第02讲 直线和圆的位置关系讲义（思维导图+知识要点+解题测率+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学一轮复习圆的方程（新高考通用）

第02讲 直线与圆的位置关系 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 4 知识要点 4 解题策略 9 题型归纳 9 题型01：直线与圆位置关系的判断 9 题型02：根据直线与圆的位置关系求参 11 题型03：求圆的切线方程 14 题型04：与切线长有关问题 16 题型05：切点弦及其方程的应用 17 题型06：圆的弦长问题 20 题型07：过定点的直线与圆相交的判定及最短弦长问题 27 题型08：圆的中点弦问题 28 题型09：直线与圆的距离 29 题型10：直线与圆实际应用 29 题型11：直线与圆的最值 30 题型12：与圆有关的动点轨迹 34 题型13：直线与圆的综合问题 37 题型14：与圆有关的定点问题 41 题型15：与圆有关的定值问题 43 巩固提升 45 直线与圆的位置关系是高考数学中的重要内容，以下是对其在高考中的相关分析： 考查形式 1. 题型：多以选择题、填空题形式出现，分值一般为5分左右，主要考查基础知识和基本技能。有时也会在解答题中作为某一问出现，或与圆锥曲线等知识综合出现在压轴题中。 2. 难度：总体难度适中，选择、填空题多为易中等题，主要考查对基本概念和公式的运用；若出现在解答题尤其是与其他复杂知识综合时，难度较大。 核心考点 1. 位置关系判断：常给出直线和圆的方程，要求判断二者位置关系。主要通过两种方法， 一是几何法，利用圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系判断； 二是代数法，联立直线与圆方程，根据方程组解的个数判断。 2. 弦长问题：已知直线与圆相交，求弦长。通常利用弦长公式（其中l为弦长，r为圆半径，d为圆心到直线的距离），结合点到直线距离公式求解。 （1）.已知圆． ①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是 . 当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程． ②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线． 2 斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线． （2）.已知圆． ①过圆上的点的切线方程为; ②斜率为的圆的切线方程为 圆的弦长公式： （3）已知圆方程为 + = 过圆上的点P(, )的切线方程为：(- a)(x - a) + ( - b)(y - b) = 3. 切线问题：包括求圆的切线方程、已知切线求参数值等。 命题趋势 1. 近几年高考对直线与圆位置关系的考查相对稳定，预计未来仍会以上述核心考点为主进行命题。 2. 会更加注重知识的交汇融合，如与三角函数、向量、不等式等知识结合，考查综合运用能力。同时，会强化对数学思想方法的考查，如数形结合思想、函数与方程思想等，要求考生能灵活运用这些思想方法分析和解决问题。 1. 知识理解：掌握直线与圆的三种位置关系（相交、相切、相离）的定义，能清晰区分三种关系的特征。 2. 方法掌握：熟练运用几何法（圆心到直线的距离d与半径r的大小比较）和代数法（联立方程判断解的个数），准确判断直线与圆的位置关系。 3. 技能应用： ◦能根据已知条件计算直线与圆相交时的弦长，或解决与弦相关的问题。 ◦ 会求过圆上或圆外一点的圆的切线方程，能处理与切线相关的参数计算问题。 4. 思想运用：在解题中能主动运用数形结合思想、函数与方程思想，提升分析和解决综合问题的能力。 5. 综合能力：能将直线与圆的位置关系知识与其他数学知识（如向量、三角函数等）结合，解决综合性问题。 知识点一：判断直线与圆的位置关系 （1）几何法 圆圆心到直线的距离． ①若直线与圆相离没有交点； ②若直线与圆相切有一个交点； ③若直线与圆相交有两个交点． （2）代数法 联立直线方程与圆的一般方程，得到方程组，消去（或），得到关于（或）的一元二次方程． ①若，直线与圆有2个交点，直线与圆相交； ②若，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； ③若，直线与圆没有交点，直线与圆相离． 知识点二：直线与圆相离的应用 （1）圆上的动点到直线的距离的最大值为，最小值为（为圆心到直线的距离）； （2）圆上的动点到直线的距离的最大值为，最小值为（为圆心到直线的距离）． 知识点三：直线与圆相交的应用 （一）弦长（为圆心到直线的距离）； 1．圆弦长问题的两个主要考查角度 (1)已知直线与圆的方程求圆的弦长． (2)已知圆的弦长求解直线或圆的方程中的参数等． 2．求解弦长问题的两个方法 几何法 如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝·＝ ·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB| （二）过圆内一定点最长的弦为直径，最短的弦和定点与圆心的连线垂直； （三）圆上的点到直线的距离为的个数问题，结合圆心到直线的距离考虑． 知识点四：直线与圆相切的应用 （一）求过圆上一点的切线方程 切线与垂直且过点，点斜式写出切线方程即可 已知圆与圆上一点 则过点的切线方程为 （二）求过圆外一点的切线方程（一定有两条） 圆的方程为，求过圆外一点的切线方程步骤： 3 当切线斜率不存在时，验证是否成立； ②当切线斜率存在时，设点斜式方程，，化为一般式，然后用圆心到该直线距离，求解，得到切线方程． 求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程 代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出 （三）切线长 过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为， 则切线长（利用勾股定理求解）． （四）切点弦问题 过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为， 切点弦所在直线方程为： （以圆心，为半径作圆，然后两圆相减即可） 切点弦的长度：（可利用等面积法或者相似求解） 知识点五：圆常用结论 （一）：圆的方程其它表示形式 1.圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。圆的参数方程的主要应用是三角换元： ，； 2.圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、). 3.圆系方程 (1)过点,的圆系方程是 ,其中是直线的方程,λ是待定的系数． (2)过直线:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数． (3) 过圆:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数． （二）圆的切线方程 1.已知圆． ①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是 . 当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程． ②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线． 4 斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线． 2.已知圆． ①过圆上的点的切线方程为; ②斜率为的圆的切线方程为 圆的弦长公式： 3.为直径端点的圆方程； 切线长：过圆（）外一点引圆的切线的长为： （） 一、核心判断策略 判断直线与圆的位置关系，优先选用几何法，运算更简便；代数法作为辅助，适用于需联立方程的综合场景。 1. 几何法（推荐） 2. 代数法 二、高频题型解题技巧 1. 弦长问题 • 核心公式：弦长（d为圆心到直线的距离）。 • 步骤：① 确定r和d；② 代入公式计算，避免联立方程求交点的复杂运算。 2. 切线问题 • 过圆上一点(, )的切线：直接用切线方程公式(- a)(x - a) + ( - b)(y - b) = （圆方程为 + = ）。 • 过圆外一点的切线：① 设切线斜率为k，写点斜式方程；② 用圆心到切线距离等于半径列方程求k；③ 注意斜率不存在的情况（直线垂直于x轴），避免漏解。 3. 综合问题（与参数、最值结合） • 用函数与方程思想：将参数视为变量，通过距离公式或判别式构建函数，转化为求函数值域或最值问题。 • 用数形结合思想：画出图形，直观分析圆心、半径、直线的位置关系，辅助找到解题突破口（如最短弦为过定点且垂直于圆心与定点连线的弦）。 三、易错点规避 1. 计算圆心到直线的距离时，务必正确代入点到直线距离公式，注意直线方程需化为一般式。 2. 求过圆外一点的切线时，必须验证斜率不存在的直线是否为切线，防止漏解。 3. 处理含参数的直线或圆方程时，要注意参数的取值范围，避免忽略特殊情况（如圆的半径为正数）。 题型01：直线和圆的位置关系判断 ①直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离． ②两种研究方法 【典型例题1】直线与圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】A 【解析】因为圆的圆心坐标为，半径为； 所以圆心到直线的距离为， 所以直线与圆的位置关系是相离.故选：A. 【典型例题2】对任意实数k，直线（3k+2）x﹣ky﹣2＝0与圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣3＝0的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．与k有关 【答案】A 【解析】将直线（3k+2）x﹣ky﹣2＝0化为（3x﹣y）k+2x﹣2＝0，求得直线过的定点，然后判断点与圆的位置关系即可． 解：将圆的方程化为标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5，则圆的圆心为（1，1），半径为， 直线（3k+2）x﹣ky﹣2＝0可化为（3x﹣y）k+2x﹣2＝0， 由，解得， 所以直线过定点（1，3）， 因为（1﹣1）2+（3﹣1）2＝4＜5， 所以点（1，3）在圆内， 所以直线与圆相交． 故选：A． 【变式训练1-1】直线3x+4y﹣5＝0与圆x2+y2＝1的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【变式训练1-2】圆与直线的位置关系为（ ） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定 【变式训练1-3】（多选）直线和圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相切或相离 C．相交 D．相切 【变式训练1-4】已知点在圆上，则直线与圆的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【变式训练1-5】直线与圆的位置关系是（ ） A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定 【变式训练1-6】直线与圆的大致图象可能正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-7】已知点M（a，b）在圆O：x2+y2＝1外，则直线ax+by＝1与圆O的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 题型02：根据直线与圆位置关系求参数 【典型例题1】若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为　　． 【答案】 【解析】解：设直线l的方程为y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0 ∵直线l与曲线（x﹣2）2+y2＝1有公共点， ∴圆心到直线l的距离小于等于半径 即1，解得 ∴直线l的斜率的取值范围为 故答案为 【典型例题2】．若圆x2+y2＝r2（r＞0）上仅有4个点到直线x﹣y﹣2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：作出到直线x﹣y﹣2＝0的距离为1的点的轨迹，得到与直线x﹣y﹣2＝0平行， 且到直线x﹣y﹣2＝0的距离等于1的两条直线， ∵圆x2+y2＝r2的圆心为原点， 原点到直线x﹣y﹣2＝0的距离为d， ∴两条平行线中与圆心O距离较远的一条到原点的距离为d'， 又∵圆x2+y2＝r2（r＞0）上有4个点到直线x﹣y﹣2＝0的距离为1， ∴两条平行线与圆x2+y2＝r2有4个公共点，即它们都与圆x2+y2＝r2相交． 由此可得圆的半径r＞d'， 即r，实数r的取值范围是． 故选：C． 【典型例题3】若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方程是恒过定点，斜率为k的直线， 曲线，即， 是圆心为，半径在直线及右侧的半圆， 半圆弧端点， 在同一坐标系内作出直线与半圆C：， 如图，当直线与半圆C相切时， 由得切线PT的斜率， 当直线PT绕点P逆时针旋转到过点A的直线的过程中的每一个位置的直线 与半圆C均有两个公共点， 包含直线PA，不包含直线PT，旋转到其它位置都没有两个公共点， 直线PA的斜率， 所以直线与曲线有两个不同的交点， 则实数的取值范围是.故选：A 【变式训练2-1】若圆x2+y2＝1上总存在两个点到点（a，1）的距离为2，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣2，0）∪（0，2） B．（﹣2，2） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，1） 【变式训练2-2】已知直线y＝kx﹣2与圆（x﹣1）2+y2＝1相交，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-3】若圆x2+y2﹣2x+4y﹣a＝0与直线（2m﹣1）x+my﹣3＝0始终有交点，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣5，75） B．[75，+∞） C．（﹣5，+∞） D．（75，+∞） 【变式训练2-4】若圆x2+y2+2x+4y﹣3＝0上到直线x+2y+a＝0的距离等于的点恰有3个，则实数a的值为 　　． 【变式训练2-5】已知圆与直线相切，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-6】已知对任意的实数k，直线l：与圆C：有公共点，则实数t的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-7】若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-8】（多选）若直线与曲线有公共点，则实数m可以（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-9】直线与半圆有两个交点，则的值是____． 题型03：求圆的切线方程 【典型例题1】已知直线经过点，且与圆相切，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线经过点，且与圆相切， 则, 故直线的方程为，即.故选：A. 【典型例题2】已知圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1（a，b＞0）与x轴和y＝x+1均相切，则a＝　　，b＝　　． 【答案】；1 【解析】根据点到直线的距离公式得到方程组，求解即可． 解：圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1（a，b＞0），圆心为（a，b），半径r＝1， 由题意得db＝1，解得， 故答案为：；1． 【典型例题3】已知点是圆上的动点，直线与轴、轴分别交于两点，当最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆化成标准形式为， 故圆心为，半径为，直线与坐标轴交于点，点，如图所示：    则当最小时，与圆相切，连接， 可知， 由勾股定理可得. 故选：A 【变式训练3-1】过点作圆的切线，则的方程为（ ） A． B．或 C． D．或 【变式训练3-2】过点作圆：的切线，则切线的方程为（ ） A． B． C．或 D．或 【变式训练3-3】若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（　　） A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1 B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1 C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1 D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1 【变式训练3-4】（多选）已知圆，下列命题正确的是（ ） A．为过点的圆的一条切线 B．为过点的圆的一条切线 C．为过点的圆的一条切线 D．为过点的圆的一条切线 【变式训练3-5】自点发出的光线经过轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则满足条件的反射光线所在直线的斜率之和为（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-6】若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-7】在平面直角坐标系中，已知圆被轴截得的弦长为2，且与直线相切，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D． 【变式训练3-8】设点M（x0，x0），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是（　　） A．[，0] B．[，] C．[﹣2，2] D．[，] 【变式训练3-9】．已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（　　） A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．2x+y+1＝0 题型04：与切线长有关的问题 【典型例题1】过点作圆的切线，切点为B，则( ) A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【解析】， 故圆的圆心为C，半径r＝2， 故.故选：D. 【典型例题2】已知⊙M：，直线l：，点P为直线l上的动点，过点P作⊙M的切线，切点为A，则切线段长的最小值为 ． 【答案】1 【解析】⊙M：的圆心坐标为，半径为2，如图，    ，且， 故要使最小，则最小，此时PM⊥l， 因为圆心M到直线l：的距离为， ∴的最小值为 故答案为：1． 【变式训练4-1】过点A（﹣1，2）作圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1的切线，切点为B，则线段AB的长为 　　． 【变式训练4-2】过点A（﹣1，﹣3）作圆x2﹣4x+y2﹣2y+1＝0的切线，切点为B，则|AB|＝（　　） A．2 B． C．3 D． 【变式训练4-3】已知直线是圆的一条对称轴，过点向圆作切线，切点为，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-4】已知圆，P为抛物线上的动点，过点P作圆的切线，则切线长的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D．3 【变式训练4-5】设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点到点距离的最小值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．15 【变式训练4-6】已知直线，圆，P为l上一动点，过点P作圆C的切线PM，PN，切点为M，N，则四边形PMCN面积的最小值为（ ）． A． B．7 C．8 D． 【变式训练4-7】．已知点P（1，2），点M（3，1），圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4． （1）求过点P的圆C的切线方程； （2）求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长． 题型05：切点弦及其方程应用 【典型例题1】过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为______. 【答案】 【解析】不妨设切点，，圆心坐标为， 则有： 根据题意可得： 又切点均在圆上，则有： ； 则有：，解得： 同理有： 解得： 说明，两点均在直线上 故直线AB的方程为： 【典型例题2】圆O：x2+y2＝1，点P是直线3x+4y+15＝0上的一个动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A、B，则|AB|的最小值为 　 【答案】 【解析】由题意画出图形，可得|AB|最短时，|OP|最短，利用点到直线的距离公式求出|OP|的最小值，从而可得|AB|的最小值． 解：圆O：x2+y2＝1，圆心O（0，0），半径r＝1， 由于PA，PB分别切圆O于点A，B，则|PA|＝|PB|， OA⊥PA，OB⊥PB， 所以S四边形APBO＝2S△AOP＝|OA||PA|， 因为|OA|＝|OB|＝r＝1，所以S四边形APBO＝|PA|， 又PO⊥AB，所以S四边形APBO|AB||OP|， 所以|PA||AB||OP|， 即|AB|2， 所以|AB|最短时，|OP|最短， 所以点O到直线3x+4y+15＝0的距离即为|OP|的最小值， 所以|OP|min3， 所以|AB|的最小值为2， 故答案为：． 【变式训练5-1】过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知点P为直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A､B，则直线必过定点（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】过圆：外一点作圆的切线，切点分别为、，则（ ） A．2 B． C． D．3 【变式训练5-4】．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+（y﹣3）2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是（　　） A．[，2） B．[，2） C．[，2） D．[，2） 【变式训练5-5】过点（﹣2，2）作圆x2+（y+2）2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 　 　． 【变式训练5-6】已知圆M：（x﹣2）2+y2＝4，直线l：3x﹣4y+m＝0．若P∈l，过点P可作两条与圆M分别相切于A，B，且∠APB＝60°，则实数m的取值范围为 　 ． 题型06：圆的弦长问题 求直线与圆相交时弦长的方法： (1)几何法：如图1，直线与圆交于两点，设弦心距为，圆的半径为，弦长为，则有，即. (2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是，则 或，其中为直线的斜率. 【典型例题1】直线l:被圆C：截得的弦长为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意得圆心到直线l:的距离为， 故直线l:被圆C：截得的弦长为，故选：B 【典型例题2】若直线过点且被圆截得的弦长是6，则该直线的方程为 . 【答案】或． 【解析】由弦长求得圆心到直线的距离，根据点到直线的距离求直线的方程. 【详解】由题可知圆心，半径，弦长，设弦心距是d， 则，解得， 若l斜率不存在，直线是，代入圆的方程解得,故该直线被圆截得的弦长为6,符合题意， 若l斜率存在，设直线方程，即， 则圆心到直线的距离，解得， 直线l的方程为，即， 综上，所求直线方程为或． 故答案为：或． 【典型例题3】直线mx﹣y﹣4m+1＝0与圆x2+y2＝25相交，所得弦长为整数，这样的直线有（　　）条 A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【解析】由直线的方程可得过的定点的坐标，求出圆心到直线的距离d，可得最短的弦长，最长的弦长，求出在这之间的弦长的值，并求出直线的条数． 解：直线mx﹣y﹣4m+1＝0过定点（4，1），圆半径为5，圆心到直线的距离d， 最短弦长为2∈（5，6），恰有一条，但不是整数； 最长的弦长为直径10，也恰有1条； 弦长为6，7，8，9的直线各有2条， 所以共有9条， 故选：B． 【典型例题4】若直线y＝kx+1与圆（x﹣2）2+y2＝4相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，则k的取值范围是（　　） A．（0，） B．（，） C．（0，） D．（，） 【答案】D 【解析】由题意画出图形，求出直线过P与A两点时的斜率，再求出直线与圆相切时的斜率，数形结合得答案． 解：直线y＝kx+1过定点P（0，1），作出直线与圆如图： 当直线过P（0，1）与A（4，0）时，k； 由圆心（2，0）到直线kx﹣y+1＝0的距离等于2，得，解得k． ∴若直线y＝kx+1与圆（x﹣2）2+y2＝4相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限， 则k的取值范围是（，）． 故选：D． 【典型例题5】已知直线l：kx﹣y+2k＝0，则圆x2+2x+y2+4y﹣4＝0截直线l所得的弦长的最小值是 　　；直线l与曲线 　　　有两个公共点，则实数k的取值范围是 　　． 【答案】4；（，] 【解析】由直线系方程可得直线l所过定点，求出定点到圆心的距离，再由垂径定理求弦长的最小值；把曲线方程变形，画出图形，数形结合求解实数k的取值范围． 解：直线l：kx﹣y+2k＝0过定点P（﹣2，0）， 圆x2+2x+y2+4y﹣4＝0化为（x+1）2+（y+2）2＝9，圆心坐标为（﹣1，﹣2）， 点P（﹣2，0）在圆内部，P到圆心的距离为， ∴圆x2+2x+y2+4y﹣4＝0截直线l所得的弦长的最小值是； 曲线化为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4（y≤3）， 如图： A（4，3），P（﹣2，0），， 由，解得k或k（舍去）． ∴实数k的取值范围是（，]． 故答案为：4；（，]． 【典型例题6】已知直线和圆心为C的圆，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长. 【答案】直线l与圆C相交， 【解析】解法1：联立直线l与圆C的方程， 得， 消去y得，解得，， 所以直线l与圆C相交， 把，分别代入方程①，得，， 所以直线l与圆C的两个交点是，. 因此直线l被圆C所截得的弦长为. 解法2：圆C的方程可化为， 因此圆心C的坐标为，半径为， 圆心到直线l的距离， 所以直线l与圆C相交， 所以直线l被圆C所截得的弦长为. 【典型例题7】圆C：内有一点，过点P作直线l交圆C于A，B两点. (1)当弦AB最长时，求直线l的方程； (2)当直线l被圆C截得的弦长为时，求l的方程. 【答案】(1)，(2)或 【解析】（1）圆C：化为标准方程为，则圆C的圆心为. 又弦AB最长时，直线l过点和，所以直线l的方程为， 即. （2）当直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 弦长为时，由圆的半径为3，由垂径定理和勾股定理得， 圆心到直线距离为，即，解得， 此时直线l的方程为， 经检验k不存在时的直线也符合条件. 所以直线l的方程为或. 【变式训练6-1】圆与直线相交于，两点，则 ． 【变式训练6-2】已知圆，直线l过点，且交圆O于P，Q两点，使弦长为整数的直线l共有 条. 【变式训练6-3】．直线l：kx+y+4＝0（k∈R）是圆C：x2+y2+4x﹣4y+6＝0的一条对称轴，过点A（0，k）作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为（　　） A． B． C． D．2 【变式训练6-4】设直线与圆相交于两点，且弦的长为2，则实数的值是 . 【变式训练6-5】直线与圆相交于、两点，若，则等于（    ） A．0 B． C．或0 D．或0 【变式训练6-6】已知直线与圆：相交于、两点，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练6-7】若直线过点且被圆截得的弦长是6，则该直线的方程为 . 【变式训练6-8】设直线与圆相交于两点，且弦的长为2，则实数的值是 . 【变式训练6-9】已知圆，直线l过点，且交圆O于P，Q两点，使弦长为整数的直线l共有 条. 【变式训练6-10】已知过坐标原点的直线l与圆相交于M，N两点，当线段MN的长为整数时，所有满足条件直线的条数为（    ） A．12 B．13 C．25 D．26 【变式训练6-11】圆被过点的直线截得的最短弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式训练6-12】直线被圆所截得的最短弦长等于（ ） A． B． C． D． 【变式训练6-13】已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（ ） A． B．2 C．4 D． 【变式训练6-14】．直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若MN＜2，则k的取值范围是　 ． 【变式训练6-15】．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式训练6-16】．已知直线ax+by+c＝0与圆O：x2+y2＝1相交于A，B两点，且，则的值是（　　） A． B． C． D．0 【变式训练6-17】已知直线与直线垂直，且它被圆所截得的线段的长为，求直线的方程． 【变式训练6-18】已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若直线方程为与圆相交于两点，求. 【变式训练6-19】圆C：内有一点，过点P作直线l交圆C于A，B两点. (1)当弦AB最长时，求直线l的方程； (2)当直线l被圆C截得的弦长为时，求l的方程. 【变式训练6-20】圆内有一点，过的直线交圆于A、B两点. (1)当弦AB被平分时，求直线AB的方程； (2)若圆与圆相交于E，F两点，求． 【变式训练6-21】如图，已知圆心坐标为的圆M与x轴及直线均相切，切点分别为A，B，另一圆N与圆M，x轴及直线均相切，切点分别为C，D.    (1)求圆M和圆N的方程； (2)过B点作的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度． 题型07：过定点的直线和圆相交的判定与最短弦长问题 【典型例题1】已知圆，直线则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A．5 B．4 C．10 D．2 【答案】C 【解析】由， ，即过定点， 由得，半径， 则当时，C到的距离最远，此时被圆截得的弦长最小， 最小值为. 故选：C      【变式训练7-1】已知圆：，则过点的最短弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】过点且被圆C：所截得的弦长最短，求此时直线l的方程． 【变式训练7-4】过点（1，1）的直线l与圆C：x2﹣4x+y2＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值是（　　） A． B．2 C．3 D．4 【变式训练7-5】直线x+y+3＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣3）2+y2＝2上，则△ABP面积的最小值为（　　） A．6 B． C．12 D． 【变式训练7-6】已知直线l：x﹣y+4＝0与圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，则C上各点到l的距离的最小值为 　　． 题型08：圆中的中点弦问题 【典型例题1】已知直线与圆:相交于两点,弦的中点为,则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解:由题知,圆:,即圆心, 因为弦的中点为,所以, 因为,所以,即, 因为在上,所以,即. 故选:C 【变式训练8-1】已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，求弦的中点的轨迹方程． 【变式训练8-2】直线与圆相交于、两点，且弦的中点为，求直线的方程． 【变式训练8-3】已知圆，AB为过点且倾斜角为α的弦． (1)当时，求弦AB的长； (2)若弦AB被点P平分，求直线AB的方程． 题型09：直线与圆的距离问题 【典型例题1】圆上到直线的距离为的点的个数是____. 【答案】4 【解析】圆，  即，表示以为圆心，以为半径的圆. 圆心到直线的距离为， ， 故圆上到直线的距离为的点共有4个. 【典型例题2】（多选）若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则的取值可（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】圆的圆心为，半径为， 由题意可知，圆心到直线的距离为， 所以，，解得或故选：BD. 【变式训练9-1】已知圆与直线，则圆上到直线的距离为1的点的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练9-2】已知圆的方程为x2＋y2－4x－6y＋11＝0，直线l：x＋y－t＝0，若圆上有且只有两个不同的点到直线l的距离等于，则参数t的取值范围为（ ） A．(2，4)∪(6，8) B．(2，4]∪[6，8) C．(2，4) D．(6，8) 【变式训练9-3】已知圆，直线：，圆上至少有三个点到直线的距离都是，则的取值范围是________. 题型10：直线与圆的实际应用 【典型例题】某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟50米的速度从设备正东方向米的处出发，沿处西北方向走向位于设备正北方向的处，则这名工作人员被持续监测的时长为（ ） A．1分钟 B．分钟 C．2分钟 D．分钟 【答案】C 【解析】以设备的位置为坐标原点，其正东方向为轴正方向， 正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 则，， 可得，圆． 记从处开始被监测，到处监测结束， 因为到的距离为米， 所以米， 故监测时长为分钟．故选：C. 【变式训练10-1】已知在某滨海城市A附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向，距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动．已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km．则城市A受台风影响的时间为（ ） A．5h B．h C．h D．4h 【变式训练10-2】苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（ ）米.（注意：≈） A．6.48 B．5.48 C．4.48 D．3.48 【变式训练10-3】如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，速度为28km/h． （1）求外籍船航行路径所在的直线方程； （2）问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法) 题型11:直线与圆的最值 【典型例题1】在平面直角坐标系中，已知，为圆上两动点，点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令为中点，根据直角三角形性质，圆中弦长、弦心距、半径的几何关系求得轨迹为圆，求定点到所得圆上点距离的最大值，结合即可求结果. 由，要使最大只需到中点距离最大， 又且， 令，则，整理得， 所以轨迹是以为圆心，为半径的圆，又，即在圆内， 故，而，故. 故选：D. 【典型例题2】）已知点在过点且与直线垂直的直线上，则圆：上的点到点的轨迹的距离的最小值为（       ） A．1 B．2 C．5 D． 【答案】A 【解析】利用直线垂直的性质、直线的点斜式以及直线与圆上的点的位置关系进行求解. 过点且与直线垂直的直线为：， 已知点在该直线上，所以，即， 所以点的轨迹方程为，又圆：， 所以圆心，半径，所以圆上的点到点的轨迹的距离的最小值为： .故A，B，D错误. 故选：A. 【典型例题3】己知直线：被圆截得的弦长为，则点与圆上点的距离最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】利用直线被圆截得的弦长公式以及点与圆的位置关系求解. 由题可得，圆的半径， 圆心到直线的距离为， 直线被圆截得的弦长为， 解得或（舍去）， 则点的坐标为，该点到圆心的距离为， 所以点到圆上点的距离最大值为， 故选:A. 【变式训练11-1】已知直线（为常数）与圆交于点、，当变化时，若的最小值为2，则（    ） A．1 B． C． D．2 【变式训练11-2】已知A，B是圆C：上的两个动点，且，若，则点P到直线AB距离的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【变式训练11-3】在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是（    ） A．0 B． C． D．7 【变式训练11-4】已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练11-5】已知点是圆上任意一点，，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【变式训练11-6】已知圆，圆，M，N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式训练11-7】．（多选）已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是（    ） A．四边形的面积最小值为 B．M为圆C上一动点，则最小值为 C．最短时，弦直线方程为 D．最短时，弦长为 【变式训练11-8】已知圆. (1)若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程； 题型12：与圆有关的轨迹问题 （1） 用定义法求圆的轨迹方程：直接根据圆的定义求解； （2）用待定系数法求圆的轨迹方程：设圆的标准方程为； （3）相关点法确定圆的轨迹： ①双动点、一显一隐：已知条件中有两个动点，一个动点的轨迹明显易求，另一个隐藏极深难求. ②建立关联：即建立双动点的关系，最好以向量的形式出现，从而便于使用坐标形式. ③消显现隐：利用显动点的轨迹方程，通过代入，从而求出隐动点的轨迹方程. 【典型例题1】已知点，，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，根据即得. 设，由条件知，且PM，PN的斜率肯定存在，故， 即，所以， 因为为直角三角形的直角顶点， 所以，故所求轨迹方程为． 故选：C. 【典型例题2】已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】圆，所以圆心为，半径为2，设， 由线段的中点为，可得，即有， 即，所以点的轨迹方程为． 故答案为： 【典型例题3】从定点向圆任意引一割线交圆于P，Q两点，求弦PQ的中点M的轨迹方程. 【答案】（在圆C内部的部分） 【解析】设所求轨迹上任一点， 圆C的方程可化为 则圆心坐标为，，    因为，所以点M的轨迹是以AC为直径的圆（在圆C内部的部分）， 因为AC的中点坐标为， 所以点M的轨迹方程为（在圆C内部的部分） 【典型例题4】在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足 (1)求动点P的轨迹C的方程 (2)若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）设，根据动点满足，再用两点间距离公式列式化简作答. （2）讨论直线的斜率，设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解作答. 【解析】（1）设，由，得， 化简得， 所以P点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，轨迹：表示圆心为，半径为2的圆， 当直线l的斜率不存在时，方程为，圆心到直线l的距离为2，与相切； 当直线l的斜率存在时，设，即，     于是，解得，因此直线的方程为，即， 所以直线l的方程为或.    【变式训练12-1】已知A（3，3），点B是圆x2+y2＝1上的动点，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-2】已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（） A． B． C． D． 【变式训练12-3】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-4】已知圆的方程是，则圆心的轨迹方程为 . 【变式训练12-5】已知定点，动点在圆上，点在线段上，且，求点的轨迹方程． 【变式训练12-6】⧍ABC的顶点B，C的坐标分别是，，顶点A在圆上运动，求⧍ABC的重心G的轨迹方程. 【变式训练12-7】已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，求弦的中点的轨迹方程． 【变式训练12-8】已知点，且． (1)求点P的轨迹方程； (2)判断点P的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由． 【变式训练12-9】已知曲线上的动点满足到定点的距离与到定点距离之比为 (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程. 题型13：直线与圆的综合问题 【典型例题1】已知圆，过点的直线与圆相交于不重合的A，B两点，是坐标原点，且A，B，O三点构成三角形．    (1)求直线l的斜率的取值范围； (2)的面积为，求的最大值，并求取得最大值时的值． 【答案】(1) (2)的最大值为2，取得最大值时． 【解析】（1）解法一；设直线的斜率为，则直线的方程：， 由题意知：圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交于不重合的两点，且三点构成三角形， 所以．得，解得且， 所以的取值范围为． 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程：， 联立，化简得：． ，得， 因为三点构成三角形，所以， 所以的取值范围为． （2）直线，即， 点到直线距离：， 所以． 所以且． 设，则， 所以． 所以当，即，即时，． 所以的最大值为2，取得最大值时． 【典型例题2】已知圆M与直线相切，圆心M在直线上，且直线被圆M截得的弦长为． (1)求圆M的方程； (2)若在x轴上的截距为且不与坐标轴垂直的直线l与圆M交于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为 【解析】（1）设圆M的圆心为，半径为r， 因为圆M与直线相切，所以． 又因为直线被圆M截得的弦长为， 所以，解得， 即圆心坐标为，，所以圆M的方程为．    （2）存在．设，，， 由，得． 由根与系数的关系，得． 假设存在满足条件，则，． 由，得， 即， 即，， 即且，所以． 所以存在满足条件．    【变式训练13-1】已知点的坐标是，圆与轴相切，圆心的坐标是. (1)若过点作圆的切线有两条，求实数的取值范围； (2)若，过点的直线与圆相交于两点，且是的中点，求直线的方程. 【变式训练13-2】已知直线l：与圆C：相交于A、B两点． (1)若，求k； (2)在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA、MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【变式训练13-3】已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程． (2)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，若点，试求 的最小值． 题型14：圆有关的定点问题 （1）涉及直线过定点的问题： 若涉及直线过定点的证明，则直线一定为含有参数的动直线，即直线系，对于直线系方程，可将直线方程化为f(x,y)+，令f(x,y)且，求出交点坐标即为定点，例如直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)对于参数k，此直线系过定点。 （2）圆中定点问题的一般解题方法： ①引进参数法，引进动点的坐标或动线中的系数为参数，再研究变量与参数何时没有关系，找到定点； ②特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 对于引进参数后，把直线或者曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把常量当作未知数，将方程一端化为0，即化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(这里把常量k当作未知数)，由解得点的坐标即为定点． 【典型例题】已知圆C：，若点P在直线上运动，过点P作圆C的两条切线，，切点分别为A，B，则直线过定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求出的圆心和半径，由几何关系得到四点共圆，设，得到的圆的方程，与相减后得到直线的方程，求出直线过定点坐标. 【详解】圆C：①的圆心为，半径为2， 过点P作圆C的两条切线，，切点分别为A，B，故四点共圆， 其中的中点为该圆心，为直径， 设，则的中点为， ， 故过的圆的方程为， 变形得到②， 由①②相减可得直线的方程，即， 整理得， 令，解得， 故直线过定点坐标. 故选：D 【变式训练14-1】已知直线的方程是.求证：对于任意，直线均经过定点，并求此定点的坐标. 【变式训练14-2】已知圆M与直线相切，圆心M在直线上，且直线被圆M截得的弦长为． (1)求圆M的方程； (2)若在x轴上的截距为且不与坐标轴垂直的直线l与圆M交于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．    【变式训练14-3】已知圆经过三点． (1)求圆的方程． (2)已知直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 【变式训练14-4】在平面直角坐标系中，已知两个定点，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于不同的两点，且（为坐标原点），求直线的斜率； (3)若点是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点. 【变式训练14-5】在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线上. (1)设直线l：与圆M交于C，D两点，且，求圆M的方程； (2)设直线与（1）中所求圆M交于E，F两点，点P为直线上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线EF两侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标. 题型15：圆有关的定值问题 解决圆中的定值的基本方法： 定值是指有些问题和参数无关，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。 【典型例题】（多选）已知圆，斜率为k的直线l经过圆O内与O点不重合且不在坐标轴上的一个定点P，且与圆O相交于A、B两点，下列选项中正确的是（    ） A．若r为定值，则存在k，使得 B．若k为定值，则存在r，使得 C．若r为定值，则存在k，使得圆O上恰有三个点到l的距离均为 D．若k为定值，则存在r，使得圆O上恰有三个点到l的距离均为 【答案】AC 【解析】当P为弦AB中点时可判断AB选项，利用平行线间的距离及极限思想判定C，设直线OP与l的夹角为，求出满足条件时的取值范围即可判断D. 如图， 当P为弦AB中点时，，A 正确，B错误； 因为与l距离为非零定值的所有点的轨迹是与l平行的两条平行线， 若r为定值，当k趋向于0时，两条平行线与l的距离趋向于0，都与圆相交，当k趋向于无穷大时，两条平行线与l的距离趋向于无穷大，都与圆相离. 由于P点在圆内且与O点不重合，前面两个极限状态之间必然存在一条平行线与圆相交而另一条平行线与圆相切的情况，此时圆O上恰有三个点到l的距离均为，符合题意，C正确； 若k为定值，当圆O上恰有三个点到l的距离均为时，l的两条平行线中一条与圆相切，一条与圆相交．设原点O与l的距离为d ，直线OP与l的夹角为 ，此时，即，由于，所以，所以，故当时，不存在圆O上恰有三个点到l的距离均为，故D错误. 故选：AC 【变式训练15-1】已知圆与轴交于两点，点的坐标为．圆过三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则此定直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-2】已知圆：与直线相切. (1)若直线与圆交于，两点，求； (2)已知，，设为圆上任意一点，证明：为定值. 【变式训练15-3】已知圆：与圆：. (1)若圆与圆内切，求实数的值； (2)设，在轴正半轴上是否存在异于A的点，使得对于圆上任意一点，为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【变式训练15-4】）已知直线过定点，且与圆交于两点． (1)求直线的斜率的取值范围； (2)若为坐标原点，直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 巩固练习 1．直线被圆所截得的弦长为（    ） A．1 B． C．2 D．3 2．直线绕原点按顺时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是（    ） A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心 C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点 3．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．若直线过点，其中，是正实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D．5 5．已知直线，点，记到的距离为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．若直线与直线的交点在直线上，则实数（    ） A．4 B．2 C． D． 7．已知直线是圆的对称轴，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 9．已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 10．若圆与圆关于直线对称，过点的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 11．圆与圆的公共弦恰为圆的直径，则圆的面积是（    ） A． B． C． D． 12.已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（    ） A． B． C．或1 D． 13.过点向圆引两条切线，切点是、，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 14.在平面直角坐标系中，过点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 15.已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 16.在Rt△ABC中，，，，若动点P满足，则的最大值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 17.已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为3，则（    ） A．2 B．1 C．3 D． 18.已知过点P与圆相切的两条直线的夹角为，设过点P与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 19.（多选）下列说法是错误的为（    ） A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大 B．直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α C．斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等 D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示． 20.（多选）已知直线，其中，则（　  ） A．当时，直线与直线垂直 B．若直线与直线平行，则 C．直线过定点 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 21.（多选）与直线平行且到l的距离为2的直线方程为（    ） A． B． C． D． 22.（多选）设直线l：，交圆C：于A，B两点，则下列说法中正确的有（    ） A．直线l恒过定点 B．弦AB长的最小值为4 C．过坐标原点O作直线l的垂线，垂足为点M，则线段MC长的最小值为 D．当m＝1时，圆C关于直线l对称的圆的方程为 23.（多选）函数图象上一点到直线的距离可以是（    ） A． B． C． D． 24.（多选）已知的顶点在圆上，顶点在圆上.若，则（    ） A．的面积的最大值为 B．直线被圆截得的弦长的最小值为 C．有且仅有一个点，使得为等边三角形 D．有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线 25.（多选）已知圆M：，直线：，则（　　） A．恒过定点 B．若平分圆周M，则 C．当时，与圆M相切 D．当时，l与圆M相交 26.（多选）已知圆与圆相交于两点，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．当时， C．当且时， D．当时，的最小值为 27.（多选）已知圆，则下列选项正确的是（    ） A．的最小值为 B．直线与圆必相交 C．圆与圆相交，且公共弦长度为 D．光线由点射出，经轴反射后与圆相切于点，则从点到点的光线经过的总路程为 28.（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值且的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线与圆外切 C．曲线被直线截得的弦长为 D．曲线上恰有三个点到直线的距离为1 29.（多选）点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，为切点，则（    ） A．存在点，使得 B．弦长的最小值为 C．点在以为直径的圆上 D．线段经过一个定点 30.（多选）点是直线上的一个动点，，是圆上的两点．则（    ） A．存在，，，使得 B．若，均与圆相切，则弦长的最小值为 C．若，均与圆相切，则直线经过一个定点 D．若存在，，使得，则点的横坐标的取值范围是 31.（多选）已知圆，圆，直线，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为 B．圆与圆有四条公切线 C．点在圆上，点在圆上，则线段长的最大值为 D．直线与圆一定相交，且相交的弦长最小值为 32.直线l经过点，，若直线l与直线平行，则 ． 33.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ． 34.已知直线在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是 ． 35.经过两条直线，的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为 ． 36.已知圆，直线，当圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为 . 37.已知点在圆外，则直线与圆O的位置关系是 ． 38.已知圆与圆：相内切，则实数m的值为 ． 39.已知两圆，若圆与圆有且仅有两条公切线，则的取值范围为 . 40.过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB方程是 . 41.已知过点作圆的切线，则切线长为 . 42.已知圆关于直线对称，圆，请写出一条与圆都相切的直线方程： . (写一条即可) 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 直线与圆的位置关系 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 4 知识要点 4 解题策略 9 题型归纳 9 题型01：直线与圆位置关系的判断 9 题型02：根据直线与圆的位置关系求参 13 题型03：求圆的切线方程 19 题型04：与切线长有关问题 25 题型05：切点弦及其方程的应用 29 题型06：圆的弦长问题 35 题型07：过定点的直线与圆相交的判定及最短弦长问题 52 题型08：圆的中点弦问题 56 题型09：直线与圆的距离 59 题型10：直线与圆实际应用 61 题型11：直线与圆的最值 64 题型12：与圆有关的动点轨迹 73 题型13：直线与圆的综合问题 82 题型14：与圆有关的定点问题 89 题型15：与圆有关的定值问题 97 巩固提升 102 直线与圆的位置关系是高考数学中的重要内容，以下是对其在高考中的相关分析： 考查形式 1. 题型：多以选择题、填空题形式出现，分值一般为5分左右，主要考查基础知识和基本技能。有时也会在解答题中作为某一问出现，或与圆锥曲线等知识综合出现在压轴题中。 2. 难度：总体难度适中，选择、填空题多为易中等题，主要考查对基本概念和公式的运用；若出现在解答题尤其是与其他复杂知识综合时，难度较大。 核心考点 1. 位置关系判断：常给出直线和圆的方程，要求判断二者位置关系。主要通过两种方法， 一是几何法，利用圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系判断； 二是代数法，联立直线与圆方程，根据方程组解的个数判断。 2. 弦长问题：已知直线与圆相交，求弦长。通常利用弦长公式（其中l为弦长，r为圆半径，d为圆心到直线的距离），结合点到直线距离公式求解。 （1）.已知圆． ①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是 . 当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程． ②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线． 2 斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线． （2）.已知圆． ①过圆上的点的切线方程为; ②斜率为的圆的切线方程为 圆的弦长公式： （3）已知圆方程为 + = 过圆上的点P(, )的切线方程为：(- a)(x - a) + ( - b)(y - b) = 3. 切线问题：包括求圆的切线方程、已知切线求参数值等。 命题趋势 1. 近几年高考对直线与圆位置关系的考查相对稳定，预计未来仍会以上述核心考点为主进行命题。 2. 会更加注重知识的交汇融合，如与三角函数、向量、不等式等知识结合，考查综合运用能力。同时，会强化对数学思想方法的考查，如数形结合思想、函数与方程思想等，要求考生能灵活运用这些思想方法分析和解决问题。 1. 知识理解：掌握直线与圆的三种位置关系（相交、相切、相离）的定义，能清晰区分三种关系的特征。 2. 方法掌握：熟练运用几何法（圆心到直线的距离d与半径r的大小比较）和代数法（联立方程判断解的个数），准确判断直线与圆的位置关系。 3. 技能应用： ◦能根据已知条件计算直线与圆相交时的弦长，或解决与弦相关的问题。 ◦ 会求过圆上或圆外一点的圆的切线方程，能处理与切线相关的参数计算问题。 4. 思想运用：在解题中能主动运用数形结合思想、函数与方程思想，提升分析和解决综合问题的能力。 5. 综合能力：能将直线与圆的位置关系知识与其他数学知识（如向量、三角函数等）结合，解决综合性问题。 知识点一：判断直线与圆的位置关系 （1）几何法 圆圆心到直线的距离． ①若直线与圆相离没有交点； ②若直线与圆相切有一个交点； ③若直线与圆相交有两个交点． （2）代数法 联立直线方程与圆的一般方程，得到方程组，消去（或），得到关于（或）的一元二次方程． ①若，直线与圆有2个交点，直线与圆相交； ②若，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； ③若，直线与圆没有交点，直线与圆相离． 知识点二：直线与圆相离的应用 （1）圆上的动点到直线的距离的最大值为，最小值为（为圆心到直线的距离）； （2）圆上的动点到直线的距离的最大值为，最小值为（为圆心到直线的距离）． 知识点三：直线与圆相交的应用 （一）弦长（为圆心到直线的距离）； 1．圆弦长问题的两个主要考查角度 (1)已知直线与圆的方程求圆的弦长． (2)已知圆的弦长求解直线或圆的方程中的参数等． 2．求解弦长问题的两个方法 几何法 如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝·＝ ·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB| （二）过圆内一定点最长的弦为直径，最短的弦和定点与圆心的连线垂直； （三）圆上的点到直线的距离为的个数问题，结合圆心到直线的距离考虑． 知识点四：直线与圆相切的应用 （一）求过圆上一点的切线方程 切线与垂直且过点，点斜式写出切线方程即可 已知圆与圆上一点 则过点的切线方程为 （二）求过圆外一点的切线方程（一定有两条） 圆的方程为，求过圆外一点的切线方程步骤： 3 当切线斜率不存在时，验证是否成立； ②当切线斜率存在时，设点斜式方程，，化为一般式，然后用圆心到该直线距离，求解，得到切线方程． 求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程 代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出 （三）切线长 过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为， 则切线长（利用勾股定理求解）． （四）切点弦问题 过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为， 切点弦所在直线方程为： （以圆心，为半径作圆，然后两圆相减即可） 切点弦的长度：（可利用等面积法或者相似求解） 知识点五：圆常用结论 （一）：圆的方程其它表示形式 1.圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。圆的参数方程的主要应用是三角换元： ，； 2.圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、). 3.圆系方程 (1)过点,的圆系方程是 ,其中是直线的方程,λ是待定的系数． (2)过直线:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数． (3) 过圆:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数． （二）圆的切线方程 1.已知圆． ①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是 . 当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程． ②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线． 4 斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线． 2.已知圆． ①过圆上的点的切线方程为; ②斜率为的圆的切线方程为 圆的弦长公式： 3.为直径端点的圆方程； 切线长：过圆（）外一点引圆的切线的长为： （） 一、核心判断策略 判断直线与圆的位置关系，优先选用几何法，运算更简便；代数法作为辅助，适用于需联立方程的综合场景。 1. 几何法（推荐） 2. 代数法 二、高频题型解题技巧 1. 弦长问题 • 核心公式：弦长（d为圆心到直线的距离）。 • 步骤：① 确定r和d；② 代入公式计算，避免联立方程求交点的复杂运算。 2. 切线问题 • 过圆上一点(, )的切线：直接用切线方程公式(- a)(x - a) + ( - b)(y - b) = （圆方程为 + = ）。 • 过圆外一点的切线：① 设切线斜率为k，写点斜式方程；② 用圆心到切线距离等于半径列方程求k；③ 注意斜率不存在的情况（直线垂直于x轴），避免漏解。 3. 综合问题（与参数、最值结合） • 用函数与方程思想：将参数视为变量，通过距离公式或判别式构建函数，转化为求函数值域或最值问题。 • 用数形结合思想：画出图形，直观分析圆心、半径、直线的位置关系，辅助找到解题突破口（如最短弦为过定点且垂直于圆心与定点连线的弦）。 三、易错点规避 1. 计算圆心到直线的距离时，务必正确代入点到直线距离公式，注意直线方程需化为一般式。 2. 求过圆外一点的切线时，必须验证斜率不存在的直线是否为切线，防止漏解。 3. 处理含参数的直线或圆方程时，要注意参数的取值范围，避免忽略特殊情况（如圆的半径为正数）。 题型01：直线和圆的位置关系判断 ①直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离． ②两种研究方法 【典型例题1】直线与圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】A 【解析】因为圆的圆心坐标为，半径为； 所以圆心到直线的距离为， 所以直线与圆的位置关系是相离.故选：A. 【典型例题2】对任意实数k，直线（3k+2）x﹣ky﹣2＝0与圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣3＝0的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．与k有关 【答案】A 【解析】将直线（3k+2）x﹣ky﹣2＝0化为（3x﹣y）k+2x﹣2＝0，求得直线过的定点，然后判断点与圆的位置关系即可． 解：将圆的方程化为标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5，则圆的圆心为（1，1），半径为， 直线（3k+2）x﹣ky﹣2＝0可化为（3x﹣y）k+2x﹣2＝0， 由，解得， 所以直线过定点（1，3）， 因为（1﹣1）2+（3﹣1）2＝4＜5， 所以点（1，3）在圆内， 所以直线与圆相交． 故选：A． 【变式训练1-1】直线3x+4y﹣5＝0与圆x2+y2＝1的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】B 【解析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离d，可判断直线与圆相切． 解：圆x2+y2＝1的圆心为（0，0），半径r＝1， 所以圆心（0，0）到直线3x+4y﹣5＝0的距离d1＝r， 所以直线与圆相切， 故选：B． 【变式训练1-2】圆与直线的位置关系为（ ） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【解析】直线可化为，所以恒过定点. 把代入，有：， 所以在圆内， 所以圆与直线的位置关系为相交，故选：C 【变式训练1-3】（多选）直线和圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相切或相离 C．相交 D．相切 【答案】CD 【解析】∵圆可化为 ∴圆心为（0，1），半径为1， ∵直线恒过点（1，1），且点（1，1）在圆上 当时，直线与圆相切， 当时，直线与圆相交， ∴直线和圆的关系是相交或相切，故选：CD． 【变式训练1-4】已知点在圆上，则直线与圆的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】B 【解析】由题意得， 又，即直线与圆相切，故选：B 【变式训练1-5】直线与圆的位置关系是（ ） A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定 【答案】B 【解析】因为， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离.故选：B. 【变式训练1-6】直线与圆的大致图象可能正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，因为，所以圆过原点，故A不正确； 对于B，圆心坐标在第一象限，，， 直线的截距与圆心纵坐标相符合，故正确； 对于C，圆心坐标在第三象限，，， 故直线过一三四象限，故C不正确； 对于D，由题知直线的截距与圆心纵坐标相等，D不符合，故不正确； 故选：B 【变式训练1-7】已知点M（a，b）在圆O：x2+y2＝1外，则直线ax+by＝1与圆O的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【答案】B 【解析】解：∵M（a，b）在圆x2+y2＝1外， ∴a2+b2＞1， ∴圆O（0，0）到直线ax+by＝1的距离d1＝r， 则直线与圆的位置关系是相交． 故选：B． 题型02：根据直线与圆位置关系求参数 【典型例题1】若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为　　． 【答案】 【解析】解：设直线l的方程为y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0 ∵直线l与曲线（x﹣2）2+y2＝1有公共点， ∴圆心到直线l的距离小于等于半径 即1，解得 ∴直线l的斜率的取值范围为 故答案为 【典型例题2】．若圆x2+y2＝r2（r＞0）上仅有4个点到直线x﹣y﹣2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：作出到直线x﹣y﹣2＝0的距离为1的点的轨迹，得到与直线x﹣y﹣2＝0平行， 且到直线x﹣y﹣2＝0的距离等于1的两条直线， ∵圆x2+y2＝r2的圆心为原点， 原点到直线x﹣y﹣2＝0的距离为d， ∴两条平行线中与圆心O距离较远的一条到原点的距离为d'， 又∵圆x2+y2＝r2（r＞0）上有4个点到直线x﹣y﹣2＝0的距离为1， ∴两条平行线与圆x2+y2＝r2有4个公共点，即它们都与圆x2+y2＝r2相交． 由此可得圆的半径r＞d'， 即r，实数r的取值范围是． 故选：C． 【典型例题3】若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方程是恒过定点，斜率为k的直线， 曲线，即， 是圆心为，半径在直线及右侧的半圆， 半圆弧端点， 在同一坐标系内作出直线与半圆C：， 如图，当直线与半圆C相切时， 由得切线PT的斜率， 当直线PT绕点P逆时针旋转到过点A的直线的过程中的每一个位置的直线 与半圆C均有两个公共点， 包含直线PA，不包含直线PT，旋转到其它位置都没有两个公共点， 直线PA的斜率， 所以直线与曲线有两个不同的交点， 则实数的取值范围是.故选：A 【变式训练2-1】若圆x2+y2＝1上总存在两个点到点（a，1）的距离为2，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣2，0）∪（0，2） B．（﹣2，2） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，1） 【答案】A 【解析】求出圆的圆心与半径，利用两点间距离公式列出不等式求解即可． 解：圆x2+y2＝1的圆心（0，0），半径为1，圆x2+y2＝1上总存在两个点到点（a，1）的距离为2， 可得：1，解得a∈（﹣2，0）∪（0，2）． 故选：A． 【变式训练2-2】已知直线y＝kx﹣2与圆（x﹣1）2+y2＝1相交，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意利用点到直线的距离小于半径，求出k的范围即可． 解：由题意可知圆的圆心坐标为（1，0），半径为1， 因为直线y＝kx﹣2与圆（x﹣1）2+y2＝1相交，所以1， 解得k∈（，+∞）． 故选：D． 【变式训练2-3】若圆x2+y2﹣2x+4y﹣a＝0与直线（2m﹣1）x+my﹣3＝0始终有交点，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣5，75） B．[75，+∞） C．（﹣5，+∞） D．（75，+∞） 【答案】B 【解析】由题意首先将圆的方程转化为标准方程，然后确定直线所过的定点，最后利用点与圆的位置关系即可求得实数a的取值范围． 解：圆的方程即（x﹣1）2+（y+2）2＝a+5， 据此可得a+5＞0，∴a＞﹣5， 直线方程即m（2x+y）﹣（x+3）＝0，故直线恒过定点（﹣3，6）， 满足题意时，定点应该在圆内或者圆上， 故（﹣3﹣1）2+（6+2）2≤a+5，即a≥75， 综上可得，实数a的取值范围是[75，+∞）． 故选：B． 【变式训练2-4】若圆x2+y2+2x+4y﹣3＝0上到直线x+2y+a＝0的距离等于的点恰有3个，则实数a的值为 　　． 【答案】或． 【解析】首先将圆的方程整理为标准方程，然后结合圆的性质得到关于a的方程，解方程即可确定实数a的值． 解：圆的方程即（x+1）2+（y+2）2＝8，则圆的圆心为（﹣1，﹣2），半径为， 则满足题意时，圆心到直线x+2y+a＝0的距离为， 即，解得：． 故答案为：或． 【变式训练2-5】已知圆与直线相切，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的标准方程是，圆心为，半径为2， 所以，解得．故选：A． 【变式训练2-6】已知对任意的实数k，直线l：与圆C：有公共点，则实数t的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由直线可化为，则直线l过定点， 因为直线l：与圆C：有公共点， 所以定点在圆C上或圆C内， 可得，解得，故选：B 【变式训练2-7】若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线过定点， 曲线为以为圆心，1为半径， 且位于轴上半部分的半圆，如图所示 当直线 过点 时，直线 与曲线有两个不同的交点， 此时 ，解得 . 当直线 和曲线 相切时，直线和半圆有一个交点， 圆心 到直线的距离 ， 解得 结合图像可知，当 时，直线 和曲线 恰有两个交点，故选：B 【变式训练2-8】（多选）若直线与曲线有公共点，则实数m可以（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由题知，两边平方整理得， 所以，曲线是以为圆心，半径为2左半圆，如图， 当直线与曲线相切时，由， 解得， 当直线过点时，， 所以，结合图形可知，实数m的取值范围是：． 故实数m可以为内的任意值. 故选：BC 【变式训练2-9】直线与半圆有两个交点，则的值是____． 【答案】 【解析】由半圆，即， 如图所示，当直线在第三象限与半圆相切时， 圆心到直线的距离，即， 解得：或(舍去)， 当直线过点时，直线与圆有两个交点和， 把代入中，可得 ，解得， 则直线与圆有两个交点时，的范围是． 故答案为： 题型03：求圆的切线方程 【典型例题1】已知直线经过点，且与圆相切，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线经过点，且与圆相切， 则, 故直线的方程为，即.故选：A. 【典型例题2】已知圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1（a，b＞0）与x轴和y＝x+1均相切，则a＝　　，b＝　　． 【答案】；1 【解析】根据点到直线的距离公式得到方程组，求解即可． 解：圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1（a，b＞0），圆心为（a，b），半径r＝1， 由题意得db＝1，解得， 故答案为：；1． 【典型例题3】已知点是圆上的动点，直线与轴、轴分别交于两点，当最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆化成标准形式为， 故圆心为，半径为，直线与坐标轴交于点，点，如图所示：    则当最小时，与圆相切，连接， 可知， 由勾股定理可得. 故选：A 【变式训练3-1】过点作圆的切线，则的方程为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】根据题意，设圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圆心为C， 圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0，即，其圆心为（1，3）， 又由点M的坐标为（3，1），有，即点M在圆上， 则，则切线的斜率k＝1， 则切线的方程为y﹣1＝（x﹣3），即x﹣y﹣2＝0；故选：C． 【变式训练3-2】过点作圆：的切线，则切线的方程为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】由题意可设切线的方程为，即， 圆心到直线的距离， ， 或， 切线的方程为或．故选：D 【变式训练3-3】若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（　　） A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1 B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1 C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1 D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1 【答案】A 【解析】解：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0）， 由圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离dr＝1， 化简得：|4a﹣3b|＝5①， 又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去）， 把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a（舍去）， ∴圆心坐标为（2，1）， 则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1． 故选：A． 【变式训练3-4】（多选）已知圆，下列命题正确的是（ ） A．为过点的圆的一条切线 B．为过点的圆的一条切线 C．为过点的圆的一条切线 D．为过点的圆的一条切线 【答案】AC 【解析】圆的圆心为，半径， 故为过点的圆的一条切线，A正确； 不是过点的圆的一条切线，B错误； 当直线斜率存在时，设过点切线为， 则由圆心到直线距离等于半径得：，解得：， 所以切线为，C正确，D错误，故选：AC 【变式训练3-5】自点发出的光线经过轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则满足条件的反射光线所在直线的斜率之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】关于轴的对称点为， 题中反射光线与圆相切，即为过点的圆的切线，切线斜率显然存在， 设切线方程为，即， 圆标准方程为， 圆心为，半径为， 点到直线的距离为 所以，化简得， 所以．故选：C. 【变式训练3-6】若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由曲线得，表示以原点为圆心，半径为的上半圆， 当直线与半圆相切时，，则，此时直线为， 当直线过点时，，此时直线为， 要使直线与曲线有两个交点，则b的取值范围是． 故选：C． 【变式训练3-7】在平面直角坐标系中，已知圆被轴截得的弦长为2，且与直线相切，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】由已知可得，圆心，半径为. 圆心到轴的距离为，则由已知可得， 所以，. 又圆与直线相切，则圆心到直线的距离，整理可得，又，所以. 故选：D. 【变式训练3-8】设点M（x0，x0），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是（　　） A．[，0] B．[，] C．[﹣2，2] D．[，] 【答案】A 【解析】解：∵点M（x0，x0）在直线y＝x上， 又直线y＝x与圆O：x2+y2＝1相切， ∴要使圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°， 则∠OMN的最大值大于或等于45°时，一定存在点N，使得∠OMN＝45°， 而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时有MN＝1， ∴x0的取值范围为[，0] 故选：A． 【变式训练3-9】．已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（　　） A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．2x+y+1＝0 【答案】D 【解析】解：化圆M为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4， 圆心M（1，1），半径r＝2． ∵2S△PAM＝|PA|•|AM|＝2|PA|． ∴要使|PM|•|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直． 直线PM的方程为y﹣1（x﹣1），即y， 联立，解得P（﹣1，0）． 则以PM为直径的圆的方程为． 联立，相减可得直线AB的方程为2x+y+1＝0． 故选：D． 题型04：与切线长有关的问题 【典型例题1】过点作圆的切线，切点为B，则( ) A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【解析】， 故圆的圆心为C，半径r＝2， 故.故选：D. 【典型例题2】已知⊙M：，直线l：，点P为直线l上的动点，过点P作⊙M的切线，切点为A，则切线段长的最小值为 ． 【答案】1 【解析】⊙M：的圆心坐标为，半径为2，如图，    ，且， 故要使最小，则最小，此时PM⊥l， 因为圆心M到直线l：的距离为， ∴的最小值为 故答案为：1． 【变式训练4-1】过点A（﹣1，2）作圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1的切线，切点为B，则线段AB的长为 　　． 【答案】 【解析】根据圆的切线的性质和勾股定理即可求得线段AB的长． 解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1的圆心C（1，2），半径r＝1， 则， 则， 故答案为：． 【变式训练4-2】过点A（﹣1，﹣3）作圆x2﹣4x+y2﹣2y+1＝0的切线，切点为B，则|AB|＝（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【解析】连接圆心C和点A，则△ABC是直角三角形，根据勾股定理即可求切线长． 解：连接圆心C和点A，则△ABC是直角三角形， 由x2﹣4x+y2﹣2y+1＝0⇒（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4， 故圆的圆心为C（2，1），半径r＝2， 故． 故选：D． 【变式训练4-3】已知直线是圆的一条对称轴，过点向圆作切线，切点为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由圆，可知该圆的圆心坐标为，半径为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在直线上， 所以有， 因为过点向圆作切线，切点为， 所以 所以，故选：C 【变式训练4-4】已知圆，P为抛物线上的动点，过点P作圆的切线，则切线长的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径， 因为为抛物线上的动点，设， 则， 所以当时，过点作圆的切线， 此时切线长最小，最小为；故选：C 【变式训练4-5】设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点到点距离的最小值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．15 【答案】B 【解析】由圆，可知圆心，半径为3，又， 所以，即点的轨迹方程为， 故点到点距离的最小值为.故选：B. 【变式训练4-6】已知直线，圆，P为l上一动点，过点P作圆C的切线PM，PN，切点为M，N，则四边形PMCN面积的最小值为（ ）． A． B．7 C．8 D． 【答案】A 【解析】如图所示： 圆的圆心为，半径为 ， 圆心C到直线直线的距离为， ， 所以四边形PMCN面积，故选：A 【变式训练4-7】．已知点P（1，2），点M（3，1），圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4． （1）求过点P的圆C的切线方程； （2）求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长． 【答案】 【解析】解：（1）圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4的圆心坐标为（1，2），半径为2； 由于点P在圆上， 由于kPC＝﹣1， 所以圆的切线的斜率k＝1， 故圆的切线方程为， 整理得x﹣y+1﹣2； （2）当点M在圆外， 当过点M的直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝3，由于点C（1，2）到直线x﹣3＝0的距离d＝3﹣1＝2＝r， 满足题意， 故直线x＝3是圆的切线； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y﹣1＝k（x﹣3）； 即直线的方程为kx﹣y+1﹣3k＝0， 利用圆心（1，2）到直线的距离d， 解得k； 故直线的方程为3x﹣4y﹣5＝0； 故圆的切线方程为x＝3或3x﹣4y﹣5＝0； 过点M的圆的切线的长为． 题型05：切点弦及其方程应用 【典型例题1】过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为______. 【答案】 【解析】不妨设切点，，圆心坐标为， 则有： 根据题意可得： 又切点均在圆上，则有： ； 则有：，解得： 同理有： 解得： 说明，两点均在直线上 故直线AB的方程为： 【典型例题2】圆O：x2+y2＝1，点P是直线3x+4y+15＝0上的一个动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A、B，则|AB|的最小值为 　 【答案】 【解析】由题意画出图形，可得|AB|最短时，|OP|最短，利用点到直线的距离公式求出|OP|的最小值，从而可得|AB|的最小值． 解：圆O：x2+y2＝1，圆心O（0，0），半径r＝1， 由于PA，PB分别切圆O于点A，B，则|PA|＝|PB|， OA⊥PA，OB⊥PB， 所以S四边形APBO＝2S△AOP＝|OA||PA|， 因为|OA|＝|OB|＝r＝1，所以S四边形APBO＝|PA|， 又PO⊥AB，所以S四边形APBO|AB||OP|， 所以|PA||AB||OP|， 即|AB|2， 所以|AB|最短时，|OP|最短， 所以点O到直线3x+4y+15＝0的距离即为|OP|的最小值， 所以|OP|min3， 所以|AB|的最小值为2， 故答案为：． 【变式训练5-1】过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，可知圆的圆心为，半径， 过点作圆的两条切线，设切点分别为、， 而，则， 则以为圆心，为半径为圆为，即圆， 所以为两圆的公共弦所在的直线，则有， 作差变形可得：； 即直线的方程为. 【变式训练5-2】已知点P为直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A､B，则直线必过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 圆的圆心为，一般方程为①， 线段中点坐标为， ， 所以以线段为直径的圆的方程为， 整理得②， ①-②并化简得， 即， . 所以定点坐标为.故选：A 【变式训练5-3】过圆：外一点作圆的切线，切点分别为、，则（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【解析】如图，结合题意绘出图像： 因为圆：，直线、是圆的切线， 所以，，，， 因为，所以，， 根据圆的对称性易知，则， 解得，，故选：C. 【变式训练5-4】．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+（y﹣3）2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是（　　） A．[，2） B．[，2） C．[，2） D．[，2） 【答案】B 【解析】解：设AC＝x，则x≥3， 由PC⊥AP可知AP， ∵AC垂直平分PQ， ∴PQ＝22•2•． ∴当x＝3时，PQ取得最小值2•． 又1， ∴PQ． ∴PQ＜2． 故选：B． 【变式训练5-5】过点（﹣2，2）作圆x2+（y+2）2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 　 　． 【答案】2x﹣4y﹣7＝0 【解析】求出已知圆的圆心坐标，设C（0，﹣2），P（﹣2，2），可得以PC为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立，即可得到直线AB的方程． 解：圆x2+（y+2）2＝1的圆心坐标为（0，﹣2），半径为1， 点（﹣2，2）在圆x2+（y+2）2＝1的外部， 设C（0，﹣2），P（﹣2，2），则以PC为直径的圆的方程为（x+1）2+y2＝5， 与圆x2+（y+2）2＝1联立，消去二次项，可得直线AB的方程为2x﹣4y﹣7＝0． 故答案为：2x﹣4y﹣7＝0． 【变式训练5-6】已知圆M：（x﹣2）2+y2＝4，直线l：3x﹣4y+m＝0．若P∈l，过点P可作两条与圆M分别相切于A，B，且∠APB＝60°，则实数m的取值范围为 　 ． 【答案】[﹣26，14] 【解析】由圆M的方程求得圆心坐标与半径，可得PM＝4，结合点到直线的距离公式可得M到直线l的距离d≤4，求解可得m的取值范围． 解：圆M：（x﹣2）2+y2＝4的圆心为M（2，0），半径r＝2， 过点P作圆M的两条切线，切点为A，B，连接PM， 若∠APB＝60°，则∠APM＝30°，又由MA⊥PA， 则|PM|＝2|MA|＝2r＝4， 若直线l：3x﹣4y+m＝0上存在点P，满足∠APB＝60°， 则有M到直线l的距离d4， 解得：﹣26≤m≤14，即m的取值范围为[﹣26，14]， 故答案为：[﹣26，14]． 题型06：圆的弦长问题 求直线与圆相交时弦长的方法： (1)几何法：如图1，直线与圆交于两点，设弦心距为，圆的半径为，弦长为，则有，即. (2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是，则 或，其中为直线的斜率. 【典型例题1】直线l:被圆C：截得的弦长为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意得圆心到直线l:的距离为， 故直线l:被圆C：截得的弦长为，故选：B 【典型例题2】若直线过点且被圆截得的弦长是6，则该直线的方程为 . 【答案】或． 【解析】由弦长求得圆心到直线的距离，根据点到直线的距离求直线的方程. 【详解】由题可知圆心，半径，弦长，设弦心距是d， 则，解得， 若l斜率不存在，直线是，代入圆的方程解得,故该直线被圆截得的弦长为6,符合题意， 若l斜率存在，设直线方程，即， 则圆心到直线的距离，解得， 直线l的方程为，即， 综上，所求直线方程为或． 故答案为：或． 【典型例题3】直线mx﹣y﹣4m+1＝0与圆x2+y2＝25相交，所得弦长为整数，这样的直线有（　　）条 A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【解析】由直线的方程可得过的定点的坐标，求出圆心到直线的距离d，可得最短的弦长，最长的弦长，求出在这之间的弦长的值，并求出直线的条数． 解：直线mx﹣y﹣4m+1＝0过定点（4，1），圆半径为5，圆心到直线的距离d， 最短弦长为2∈（5，6），恰有一条，但不是整数； 最长的弦长为直径10，也恰有1条； 弦长为6，7，8，9的直线各有2条， 所以共有9条， 故选：B． 【典型例题4】若直线y＝kx+1与圆（x﹣2）2+y2＝4相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，则k的取值范围是（　　） A．（0，） B．（，） C．（0，） D．（，） 【答案】D 【解析】由题意画出图形，求出直线过P与A两点时的斜率，再求出直线与圆相切时的斜率，数形结合得答案． 解：直线y＝kx+1过定点P（0，1），作出直线与圆如图： 当直线过P（0，1）与A（4，0）时，k； 由圆心（2，0）到直线kx﹣y+1＝0的距离等于2，得，解得k． ∴若直线y＝kx+1与圆（x﹣2）2+y2＝4相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限， 则k的取值范围是（，）． 故选：D． 【典型例题5】已知直线l：kx﹣y+2k＝0，则圆x2+2x+y2+4y﹣4＝0截直线l所得的弦长的最小值是 　　；直线l与曲线 　　　有两个公共点，则实数k的取值范围是 　　． 【答案】4；（，] 【解析】由直线系方程可得直线l所过定点，求出定点到圆心的距离，再由垂径定理求弦长的最小值；把曲线方程变形，画出图形，数形结合求解实数k的取值范围． 解：直线l：kx﹣y+2k＝0过定点P（﹣2，0）， 圆x2+2x+y2+4y﹣4＝0化为（x+1）2+（y+2）2＝9，圆心坐标为（﹣1，﹣2）， 点P（﹣2，0）在圆内部，P到圆心的距离为， ∴圆x2+2x+y2+4y﹣4＝0截直线l所得的弦长的最小值是； 曲线化为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4（y≤3）， 如图： A（4，3），P（﹣2，0），， 由，解得k或k（舍去）． ∴实数k的取值范围是（，]． 故答案为：4；（，]． 【典型例题6】已知直线和圆心为C的圆，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长. 【答案】直线l与圆C相交， 【解析】解法1：联立直线l与圆C的方程， 得， 消去y得，解得，， 所以直线l与圆C相交， 把，分别代入方程①，得，， 所以直线l与圆C的两个交点是，. 因此直线l被圆C所截得的弦长为. 解法2：圆C的方程可化为， 因此圆心C的坐标为，半径为， 圆心到直线l的距离， 所以直线l与圆C相交， 所以直线l被圆C所截得的弦长为. 【典型例题7】圆C：内有一点，过点P作直线l交圆C于A，B两点. (1)当弦AB最长时，求直线l的方程； (2)当直线l被圆C截得的弦长为时，求l的方程. 【答案】(1)，(2)或 【解析】（1）圆C：化为标准方程为，则圆C的圆心为. 又弦AB最长时，直线l过点和，所以直线l的方程为， 即. （2）当直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 弦长为时，由圆的半径为3，由垂径定理和勾股定理得， 圆心到直线距离为，即，解得， 此时直线l的方程为， 经检验k不存在时的直线也符合条件. 所以直线l的方程为或. 【变式训练6-1】圆与直线相交于，两点，则 ． 【答案】 【解析】圆的标准方程为， 则圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 如图所示，    则由垂径定理可知，. 故答案为：. 【变式训练6-2】已知圆，直线l过点，且交圆O于P，Q两点，使弦长为整数的直线l共有 条. 【答案】16 【解析】根据弦长公式，可知线段的长度变化是连续的，故只需求得长度的最小值和最大值，即可知道长度介于最小值和最大值之间的整数的个数，再由对称性即可求解.    如图，过点作垂直于，垂足为，连接，设，圆半径为，则有 = 所以当即两点重合时，取得最小值为， 因为圆直径为14， 所以， 当或时，分别代表圆内过点的最短弦和最长弦， 这两条弦分别只有1条，其余长度为7、8、9、10、11、12、13的弦由于圆的对称性分别有两条， 故该圆内过点且长度为整数的弦共有条. 故答案为：16. 【变式训练6-3】．直线l：kx+y+4＝0（k∈R）是圆C：x2+y2+4x﹣4y+6＝0的一条对称轴，过点A（0，k）作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】解：∵圆C：x2+y2+4x﹣4y+6＝0，即（x+2）2+（y﹣2）2 ＝2， 表示以C（﹣2，2）为圆心、半径等于的圆． 由题意可得，直线l：kx+y+4＝0经过圆C的圆心（﹣2，2）， 故有﹣2k+2+4＝0，∴k＝3，点A（0，3）． 直线m：y＝x+3，圆心到直线的距离d， ∴直线m被圆C所截得的弦长为2． 故选：C． 【变式训练6-4】设直线与圆相交于两点，且弦的长为2，则实数的值是 . 【答案】 【解析】根据给定条件，利用几何法求弦长列式求解作答. 圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 依题意，，则，解得， 所以实数的值是. 故答案为： 【变式训练6-5】直线与圆相交于、两点，若，则等于（    ） A．0 B． C．或0 D．或0 【答案】D 【解析】由题意， ∵， ∴到圆心的距离为 ， ∴圆心 到直线 的距离为： ，即. 解得：或， 故选：D. 【变式训练6-6】已知直线与圆：相交于、两点，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】充分性：若，则，此时，，； 必要性：若，因为，则圆心到直线的距离， 即，解得.故选：C 【变式训练6-7】若直线过点且被圆截得的弦长是6，则该直线的方程为 . 【答案】或． 【解析】由弦长求得圆心到直线的距离，根据点到直线的距离求直线的方程. 由题可知圆心，半径，弦长，设弦心距是d， 则，解得， 若l斜率不存在，直线是，代入圆的方程解得,故该直线被圆截得的弦长为6,符合题意， 若l斜率存在，设直线方程，即， 则圆心到直线的距离，解得， 直线l的方程为，即， 综上，所求直线方程为或． 故答案为：或． 【变式训练6-8】设直线与圆相交于两点，且弦的长为2，则实数的值是 . 【答案】 【解析】根据给定条件，利用几何法求弦长列式求解作答. 圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 依题意，，则，解得， 所以实数的值是. 故答案为： 【变式训练6-9】已知圆，直线l过点，且交圆O于P，Q两点，使弦长为整数的直线l共有 条. 【答案】16 【解析】根据弦长公式，可知线段的长度变化是连续的，故只需求得长度的最小值和最大值，即可知道长度介于最小值和最大值之间的整数的个数，再由对称性即可求解.    如图，过点作垂直于，垂足为，连接，设，圆半径为，则有 = 所以当即两点重合时，取得最小值为， 因为圆直径为14， 所以， 当或时，分别代表圆内过点的最短弦和最长弦， 这两条弦分别只有1条，其余长度为7、8、9、10、11、12、13的弦由于圆的对称性分别有两条， 故该圆内过点且长度为整数的弦共有条. 故答案为：16. 【变式训练6-10】已知过坐标原点的直线l与圆相交于M，N两点，当线段MN的长为整数时，所有满足条件直线的条数为（    ） A．12 B．13 C．25 D．26 【答案】C 【解析】确定圆心和半径，求得MN的长的最小值和最大值，确定满足题意的所有整数值的个数，结合圆的对称性，即可确定答案. 由题意知的圆心为，半径为， 当直线l经过圆心时，MN最长，此时； 当直线l与圆心和原点的连线垂直时，MN最短， 此时，； 故的范围为， 由于， 则包含共13个整数， 其中为的最小值，此时l只有一条， 取其他整数时，对应的直线l皆有2条，这2条直线关于直线对称，如图，    故当线段MN的长为整数时，所有满足条件直线的条数为， 故选：C 【变式训练6-11】圆被过点的直线截得的最短弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解析】圆，圆心，半径 所以，故点在圆内， 则当直线垂直于过C，P的直径时， 最短弦长. 【变式训练6-12】直线被圆所截得的最短弦长等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径， 又直线，直线恒过定点， 当圆被直线截得的弦最短时，圆心与定点的连线垂直于弦， 此时弦心距为． 所截得的最短弦长：．故选：C． 【变式训练6-13】已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（ ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【解析】由恒过， 又，即在圆C内， 要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短， 由，圆的半径为5， 所以，故选：A 【变式训练6-14】．直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若MN＜2，则k的取值范围是　 ． 【答案】{k|k，或0≤k} 【解析】解：设圆心（3，2）到直线y＝kx+3的距离为d，则d2， 由于4﹣d2，且MN＜2，求得 d≥1，∴1≤d＜2，即 ∈[1，2）， 由d≥1求得k，k≥0，由d＜2 求得 d， 即k的取值范围是{k|k，或0≤k}， 故答案为：{k|k，或0≤k}． 【变式训练6-15】．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25的圆心坐标为C（1，2），半径为5． 由直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，得m（2x+y﹣7）+x+y﹣4＝0， 联立，解得． ∴直线l过定点P（3，1）， 点P（3，1）在圆内部，则当直线l与线段PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小． 此时|PC|． ∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为2． 故选：B． 【变式训练6-16】．已知直线ax+by+c＝0与圆O：x2+y2＝1相交于A，B两点，且，则的值是（　　） A． B． C． D．0 【答案】A 【解析】解：取AB的中点C，连接OC，，则AC，OA＝1 ∴sin sin∠AOC 所以：∠AOB＝120° 则 •1×1×cos120°． 故选：A． 【变式训练6-17】已知直线与直线垂直，且它被圆所截得的线段的长为，求直线的方程． 【答案】或 【解析】利用垂直关系求出直线的斜率，再由弦长公式计算出圆心到直线的距离为3，即可求出直线的方程.设直线的斜率为，易知直线的斜率为， 依题意可得，解得； 设直线的方程为， 将圆化为标准方程为， 所以圆心坐标为，半径为， 根据弦长公式可得圆心到直线的距离， 又，解得或； 故直线的方程为或 【变式训练6-18】已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若直线方程为与圆相交于两点，求. 【答案】(1)或，(2) 【解析】（1）讨论切线l斜率是否存在设方程，利用相切时圆心到直线的距离等于半径列关系计算即得结果； （2）计算到直线AB的距离d，再利用弦三角形的勾股定理，即得弦长. （1）圆方程可化为，则圆心，半径为1， 由，可得点在圆外， 当过点的直线斜率存在时，设l的方程为， 即， 则圆心到直线l的距离为，解得， 的方程为，即， 当过点的直线斜率不存在时，的方程为，此时与圆相切， 的方程为或； （2）直线方程为， 则圆心到直线的距离，直线与圆相交， 【变式训练6-19】圆C：内有一点，过点P作直线l交圆C于A，B两点. (1)当弦AB最长时，求直线l的方程； (2)当直线l被圆C截得的弦长为时，求l的方程. 【答案】(1)，(2)或 【解析】（1）弦AB最长时，直线l过点和圆心,可求方程； （2）根据弦长，求得圆心到直线距离，利用点到距离公式可求直线方程. （1）圆C：化为标准方程为，则圆C的圆心为. 又弦AB最长时，直线l过点和，所以直线l的方程为， 即. （2）当直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 弦长为时，由圆的半径为3，由垂径定理和勾股定理得， 圆心到直线距离为，即，解得， 此时直线l的方程为， 经检验k不存在时的直线也符合条件. 所以直线l的方程为或. 【变式训练6-20】圆内有一点，过的直线交圆于A、B两点. (1)当弦AB被平分时，求直线AB的方程； (2)若圆与圆相交于E，F两点，求． 【答案】(1)，(2) 【解析】（1）首先根据题意得到，从而得到，再利用点斜式求解直线方程即可. （2）首先根据题意得到公共弦方程为，再求弦长即可. （1）如图所示： ， 因为弦AB被平分，所以，即. 所以直线为，即. （2）. 原点到直线的距离. 则. 【变式训练6-21】如图，已知圆心坐标为的圆M与x轴及直线均相切，切点分别为A，B，另一圆N与圆M，x轴及直线均相切，切点分别为C，D.    (1)求圆M和圆N的方程； (2)过B点作的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度． 【答案】(1)圆M的方程为，圆N的方程为 (2). 【解析】（1）先得到O，M，N三点共线，射线ON为的角平分线，从而得到圆M的方程，由三角形相似得到圆N的半径，并求出得到圆心，得到圆N的方程； （2）所求弦长等于过A点的的平行线被圆N截得的弦长，求出过A点的的平行线所在直线方程，由点到直线距离公式求出圆心N到该直线的距离，从而求出弦长. （1）由于圆M与的两边相切，故M到及的距离均为圆M的半径，则M在的角平分线上，同理，N也在的角平分线上，即O，M，N三点共线， 且射线ON为的角平分线，因为M的坐标为， 所以M到x轴的距离为1，即：圆M的半径为1， 所以圆M的方程为； 设圆N的半径为r，由∽， 得， 即，解得，， 圆N的方程为； （2）由对称性可知，所求弦长等于过A点的的平行线被圆N截得的弦长， 其中，直线的斜率为， 故过A点的的平行线所在直线方程为，即， 圆心N到该直线的距离， 则弦长为. 题型07：过定点的直线和圆相交的判定与最短弦长问题 【典型例题1】已知圆，直线则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A．5 B．4 C．10 D．2 【答案】C 【解析】由， ，即过定点， 由得，半径， 则当时，C到的距离最远，此时被圆截得的弦长最小， 最小值为. 故选：C      【变式训练7-1】已知圆：，则过点的最短弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】     由于，故点在圆内， 化为标准方程：. 如图，设，垂足为，设直线和圆的交点是， 根据垂径定理，， 为使得最小，必须最大，显然， 重合的时候取得等号，此时，由于， 所以直线的斜率为，故直线的方程为， 即. 故选：C 【变式训练7-2】若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】   当最短时，直线，所以. 又，所以， 所以的方程为，即. 故选：D 【变式训练7-3】过点且被圆C：所截得的弦长最短，求此时直线l的方程． 【答案】 【解析】圆C：化成标准方程为. 圆心，半径， ，所以点P在圆内，当时，弦长最短． 又，所以，所以直线l的方程为，即. 【变式训练7-4】过点（1，1）的直线l与圆C：x2﹣4x+y2＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值是（　　） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据题意，设M（1，1），圆x2+y2﹣4x＝0的圆心为C，分析圆C的圆心以及半径，求出C到直线的距离，由直线与圆的位置关系可得当d最大时，弦长|AB|最小，而d的最大值为|MC|，据此计算可得答案． 解：根据题意，设M（1，1），圆C：x2+y2﹣4x＝0的圆心为C， 圆C：x2+y2﹣4x＝0，即（x﹣2）2+y2＝4，圆心C为（2，0），半径r＝2， 圆心到直线l的距离为d，则， 当d最大时，弦长|AB|最小， ∵M在圆C内部，故d的最大值为， 则|AB|的最小值为， 故选：B． 【变式训练7-5】直线x+y+3＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣3）2+y2＝2上，则△ABP面积的最小值为（　　） A．6 B． C．12 D． 【答案】A 【解析】根据题意，求出AB的长，再分析P到AB距离的最小值，由三角形面积公式计算可得答案． 解：根据题意，如图，直线x+y+3＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点， 则A（﹣3，0），B（0，﹣3），则|AB|＝3， 圆（x﹣3）2+y2＝2的圆心到直线x+y+3＝0的距离d3， 圆（x﹣3）2+y2＝2的半径为， 则P到AB距离的最小值为32， 故△ABP面积的最小值S326； 故选：A． 【变式训练7-6】已知直线l：x﹣y+4＝0与圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，则C上各点到l的距离的最小值为 　　． 【答案】 【解析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，减去半径得答案． 解：由圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，得（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4， 则圆心坐标为（1，1），半径为2， ∵圆心（1，1）到直线l：x﹣y+4＝0的距离d2， ∴C上各点到l的距离的最小值为． 故答案为：． 题型08：圆中的中点弦问题 【典型例题1】已知直线与圆:相交于两点,弦的中点为,则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解:由题知,圆:,即圆心, 因为弦的中点为,所以, 因为,所以,即, 因为在上,所以,即. 故选:C 【变式训练8-1】已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，求弦的中点的轨迹方程． 【答案】且. 【解析】由恒过，且与圆相交于、， 而的圆心为，若的中点为，则， 所以，易知：在以为直径的圆上，且，    所以弦的中点的轨迹方程且. 【变式训练8-2】直线与圆相交于、两点，且弦的中点为，求直线的方程． 【答案】 【解析】因为可化为， 所以圆心， 设直线的斜率为，弦的中点为， 则的斜率， ， 由点斜式得直线的方程为，即.    【变式训练8-3】已知圆，AB为过点且倾斜角为α的弦． (1)当时，求弦AB的长； (2)若弦AB被点P平分，求直线AB的方程． 【答案】(1)弦AB的长为3； (2). 【解析】（1）当时，直线AB的斜率为， 因为直线AB过点， 所以直线AB的方程为：即， 圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以， 所以弦AB的长为3； （2）因为，， 所以 ， 因为弦AB被点平分，所以 ， 所以， 所以直线AB的方程：， 所以直线AB的方程： 题型09：直线与圆的距离问题 【典型例题1】圆上到直线的距离为的点的个数是____. 【答案】4 【解析】圆，  即，表示以为圆心，以为半径的圆. 圆心到直线的距离为， ， 故圆上到直线的距离为的点共有4个. 【典型例题2】（多选）若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则的取值可（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】圆的圆心为，半径为， 由题意可知，圆心到直线的距离为， 所以，，解得或故选：BD. 【变式训练9-1】已知圆与直线，则圆上到直线的距离为1的点的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由得， 则圆的圆心为，半径， 由， 则圆心到直线的距离， ∵，∴在圆上到直线距离为1的点有两个.故选：B. 【变式训练9-2】已知圆的方程为x2＋y2－4x－6y＋11＝0，直线l：x＋y－t＝0，若圆上有且只有两个不同的点到直线l的距离等于，则参数t的取值范围为（ ） A．(2，4)∪(6，8) B．(2，4]∪[6，8) C．(2，4) D．(6，8) 【答案】A 【解析】由题意，圆的标准方程为， 所以圆心坐标，半径为， 有且只有两个不同的点到直线l的距离等于， 故圆心到直线的距离， 即，化简得， 解得或，故选：A 【变式训练9-3】已知圆，直线：，圆上至少有三个点到直线的距离都是，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】由圆的方程得：圆的圆心为原点，半径为； 若圆上恰有个点到直线的距离等于， 则到直线：的距离等于， 若圆上至少有三个点到直线的距离都是，则满足， ∵直线的一般方程为：， ∴，解得：， 即的取值范围是. 故答案为：. 题型10：直线与圆的实际应用 【典型例题】某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟50米的速度从设备正东方向米的处出发，沿处西北方向走向位于设备正北方向的处，则这名工作人员被持续监测的时长为（ ） A．1分钟 B．分钟 C．2分钟 D．分钟 【答案】C 【解析】以设备的位置为坐标原点，其正东方向为轴正方向， 正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 则，， 可得，圆． 记从处开始被监测，到处监测结束， 因为到的距离为米， 所以米， 故监测时长为分钟．故选：C. 【变式训练10-1】已知在某滨海城市A附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向，距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动．已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km．则城市A受台风影响的时间为（ ） A．5h B．h C．h D．4h 【答案】B 【解析】如图， ，，台风中心沿方向以的速度移动， 台风中心距离城市A的最短距离为 又台风中心为圆心的圆形区域，半径为km． 则台风中心在以城市A为圆心半径为km的圆内时，城市A受台风影响 以城市A为圆心半径为km的圆截直线所得弦长为 km 则城市A受台风影响的时间为 【变式训练10-2】苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（ ）米.（注意：≈） A．6.48 B．5.48 C．4.48 D．3.48 【答案】A 【解析】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 设圆心坐标为（0，a），则P(0,10),A(-50,0). 可设圆拱所在圆的方程为, 由题意可得：，解得： . 所以所求圆的方程为. 将x=-30代入圆方程,得: , 因为y>0,所以.故选：A. 【变式训练10-3】如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，速度为28km/h． （1）求外籍船航行路径所在的直线方程； （2）问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法) 【答案】（1）；（2）能，持续时间为小时 【解析】（1）以为原点，东西方向为轴，南北方程为轴，建立直角坐标系，如图所示： 则，，圆： 则直线：，即。 外籍船航行路径所在的直线方程为：。 （2）设到直线的距离为，则 所以外籍轮船能被海监船监测到。 设监测时间为，则 所以外籍轮船被监测到的持续时间时小时。 题型11:直线与圆的最值 【典型例题1】在平面直角坐标系中，已知，为圆上两动点，点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令为中点，根据直角三角形性质，圆中弦长、弦心距、半径的几何关系求得轨迹为圆，求定点到所得圆上点距离的最大值，结合即可求结果. 由，要使最大只需到中点距离最大， 又且， 令，则，整理得， 所以轨迹是以为圆心，为半径的圆，又，即在圆内， 故，而，故. 故选：D. 【典型例题2】）已知点在过点且与直线垂直的直线上，则圆：上的点到点的轨迹的距离的最小值为（       ） A．1 B．2 C．5 D． 【答案】A 【解析】利用直线垂直的性质、直线的点斜式以及直线与圆上的点的位置关系进行求解. 过点且与直线垂直的直线为：， 已知点在该直线上，所以，即， 所以点的轨迹方程为，又圆：， 所以圆心，半径，所以圆上的点到点的轨迹的距离的最小值为： .故A，B，D错误. 故选：A. 【典型例题3】己知直线：被圆截得的弦长为，则点与圆上点的距离最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】利用直线被圆截得的弦长公式以及点与圆的位置关系求解. 由题可得，圆的半径， 圆心到直线的距离为， 直线被圆截得的弦长为， 解得或（舍去）， 则点的坐标为，该点到圆心的距离为， 所以点到圆上点的距离最大值为， 故选:A. 【变式训练11-1】已知直线（为常数）与圆交于点、，当变化时，若的最小值为2，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解析】利用点到直线的距离公式、直线被圆截得的弦长公式求解. 【详解】由题可得，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以， 则当时，最小，最小值为， 解得， 故选:D. 【变式训练11-2】已知A，B是圆C：上的两个动点，且，若，则点P到直线AB距离的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】D 【解析】设P、C到直线AB的距离分别为，根据题意结合垂径定理可得，再根据结合几何关系分析求解. 由题意可知：圆C：的圆心，半径， 则， 设P、C到直线AB的距离分别为， 因为，解得， 分别过P、C作，垂足分别为，再过C作，垂足为， 显然当P、C位于直线AB的同侧时，点P到直线AB的距离较大，    则， 当且仅当，即直线AB与直线PC垂直时，等号成立， 所以点P到直线AB距离的最大值为7. 故选：D. 【变式训练11-3】在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是（    ） A．0 B． C． D．7 【答案】B 【解析】考虑临界情况即可.本题临界情况为两圆外切且圆心C到直线的距离达到最大恰好为两圆半径之和，根据点到直线的距离公式列出不等式求解即可. 圆的方程为，则圆C的标准方程为， 则圆C是以为圆心，1为半径的圆． 若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点， 则圆心C到直线的距离，即，解得，即k的最大值为． 故选：B． 【变式训练11-4】已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】先根据正弦定理可得，再建立平面直角坐标系求解的轨迹方程，进而可得面积的最大值. 在中，在中， 故，， 因为，故， 又角的平分线交于点，则，故. 故. 以为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为，， 故，，设，则， 即，故， 化简可得，即，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去）. 故当纵坐标最大，即时面积取最大值为.    故选：C 【变式训练11-5】已知点是圆上任意一点，，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】B 【解析】利用三角换元的思想，结合三角函数最值的求法对选项进行分析，从而确定正确答案. 圆的方程可化为， 设，且， 且， 则， 当，时，取得最大值，故A错误； ， 所以当时，取得最小值，故B正确； ， 所以当时，取得最小值，故C错误； ， 所以当时，取得最大值，故D错误. 故选：B 【点睛】利用三角换元的思想来求最值，是一个很好的方法.在圆的标准方程可转化为，类比，可以得到，则可进行三角换元如下：. 【变式训练11-6】已知圆，圆，M，N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】利用圆的性质及“将军饮马”模型计算最值即可.    如图所示，易知，两圆半径分别为， 取点关于横轴的对称点A，则，在横轴上任取一点，连接， 连接交横轴于P，交圆于E(圆上靠近横轴一点)，连接交圆于F(圆上靠近横轴一点)， 则 ， 当且仅当，，对应重合时等号成立， 此时的最小值为. 故选：D 【变式训练11-7】．（多选）已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是（    ） A．四边形的面积最小值为 B．M为圆C上一动点，则最小值为 C．最短时，弦直线方程为 D．最短时，弦长为 【答案】ACD 【解析】根据已知，结合图形，利用直角三角形、圆的性质、直线方程以及点到直线的距离公式、勾股定理计算求解. 对于A，由切线长定理可得，又因为，所以， 所以四边形的面积， 因为，当时，取最小值，且， 所以四边形的面积的最小值为，故A正确； 对于B，因为，所以最小值为，故B错误； 对于C，由题意可知点，，在以为直径的圆上，设， 其圆的方程为：， 化简为，与方程相减可得：， 则直线的方程为，当最短时，，则， 解得，故直线的方程为，故C正确； 对于D，当最短时，圆心C到直线的距离， 所以弦长为，故D正确. 故选：ACD.    【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于C的判断，解答时要注意结合圆的公共弦方程的求解，求出直线AB方程，然后利用垂径定理求出弦长. 【变式训练11-8】已知圆. (1)若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程； 【答案】(1)或 (2)最大值为1，或 【解析】（1）求出圆C的圆心和半径，再由弦长，弦心距和半径的关系求出圆心C到直线l的距离，然后分直线l的斜率不存在和存在两情况讨论求解即可； （2）设直线l的方程为，求出圆心C到直线l的距离，从而可求出的面积的最大值，进而可求出直线方程. （1）圆，圆心，半径 当直线的斜率不存在时，的方程为：，此时圆心到直线的距离， 则相交弦长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程为：，即 此时圆心到直线的距离，则相交弦长为 ，解得： 所以此时直线的方程为：，即. 综上，直线的方程为或 （2）在圆外，显然直线的斜率存在， 设直线的方程为：，则圆心到直线的距离， 所以弦长，所以， 当时最大，即，即，解得或， 的最大值为1，所以直线的方程为：或 题型12：与圆有关的轨迹问题 （1） 用定义法求圆的轨迹方程：直接根据圆的定义求解； （2）用待定系数法求圆的轨迹方程：设圆的标准方程为； （3）相关点法确定圆的轨迹： ①双动点、一显一隐：已知条件中有两个动点，一个动点的轨迹明显易求，另一个隐藏极深难求. ②建立关联：即建立双动点的关系，最好以向量的形式出现，从而便于使用坐标形式. ③消显现隐：利用显动点的轨迹方程，通过代入，从而求出隐动点的轨迹方程. 【典型例题1】已知点，，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，根据即得. 设，由条件知，且PM，PN的斜率肯定存在，故， 即，所以， 因为为直角三角形的直角顶点， 所以，故所求轨迹方程为． 故选：C. 【典型例题2】已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】圆，所以圆心为，半径为2，设， 由线段的中点为，可得，即有， 即，所以点的轨迹方程为． 故答案为： 【典型例题3】从定点向圆任意引一割线交圆于P，Q两点，求弦PQ的中点M的轨迹方程. 【答案】（在圆C内部的部分） 【解析】设所求轨迹上任一点， 圆C的方程可化为 则圆心坐标为，，    因为，所以点M的轨迹是以AC为直径的圆（在圆C内部的部分）， 因为AC的中点坐标为， 所以点M的轨迹方程为（在圆C内部的部分） 【典型例题4】在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足 (1)求动点P的轨迹C的方程 (2)若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）设，根据动点满足，再用两点间距离公式列式化简作答. （2）讨论直线的斜率，设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解作答. 【解析】（1）设，由，得， 化简得， 所以P点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，轨迹：表示圆心为，半径为2的圆， 当直线l的斜率不存在时，方程为，圆心到直线l的距离为2，与相切； 当直线l的斜率存在时，设，即，     于是，解得，因此直线的方程为，即， 所以直线l的方程为或.    【变式训练12-1】已知A（3，3），点B是圆x2+y2＝1上的动点，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】通过定比分点坐标公式，用M的坐标表示B，把B的坐标代入圆的方程，整理可得点M的轨迹方程. 【解答过程】设M点的坐标（x，y），B（a，b），因为点M是线段AB上靠近A的三等分点，所以a＝3x﹣6，b＝3y﹣6，又点B是圆x2+y2＝1上的动点，所以B的坐标适合圆的方程，即 故选：A. 【变式训练12-2】已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在直角三角形中利用几何关系即可获解 【解答过程】圆即,半径 因为,所以 又是的中点,所以 所以点的轨迹方程为 故选：B. 【变式训练12-3】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直接设，根据两点间距离公式代入运算整理． ∵，即 设，则，整理得 故选：B． 【变式训练12-4】已知圆的方程是，则圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】因为方程表示圆， 即表示圆,所以， 解得, 易知圆心坐标为，且， 设圆心坐标为，则有， 消去，得即为所求圆心的轨迹方程. 故答案为： 【变式训练12-5】已知定点，动点在圆上，点在线段上，且，求点的轨迹方程． 【答案】 【详解】在上找一点，则， 过作交于，此时满足，如下图， 所以，令，则.    【变式训练12-6】⧍ABC的顶点B，C的坐标分别是，，顶点A在圆上运动，求⧍ABC的重心G的轨迹方程. 【答案】 【解析】设⧍ABC的重心G的坐标是，点A的坐标是. 已知点B，C的坐标分别是，， 则的重心G的坐标满足，. 因此有，.① 因为点A在圆上运动， 所以点A的坐标满足方程， 即满足方程.② 将①代入②，得. 即所求轨迹方程为.    ． 【变式训练12-7】已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，求弦的中点的轨迹方程． 【答案】且. 【解析】由题设直线恒过，若的中点为，结合圆的性质有，进而判断的轨迹，即可写出轨迹方程. 由恒过，且与圆相交于、， 而的圆心为，若的中点为，则， 所以，易知：在以为直径的圆上，且，    所以弦的中点的轨迹方程且. 【变式训练12-8】已知点，且． (1)求点P的轨迹方程； (2)判断点P的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，圆心坐标为，半径 【解析】（1）根据可列出方程，化简即得答案； （2）解法一，利用配方法，结合圆的标准方程，可得答案；解法二，结合圆的一般方程以及二元二次方程表示圆的条件，即可求得答案. （1）由题意得， 两边同时平方，化简得， 即点P的轨迹方程为． （2）解法一：由（1）得， 故点P的轨迹是圆，其圆心坐标为，半径为． 解法二：由（1）结合圆的一般方程得， 所以，故点P的轨迹是圆． 又，，所以圆心坐标为，半径． 【变式训练12-9】已知曲线上的动点满足到定点的距离与到定点距离之比为 (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程. 【答案】(1)（或） (2)或. 【解析】（1）根据动点满足到定点的距离与到定点距离之比为，建立方程，化简可得曲线C的方程. （2）分类讨论，设出直线l方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可求得直线l的方程. （1）由题意得，故， 化简得（或）； （2）当直线的斜率不存在时，， 将代入方程得或，所以，满足题意； 当直线的斜率存在时，设，则， 因为，所以，解得，此时. 综上，直线的方程为或.    【变式训练12-10】已知的斜边为，且． (1)求直角顶点的轨迹的方程； (2)直线与交于两点M，N，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设出点坐标，利用向量数量积的运算列方程，化简求得轨迹的方程. （2）利用勾股定理以及点到直线的距离公式列方程，由此求得的值. （1）设，，，由已知得， ∴，化简得的方程为：. （2）∵，圆的半径为2， ∴圆心到的距离为， ∴，解得.    题型13：直线与圆的综合问题 【典型例题1】已知圆，过点的直线与圆相交于不重合的A，B两点，是坐标原点，且A，B，O三点构成三角形．    (1)求直线l的斜率的取值范围； (2)的面积为，求的最大值，并求取得最大值时的值． 【答案】(1) (2)的最大值为2，取得最大值时． 【解析】（1）解法一；设直线的斜率为，则直线的方程：， 由题意知：圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交于不重合的两点，且三点构成三角形， 所以．得，解得且， 所以的取值范围为． 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程：， 联立，化简得：． ，得， 因为三点构成三角形，所以， 所以的取值范围为． （2）直线，即， 点到直线距离：， 所以． 所以且． 设，则， 所以． 所以当，即，即时，． 所以的最大值为2，取得最大值时． 【典型例题2】已知圆M与直线相切，圆心M在直线上，且直线被圆M截得的弦长为． (1)求圆M的方程； (2)若在x轴上的截距为且不与坐标轴垂直的直线l与圆M交于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为 【解析】（1）设圆M的圆心为，半径为r， 因为圆M与直线相切，所以． 又因为直线被圆M截得的弦长为， 所以，解得， 即圆心坐标为，，所以圆M的方程为．    （2）存在．设，，， 由，得． 由根与系数的关系，得． 假设存在满足条件，则，． 由，得， 即， 即，， 即且，所以． 所以存在满足条件．    【变式训练13-1】已知点的坐标是，圆与轴相切，圆心的坐标是. (1)若过点作圆的切线有两条，求实数的取值范围； (2)若，过点的直线与圆相交于两点，且是的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2). 【解析】（1）因为圆与轴相切，圆心的坐标是， 所以圆的方程是， 因为过点作圆的切线有两条，所以点在圆外. 所以，解得或， 即实数的取值范围是. （2）解法一：显然直线的斜率存在，点在圆内， 所以可设直线的方程是，即， 代入圆的方程，消去并整理得. 设，则， 因为是的中点，所以，解得， 所以直线的方程是. 解法二：因为是的中点，所以， 因为，所以. 所以直线的方程为，即. 【变式训练13-2】已知直线l：与圆C：相交于A、B两点． (1)若，求k； (2)在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA、MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在点 【解析】（1）因为圆C：， 所以圆心坐标为，半径为2，因为， 所以C到AB的距离为， 由点C到直线的距离为：，解得； （2）设，，l的方程为， 则，得， 因为，所以，， 设存在点满足题意，即， 所以， 因为， 所以， 所以，解得． 所以存在点符合题意． 【变式训练13-3】已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程． (2)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，若点，试求 的最小值． 【答案】(1) (2)存在；B的坐标为 (3) 【解析】（1）由题意设圆心坐标为，则圆C的方程为 因为直线与圆C相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以，故圆C的标准方程为 （2）假设存在定点B，设，， 则， 则 当，即（舍去）时，为定值，且定值为， 故存在定点B，且B的坐标为 （3）由（2）知 =，故=，从而= ， 当且仅当三点共线时， 的值最小，且 . 题型14：圆有关的定点问题 （1）涉及直线过定点的问题： 若涉及直线过定点的证明，则直线一定为含有参数的动直线，即直线系，对于直线系方程，可将直线方程化为f(x,y)+，令f(x,y)且，求出交点坐标即为定点，例如直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)对于参数k，此直线系过定点。 （2）圆中定点问题的一般解题方法： ①引进参数法，引进动点的坐标或动线中的系数为参数，再研究变量与参数何时没有关系，找到定点； ②特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 对于引进参数后，把直线或者曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把常量当作未知数，将方程一端化为0，即化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(这里把常量k当作未知数)，由解得点的坐标即为定点． 【典型例题】已知圆C：，若点P在直线上运动，过点P作圆C的两条切线，，切点分别为A，B，则直线过定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求出的圆心和半径，由几何关系得到四点共圆，设，得到的圆的方程，与相减后得到直线的方程，求出直线过定点坐标. 【详解】圆C：①的圆心为，半径为2， 过点P作圆C的两条切线，，切点分别为A，B，故四点共圆， 其中的中点为该圆心，为直径， 设，则的中点为， ， 故过的圆的方程为， 变形得到②， 由①②相减可得直线的方程，即， 整理得， 令，解得， 故直线过定点坐标. 故选：D 【变式训练14-1】已知直线的方程是.求证：对于任意，直线均经过定点，并求此定点的坐标. 【答案】 【解析】合并包含的项，再令的系数为0，结合方程恒等求解即可. 即，故. 令，则.故对于任意，直线均经过定点 【变式训练14-2】已知圆M与直线相切，圆心M在直线上，且直线被圆M截得的弦长为． (1)求圆M的方程； (2)若在x轴上的截距为且不与坐标轴垂直的直线l与圆M交于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为 【解析】（1）设圆M的圆心为，半径为r，根据垂径定理，结合直线与圆相切的性质列式求解即可； （2）设，，，联立直线与圆的方程，得出韦达定理，假设存在满足条件，根据，化简，再代入韦达定理化简即可. （1）设圆M的圆心为，半径为r， 因为圆M与直线相切，所以． 又因为直线被圆M截得的弦长为， 所以，解得， 即圆心坐标为，，所以圆M的方程为．    （2）存在．设，，， 由，得． 由根与系数的关系，得． 假设存在满足条件，则，． 由，得， 即， 即，， 即且，所以． 所以存在满足条件．    【变式训练14-3】已知圆经过三点． (1)求圆的方程． (2)已知直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线经过定点，该定点的坐标为 【解析】（1）设出圆的一般方程，代入的坐标，由此求得正确答案. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由直线的斜率之积列方程，化简求得定点坐标. （1）设圆W的方程为， 则，解得 则圆W的方程为． （2）若直线的斜率不存在，则设直线的方程为， 则，整理得． 又，解得，所以直线的方程为，此时经过点，不符合题意． 若直线的斜率存在，则设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则． ， 则， 整理得， 解得或． 当时，直线的方程为， 此时直线经过点，不符合题意，故舍去． 所以， 故直线的方程为，即，经过定点． 综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为．        【点睛】求圆的方程的方法有两种思路，一种思路是根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程；另一种思路是设圆的一般方程，然后根据已知条件求得，从而求得圆的一般方程. 【变式训练14-4】）在平面直角坐标系中，已知两个定点，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于不同的两点，且（为坐标原点），求直线的斜率； (3)若点是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点. 【答案】(1)； (2)； (3)过定点. 【解析】（1）利用两点间距离公式列式化简作答. （2）求出点到直线距离，再利用点到直线距离公式计算作答. （3）设出点的坐标，求出直线的方程即可推理作答. （1）设点的坐标为，由，得，整理得， 所以曲线的轨迹方程为. （2）依题意，，且，则点到边的距离为， 于是，解得， 所以直线的斜率为. （3）依题意，，则都在以为直径的圆上， 而是直线上的动点，设，则圆的圆心为， 圆的方程为，即， 又因为在曲线上，由，得， 因此直线的方程为，即过定点， 所以直线是过定点. 【变式训练14-5】在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线上. (1)设直线l：与圆M交于C，D两点，且，求圆M的方程； (2)设直线与（1）中所求圆M交于E，F两点，点P为直线上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线EF两侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1)，(2) 【解析】（1）由题意设圆的方程为，再根据直线l：与圆M交于C，D两点，且，由求解； （2）由题意设，又，得到，设，分别得到直线PE和直线PF的方程，与圆的方程联立，结合韦达定理，消去m得到，再设直线GH的方程为：，代入圆的方程，将韦达定理代入上式求解. （1）解：因为圆心在曲线上， 所以设圆心为，又圆M过坐标原点O，则半径为：， 设圆的方程为， 又直线l：与圆M交于C，D两点，且, 所以，则，解得， 当时，圆的方程为， 此时，圆心到直线的距离，符合题意； 当时，圆的方程为：， 此时，圆心到直线的距离，不符合题意； （2）如图所示：    由题意设，又， 则，则，设， 则直线PE的方程为，代入圆的方程消去y得： ， ， 由韦达定理得，即， 设直线PF的方程为：，代入圆的方程消去y得： ， ， 由韦达定理得，即， 所以，， 消去m得， 设直线GH的方程为：， 代入圆的方程消去y得：， ， 由韦达定理得，， 则，即， 解得或， 当时，，直线GH的方程为，过定点； 当时，，解得， 直线GH的方程为，过定点，此时G，H在直线EF同侧，不符合题意， 故直线GH过定点. 题型15：圆有关的定值问题 解决圆中的定值的基本方法： 定值是指有些问题和参数无关，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。 【典型例题】（多选）已知圆，斜率为k的直线l经过圆O内与O点不重合且不在坐标轴上的一个定点P，且与圆O相交于A、B两点，下列选项中正确的是（    ） A．若r为定值，则存在k，使得 B．若k为定值，则存在r，使得 C．若r为定值，则存在k，使得圆O上恰有三个点到l的距离均为 D．若k为定值，则存在r，使得圆O上恰有三个点到l的距离均为 【答案】AC 【解析】当P为弦AB中点时可判断AB选项，利用平行线间的距离及极限思想判定C，设直线OP与l的夹角为，求出满足条件时的取值范围即可判断D. 如图， 当P为弦AB中点时，，A 正确，B错误； 因为与l距离为非零定值的所有点的轨迹是与l平行的两条平行线， 若r为定值，当k趋向于0时，两条平行线与l的距离趋向于0，都与圆相交，当k趋向于无穷大时，两条平行线与l的距离趋向于无穷大，都与圆相离. 由于P点在圆内且与O点不重合，前面两个极限状态之间必然存在一条平行线与圆相交而另一条平行线与圆相切的情况，此时圆O上恰有三个点到l的距离均为，符合题意，C正确； 若k为定值，当圆O上恰有三个点到l的距离均为时，l的两条平行线中一条与圆相切，一条与圆相交．设原点O与l的距离为d ，直线OP与l的夹角为 ，此时，即，由于，所以，所以，故当时，不存在圆O上恰有三个点到l的距离均为，故D错误. 故选：AC 【变式训练15-1】已知圆与轴交于两点，点的坐标为．圆过三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则此定直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆为，根据圆与圆都经过两点，可用表示，又点 在圆上，可用表示，进而可得含参数的圆的方程，再由圆系方程求解即可. 圆方程为，令，得， 设圆的方程为，令，得， 由题意，圆与圆都经过两点， ∴方程与等价，∴，， ∴圆的方程为， ∵点 在圆上，∴，∴， ∴圆：，整理得， ∴圆经过直线与圆的交点， ∴当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值， 故选：C. 【变式训练15-2】已知圆：与直线相切. (1)若直线与圆交于，两点，求； (2)已知，，设为圆上任意一点，证明：为定值. 【答案】(1)，(2) 【解析】(1) 利用直线与圆相切 , 结合点到直线距离公式求出半径, 从而得到圆的方程; 根据直线被圆截得 弦长的求解方法可求得结果; （2）设 , 则 , 利用两点间距离公式表示出 , 化简可得结果. （1）由题意， 圆心 到直线 的距离：， 圆 与直线相切， ∴ ，圆 方程为: ， ∵圆心 到直线 的距离: ， ∴. （2）由题意及（1）证明如下 设 , 则 ， ∴， 即 为定值. 【变式训练15-3】已知圆：与圆：. (1)若圆与圆内切，求实数的值； (2)设，在轴正半轴上是否存在异于A的点，使得对于圆上任意一点，为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)16，(2)存在，6 【解析】（1）根据题意求圆心和半径，在结合两圆的位置关系列式求解； （2）设点，利用两点间距离公式可得，结合题意分析运算即可. （1）因为：，即， 故圆的圆心坐标为，半径长， 且圆：，故圆的圆心坐标为，半径长， 若圆与圆内切，则， 即，且，所以. （2）设点，则， 于是，即， 同理，可得， 要使为定值，则，解得或（舍去）， 故存在点使得为定值，此时. 【变式训练15-4】）已知直线过定点，且与圆交于两点． (1)求直线的斜率的取值范围； (2)若为坐标原点，直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，(2)定值 【解析】（1）法一：若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意，则直线的斜率存在，设直线的方程为，即，由求解；法二：若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意，则直线的斜率存在，设直线的方程为，与圆的联立，根据直线与圆相交，由求解. （2）设，，设直线的方程为，与圆的方程联立，结合韦达定理求解. （1）解：法一：圆的标准方程为，圆心为，半径为． 若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意． 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即 由题意可得，解得．                因此，直线的斜率的取值范围是． 法二：若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意． 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为． 联立，得，其中 因为直线与圆相交，所以， 解得，                                           因此，直线的斜率的取值范围是． （2）设，，设直线的方程为． 联立，得，其中， 所以，， 则 ， 所以为定值． 巩固练习 1．直线被圆所截得的弦长为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】由已知得圆心为，半径， 因为圆心在直线上， 所以直线被圆所截得的弦长为. 故选：C 2．直线绕原点按顺时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是（    ） A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心 C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点 【答案】A 【解析】直线过原点，斜率为，倾斜角为， 依题意，直线l的倾斜角为，斜率为，而l过原点，因此直线l的方程为：， 而圆的圆心为，半径为，于是得圆心在直线l上， 所以直线l与圆相交，过圆心. 故选：A 3．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】法一：联立两直线方程，得，解得， 所以两直线的交点坐标为. 因为两直线的交点在第一象限，所以，解得， 设直线l的倾斜角为θ，则，又，所以. 法二：由题意，直线l过定点， 设直线与x轴、y轴的交点分别为. 如图，当直线l在阴影部分（不含边界）运动时，两直线的交点在第一象限，易知，    ∴的倾斜角为，的倾斜角为. ∴直线l的倾斜角的取值范围是. 故选：D 4．若直线过点，其中，是正实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【解析】因为直线过点，所以， 由和都是正实数，所以，，． 所以， 当时取等号，即，时取等号， 所以的最小值是. 故选:B． 5．已知直线，点，记到的距离为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由直线，可得， 由可解的， 即直线过定点， 则, 当与直线垂直时，，当直线过点，即时，， 又直线无论取何值，不能表示直线， 所以， 故选：B 6．若直线与直线的交点在直线上，则实数（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】解方程组，得直线与直线的交点， 依题意，，解得， 所以实数. 故选：A 7．已知直线是圆的对称轴，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆方程得：圆心， 直线是圆的对称轴，圆心在直线上，即，解得：. 故选：A.      8．点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点的坐标为，因为点是线段的中点， 可得，点在圆上， 则，即. 故选：A. 9．已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心，半径，直线的方程为：， 于是点到直线：的距离，而点在圆上， 因此点到直线距离的最大值为，又， 所以面积的最大值为. 故选：D    10．若圆与圆关于直线对称，过点的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心为，圆的圆心为， 因为圆与圆关于直线对称， 所以的中点满足直线方程，解得， 过点的圆P与y轴相切，设圆心P的坐标为， 所以解得：， 故选：C． 11．圆与圆的公共弦恰为圆的直径，则圆的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】两圆方程相减得两圆的公共弦所在直线方程为， 因为公共弦为圆的直径， 所以圆的圆心在直线上， 由解得， 所以圆的面积为. 故选：D. 12.已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（    ） A． B． C．或1 D． 【答案】D 【解析】与两式相减得，即公共弦所在直线方程. 圆方程可化为，可得圆心，半径.则圆心到的距离为， 半弦长为，则有，解得或（舍），此时 故选：. 13.过点向圆引两条切线，切点是、，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】把（1） 转化为，圆心，半径， 则，， 圆的方程为（2）， （1）（2），得． 故选：B. 14.在平面直角坐标系中，过点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径为2， 以、为直径,则的中点坐标为，， 以为圆心，为直径的圆的方程为， 因为过点圆的两条切线切点分别为A，B， 所以是两圆的公共弦， 将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程为：. 故选：A． 15.已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】B 【解析】圆：的圆心为，半径为a， 所以圆心到直线的距离为，解得或． 因为，所以. 所以圆：的圆心为，半径为． 圆：的标准方程为， 圆心坐标为，半径， 圆心距，所以两圆相内切． 所以两圆的公切线只有1条. 故选：B． 16.在Rt△ABC中，，，，若动点P满足，则的最大值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【解析】如图，以B为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则，，． 设，则． 因为，所以P是圆A：上的点． 又点P与点距离的最大值为，即， 所以． 故的最大值为17． 故选：B.    17.已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为3，则（    ） A．2 B．1 C．3 D． 【答案】A 【解析】由抛物线，可得， 又由圆，可得圆心，半径， 因为与圆上点的距离最小值，可得，解得. 故选：A. 18.已知过点P与圆相切的两条直线的夹角为，设过点P与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，则圆心，半径， 由，得，则圆心，半径， 设过点的直线与圆切于点，与圆切于点， 连接，则， 因为过点P与圆相切的两条直线的夹角为， 所以，则， 所以， 在中，，，所以， 所以，， 因为， 所以， 即， 故选：C 19.（多选）下列说法是错误的为（    ） A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大 B．直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α C．斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等 D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示． 【答案】ABC 【解析】当直线的倾斜角为直角时，该直线不存在斜率，故选项A不正确； 当直线的斜率为，倾斜角为，故选项B不正确； 当两条直线的斜率相等，显然这两条直线的倾斜角相等，故选项选项C不正确； 根据直线的两点式方程可知选项D正确， 故选：ABC 20.（多选）已知直线，其中，则（　  ） A．当时，直线与直线垂直 B．若直线与直线平行，则 C．直线过定点 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC 【解析】对于A，当时，直线的方程为，其斜率为1，而直线的斜率为－1， 所以当时，直线与直线垂直，所以A正确； 对于B，若直线与直线平行，则，解得或，所以B错误； 对于C，当时，，与无关，故直线过定点，所以C正确； 对于D，当时，直线的方程为，在两坐标轴上的截距分别是－1，1，不相等，所以D错误， 故选：AC． 21.（多选）与直线平行且到l的距离为2的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】设所求直线的方程为， 因为两直线的距离为2，所以， 解得或， 故所求直线方程为，或． 故选：AC. 22.（多选）设直线l：，交圆C：于A，B两点，则下列说法中正确的有（    ） A．直线l恒过定点 B．弦AB长的最小值为4 C．过坐标原点O作直线l的垂线，垂足为点M，则线段MC长的最小值为 D．当m＝1时，圆C关于直线l对称的圆的方程为 【答案】BD 【解析】对A，直线的方程可化为，过定点，即A错误； 对B，设，则圆心到直线的距离，且半径， 所以最小弦长为，即B正确；    对C，由题可知直线l恒过定点，由题知，故动点在以为直径的圆上，又，      故动点在圆上，又直线l：表示过斜率存在的直线， 所以动点的轨迹方程为除点， 又，所以的最小值为，故C错误； 对D，当时，直线方程为，则点关于直线对称的点为，所以圆C关于直线l对称的圆的方程为，故D正确. 故选：BD. 23.（多选）函数图象上一点到直线的距离可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】如下图所示： 设点的横坐标为，由图可知，当曲线在点处的切线与直线平行时， 点到直线的距离取最小值， 因为，则，由，可得，则， 此时，点的坐标为， 点到直线的距离为， 所以，函数图象上一点到直线的距离的取值范围是， 因为，，BC选项满足条件. 故选：BC. 24.（多选）已知的顶点在圆上，顶点在圆上.若，则（    ） A．的面积的最大值为 B．直线被圆截得的弦长的最小值为 C．有且仅有一个点，使得为等边三角形 D．有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线 【答案】ACD 【解析】设线段的中点为，因为圆的半径为2，， 所以，且，    对于A选项，设点到直线的距离为，则， 所以当且仅当四点共线时，点到直线距离的最大值为15，所以的面积的最大值为，故A正确； 对于B选项，点到直线的距离小于等于，当时，等号成立，又的最大值为7， 所以点到直线的距离的最大值为7，这时直线被圆截得的弦长的最小值为，故B错误； 对于C选项，若为等边三角形，则需，，因为， 所以点的轨迹是以为圆心的单位圆，所以，又的最小值为4，所以， 当且仅当四点共线时成立，因此有且仅有一个点，使得为等边三角形，故C正确； 对于D选项，若直线，都是圆的切线，则，由射影定理，可得， 同上，当且仅当三点共线时，，因此有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线，故D正确； 故选：ACD 25.（多选）已知圆M：，直线：，则（　　） A．恒过定点 B．若平分圆周M，则 C．当时，与圆M相切 D．当时，l与圆M相交 【答案】BC 【解析】对A，直线：，令，则，则l恒过定点，选项A错误； 对B，若l平分圆周M，则l经过圆M的圆心，代入直线方程得，解得，选项B正确； 对C，圆心到l的距离， 当时，，l与圆M相切，选项C正确； 对D，若l与圆M相交，则，即，即，即，故选项D错误． 故选：BC.      26.（多选）已知圆与圆相交于两点，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．当时， C．当且时， D．当时，的最小值为 【答案】ABD 【解析】由圆的方程可知圆的圆心坐标为，即正确； 当时，圆，， 所以有，即，解得，即B正确； 因为，且，所以， 即，解得或，即C错误； 因为圆的直径为2，所以当时，为圆的直径， 所以， 当且仅当时，，即D正确. 故选：ABD. 27.（多选）已知圆，则下列选项正确的是（    ） A．的最小值为 B．直线与圆必相交 C．圆与圆相交，且公共弦长度为 D．光线由点射出，经轴反射后与圆相切于点，则从点到点的光线经过的总路程为 【答案】BCD 【解析】由圆的方程知：圆心，半径， 对于A，的几何意义为圆上的点与坐标原点连线的斜率； 过原点作圆的切线，斜率显然存在，设切线方程为，即， 圆心到直线的距离，解得：， ，则的最小值为，A错误； 对于B，直线方程可整理为：， 由得：，直线恒过点，即恒过圆心， 直线与圆必相交，B正确； 对于C，由圆方程知：圆心，半径， 圆心距，又，， ，圆与圆相交， 由得：，即公共弦所在直线方程为， 圆心到公共弦的距离， 公共弦长为，C正确； 对于D，点关于轴的对称点为，则从点到点的光线经过的总路程即为，    ，， 从点到点的光线经过的总路程为，D正确. 故选：BCD. 28.（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值且的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线与圆外切 C．曲线被直线截得的弦长为 D．曲线上恰有三个点到直线的距离为1 【答案】ACD 【解析】对于A，设，由定义，得，化简整理得，故A正确； 对于B，的圆心为，半径；的圆心为，半径；圆心距，故B错误； 对于C，圆心到直线的距离， 所以弦长为，故C正确； 对于D，圆心到直线的距离，半径，所以圆上恰有三个点到直线的距离为1,故D正确. 故选：ACD. 29.（多选）点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，为切点，则（    ） A．存在点，使得 B．弦长的最小值为 C．点在以为直径的圆上 D．线段经过一个定点 【答案】BCD 【解析】对于A，设，则，当且仅当时，等号成立， 因为，，，， 所以，所以，所以， 故不存在点，使得，故A不正确； 对于B，根据圆的对称性得，所以， 又， 所以， 所以， 由A知，，所以. 故B正确； 对于C，因为，，所以既是直角三角形的外接圆的直径，又是直角三角形的外接圆的直径，所以点在以为直径的圆上，故C正确； 对于D，设，则的中点为， 所以以为直径的圆的方程为， 即， 因为是圆与圆的公共弦， 所以直线的方程为：，当时，， 所以直线：过定点，因为定点在圆内，所以线段经过定点，故D正确.    故选：BCD 30.（多选）点是直线上的一个动点，，是圆上的两点．则（    ） A．存在，，，使得 B．若，均与圆相切，则弦长的最小值为 C．若，均与圆相切，则直线经过一个定点 D．若存在，，使得，则点的横坐标的取值范围是 【答案】BCD 【解析】   由图可知，当直线，与圆相切且点在轴上时最大， 此时，，，， 所以最大时是锐角，故A错； ，所以， 则当最小时，弦长最小，，所以，故B正确； 设点，，是以为直径的圆上的两点，圆的方程为， 即①，又，是圆②上的两点， 所以直线的方程为②-①：，过定点，故C正确； 若存在，，使得，则， 当直线，与圆相切时，最大，对应的余弦值最小， 当直线，与圆相切，且时，，， 因为，所以，则，故D正确. 故选：BCD. 31.（多选）已知圆，圆，直线，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为 B．圆与圆有四条公切线 C．点在圆上，点在圆上，则线段长的最大值为 D．直线与圆一定相交，且相交的弦长最小值为 【答案】ACD 【解析】对于A选项，圆的标准方程为，圆的圆心为，故A正确； 对于B选项，圆的圆心为，半径为，圆的半径为， 圆心距为，即， 所以，圆与圆相交，故圆与圆有两条公切线，故B错误； 对于C选项，因为两圆圆心距为， 又因为在圆上，点在圆上，则线段长的最大值为，故C正确； 对于D选项，直线的方程可化为， 由得，所以，直线过定点， 因为，故点在圆内，所以直线与圆相交， 当时，圆心到直线的距离取得最大值，且最大值为， 此时，直线截圆所得弦长最小，且最小值为，故D正确. 故选：ACD. 32.直线l经过点，，若直线l与直线平行，则 ． 【答案】/0.5 【解析】∵直线l经过点，，且与直线平行，∴，求得， 故答案为：． 33.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ． 【答案】/ 【解析】因为， 所以， 所以，， 所以在点处的切线方程为，即， 令得；令得， 所以切线与坐标轴围成的三角形面积为. 故答案为：. 34.已知直线在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是 ． 【答案】或. 【解析】由直线得：， 令，解得，所以直线l过点，由题知，在x轴上的截距取值范围是，如图： 所以端点处直线的斜率分别为，    所以或； 故答案为：或. 35.经过两条直线，的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为 ． 【答案】 【解析】联立，解得， ∴直线过点， ∵直线的方向向量， ∴直线的斜率，则直线的方程为，即． 故答案为： 36.已知圆，直线，当圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为 . 【答案】 【解析】由题意，直线的方程化为， 由得 ∴直线过定点，显然点在圆内， 要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心的连线垂直于直线， ，解得， 代入到直线的方程并化简得. 故答案为：. 37.已知点在圆外，则直线与圆O的位置关系是 ． 【答案】相交 【解析】点在圆外， 圆心 到直线 的距离: , 直线 与圆 相交. 故答案为：相交. 38.已知圆与圆：相内切，则实数m的值为 ． 【答案】0或2 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以两圆的圆心距， 又因为两圆内切，有或． 故答案为：0或2. 39.已知两圆，若圆与圆有且仅有两条公切线，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】若圆与圆有且仅有两条公切线，则两圆相交， 圆心，半径，圆心，半径， 则， 若两圆相交，则满足，即，得， 又，所以， 故答案为：. 40.过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB方程是 . 【答案】 【解析】圆 的圆心为 , 半径为 2， 以 为直径的圆的方程为 , 将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程 . 故答案为: . 41.已知过点作圆的切线，则切线长为 . 【答案】 【解析】由圆，可得圆心，半径， 设切点为，因为，可得， 所以切线长为. 故答案为：. 42.已知圆关于直线对称，圆，请写出一条与圆都相切的直线方程： . (写一条即可) 【答案】(或或，答案不唯一，写一条即可) 【解析】因为圆关于直线对称， 故圆心在直线上，得，解得， 故圆，圆心半径 而圆的圆心，半径 所以两圆的圆心距为 所以两圆外切，公切线有三条. 显然公切线的斜率存在，设方程为， 于是有： 两式相除得：或， 当时，得， 代入可解得或； 当时，， 代入可解得， 所以三条公切线方程分别为： ，. 故答案为：(或或，答案不唯一，写一条即可) 2 学科网（北京）股份有限公司 $