第05讲 与圆相关的最值和取值范围讲义（思维导图+知识要点+解题测率+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学一轮复习圆的方程（新高考通用）

第05讲 圆中的范围与最值问题 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 4 题型归纳 5 题型01：斜率型 5 题型02：截距型 10 题型03：定点到圆上的点距离最值和范围 14 题型04：圆上的点到定直线距离的最值范围 17 题型05：过圆内定点的弦长最值范围 20 题型06：圆的切线长最值范围 23 题型07：距离型最值和范围综合 25 题型08：周长型最值范围 38 题型09：面积型最值范围 40 题型10：数量积型 44 题型11：坐标与角度型 56 题型12：长度型最值 68 题型13：方程中的参数 80 巩固练习 84 圆中的范围与最值问题是高考数学的重点与热点内容，以下是相关高考分析： 考查形式 1. 题型：多以选择题、填空题的形式出现，偶尔也会在解答题中作为其中一小问进行考查，分值一般在 5 分左右。 2. 难度：整体难度中等，常与直线、向量、三角函数等知识综合命题，考查学生综合运用知识解决问题的能力。 常见考点 1. 距离型最值：包括圆上的点到定点的距离最值（最大值为圆心到定点距离加半径，最小值为圆心到定点距离减半径）、圆上的点到定直线的距离最值（最大值为圆心到直线距离加半径，最小值为圆心到直线距离减半径）。 2. 斜率与截距型最值：形如的式子可看作圆上的点(x,y)与定点(a,b)连线的斜率，通过直线与圆相切时求出斜率的最值；形如z = ax+by的式子可转化为动直线ax + by - z = 0在y轴上截距的最值，同样利用直线与圆相切求解，形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题。 3. 弦长与切线长最值：过圆内定点的弦长，最长为直径，最短为与该直径垂直的弦。圆的切线长可根据勾股定理，将其转化为圆心到切点所在直线上动点的距离问题，进而求最值。 4. 数量积型最值：设圆上两点坐标或结合向量坐标运算，将数量积表示为关于圆上点坐标的表达式，再利用圆的方程消元转化为函数最值问题，或根据数量积的几何意义求解。 圆中的范围与最值问题注重对学生数学思维和综合能力的考查，在复习备考中需熟练掌握各类题型特点及相应解题策略，加强针对性训练。 圆中的范围及最值问题学习目标 1. 知识掌握： 理解圆的标准方程、一般方程及几何性质，明确圆与直线、点、向量等知识的关联，掌握距离、斜率、截距、数量积等核心量的几何意义。 2. 能力提升： 能运用数形结合法、代数法（参数方程、函数转化）、几何不等式法等多种方法，分析并求解圆中各类范围与最值问题；提升数学建模、逻辑推理及运算求解能力，实现跨知识模块的综合应用。 3. 思维培养： 建立“几何意义分析—图形直观定位—代数量化计算”的解题思维，养成从几何与代数双重角度思考问题的习惯，增强直观想象与数学抽象思维。 4. 应用目标： 熟练应对高考中该类题型（选择、填空为主），能快速识别题目类型，精准选用解题方法，确保在中等难度题目中高效得分。 知识点一.与距离有关的最值问题 在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小、最大、范围等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想进行求解得到相关结论. 1．圆上的点到定点的距离最值问题 一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值. 2．圆上的点到直线的距离最值问题 已知圆C和圆外的一条直线l，则圆上点到直线距离的最小值为：，距离的最大值为：. 知识点二．利用代数法的几何意义求最值 (1)形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. (2)形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. (3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题. 知识点三．圆的切线长度最值问题 (1)代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； (2)几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题. 知识点四．过圆内定点的弦长最值问题 已知圆C及圆内一定点P，则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦. 知识点五．与圆有关的最值与范围问题的解题方法 (1)数形结合法：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解. (2)建立函数关系求最值：根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、 判别式法等进行求解. (3)利用基本不等式求解最值：如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如a·b或者a+b的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值.同时需要注意，“一正二定三相等”的验证. (4)多与圆心联系，转化为圆心问题. (5)参数方程：进行三角换元，通过参数方程，进行求解. 圆中的范围与最值问题解题策略 圆中范围与最值问题的核心解题思路是“几何意义转化 + 代数量化计算”，结合圆的几何性质与代数工具，针对不同类型问题采用对应策略： 一、距离型最值——依托圆的半径与圆心距 此类问题的关键是抓住“圆上点到定点/定直线的距离，可转化为圆心到定点/定直线的距离与半径的和差”。 1. 圆上点到定点的距离最值 设圆的圆心为C，半径为r，定点为P。 最大值：|PC| + r（点P在圆外时，沿圆心与定点连线延长线交圆于最远点）。 最小值：||PC| - r|（点P在圆外时为|PC| - r，在圆内时为r - |PC|）。 2. 圆上点到定直线的距离最值 设圆心C到定直线l的距离为d。 最大值：d + r（过圆心作直线l的垂线，延长线交圆于最远点）。 最小值：|d - r|（垂线与圆的近交点）。 二、斜率与截距型最值——利用直线与圆的位置关系 通过将代数式转化为直线的斜率或截距，再根据“直线与圆相切时，斜率/截距取得最值”求解。 1. 斜率型 k=的最值 2. 截距型z = ax + by 3. 距离形m=(x-a)2+(y-b)2 三、弦长与切线长最值——紧扣圆的几何性质 1. 弦长最值 过圆内定点P的弦：最长弦为过P的直径，最短弦为与该直径垂直且过P的弦 斜率固定的弦：弦长随圆心到直线的距离变化，距离最小时弦最长（距离为0时即直径），距离最大时弦最短。 2. 切线长最值 设圆外定点P到圆心C的距离为d，切线长为L 最值转化：切线长最值即d的最值，当P固定时，L为定值；当P在定直线/定圆上运动时，先求d的最值，再得L的最值。 四、数量积型最值——坐标转化或几何意义 1. 坐标法 设圆上点坐标为(x,y)，根据圆的方程（标准式或参数式）表示x,y，代入数量积表达式转化为二次函数或三角函数的最值问题。 2. 几何意义法 利用数量积的几何意义，结合圆的图形分析夹角θ的变化范围，进而确定数量积的最值。 五、通用解题方法总结 解题核心：先判断问题类型，明确所求量的几何意义，再选择“几何分析定位最值点 + 代数计算求结果”的流程，优先用几何法简化运算，复杂情况结合代数工具突破。 题型01：斜率型 【典型例题1】．已知为圆：上任意一点，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 由于，故表示和连线的斜率，设，如图所示，当与圆相切时，取得最大值， 设此时，即，又圆心，半径为1，故，解得， 故的最大值为． 故答案为：． 【典型例题2】已知是圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案. 【解答过程】设，变形可得， 则的几何意义为直线的斜率， 圆化为， 所以圆的圆心为，半径为. 因为是圆上任意一点， 所以圆与直线有公共点，即圆的圆心到直线的距离不大于圆的半径， 所以，解得， 即的最大为. 故选:D. 【变式训练1-1】（多选题）已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（       ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最大值为 D．的最大值为 【变式训练1-2】已知为圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】已知点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】在正三角形中，为中点，为三角形内一动点，且满足，则最小值为（       ） A． B． C． D． 题型02：截距型 【典型例题1】已知点是圆上的动点，则的最大值为（       ） A． B． C．6 D．5 【答案】A 【解析】由，令，则， 所以当时，的最大值为． 故选：A 【典型例题2】已知，是实数，且． (1)求的最值； (2)求的取值范围； (3)求的最值． 【解析】（1）首先设，利用直线与圆有交点，列式求的最值； （2）首先设，转化为直线与圆有交点，列不等式求的取值范围； （3）根据的几何意义，转化为圆上的点与原点距离的最值. （1）设，化为， 可知直线与圆有交点，圆心，半径为2， 有，解得， 可得的最小值为1，最大值为21； （2）设，化为， 可知直线与圆有交点， 有，解得或， 故的取值范围为； （3）的几何意义为坐标原点到圆上任意一点的距离， 圆的圆心到坐标原点的距离为， 故的最小值为，最大值为． 【变式训练2-1】点是圆上的动点，则的最大值是________． 【变式训练2-2】已知点是圆：上的一动点，若圆经过点，则的最大值与最小值之和为（       ） A．4 B． C． D． 【变式训练2-3】如果实数满足等式，那么的最大值是 ；的最大值是 ． 【变式训练2-4】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求： (1)的最大值和最小值； (2)y＋x的最大值和最小值； (3)x2＋y2的最大值和最小值． 距离型 题型03：定点到圆上的点距离最值和范围 【典型例题1】已知是圆上的动点，点满足，点，则的最大值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】C 【解析】首先求点的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系，求的最大值. 设，， 由，得，， 因为点在圆上，即， 则， 所以点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆， 因为，，所以点在圆外， 所以的最大值为. 故选：C. 【变式训练3-1】已知圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练3-2】点是圆上任意一点，为圆的弦，且，为的中点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．47 【变式训练3-3】已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，直线与交于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】已知点在圆上，则的最大值为（       ） A． B． C．1 D． 题型04：圆上的点到定直线距离的最值范围 【典型例题1】已知直线，点在圆上运动，那么点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】确定圆心和半径，求出圆心到直线的距离，加上圆的半径，即可得答案. 【解答过程】圆的圆心为，半径为. 则圆心到直线：的距离为：. 所以圆上的点到直线：距离的最大值为：. 故选：C. 【变式训练4-1】已知点是圆上的两点，若，则的最大值为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【变式训练4-2】已知M，N是圆C：上的两个点，且，P为的中点，Q为直线：上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】已知，是圆上的两个动点，且，若点满足，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-4】设，，三条直线：，：，：，则与的交点到的距离的最大值为_________． 弦长 题型05：过圆内定点的弦长最值范围 【典型例题】已知直线与圆相交于两点，则弦长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，求得直线恒过点，结合圆的性质和弦长公式，即可求解. 因为直线，可得， 由，解得，所以直线恒过点， 可得点在圆内部， 又由圆，可得圆心，半径为， 当直线过圆心时，截得弦长最长，此时， 当直线与垂直时，此时弦长最短，又由， 可得， 所以弦长的取值范围是. 故选：B. 【变式训练5-1】已知圆的方程为，则该圆中过点的最短弦的长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知直线.圆，则（    ） A．l过定点 B．l与C一定相交 C．若l平分C的周长，则 D．l被C截得的最短弦的长度为4 【变式训练5-3】已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B．2 C．4 D． 题型06：圆的切线长最值范围 【典型例题】从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】先求出圆心和半径，再将切线长的最小转化为直线上的点与圆心的距离最小来求解即可. 【解答过程】圆化为，圆心为，半径为1， 直线上的点向圆引切线，设切点为， 则， 要使切线长的最小，则最小，即直线上的点与圆心的距离最小， 由点到直线的距离公式可得，. 所以切线长的最小值为. 故选：B. 【变式训练6-1】已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式训练6-2】已知点是直线上一动点，过点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（　　） A． B． C． D．1 【变式训练6-3】已知点为直线上的一点，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型07：距离型最值和范围综合 【典型例题1】若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为______． 【答案】 【解析】以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系， 则，设，由， 所以，两边平方并整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 所以， 则有， 所以的最大值为． 故答案为：． 【典型例题2】若A，B是：上两个动点，且，A，B到直线l：的距离分别为，，则的最大值是（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为． ， ， 由于，所以． 设是的中点，则， 设，则，即的轨迹为单位圆． 原点到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离． 所以， 所以的最大值是． 故选：D 【变式训练7-1】已知直线与圆交于两点，且，则的最大值为___________． 【变式训练7-2】已知实数满足：，，，则的最大值为______． 【变式训练7-3】若点P在曲线上运动，则点P到直线的距离的最大值为（       ） A． B．2 C． D．4 【变式训练7-4】在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练7-5】已知点，圆上的两个不同的点、满足，则的最大值为（       ） A．12 B．18 C．60 D． 【变式训练7-6】在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，点满足，则点到点的距离的最大值为（       ） A．3 B． C．5 D．4 【变式训练7-7】若x、a、b为任意实数，若，则最小值为（       ） A． B．9 C． D． 【变式训练7-8】已知平面向量，，，满足，，，则的最小值为（       ） A．1 B． C．3 D． 【变式训练7-9】已知，为圆：上两点，且，点在直线：上，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练7-10】若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则（|PA|2＋|PB|2）的最大值为（       ） A．3＋ B．7＋4 C．8＋4 D．16＋8 【变式训练7-11】已知P是半圆C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练7-12】若，分别为圆：与圆：上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（       ） A． B．6 C．9 D．12 【变式训练7-13】过圆C： 外一点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若PA⊥PB，则点P到直线的距离的最小值为（       ） A．1 B． C．2 D．3 题型08：周长型最值范围 【典型例题】已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为（       ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心坐标为，半径为， 因为过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B， 所以有，， 因此有， 要想四边形周长最小，只需最小，即当时， 此时，此时， 即最小值为， 故选：A 【变式训练8-1】已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形周长取最小值时，四边形的外接圆方程为（       ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】直线经过定点，且与轴正半轴、轴正半轴分别相交于，两点，为坐标原点，动圆在的外部，且与直线及两坐标轴的正半轴均相切，则周长的最小值是（    ） A．3 B．5 C．10 D．12 【变式训练8-3】设P为直线上的动点，PA，PB为圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形的周长的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 题型09：面积型最值范围 【典型例题】已知点A（2，0），B（0，﹣1），点是圆x2+（y﹣1）2＝1上任意一点，则 面积最大值为（       ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知， 要使的面积最大，只要点P到直线的距离最大． 由于AB的方程为1，即x﹣2y﹣2＝0， 圆心（0，1）到直线AB的距离为d， 故P到直线AB的距离最大值为1， 所以面积的最大值为， 故选：D． 【变式训练9-1】在平面直角坐标系中，圆C与圆外切，且与直线相切，则圆C的面积的最小值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】已知直线与圆相交于两点，当变化时，△的面积的最大值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则面积的最大值为（       ） A． B． C．5 D．10 【变式训练9-4】已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 【变式训练9-5】已知，，设是圆上一动点，则面积的最大值与最小值之差等于（    ）． A．12 B． C．6 D． 题型10：数量积型 【典型例题1】已知双曲线的右焦点为F，，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点M､Q，则的最大值为（       ） A．48 B．49 C．50 D．42 【答案】A 【解析】由双曲线方程知：右焦点，在双曲线上， 直线方程为，令，解得：，； 以为直径的圆的圆心为，且． 连接， 在以为直径的圆上，，， ； 为双曲线上一点，且，，； 故选：A 【典型例题2】．（多选题）已知圆M：，直线l：，直线l与圆M交于A，C两点，则下列说法正确的是（       ） A．直线l恒过定点 B．的最小值为4 C．的取值范围为 D．当最小时，其余弦值为 【答案】ABC 【解析】A．直线，即，直线恒过点，故A正确； B．当定点是弦的中点时，此时最短，圆心和定点的距离时，此时，故B正确； C．当最小时，最小，此时，此时，当是直径时，此时最大，，此时，所以的取值范围为，故C正确； D．根据C可知当最小时，其余弦值为，故D错误． 故选：ABC 【典型例题3】已知，，点P在曲线上，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】设，由题意，点在， 即点在以为圆心，半径为的下半圆上， ， 其中表示为点到点的距离的平方， 当点到点的距离最小时，取最小值， 点到点的最小距离为， 所以的最小值为． 故答案为： 【变式训练10-1】已知点M为椭圆上任意一点，A，B是圆上两点，且，则的最大值与最小值的和是（       ） A．20 B． C．40 D． 【变式训练10-2】骑行是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱．如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，均是边长为4的等边三角形，设点P为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，达到最大值时点P到地面的距离为（       ） A． B． C． D． 【变式训练10-3】在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，为圆的直径，点是直线上任意一点；则的最小值为（   ） A．4 B．12 C．16 D．18 【变式训练10-4】已知圆是圆心为原点的单位圆，是圆上任意两个不同的点，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练10-5】已知等边的边长为，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-6】已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-7】．（多选）已知圆，直线，点，则（       ） A．当时，直线l与圆相切 B．若直线l平分圆的周长，则 C．若直线l上存在点A，使得，则a的最大值为 D．当时，N为直线l上的一个动点，则的最小值为 【变式训练10-8】．（多选题）若动直线与圆相交于两点，则（       ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．为坐标原点）的最大值为78 D．的最大值为18 【变式训练10-9】已知正方形ABCD的边长为2，以B为圆心的圆与直线AC相切．若点P是圆B上的动点，则的最大值是________． 【变式训练10-10】已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且，则的最小值为______． 题型11：坐标与角度型 【典型例题1】在平面直角坐标系中，已知 ，曲线上任一点满足，点在直线上，如果曲线上总存在两点到点的距离为，那么点的横坐标的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据可求出曲线的方程，根据曲线上总存在两点到点的距离为，可得到点到圆心的距离小于，解不等式即可. 设，因为满足 化简得： ∴曲线的方程：，圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，如图所示： 设点，只需点到圆心的距离小于即可． 此时点在点与点之间. ∴． 解得：． 故选：A. 【典型例题2】已知，满足，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点在圆上，， 则， 如图，当与圆相切时，取得最小值，所以，此时点． 故选：C 【典型例题3】已知直线与直线相交于点P，点，O为坐标原点，则的最大值为（       ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】直线恒过定点，直线恒过定点， 而，即直线与直线垂直，当P与N不重合时，，， 当P与N重合时，，令点，则，， 于是得，显然点P与M不重合，因此，点P的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆（除点M外），如图， 观察图形知，射线AP绕点A旋转，当旋转到与圆O：相切时，最大，最大， 因，为切线，点为切点，，，则， 所以最大值为，． 故选：B 【变式训练11-1】已知，过点作圆（为参数，且）的两条切线分别切圆于点、，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练11-2】已知圆C：和两点，，且圆C上有且只有一个点P满足，则r的最大值为（       ） A． B．3 C． D．5 【变式训练11-3】动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为（       ） A．1 B．2 C． D． 【变式训练11-4】已知为坐标原点，点，，以为邻边作平行四边形，，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练11-5】已知x，y满足，则的最大值为（       ） A．1 B． C． D． 【变式训练11-6】已知圆C：x2＋y2＝4，M、N是直线l：y＝x＋4上的两点，若对线段MN上任意一点P，圆C上均存在两点A、B，使得cos∠APB＝，则线段MN长度的最大值为（       ） A．2 B．4 C．4 D．4 【变式训练11-7】（1）已知点是圆上一点，点是圆上一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． （2）已知直线与圆，过直线上的任意一点作圆的切线PA，PB，切点分别为A，B，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-8】）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-9】若圆）与圆交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练11-10】已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练11-11】．（多选题）已知圆上两点A、B满足，点满足：，则下列结论中正确的是（       ） A．当时， B．当时，过M点的圆C的最短弦长是 C．线段的中点纵坐标最小值是 D．过M点作图C的切线且切点为A，B，则的取值范围是 【变式训练11-12】已知，，是非零平面向量，，，，，则的最大值是_________． 题型12：长度型最值 【典型例题1】古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足（其中是正常数，且），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点，P是圆上的动点，则的最小值为____________ 【答案】 【解析】如图，在轴上取点， ，，，， （当且仅当为与圆交点时取等号）， ． 故答案为：． 【典型例题2】已知圆是以点和点为直径的圆，点为圆上的动点，若点，点，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，知：且，即圆的半径为4， ∴圆：， 如上图，坐标系中则， ∴，即△△，故， ∴，在△中， ∴要使最大，共线且最大值为的长度． ∴． 故选：A 【典型例题3】已知圆，圆，点分别是圆､圆上的动点，点为上的动点，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由圆的方程可知：圆心，，半径，； 设与关于对称，则， 则圆与圆关于对称， 当五点共线时，取得最小值， ． 故选：B． 【变式训练12-1】已知圆，圆，点、分别是圆、圆上的动点，点为轴上的动点，则的最大值是（       ） A． B． C． D． 【变式训练12-2】已知A，B是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是（       ） A． B． C． D． 【变式训练12-3】已知曲线，等边三角形的两个顶点A，B在E上，顶点C在E外，O为坐标原点，则线段长的最大值为（       ） A．3 B． C． D．2 【变式训练12-4】已知抛物线的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆上，则的最小值为（       ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式训练12-5】已知点为圆上一点，点，当m变化时，线段长度的最小值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练12-6】已知为抛物线上的动点，为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练12-7】已知为抛物线C：上一动点，过C的焦点F作：的切线，切点为A，则线段FA长度的最小值为（       ） A．3 B． C． D． 【变式训练12-8】已知圆C：，若直线l：ax－y＋1－a＝0与圆C相交于A，B两点，则的最小值为（       ） A． B． C．3 D． 【变式训练12-9】如图，P为圆O：x2+y2＝4外一动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，直线OP与AB相交于点Q，点M（3，），则|MQ|的最小值为（       ） A． B．2 C． D． 【变式训练12-10】在平面直角坐标系中，已知为圆上动点，则的最小值为（   ） A．34 B．40 C．44 D．48 【变式训练12-11】已知圆上两点满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-12】已知为直线上一点，过点作圆的切线（点为切点），为圆上一动点． 则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-13】已知圆，圆，M，N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 题型13：方程中的参数 【典型例题】已知，，，，则面积的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点，因为，所以， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又直线的方程为：，，圆心到直线的距离，所以到直线的距离最大值为 则面积的最大值为． 故选：． 【变式训练13-1】在中，，，点在内部，，则的最小值为______． 【变式训练13-2】已知过点的动直线l与圆C：交于A，B两点，过A，B分别作C的切线，两切线交于点N．若动点，则的最小值为（       ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式训练13-3】如图，在直角梯形中，，点M在以为直径的半圆上，且满足，则的最大值为（       ） A．2 B．3 C． D． 巩固练习 一、单选题 1．已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 2．由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 3．直线被圆截得的弦长的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．9 5．已知，直线为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知点M是直线和（）的交点，，，且点M满足恒成立，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知直线交圆于两点，则的最小值为（    ） A．9 B．16 C．27 D．30 8．已知圆的方程为：，点，，是线段上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，现有以下四种说法：①四边形的面积的最小值为1；②四边形的面积的最大值为；③的最小值为；④的最大值为．其中所有正确说法的序号为（   ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④ 9.等腰三角形ABC内接于半径为2的圆O中，，且M为圆O上一点，的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 10．如图所示，正方体棱长为2，点P为正方形内（不含边界）一动点，角平分线交于点Q，点P在运动过程中始终满足． ①直线与点P的轨迹无公共点； ②存在点P使得； ③三棱锥体积最大值为； ④点P运动轨迹长为． 上述说法中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 11．已知圆，点是圆上的一点，则下列说法正确的是（    ） A．圆关于直线对称 B．已知，，则的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 12．已知是圆上的两点，则下列结论中正确的是（    ） A．若点到直线的距离为，则 B．若，则 C．若，则的最大值为6 D．的最小值为 13．已知圆，直线与交于两点，点为弦的中点，，则（    ） A．弦有最小值为 B．有最小值为 C．面积的最大值为 D．的最大值为9 14．（多选题）已知点，，点P为圆C：上的动点，则（    ） A．面积的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 15．（多选题）已知，是圆：上的两点，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若点到直线的距离为，则 C．若，则的最大值为4 D．的最小值为 三、填空题 16．动直线l：被圆C：截得弦长的最小值为 ． 17．直线 ，与圆相交于、两点，点为直线上一动点，则的最小值是 . 18．已知、满足：，，，则代数式的取值范围是 . 19.若直线与相交于点，过点作圆的切线，切点为，则|PM|的最大值为______． 20.已知平面内两定点，，点满足，则动点的轨迹方程为______________；若平面内两动点，（）满足，则的最大值为______________. 四、解答题 21．已知点在圆上，点，．求点到直线距离的最大值； 22．已知圆过，，三点. (1)求圆的标准方程； (2)若点在圆上运动，求的最大值. 23．已知为圆：上任意一点. (1)求的最大值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值. 24．已知圆. (1)过点作的切线，求的方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的切线，记切点为，当取最小值时，求的大小. 25.已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 圆中的范围与最值问题 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 4 题型归纳 5 题型01：斜率型 5 题型02：截距型 10 题型03：定点到圆上的点距离最值和范围 14 题型04：圆上的点到定直线距离的最值范围 17 题型05：过圆内定点的弦长最值范围 20 题型06：圆的切线长最值范围 23 题型07：距离型最值和范围综合 25 题型08：周长型最值范围 38 题型09：面积型最值范围 40 题型10：数量积型 44 题型11：坐标与角度型 56 题型12：长度型最值 68 题型13：方程中的参数 80 巩固练习 84 圆中的范围与最值问题是高考数学的重点与热点内容，以下是相关高考分析： 考查形式 1. 题型：多以选择题、填空题的形式出现，偶尔也会在解答题中作为其中一小问进行考查，分值一般在 5 分左右。 2. 难度：整体难度中等，常与直线、向量、三角函数等知识综合命题，考查学生综合运用知识解决问题的能力。 常见考点 1. 距离型最值：包括圆上的点到定点的距离最值（最大值为圆心到定点距离加半径，最小值为圆心到定点距离减半径）、圆上的点到定直线的距离最值（最大值为圆心到直线距离加半径，最小值为圆心到直线距离减半径）。 2. 斜率与截距型最值：形如的式子可看作圆上的点(x,y)与定点(a,b)连线的斜率，通过直线与圆相切时求出斜率的最值；形如z = ax+by的式子可转化为动直线ax + by - z = 0在y轴上截距的最值，同样利用直线与圆相切求解，形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题。 3. 弦长与切线长最值：过圆内定点的弦长，最长为直径，最短为与该直径垂直的弦。圆的切线长可根据勾股定理，将其转化为圆心到切点所在直线上动点的距离问题，进而求最值。 4. 数量积型最值：设圆上两点坐标或结合向量坐标运算，将数量积表示为关于圆上点坐标的表达式，再利用圆的方程消元转化为函数最值问题，或根据数量积的几何意义求解。 圆中的范围与最值问题注重对学生数学思维和综合能力的考查，在复习备考中需熟练掌握各类题型特点及相应解题策略，加强针对性训练。 圆中的范围及最值问题学习目标 1. 知识掌握： 理解圆的标准方程、一般方程及几何性质，明确圆与直线、点、向量等知识的关联，掌握距离、斜率、截距、数量积等核心量的几何意义。 2. 能力提升： 能运用数形结合法、代数法（参数方程、函数转化）、几何不等式法等多种方法，分析并求解圆中各类范围与最值问题；提升数学建模、逻辑推理及运算求解能力，实现跨知识模块的综合应用。 3. 思维培养： 建立“几何意义分析—图形直观定位—代数量化计算”的解题思维，养成从几何与代数双重角度思考问题的习惯，增强直观想象与数学抽象思维。 4. 应用目标： 熟练应对高考中该类题型（选择、填空为主），能快速识别题目类型，精准选用解题方法，确保在中等难度题目中高效得分。 知识点一.与距离有关的最值问题 在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小、最大、范围等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想进行求解得到相关结论. 1．圆上的点到定点的距离最值问题 一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值. 2．圆上的点到直线的距离最值问题 已知圆C和圆外的一条直线l，则圆上点到直线距离的最小值为：，距离的最大值为：. 知识点二．利用代数法的几何意义求最值 (1)形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. (2)形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. (3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题. 知识点三．圆的切线长度最值问题 (1)代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； (2)几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题. 知识点四．过圆内定点的弦长最值问题 已知圆C及圆内一定点P，则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦. 知识点五．与圆有关的最值与范围问题的解题方法 (1)数形结合法：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解. (2)建立函数关系求最值：根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、 判别式法等进行求解. (3)利用基本不等式求解最值：如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如a·b或者a+b的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值.同时需要注意，“一正二定三相等”的验证. (4)多与圆心联系，转化为圆心问题. (5)参数方程：进行三角换元，通过参数方程，进行求解. 圆中的范围与最值问题解题策略 圆中范围与最值问题的核心解题思路是“几何意义转化 + 代数量化计算”，结合圆的几何性质与代数工具，针对不同类型问题采用对应策略： 一、距离型最值——依托圆的半径与圆心距 此类问题的关键是抓住“圆上点到定点/定直线的距离，可转化为圆心到定点/定直线的距离与半径的和差”。 1. 圆上点到定点的距离最值 设圆的圆心为C，半径为r，定点为P。 最大值：|PC| + r（点P在圆外时，沿圆心与定点连线延长线交圆于最远点）。 最小值：||PC| - r|（点P在圆外时为|PC| - r，在圆内时为r - |PC|）。 2. 圆上点到定直线的距离最值 设圆心C到定直线l的距离为d。 最大值：d + r（过圆心作直线l的垂线，延长线交圆于最远点）。 最小值：|d - r|（垂线与圆的近交点）。 二、斜率与截距型最值——利用直线与圆的位置关系 通过将代数式转化为直线的斜率或截距，再根据“直线与圆相切时，斜率/截距取得最值”求解。 1. 斜率型 k=的最值 2. 截距型z = ax + by 3. 距离形m=(x-a)2+(y-b)2 三、弦长与切线长最值——紧扣圆的几何性质 1. 弦长最值 过圆内定点P的弦：最长弦为过P的直径，最短弦为与该直径垂直且过P的弦 斜率固定的弦：弦长随圆心到直线的距离变化，距离最小时弦最长（距离为0时即直径），距离最大时弦最短。 2. 切线长最值 设圆外定点P到圆心C的距离为d，切线长为L 最值转化：切线长最值即d的最值，当P固定时，L为定值；当P在定直线/定圆上运动时，先求d的最值，再得L的最值。 四、数量积型最值——坐标转化或几何意义 1. 坐标法 设圆上点坐标为(x,y)，根据圆的方程（标准式或参数式）表示x,y，代入数量积表达式转化为二次函数或三角函数的最值问题。 2. 几何意义法 利用数量积的几何意义，结合圆的图形分析夹角θ的变化范围，进而确定数量积的最值。 五、通用解题方法总结 解题核心：先判断问题类型，明确所求量的几何意义，再选择“几何分析定位最值点 + 代数计算求结果”的流程，优先用几何法简化运算，复杂情况结合代数工具突破。 题型01：斜率型 【典型例题1】．已知为圆：上任意一点，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 由于，故表示和连线的斜率，设，如图所示，当与圆相切时，取得最大值， 设此时，即，又圆心，半径为1，故，解得， 故的最大值为． 故答案为：． 【典型例题2】已知是圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案. 【解答过程】设，变形可得， 则的几何意义为直线的斜率， 圆化为， 所以圆的圆心为，半径为. 因为是圆上任意一点， 所以圆与直线有公共点，即圆的圆心到直线的距离不大于圆的半径， 所以，解得， 即的最大为. 故选:D. 【变式训练1-1】（多选题）已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（       ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【解析】由实数x，y满足方程可得点在圆上，作其图象如下， 因为表示点与坐标原点连线的斜率， 设过坐标原点的圆的切线方程为，则，解得：或， ，，，A，B正确； 表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为， 所以最大值为，又， 所以的最大值为，C错， 因为可化为， 故可设，， 所以， 所以当时，即时取最大值，最大值为，D对， 故选：ABD． 【变式训练1-2】已知为圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据圆上任意一点到定点的斜率，即可结合相切求解斜率得解. ， 由于为圆上任意一点， 故可看作圆上任意一点到定点的斜率， 当直线与圆相切时，此时斜率最大， 由于相切时，故，此时斜率, 故的最大值为， 故选：C. 【变式训练1-3】已知点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将看作时圆上的点到点的直线的斜率的最小值即可求解. 看作圆上的点到点的直线的斜率的相反数. 当经过点的直线与上半圆相切时，切线斜率最小， 设切线方程为，所以圆心到切线的距离等于半径，故，解得 故当时，切线斜率最小，此时最大，最大值为， 故选：C. 【变式训练1-4】在正三角形中，为中点，为三角形内一动点，且满足，则最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系， 不妨设正三角形的边长为，则，，， 设，则，， ，， ，即； 点轨迹为：， ； 当时，，； 当时，令，则表示与连线的斜率， 设直线与圆相切， 则圆心到直线距离，解得：或， ， 则当时，取得最小值，； 综上所述：最小值为． 故选：D． 题型02：截距型 【典型例题1】已知点是圆上的动点，则的最大值为（       ） A． B． C．6 D．5 【答案】A 【解析】由，令，则， 所以当时，的最大值为． 故选：A 【典型例题2】已知，是实数，且． (1)求的最值； (2)求的取值范围； (3)求的最值． 【解析】（1）首先设，利用直线与圆有交点，列式求的最值； （2）首先设，转化为直线与圆有交点，列不等式求的取值范围； （3）根据的几何意义，转化为圆上的点与原点距离的最值. （1）设，化为， 可知直线与圆有交点，圆心，半径为2， 有，解得， 可得的最小值为1，最大值为21； （2）设，化为， 可知直线与圆有交点， 有，解得或， 故的取值范围为； （3）的几何意义为坐标原点到圆上任意一点的距离， 圆的圆心到坐标原点的距离为， 故的最小值为，最大值为． 【变式训练2-1】点是圆上的动点，则的最大值是________． 【答案】 【解析】由，则，当且仅当时等号成立， ∴的最大值是． 故答案为：． 【变式训练2-2】已知点是圆：上的一动点，若圆经过点，则的最大值与最小值之和为（       ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为圆：经过点， ．又，所以， 可看成是直线在轴上的截距．如图所示， 当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，此时，解得， 所以的最大值为，最小值为，故的最大值与最小值之和为． 故选：C． 【变式训练2-3】如果实数满足等式，那么的最大值是 ；的最大值是 ． 【答案】； 【解析】画出图形，通过数形结合，以及直线与圆的位置关系、所求代数式的几何意义逐一求解即可. 由，得的几何意义为圆上的动点到原点距离的平方． 因为圆心到原点的距离为，所以圆上的动点到原点距离的最大值为， 则的最大值是． 令，则是直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时，直线在轴上的截距，一个是最大值，一个是最小值， 此时，圆心到直线的距离，解得， 所以的最大值为． 故答案为：；. 【变式训练2-4】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求： (1)的最大值和最小值； (2)y＋x的最大值和最小值； (3)x2＋y2的最大值和最小值． 【解析】（1）令＝t，进行求解即可； （2）令y＋x＝m，得其纵截距在两相切位置对应的纵截距之间，进行求解即可； （3）根据x2＋y2的几何意义，进行求解即可. （1） 如图，令＝t，则x2＋t2x2－4x＋1＝0，即（1＋t2）x2－4x＋1＝0.由Δ≥0得－≤t≤， 所以的最小值为－，最大值为. （2）令y＋x＝m，得y＝－x＋m.直线y＝－x＋m与圆x2＋y2－4x＋1＝0有公共点时，其纵截距在两相切位置对应的纵截距之间，而相切时有＝，|m－2|＝，m＝2±. 所以y＋x的最大值为2＋，最小值为2－. （3） 如图，x2＋y2是圆上点到原点距离的平方，故连接OC，与圆交于点B，并延长交圆于C′，可知B到原点的距离最近，点C′到原点的距离最大，此时有OB＝＝2－，OC′＝＝2＋， 则（x2＋y2）max＝OC′2＝7＋4，（x2＋y2）min＝OB2＝7－4. 距离型 题型03：定点到圆上的点距离最值和范围 【典型例题1】已知是圆上的动点，点满足，点，则的最大值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】C 【解析】首先求点的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系，求的最大值. 设，， 由，得，， 因为点在圆上，即， 则， 所以点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆， 因为，，所以点在圆外， 所以的最大值为. 故选：C. 【变式训练3-1】已知圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】由题意及圆的定义得圆心所在的轨迹方程，然后利用点与圆的位置关系求解最大值即可. 由圆经过点，可得， 即，故圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 又，所以圆心到原点的距离的最大值为. 故选：C. 【变式训练3-2】点是圆上任意一点，为圆的弦，且，为的中点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．47 【答案】B 【解析】根据弦长公式先求出，然后可知点N在以为圆心，1为半径的圆上，结合圆的性质可求的最小值. 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为． 如图所示，由弦长公式知， 解得， 所以点在以为圆心、1为半径的圆上， 由图可知，的最小值为． 故选：B． 【变式训练3-3】已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，直线与交于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，由表示出点坐标，代入直线方程得出点的轨迹，根据点到圆上一点距离最小值求法计算即可． 设，由题可知，则，即， 所以，所以点， 将点的坐标代入，化简得（不同时为0）， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又，点在该圆外， 所以的最小值为， 故选：B． 【变式训练3-4】已知点在圆上，则的最大值为（       ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】可看作圆上的点到定点的距离，根据圆的几何性质，其最大值为到圆心的距离与圆的半径之和，即． 故选：D． 题型04：圆上的点到定直线距离的最值范围 【典型例题1】已知直线，点在圆上运动，那么点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】确定圆心和半径，求出圆心到直线的距离，加上圆的半径，即可得答案. 【解答过程】圆的圆心为，半径为. 则圆心到直线：的距离为：. 所以圆上的点到直线：距离的最大值为：. 故选：C. 【变式训练4-1】已知点是圆上的两点，若，则的最大值为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】B 【解析】题目转化为、到直线的距离之和，变换得到，利用数形结合转化求解即可． 因为，、，在圆上，， 因为，则是等腰直角三角形， 表示、到直线的距离之和的倍， 原点到直线的距离为，如图所示： ，，是的中点，作于， 且，，， ，当且仅当三点共线，且在的两侧时等号成立， 又，故的最大值为 的最大值为． 故选：B． 【变式训练4-2】已知M，N是圆C：上的两个点，且，P为的中点，Q为直线：上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先根据弦长得出点P的轨迹，利用直线与圆的位置关系即可解决. 圆C的标准方程：，圆心C，半径为2， 由，可得， 所以点P在以C为圆心，为半径的圆上， 又点C到直线：的距离， 所以的最小值为. 故选：B. 【变式训练4-3】已知，是圆上的两个动点，且，若点满足，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接，根据已知可得，且，从而可得动点的轨迹为圆，由圆心到直线的距离可解. 如图，连接， 由，是圆上的两个动点，且， 即， 又，则，可得， 所以， 则动点的轨迹方程为， 且圆心到直线的距离为， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式训练4-4】设，，三条直线：，：，：，则与的交点到的距离的最大值为_________． 【答案】 【解析】因为，所以， 而直线：即过定点， ：即过定点， 所以与的交点在以为直径的圆上， 圆方程为，即， 所以到的距离的最大值为． 故答案为：． 弦长 题型05：过圆内定点的弦长最值范围 【典型例题】已知直线与圆相交于两点，则弦长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，求得直线恒过点，结合圆的性质和弦长公式，即可求解. 因为直线，可得， 由，解得，所以直线恒过点， 可得点在圆内部， 又由圆，可得圆心，半径为， 当直线过圆心时，截得弦长最长，此时， 当直线与垂直时，此时弦长最短，又由， 可得， 所以弦长的取值范围是. 故选：B. 【变式训练5-1】已知圆的方程为，则该圆中过点的最短弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用几何法求弦长. 如图： ，所以圆心，半径    由图可知，当弦 时，弦长最短. 此时，中，，， 所以：. 所以弦长. 故选：D. 【变式训练5-2】已知直线.圆，则（    ） A．l过定点 B．l与C一定相交 C．若l平分C的周长，则 D．l被C截得的最短弦的长度为4 【答案】B 【解析】根据方程的形式，联立方程，即可求定点，判断A，再根据定点与圆的关系，判断直线与圆的位置关系，判断B，根据直线平分圆的周长，可得直线与圆的关系，判断C，当定点为弦的中点时，此时弦长最短，结合弦长公式，即可判定D. 【解答过程】选项A：， 联立，解得，所以l过定点，故A错误； 选项B：因l过定点，且， 所以定点在圆内，即l与C一定相交，故B正确； 选项C：若l平分C的周长，则直线过圆心，所以， 即，故C错误； 选项D：当定点为弦的中点时，此时弦长最短， 此时圆心到弦所在直线的距离， 则弦长，故D错误； 故选：B. 【变式训练5-3】已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【解析】写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定最小时直线与直线的位置关系，即可得结果.由恒过， 又，即在圆C内， 要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短， 由，圆的半径为5， 所以. 故选：A. 题型06：圆的切线长最值范围 【典型例题】从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】先求出圆心和半径，再将切线长的最小转化为直线上的点与圆心的距离最小来求解即可. 【解答过程】圆化为，圆心为，半径为1， 直线上的点向圆引切线，设切点为， 则， 要使切线长的最小，则最小，即直线上的点与圆心的距离最小， 由点到直线的距离公式可得，. 所以切线长的最小值为. 故选：B. 【变式训练6-1】已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】根据已知条件，结合勾股定理以及点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】连接，则， 而的最小值为点C到直线l的距离， 所以. 故选：A. 【变式训练6-2】已知点是直线上一动点，过点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（　　） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】由题意可得，则当取得最小值时，线段长度的最小，利用点到直线的距离公式求出的最小值即可得解. 【解答过程】圆的圆心，半径， 由题意可得， 则， 则当取得最小值时，线段长度的最小， ， 所以. 故选：D. 【变式训练6-3】已知点为直线上的一点，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分析可知，由勾股定理可得，当取小值时，，求出圆心到直线的距离，作为的最小值，结合勾股求解即可. 由题意可知，圆的圆心为，半径为， 由圆的几何性质可知，， 由勾股定理可得, 所以要使切线长取最小值，只需取最小值即可. 当直线与直线垂直时，取最小值， 则的最小值是. 故选：A. 题型07：距离型最值和范围综合 【典型例题1】若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为______． 【答案】 【解析】以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系， 则，设，由， 所以，两边平方并整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 所以， 则有， 所以的最大值为． 故答案为：． 【典型例题2】若A，B是：上两个动点，且，A，B到直线l：的距离分别为，，则的最大值是（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为． ， ， 由于，所以． 设是的中点，则， 设，则，即的轨迹为单位圆． 原点到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离． 所以， 所以的最大值是． 故选：D 【变式训练7-1】已知直线与圆交于两点，且，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】的几何意义为点到直线的距离之和，其最大值是的中点到直线的距离的2倍． 由题可知，为等边三角形，则， ∴AB中点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆， 故点到直线的最大距离为， ∴的最大值为， ∴的最大值为＝． 故答案为：． 【变式训练7-2】已知实数满足：，，，则的最大值为______． 【答案】 【解析】的值转化为单位圆上的两点到直线的距离之和， 由得：， 所以三角形是等腰直角三角形，设是的中点， 则，且， 则在以点为圆心，半径为的圆上， ，两点到直线的距离之和为的中点到直线的距离的两倍． 到直线的距离为， 所以到直线的距离的最大值为， 所以的最大值为． 故答案为：． 【变式训练7-3】若点P在曲线上运动，则点P到直线的距离的最大值为（       ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解析】由曲线方程为知曲线关于轴成轴对称，关于原点成中心对称图形，在第一象限内，方程化为，即，在第一象限内，曲线是为圆心，为半径的圆在第一象限的圆弧（含坐标轴上的点），实际上整个曲线就是这段圆弧及其关于坐标轴．原点对称的图形加上原点， 点到直线的距离为， 所以所求最大值为． 故选：A． 【变式训练7-4】在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得 ， 故 由得， 由得，设 ，则 ， 即，即点C轨迹为一动圆， 设该动圆圆心为 ，则， 整理得 ，代入到中， 得： ，即C轨迹的圆心在圆上， 故点（1，1）与该圆上的点的连线的距离加上圆的半径即为点到点的距离的最大值，最大值为 ， 故选：B 【变式训练7-5】已知点，圆上的两个不同的点、满足，则的最大值为（       ） A．12 B．18 C．60 D． 【答案】C 【解析】因，则点A，P，B共线，即过点P的直线AB与圆交于不同的两点A，B， 表示点、到直线的距离和的5倍， 设弦AB中点，则有 于是得：， 圆的圆心，显然点P在此圆内，即过点P的任意直线与圆都相交， 当点M与点P，Q都不重合时，由圆的性质知，，有， 当点M与点P，Q之一重合时，也成立，于是得， 又，从而得，即点M的轨迹是以原点为圆心的单位圆， 圆的圆心到直线的距离， 则圆上的点到直线的距离的最大值为， 所以的最大值为60． 故选：C 【变式训练7-6】在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，点满足，则点到点的距离的最大值为（       ） A．3 B． C．5 D．4 【答案】D 【解析】由题意可知点在以线段为直径的圆上， 设的中点坐标为，有，可得， 由，， 有． 当且仅当，，三点共线时取等号． 故选：D 【变式训练7-7】若x、a、b为任意实数，若，则最小值为（       ） A． B．9 C． D． 【答案】C 【解析】由可得在以为圆心，1为半径的圆上， 表示点与点的距离的平方， 即表示圆上动点到函数y＝lnx图像上动点距离的平方． 设为y＝lnx上一点，且在处的y＝lnx的切线与和连线垂直，可得， 即有， 由在时递增，且，可得m＝1，即切点为， 圆心与切点的距离为， 由此可得的最小值为． 故选：C． 【变式训练7-8】已知平面向量，，，满足，，，则的最小值为（       ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以， 所以对任意都恒成立， 所以． 不妨设又． 当，设， 所以， 所以， 所以， 所以对应的点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 所以可以看成是到的距离， 所以的最小值为． 当时，同理可得的最小值为1． 故选：A 【变式训练7-9】已知，为圆：上两点，且，点在直线：上，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设线段的中点为， 圆的圆心为，半径为． 到直线的距离为， 所以，故点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，设点的轨迹为圆， 圆上的点到直线的最短距离为． 所以． 故选：A 【变式训练7-10】若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则（|PA|2＋|PB|2）的最大值为（       ） A．3＋ B．7＋4 C．8＋4 D．16＋8 【答案】C 【解析】以线段AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． 不妨令A（－1，0），则B（1，0），设P（x，y）． 由＝，则，化简得：（x－2）2＋y2＝3为P的轨迹方程． ∴， 其中x2＋y2可以看作圆（x－2）2＋y2＝3上的点（x，y）到点（0，0）的距离的平方， ∴x2＋y2的最大值为（2＋）2＝7＋4， ∴x2＋y2＋1的最大值为8＋4，即的最大值为8＋4． 故选：C． 【变式训练7-11】已知P是半圆C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，如图所示， 显然当P运动到坐标原点时，有最小值， 最小值为原点到直线的距离， 即， 故选：D 【变式训练7-12】若，分别为圆：与圆：上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（       ） A． B．6 C．9 D．12 【答案】C 【解析】 易得圆圆心为半径为2，圆圆心为半径为1，设圆圆心半径为1，与关于直线对称， 则，解得，如图所示，要使最小， 则． 故选：C． 【变式训练7-13】过圆C： 外一点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若PA⊥PB，则点P到直线的距离的最小值为（       ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】∵过圆C： 外一点向圆C引两条切线， 切点分别为A，B，由PA⊥PB可知，四边形CAPB为边长为1的正方形，所以， 所以点的轨迹E是以C（1，0）为圆心，为半径的圆， 圆心到直线的距离， 所以点P到直线的最短距离为， 故选：B 题型08：周长型最值范围 【典型例题】已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为（       ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心坐标为，半径为， 因为过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B， 所以有，， 因此有， 要想四边形周长最小，只需最小，即当时， 此时，此时， 即最小值为， 故选：A 【变式训练8-1】已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形周长取最小值时，四边形的外接圆方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心，半径，点C到直线l的距离， 依题意，，四边形周长， 当且仅当时取“=”，此时直线，由得点， 四边形的外接圆圆心为线段中点，半径，方程为． 故选：D 【变式训练8-2】直线经过定点，且与轴正半轴、轴正半轴分别相交于，两点，为坐标原点，动圆在的外部，且与直线及两坐标轴的正半轴均相切，则周长的最小值是（    ） A．3 B．5 C．10 D．12 【答案】C 【解析】先设动圆的圆心坐标为，，，结合直线与圆相切的性质可得，当圆与直线相切于点处时，圆半径最小，结合两点间距离公式即可求解． 设动圆的圆心坐标为， 即圆半径，由题意， 设，，圆与直线相切于点，则，， 所以， 即的周长为， 所以的周长最小即为圆半径最小，因为， 则，整理得， 解得或, 当时，圆心在内，不合题意； 当时，符合题意，即圆半径的最小值为，周长的最小值为． 故选：C． 【变式训练8-3】设P为直线上的动点，PA，PB为圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形的周长的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】根据给定条件，利用圆的切线长定理将四边形周长表示为的函数求解. 依题意，圆的圆心，半径， ，， 因此四边形的周长， 而，当且仅当垂直于直线时取等号， 所以四边形的周长的最小值为4. 故选：C. 题型09：面积型最值范围 【典型例题】已知点A（2，0），B（0，﹣1），点是圆x2+（y﹣1）2＝1上任意一点，则 面积最大值为（       ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知， 要使的面积最大，只要点P到直线的距离最大． 由于AB的方程为1，即x﹣2y﹣2＝0， 圆心（0，1）到直线AB的距离为d， 故P到直线AB的距离最大值为1， 所以面积的最大值为， 故选：D． 【变式训练9-1】在平面直角坐标系中，圆C与圆外切，且与直线相切，则圆C的面积的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知，到直线的距离为，又因为圆C与圆外切，所以圆C的直径的最小值为， 所以圆C的面积的最小值为． 故选：A． 【变式训练9-2】已知直线与圆相交于两点，当变化时，△的面积的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为直线直线恒过点在圆内，所以直线与圆相交， 圆的圆心，所以△的面积的最大值为： ． 故选：C． 【变式训练9-3】已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则面积的最大值为（       ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【解析】由直线的方程是得直线过定点，同理直线方程为，即，所以定点， 又，所以，即在以为直径的圆上， ，由圆的性质知点到的距离最大值等于圆半径，即， 所以面积的最大值为． 故选：C． 【变式训练9-4】已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】写出面积表达式，从而得到当与直线垂直时面积最小，代入数据计算即可. 由题意得，，， ， 当垂直直线时，， ， 故选：B. 【变式训练9-5】已知，，设是圆上一动点，则面积的最大值与最小值之差等于（    ）． A．12 B． C．6 D． 【答案】B 【解析】求出到直线的距离的最大值与最小值，结合面积公式做差即可得. 因为直线与圆相离， 设圆心到直线的距离为， 则，又圆的半径为2， 所以到直线的距离的最小值为， 到直线的距离的最大值为， 因此面积的最大值与最小值之差等于： ． 故选：B． 题型10：数量积型 【典型例题1】已知双曲线的右焦点为F，，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点M､Q，则的最大值为（       ） A．48 B．49 C．50 D．42 【答案】A 【解析】由双曲线方程知：右焦点，在双曲线上， 直线方程为，令，解得：，； 以为直径的圆的圆心为，且． 连接， 在以为直径的圆上，，， ； 为双曲线上一点，且，，； 故选：A 【典型例题2】．（多选题）已知圆M：，直线l：，直线l与圆M交于A，C两点，则下列说法正确的是（       ） A．直线l恒过定点 B．的最小值为4 C．的取值范围为 D．当最小时，其余弦值为 【答案】ABC 【解析】A．直线，即，直线恒过点，故A正确； B．当定点是弦的中点时，此时最短，圆心和定点的距离时，此时，故B正确； C．当最小时，最小，此时，此时，当是直径时，此时最大，，此时，所以的取值范围为，故C正确； D．根据C可知当最小时，其余弦值为，故D错误． 故选：ABC 【典型例题3】已知，，点P在曲线上，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】设，由题意，点在， 即点在以为圆心，半径为的下半圆上， ， 其中表示为点到点的距离的平方， 当点到点的距离最小时，取最小值， 点到点的最小距离为， 所以的最小值为． 故答案为： 【变式训练10-1】已知点M为椭圆上任意一点，A，B是圆上两点，且，则的最大值与最小值的和是（       ） A．20 B． C．40 D． 【答案】C 【解析】设圆的圆心为，易知是圆的一条直径， 因此 ， 因为点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，所以， 所以，即， 所以的最小值为，最大值为， 又因为，所以的最大值与最小值的和是． 故选：C． 【变式训练10-2】骑行是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱．如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，均是边长为4的等边三角形，设点P为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，达到最大值时点P到地面的距离为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为原点建立如图所示平面直角坐标系， ， 以为圆心，半径为的圆的方程为， 设， ， 由于，所以当时，取得最大值， 此时点的坐标为， 点到地面的距离为． 故选：B 【变式训练10-3】在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，为圆的直径，点是直线上任意一点；则的最小值为（   ） A．4 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【解析】由题意求出圆C的方程，根据数量积的运算律求得的表达式，确定当为圆心到直线的距离时，取最小值，结合点到直线的距离即可求得答案. 对于曲线，令，则；令，则， 曲线与坐标轴的交点分别为， 设圆心，由，得， 则圆心为，半径为2，所以圆方程为，    ， 当最小，即为圆心到直线的距离时，取到最小值， 圆心到直线的距离设为，则， 所以最小值为4，则的最小值为， 故选：B． 【变式训练10-4】已知圆是圆心为原点的单位圆，是圆上任意两个不同的点，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设为弦的中点，则，后由图形结合C点在圆内部可得答案. 设为弦的中点，则．因为两点不重合，则直线AB与圆O相交，所以点在圆内. 考虑点D为圆上或圆内一点，如图当且仅当D，O，M三点共线时，最长为，因C在圆内，则； 考虑点E为圆上或圆内一点，如图当且仅当O，E，M三点共线时，最短为，因C在圆内，则. 综上，当点在圆内时，，则. 故选：D． 【变式训练10-5】已知等边的边长为，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】首先建立平面直角坐标系且，，，进而确定的轨迹圆，再利用向量数量积的坐标表示并结合所得表达式的几何意义求范围即可. 如下图构建平面直角坐标系，且，，， 所以在以为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为， 而，故， 综上，只需求出定点与圆上点距离平方的范围即可， 而圆心与的距离，故定点与圆上点的距离范围为， 所以. 故选：B. 【变式训练10-6】已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出线段的中点，将转化为，利用垂径定理，由图化简得，只需求的范围即可，故又转化成求过点的弦长的范围问题.    如图，取线段的中点，连接，则， 由 ， 因直线经过点，考虑临界情况， 当线段中点与点重合时（此时），弦长最小，此时最长， 为，（但此时直线与轴平行，点不存在）； 当线段中点与点重合时，点与点重合，最短为0（此时符合题意）. 故的范围为. 故选：D. 【变式训练10-7】．（多选）已知圆，直线，点，则（       ） A．当时，直线l与圆相切 B．若直线l平分圆的周长，则 C．若直线l上存在点A，使得，则a的最大值为 D．当时，N为直线l上的一个动点，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】当时，直线的方程为，即，点到直线的距离为，直线l与圆不相切，故A错误； 若直线l平分圆的周长，则在直线上，即，解得，故B正确； ，在圆上，若直线l上存在点A，使得，则在以为直径的圆上，又的中点为，， 以为直径的圆的方程为， 则有的中点到直线的距离，解得，则a的最大值为，故C正确； 当时，直线的方程为，N为直线l上的一个动点，所以设， 则，， ，对称轴为， 当时，取得最小值，为，故D正确． 故选：BCD． 【变式训练10-8】．（多选题）若动直线与圆相交于两点，则（       ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．为坐标原点）的最大值为78 D．的最大值为18 【答案】ABD 【解析】由，可得， 故直线恒过定点，又圆，圆心为，半径为3， 由圆的性质可得当⊥时，取得最小， 此时，，故A正确； ∵， ∴，故B正确； 由，可得， 设，则， ∴ ， ∴， 要使最大，则最大， 要求的最大值，不妨令，（当时不合题意） 则， 当且仅当，即取等号， 故，故C错误； 由题可知， ∴，故D正确． 故选：ABD． 【变式训练10-9】已知正方形ABCD的边长为2，以B为圆心的圆与直线AC相切．若点P是圆B上的动点，则的最大值是________． 【答案】8 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，易知圆半径为，圆方程为， 设，则， ， 设，则，代入圆方程并整理得，此方程有实数解， 所以，，所以的最大值是2， 所以的最大值是8． 故答案为：8． 【变式训练10-10】已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】因为，又，所以，所以， 以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系： 则，，设，则， ，， 所以， 设，即， 依题意直线与圆有交点， 所以，得， 所以的最小值为． 故答案为： 题型11：坐标与角度型 【典型例题1】在平面直角坐标系中，已知 ，曲线上任一点满足，点在直线上，如果曲线上总存在两点到点的距离为，那么点的横坐标的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据可求出曲线的方程，根据曲线上总存在两点到点的距离为，可得到点到圆心的距离小于，解不等式即可. 设，因为满足 化简得： ∴曲线的方程：，圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，如图所示： 设点，只需点到圆心的距离小于即可． 此时点在点与点之间. ∴． 解得：． 故选：A. 【典型例题2】已知，满足，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点在圆上，， 则， 如图，当与圆相切时，取得最小值，所以，此时点． 故选：C 【典型例题3】已知直线与直线相交于点P，点，O为坐标原点，则的最大值为（       ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】直线恒过定点，直线恒过定点， 而，即直线与直线垂直，当P与N不重合时，，， 当P与N重合时，，令点，则，， 于是得，显然点P与M不重合，因此，点P的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆（除点M外），如图， 观察图形知，射线AP绕点A旋转，当旋转到与圆O：相切时，最大，最大， 因，为切线，点为切点，，，则， 所以最大值为，． 故选：B 【变式训练11-1】已知，过点作圆（为参数，且）的两条切线分别切圆于点、，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆心，半径为，圆心在直线上运动， 设，则，由圆的几何性质可知， 所以，， 当直线与直线垂直时，取最小值，则取最小值， 且，则，则， 由双勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，且， 故函数在上为减函数， 故当时，取得最大值． 故选：C． 【变式训练11-2】已知圆C：和两点，，且圆C上有且只有一个点P满足，则r的最大值为（       ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【解析】由题设，以为直径的圆：与圆C相切，且在圆外， 当两圆外切时，，则； 当两圆内切时，，则． 所以r的最大值为． 故选：C． 【变式训练11-3】动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为（       ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】设动圆圆心，半径为1，动圆M经过坐标原点，可得，即， ，当且仅当时取等号，即， 则圆心M的横纵坐标之和的最大值为 故选：C 【变式训练11-4】已知为坐标原点，点，，以为邻边作平行四边形，，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知圆：，是圆上两动点，所以， 所以为等边三角形， 又， 取的中点，则， 所以，所以点的轨迹方程为：， 当与相切时，最大，此时，则． 故选：C． 【变式训练11-5】已知x，y满足，则的最大值为（       ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】求，取 设是圆上任一点，过P作的垂线，垂足为T， 则的几何意义为PT的长，表示， ，直线与圆相切时， 令，当与圆相切于第一象限时，取最大值， 此时 ∴ 故选：D． 【变式训练11-6】已知圆C：x2＋y2＝4，M、N是直线l：y＝x＋4上的两点，若对线段MN上任意一点P，圆C上均存在两点A、B，使得cos∠APB＝，则线段MN长度的最大值为（       ） A．2 B．4 C．4 D．4 【答案】C 【解析】如图所示： 圆C：x2＋y2＝4的圆心到直线l：y＝x＋4的距离为： ， 所以直线与圆相离， 从直线上的点向圆上的点连线成角， 当且仅当两条线均为切线时，是最大的角， 不妨设切线为PE，PF， 因为cos∠APB＝， 所以，则， 所以， 解得， 所以线段MN长度的最大值为， 故选：C 【变式训练11-7】（1）已知点是圆上一点，点是圆上一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用圆的最值问题和正弦定理即可求解. 圆的圆心，半径， 圆的圆心， 半径， 在三角形中，， 根据正弦定理可得，，即， 所以， 因为，， 所以， 因为，所以是锐角， 所以的最大值为. 故选：B. （2）已知直线与圆，过直线上的任意一点作圆的切线PA，PB，切点分别为A，B，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，可知当OP最小时，最小，结合点到直线的距离公式运算求解. 由题意可知：圆的圆心为，半径为1， 则圆心到直线的距离为，可知直线与圆相离， 因为，且， 当最小时，则最大，可得最小，即最小， 又因为的最小值即为圆心到直线的距离为， 此时，所以取得最小值． 故选：C． 【变式训练11-8】）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由圆的方程求得其圆心和半径，求出圆心到直线l的距离，确定当时，取最大值，结合，求出，结合圆的切线性质，即可求得答案. 圆的标准方程为，圆心，半径， 圆心到直线的距离为，即l与圆相离， 由于，故，    故当时，最小，此时最大，则也取最大值， 此时，， 故选：C. 【变式训练11-9】若圆）与圆交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】可化为， 故圆N的圆心为，半径为， 由题意可知：AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1， 所以且，故， 当的坐标为时，， 在△NAB中，， 又，在上单调递减， 故为锐角，且当时，最大， 又在上单调递增， 所以当最大时，取得最大值，且最大值为， 故选：D 【变式训练11-10】已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】因为两点，点满足，故点的轨迹是以为直径的圆（不包含）， 故其轨迹方程为， 又圆上存在点，故两圆有交点， 又，则， 解得，则的最大值为． 故选：C． 【变式训练11-11】．（多选题）已知圆上两点A、B满足，点满足：，则下列结论中正确的是（       ） A．当时， B．当时，过M点的圆C的最短弦长是 C．线段的中点纵坐标最小值是 D．过M点作图C的切线且切点为A，B，则的取值范围是 【答案】CD 【解析】圆的圆心，半径，令圆心到直线距离为， 对于A，令直线，即，显然有， 线段的垂直平分线平行于轴，此时点不存在，即不存在，A不正确； 对于B，当 时，点在圆内，而圆的直径长为2，则过 点的圆的最短弦长小于2，而，B不正确； 对于C，令线段的中点，则， 则，即，解得，当且仅当时取等号， 所以，C正确； 对于D，依题意及切线长定理得：， 解得或， 所以的取值范围是，D正确． 故选：CD． 【变式训练11-12】已知，，是非零平面向量，，，，，则的最大值是_________． 【答案】 【解析】由题，令，则， 因为，令，根据几何性质，点B在以为圆心，1为半径的圆上， ，又因为，利用数量积公式展开可得， 所以点C的轨迹为以或为圆心，半径为1的圆， 所以C的横坐标的最大值为， ，即为在上的投影，最大值为． 故答案为：． 题型12：长度型最值 【典型例题1】古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足（其中是正常数，且），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点，P是圆上的动点，则的最小值为____________ 【答案】 【解析】如图，在轴上取点， ，，，， （当且仅当为与圆交点时取等号）， ． 故答案为：． 【典型例题2】已知圆是以点和点为直径的圆，点为圆上的动点，若点，点，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，知：且，即圆的半径为4， ∴圆：， 如上图，坐标系中则， ∴，即△△，故， ∴，在△中， ∴要使最大，共线且最大值为的长度． ∴． 故选：A 【典型例题3】已知圆，圆，点分别是圆､圆上的动点，点为上的动点，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由圆的方程可知：圆心，，半径，； 设与关于对称，则， 则圆与圆关于对称， 当五点共线时，取得最小值， ． 故选：B． 【变式训练12-1】已知圆，圆，点、分别是圆、圆上的动点，点为轴上的动点，则的最大值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为． ，又，， 所以，． 点关于轴的对称点为， ， 所以，， 故选：B． 【变式训练12-2】已知A，B是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得． 因为，所以或． 当时，；当时，． 所以方程表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分．当A，B分别与图中的M，N重合时，取得最大值，且最大值为6； 当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，取得最小值，且最小值为．故的最大值与最小值的比值是． 故选：A 【变式训练12-3】已知曲线，等边三角形的两个顶点A，B在E上，顶点C在E外，O为坐标原点，则线段长的最大值为（       ） A．3 B． C． D．2 【答案】D 【解析】设圆心到直线AB的距离为d 则    令， 由可得，所以在上为增函数 由可得，所以在上为减函数 所以 故选：D 【变式训练12-4】已知抛物线的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆上，则的最小值为（       ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】如图，过点向准线作垂线，垂足为，则， 当垂直于抛物线的准线时，最小， 此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，， 半径为，所以的最小值为． 故选：C 【变式训练12-5】已知点为圆上一点，点，当m变化时，线段长度的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由圆，可得圆心，半径为， 则， 当时，取得最小值，最小值为， 所以线段长度的最小值． 故选：C． 【变式训练12-6】已知为抛物线上的动点，为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则， ， ， ， 则当时，，即的最小值为． 故选：C． 【变式训练12-7】已知为抛物线C：上一动点，过C的焦点F作：的切线，切点为A，则线段FA长度的最小值为（       ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知， 由切线长公式得，， 所以． 故选：B． 【变式训练12-8】已知圆C：，若直线l：ax－y＋1－a＝0与圆C相交于A，B两点，则的最小值为（       ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解析】易知直线，过定点， 圆的标准方程是，圆心为，半径为， 而，所以． 故选：B． 【变式训练12-9】如图，P为圆O：x2+y2＝4外一动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，直线OP与AB相交于点Q，点M（3，），则|MQ|的最小值为（       ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°， 由圆与切线的平面几何性质知，∠APO＝60°，又|OA|＝2，则可得|OP|＝ 在直角中，，由得， ∴Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，方程为x2+y2＝3； |MQ|的最小值即为|OM|﹣r＝﹣＝． 故选：A． 【变式训练12-10】在平面直角坐标系中，已知为圆上动点，则的最小值为（   ） A．34 B．40 C．44 D．48 【答案】B 【解析】借助点到直线的距离公式与圆上的点到定点距离的最值计算即可得. 设，则 ， 即等价于点到点的距离的平方的两倍加八， 又， 即. 故选：B. 【变式训练12-11】已知圆上两点满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，由发现，又的几何意义是两点到直线的距离之和的倍，进而利用数形结合即可求解. 由得，即，则. 因为， 所以，由点到直线的距离公式可知表示两点到直线的距离之和的倍，如图所示：    设的中点分别为，易知，由梯形的中位线可得， 则，即点到直线的距离之和的4倍， 因为是直角三角形，所以， 则点在圆上运动， 显然，最小值为原点到直线距离与圆半径之差的4倍， 原点到直线距离，半径， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式训练12-12】已知为直线上一点，过点作圆的切线（点为切点），为圆上一动点． 则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，可得，得到，结合直角三角形的性质和勾股定理，求得，，得到最小时，同时取得最小值，即可求解. 如图所示，连接，可得，且垂足为 要使得取得最小值， 即， 又由， ， 显然，当最小时，同时取得最小值， 所以，当时，且， 所以. 故选：B. 【变式训练12-13】已知圆，圆，M，N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】利用圆的性质及“将军饮马”模型计算最值即可.    如图所示，易知，两圆半径分别为， 取点关于横轴的对称点A，则，在横轴上任取一点，连接， 连接交横轴于P，交圆于E(圆上靠近横轴一点)，连接交圆于F(圆上靠近横轴一点)， 则 ， 当且仅当，，对应重合时等号成立， 此时的最小值为. 题型13：方程中的参数 【典型例题】已知，，，，则面积的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点，因为，所以， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又直线的方程为：，，圆心到直线的距离，所以到直线的距离最大值为 则面积的最大值为． 故选：． 【变式训练13-1】在中，，，点在内部，，则的最小值为______． 【答案】2 【解析】因为，，所以． 在中，由正弦定理得：（R为的外接圆半径），所以，解得：． 如图所示：设的外接圆的圆心为O，建立如图示的坐标系． 设E为AC的中点，所以，． 所以点M的轨迹为：，可写出（为参数）． 因为点在内部，所以（其中满足，）． 所以 因为满足，，所以， 所以当时最小． 故答案为：2 【变式训练13-2】已知过点的动直线l与圆C：交于A，B两点，过A，B分别作C的切线，两切线交于点N．若动点，则的最小值为（       ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】 易得圆心，半径为4，如图，连接，则，则四点在以为直径的圆上， 设，则该圆的圆心为，半径为，圆的方程为，又该圆和圆的交点弦即为， 故，整理得，又点在直线上， 故，即点轨迹为，又在圆上，故的最小值为 圆心到直线的距离减去半径1，即． 故选：B． 【变式训练13-3】如图，在直角梯形中，，点M在以为直径的半圆上，且满足，则的最大值为（       ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】 如图，以为原点建立直角坐标系，设中点为，易得，则中点，， 故以为直径的圆的方程为，过作轴平行线交轴于，交半圆于，则，设， 则，又， 故，则，其中， 显然当时，取最大值． 故选：D． 巩固练习 一、单选题 1．已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】利用点即在圆上，又在直线上，可得，求解即可. 由题意知点在曲线上， 则圆心到直线的距离， 即， 又， 所以的最小值2． 故选：B. 2．由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】根据已知条件，求得，由此可知时，取得最小值，由此即可求解. 由已知有：圆的圆心，半径为，直线的一般方程为， 设点到圆心的距离为，则有，所以， 所以取最小值时，取得最小值， 因为直线上点到圆心的距离最小值为圆心到直线的距离， 所以，故的最小值为. 故选：B. 3．直线被圆截得的弦长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由恒过定点可得，过点的直径与直线垂直时，所截得的弦长最小，借助垂径定理计算即可得. 直线恒过定点， ，即， 设其圆心为，半径为，则，， 又，所以点在圆内， 则当直线与直线垂直时所截得的弦长最小， 最小值为． 故选：D． 4．圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．9 【答案】C 【解析】求出圆心到直线的距离加上圆的半径即可得答案. 圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的最大值为. 故选：C. 5．已知，直线为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意分析得当，分别为圆的切线，且最小时，最大，此时最小，再利用二倍角公式即可得解. 由题意得的标准方程为，所以圆心，半径为2， 所以圆心到直线的距离为，所以直线与相离， 所以当，分别为圆的切线，且最小时， 最大，又，则最大， 所以最大，此时最小， 此时. 故选：D. 6．已知点M是直线和（）的交点，，，且点M满足恒成立，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，得到点的轨迹方程为，结合恒成立，求得点，再由，且直线的方程为，得到在直线上存在两个点满足或三点共线，进而求得其最小值. 将直线化为，可得直线恒过定点， 同理可得直线恒过定点，当时， 可得，则，，当时，显然，所以， 因为点是直线和的交点，所以点的轨迹方程为， 又因为恒成立，可得恒成立， 即恒成立，所以，即， 又由，且直线的方程为， 可得原点到直线的距离为， 所以在直线上存在两个点满足或三点共线， 如图所示，可得， 所以的最小值为. 故选：D. 7．已知直线交圆于两点，则的最小值为（    ） A．9 B．16 C．27 D．30 【答案】D 【解析】根据题中条件，先求得弦的中点的轨迹方程，则的几何意义为两点到直线的距离之和，即点到直线距离的2倍，结合点到直线的距离公式求解即可. 由题设直线与轴的交点为，设弦的中点为， 连接，则，即，所以， 即， 所以点的轨迹方程为， 即的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 设直线为，则到的最小距离为， 过分别作直线的垂线，垂足分别为， 则四边形是直角梯形，且是的中点， 则是直角梯形的中位线，所以，即， 即， 所以的最小值为30. 故选：D. 8．已知圆的方程为：，点，，是线段上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，现有以下四种说法：①四边形的面积的最小值为1；②四边形的面积的最大值为；③的最小值为；④的最大值为．其中所有正确说法的序号为（   ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④ 【答案】B 【解析】利用数形结合，将面积的最值转化为求的最值，即可判断①②；利用数量积和三角函数表示，再转化为利用对勾函数的单调性求最值. 如图，当点是的中点时，此时，最短，最小值为， 当点与点或点重合时，此时最长，最大值为2， 因为是圆的切线，所以，， 则四边形的面积为， 所以四边形的面积的最小值为，最大值为，故①②正确； , ， ，， 设，函数单调递增，最小值为0，最大值为，故③错误，④正确. 故选：B.   9.等腰三角形ABC内接于半径为2的圆O中，，且M为圆O上一点，的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解析】以圆O的圆心O为原点，射线OA为x轴建立平面直角坐标系，连接，如图， 因为，则，而圆O的方程为，设，故, 利用圆的参数方程（注意角的取值范围） ，当且仅当，即时，，所以的最大值为6.故选B. 10．如图所示，正方体棱长为2，点P为正方形内（不含边界）一动点，角平分线交于点Q，点P在运动过程中始终满足． ①直线与点P的轨迹无公共点； ②存在点P使得； ③三棱锥体积最大值为； ④点P运动轨迹长为． 上述说法中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为为的角平分线，在中，由正弦定理可知，设，则 ，所以， 在中，由正弦定理可知，， 因为，所以，且，设，， 因为点P为正方形内（不含边界）一动点，所以需考虑自变量的范围 所以，所以，，所以，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内部的弧，且，点到该直线的距离为，所以与圆无公共点，①正确；若，设，所以，所以，所以，即，联立，解得 所以点满足条件，所以②正确；若最大，则到距离最大，即到与圆的交点处，但不在正方形边界上，所以最大值取不到，故③错误；令，得到点，又因为，所以，所以为等边三角形，所以，由为点的运动轨迹，故，故④正确；故选C. 二、多选题 11．已知圆，点是圆上的一点，则下列说法正确的是（    ） A．圆关于直线对称 B．已知，，则的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【解析】对于A，由直线穿过圆心即可判断，对于BCD，分别将问题理解成圆上的点与定点的距离平方和、在y轴上的截距和圆上的点和定点连线的斜率，在数形结合即可求得最值情况，进而求解即可判断. 由题圆C的圆心为，半径为， 对于A，显然圆心满足，故直线穿过圆心， 所以圆关于直线对称，A对； 对于B， ， 设，如图， 所以根据代数式的几何意义可知的最小值为：，故B对； 对于C，设，即，动点在圆C上， 则z取得最小值时，即为直线在y轴上截距最小， 如图，过圆C所在平面作直线，直线与直线平行， 由图可知，当直线与圆C相切时其在y轴上截距取得最大值或最小值， 此时圆心C到直线的距离等于半径，即， 或，故的最小值为，故C错； 对于D，因为，设， 则根据代数几何意义可知当圆上的点与定点两点间斜率最大时， 的值最大， 如图，显然当过T的直线与圆相切时斜率最大， 设切线为，， 则有圆心到切线距离，或， ，故D对. 故选：ABD. 12．已知是圆上的两点，则下列结论中正确的是（    ） A．若点到直线的距离为，则 B．若，则 C．若，则的最大值为6 D．的最小值为 【答案】ACD 【解析】对于A选项：利用圆的弦长公式即可求解；对于B选项：运用余弦定理即可求解；对于C选项：将转化为到直线的距离之和的倍，进而求解；对于D选项：利用数量积公式即可求解； 依题意，圆的圆心，半径为 如图所示： 对于A选项：因为点到直线的距离为，所以，故选项A正确； 对于B选项：因为，且， 所以在中，由余弦定理可得：, 所以，故选项B错误； 对于C选项：由， 其几何意义为到直线的距离之和的倍 设的中点为,结合梯形的中位线可知： 则有， 因为，所以, 在直角三角形中，, 所以点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆. 因为到的距离为， 所以， 所以，故选项C正确； 对于D选项：因为， 所以当所成的角为时，. 故选项D正确; 故选：ACD. 13．已知圆，直线与交于两点，点为弦的中点，，则（    ） A．弦有最小值为 B．有最小值为 C．面积的最大值为 D．的最大值为9 【答案】BCD 【解析】易得直线过定点，根据点为弦的中点时，最小，即可判断A；根据点为弦的中点，可得，进而可得出点的轨迹是以为直径的圆，即可判断B；要使面积取得最大值，只要点到直线的距离最大即可，进而可判断C；设，联立，利用韦达定理求出，进而可求出的坐标，再根据数量积的坐标公式结合基本不等式即可判断D. 【解答过程】圆的圆心，半径， 直线过定点， 因为，所以点在圆内， 所以直线与圆一定相交， 当点为弦的中点时，有最小值， 此时直线的斜率不存在，而直线的斜率一定存在， 所以，故A错误； 因为点为弦的中点，所以，即， 所以点的轨迹是以为直径的圆(去除），圆心为，半径为， 所以轨迹方程为， 因为，所以点在圆外， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，， 要使面积取得最大值，只要点到直线的距离最大即可， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 所以点到直线的距离最大值为， 所以面积的最大值为，故C正确； 对于D，设， 联立，得， 则，故， 所以点的坐标为， 则， 当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时，取等号， 综上所述的最大值为9，故D正确.    故选：BCD. 14．（多选题）已知点，，点P为圆C：上的动点，则（    ） A．面积的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BCD 【解析】，圆C是以为圆心， 半径为的圆.对于A，面积的最小值为点P动到圆C的最低点时，，，故选项A错误； 对于B，连接交圆于点，当点P动到点时，取到最小值为，故选项B正确； 对于C，当 运动到与圆C相切时，取得最大值，设切点为,，， ，故选项C正确； 对于D，，当点P动到点时，取得最大 向量数量积的几何意义：与即在上的投影数量的乘积， 值，即在上的投影，，故选项D正确；故选BCD. 15．（多选题）已知，是圆：上的两点，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若点到直线的距离为，则 C．若，则的最大值为4 D．的最小值为 【答案】BD 【解析】依题意，如图所示： 对于A：若，在中，，所以，所以，故A选项错误； 对于B：若点到直线的距离为，由垂径定理易得：， 解得：，故B选项正确； 对于C：， 其几何意义为，到直线的距离之和的倍， 设中点为，则有（梯形中位线）， 因为，所以，所以在直角三角形中，，所以点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，即， 所以的圆心到直线的距离为， 所以，所以， 故C选项错误；对于D：因为，所以当的夹角为时取得最小值，故D选项正确；故选BD. 三、填空题 16．动直线l：被圆C：截得弦长的最小值为 8 ． 【解析】求出直线所过定点A，判断定点A在圆内，数形结合知直线截圆所得弦长最小时，弦心距最大，此时，即可由勾股定理求出此时的弦长. 【解答过程】直线，即， 所以直线过定点，又圆，且， 所以点在圆内部，， 当垂直于直线时，到直线的距离最大，此时弦长最小， 所以直线被圆截得的弦长的最小值为. 故答案为：8. 17．直线 ，与圆相交于、两点，点为直线上一动点，则的最小值是 . 【解析】计算直线的恒过点，圆的圆心和半径，可得直线恒过圆心，由向量线性运算，，两边平方作差可得，计算出范围即可. 因为直线，则直线恒过点， 由可得圆的圆心 ，半径，则直线恒过圆心， 因为，， 所以①，② ②①得 因为点到直线的距离为：，则， 的最小值是, 故答案为：. 18．已知、满足：，，，则代数式的取值范围是 . 【解析】分析可知，、在圆上，且，记，，对、与直线的位置关系进行分类讨论，引入参数表示、，利用三角恒等变换结合三角函数的有界性可求得的取值范围. 设、，，，， 故、在圆上， 且，其中为坐标原点， 因为，则， 因为，则是腰长为的等腰三角形，且， （1）当点、在直线的同侧时， 设直线交圆于、两点，如下图所示：    记，，记，则，其中， 则，， 所以， ， 因为，则，所以，， 则； （2）当点、在直线的异侧时， 设直线交圆于、两点，如下图所示：    记，，记，则，其中， 则，， 所以， ， 因为，则，则， 则； （3）当点、中有一点在直线上时，    则. 综上所述，代数式的取值范围是. 故答案为：. 19.若直线与相交于点，过点作圆的切线，切点为，则|PM|的最大值为______． 【答案】 【解析】直线过定点，直线过定点， 显然这两条直线互相垂直，因此在以为直径的圆上，设该圆的圆心为， 显然点的坐标为，所以该圆的方程为，由圆的切线性质可知：，要想|PM|的值最大，只需的值最大，当点在如下图位置时，的值最大，即，所以|PM|的最大值为 . 20.已知平面内两定点，，点满足，则动点的轨迹方程为______________；若平面内两动点，（）满足，则的最大值为______________. 【答案】      【解析】设动点，则，， ∵点满足，∴，化简，整理得 动点满足，其轨迹一定为圆 .∴动点的轨迹方程为. 若平面内两动点，（）满足，则， ∴，， ∴，∴， ∵，∴， ∴的几何意义为点到原点的距离， ∵动点的轨迹为圆心为，半径为的圆， ∴如图，当点位于处时，到原点距离最大值为， 即的最大值为. 四、解答题 21．已知点在圆上，点，．求点到直线距离的最大值； 【解析】首先求出直线的方程，再根据圆上的点到直线的距离最大值为圆心到直线的距离与半径的和求解即可. 因为，， 所以，所以直线的方程为，即， 圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 故圆与直线相离，所以圆上的点到直线距离的最大值为. 22．已知圆过，，三点. (1)求圆的标准方程； (2)若点在圆上运动，求的最大值. 【解析】（1）将点代入圆方程求解参数即可. （2）转化为点到直线的距离求解即可. （1）设圆的一般方程为， 则，解得， 圆的一般方程为， 即标准方程为. （2）设，则圆的圆心到直线的距离， 解得，的最大值为. 23．已知为圆：上任意一点. (1)求的最大值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值. 【解析】（1）的最大值，等价于过圆上一点作斜率为的直线的截距的最大值，设，当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，计算即得解； （2）看成是过点和的直线斜率，设直线的方程为：，利用圆心到直线的距离不大于半径解不等式即可. （3）表示点与点的距离的平方，转化为圆上的点与点的距离的距离平方； 解：(1)∵的圆心，半径， 设，将看成直线方程， ∵该直线与圆有公共点，∴圆心到直线的距离， 解上式得：，∴的最大值为. (2)记点，∵表示直线的斜率，设直线的方程为：，即，由直线与圆有公共点， ∴，可得， ∴的最大值为，最小值为； (3)∵设，等价于圆的圆心到原点的距离的平方， 则， . 24．已知圆. (1)过点作的切线，求的方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的切线，记切点为，当取最小值时，求的大小. 【解析】（1）根据点到直线的距离公式，利用相切即可求解直线方程， （2）根据切线性质，结合勾股定理可将问题转化为当取最小值时，根据垂直即可求解.. （1）因为圆的圆心为，半径为， 当的斜率不存在时，满足条件. 当的斜率存在时，不妨设其方程为， 即， 圆心到的距离为，解得， 可得的方程为， 综上所述，的方程为或. . （2）， 当最短时，即时，取得最小值， 此时， ，又， . 25.已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值. 【解析】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值； （2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值； （3）首先设，再转化为直线与圆有交点， （1）圆心到直线的距离为． ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点， ∴，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 解法二：设，则，其中， ∴得，即的最大值为，最小值为． （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k， 设，即，直线与圆有交点， 设， 解得． 则，即的最大值为，最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $