，时，直线与曲线C表示的圆相离. 以上正确结论的序号为 . 【变式训练8】过点作曲线的两条切线，切点分别为，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 题型04：阿波罗尼斯圆 【典型例题1】阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据点的轨迹方程可得，结合条件可得，即得. 设，，所以， 又，所以． 因为且，所以， 整理可得， 又动点M的轨迹是， 所以，解得， 所以，又， 所以，因为， 所以的最小值为． 故选：C． 【典型例题2】已知两定点，，动点M与定点P，Q的距离之比（，），那么点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为__________． 【解析】如图所示，根据阿波罗尼斯圆的性质得，与相似， 于是有， 又，且阿波罗尼斯圆方程为， 所以，，因此，， 由于，因此，故的值为． 【典型例题3】若AB=2，，则三角形ABC面积的最大值为______． 【解析】如图所示，，．设．， 所以，化为：． 可知：当且仅当取，三角形ABC的面积的最大值， （或者直接用），故答案为． 该题也可以直接利用阿波罗尼斯圆的方程，写出圆的方程． 若三角形中出现（λ≠1），且c为定值，则点C位于阿波罗尼斯圆上． 【典型例题4】中，角的对边分别为，且，以下四个命题中正确的是（    ） A． 满足条件的不可能是直角三角形 B． 面积的最大值为 C． 是中点，的最大值为3 D． 当时，的面积为 【答案】BD 【解析】建立平面直角坐标系，由条件确定点的轨迹，由此判断各选项对错. 以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则， 设，由，得，即， ，化简得：， 即点在以为圆心，以为半径的圆上（除去两点）. 如图所示： 对于：以为圆心，为半径作圆，记该圆与圆的交点为，则 为直角三角形，错误； 对于：由图得面积的最大值为正确； 对于是中点，的值为在上的投影与的积，又点在以为圆心，以为半径的圆上（除去两点），故，错误； 对于D：若，则，， 正确. 故选：BD 【典型例题5】已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则最小值为 . 【答案】 【解析】建立坐标系，设，，，设，，则，构造相似三角形，设，可得，所以． 如图，，设，则向量满足，设，所以点为以为圆心，以为半径的圆上的一点， 所以，同理， 取点，则，又因， 所以， 所以，即， 所以， 由三角形的三边关系知. 故填：. 【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量的模，向量模的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造相似三角形等知识，属于难题． 【典型例题6】已知，P是圆：上任意一点，x轴上是否存在一点B，使？若存在，求出点B的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】存在， 【解析】假设存在，设，则，根据条件再结合点在圆上，整理可得，解出即可. 假设存在满足条件，即有， 设，，则， 整理可得①， 又因为点在圆上，则②， 将②代入①可得， 由题可得，解得， 所以，故存在点满足条件. 【变式训练1】在平面直角坐标系中，点，直线，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标a的取值范围． 【变式训练2】在中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，若面积，且，则c最小值为 ． 【变式训练3】已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于 ． 【变式训练4】在平面直角坐标系中，已知，，P为上一动点，则最小值为 ． 【变式训练5】在平面四边形ABCD中，， ，．若， 则的最小值为 ． 【变式训练6】在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：与直线l：，若对圆O上任意一点P，在直线l上均存在两点E，F，使得，且，则r的取值范围为 ． 【变式训练7】P，Q分别为圆A：，B：上动点，则为 ． 【变式训练8】在平面直角坐标系xQy中，圆O：． (1)P为直线l：上一点． 1 若点P在第一象限，且，求过点P的圆O的切线方程； 2 若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围； (2)已知，M为圆O上任一点，问：是否存在定点D（异于点C），使为定值，若存在，求出D坐标；若不存在，说明你的理由． 学科网（北京）股份有限公司1 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $