第01讲 圆的方程讲义（思维导图+知识要点+解题测率+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学一轮复习圆的方程（新高考通用）

第01讲 圆的方程 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 13 题型归纳 13 题型01：圆的标准方程 13 题型02：圆的一般方程 24 题型03：二元二次方程表示圆的挑几件 28 题型04：圆过定点 33 题型05：点与圆的位置关系 45 题型06：与圆有关的轨迹问题 53 题型07：与圆有关的对称问题 73 题型08：与圆有关的定值问题 79 题型09：与圆有关的最值问题 83 巩固提升 97 圆的方程是高考数学中的重要知识点，通常以中低档难度题目呈现，主要考查对圆的方程的理解、应用以及与其他知识的综合运用。以下是相关高考分析： 考查形式 题型：多以选择题、填空题的形式出现，偶尔也会在解答题中作为其中的一问，与直线方程、圆锥曲线等知识综合考查。 分值：一般占 5 分左右，若在解答题中涉及，则分值会相应增加。 常见考点 1. 圆的方程的求法：根据已知条件（如圆心坐标、半径、圆所过的点等）求圆的标准方程或一般方程。常用待定系数法，有时也会结合圆的几何性质（如圆心在弦的中垂线上等）来简化计算。 2.圆的方程的性质应用：包括根据圆的方程确定圆心坐标、半径；判断二元二次方程是否表示圆；利用圆的标准方程判断点与圆的位置关系等。 3.与圆有关的综合问题：常与直线方程结合，考查直线与圆的位置关系（如相交时弦长的计算、相切时切线方程的求解等）；也会与圆系方程结合，解决过定点或具有特定位置关系的圆的相关问题；还可能与函数、不等式等知识综合，求解与圆相关的最值问题，如可看作圆上一点与原点连线的斜率，ax + by可通过直线截距来分析最值等。 命题趋势 近年来，圆的方程在高考中的命题相对稳定，注重基础，强调对基本概念、公式的理解和运用。同时，也会融入一些数学思想方法的考查，如数形结合思想，要求考生能通过圆的方程准确把握圆的几何特征，解决相关问题。未来仍将以基础题型为主，但可能会进一步加强与其他章节知识的综合，提升对学生综合运用能力的要求。复习备考时，要熟练掌握圆的两种方程形式及其相互转化，牢记圆的相关性质和公式，多做一些与直线、圆锥曲线等知识综合的题目，提升分析和解决综合问题的能力。 1. 知识掌握：理解圆的标准方程或一般方程的结构特征，能实现两种方程的互化，明确圆心坐标和半径与方程参数的对应关系。 2. 能力提升：能根据不同已知条件（如圆心、半径，或圆所过的点、直线与圆的位置关系等），运用待定系数法等方法求圆的方程；能判断点与圆的位置关系，解决与圆相关的简单几何问题（如弦长计算、切线方程求解）。 3. 思想运用：在学习和解题中，体会并运用数形结合思想，将圆的方程与几何图形结合分析；运用方程思想，通过建立方程解决与圆相关的问题。 4. 综合应用：能将圆的知识与直线方程、圆锥曲线、函数、不等式等知识结合，解决综合性问题，提升知识迁移和综合解题能力。 知识点一：圆的方程 一：标准方程 1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆， 定点称为圆心，定长称为圆的半径。 2、确定圆的基本要素是：圆心和半径 3、圆的方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为 4、几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 二：圆的一般方程 1、定义：当时，方程叫做圆的一般方程. 其中为圆心，为半径. 2、一般方程与标准方程关系： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点. （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 二元二次方程表示圆的充要条件是，且，且。 用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”，大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程. （2）根据已知条件，建立关于或的方程组. （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. (1)圆的标准方程的求法 ①直接代入法：已知圆心坐标和半径大小，直接代入求圆的标准方程.​​​​​​​ ②待定系数法：圆的标准方程中含有三个参变量，必须具备三个独立的条件才能确定出圆的方程.当已知曲线为圆时，一般用待定系数法，即列出关于a,b,r的方程组，求出a,b,r. (2)圆的一般方程的求法 待定系数法：①设：根据题意设出圆的一般方程； ②列：根据已知条件，建立关于D,E,F的方程组；③解：解方程组，求出D,E,F的值. 三：圆的参数方程 圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。圆的参数方程的主要应用是三角换元： ，； 注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值． 四：圆的方程直径式 圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、). 五：圆系方程 (1)过点,的圆系方程是 ,其中是直线的方程,λ是待定的系数． (2)过直线:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数． (3) 过圆:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数． 知识点二：点和圆的位置关系 圆的标准方程为，圆心，半径为. 设所给点为，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 ⇔点在圆A上 点在圆上⇔ 点在圆内 ⇔点在圆A内 点在圆内⇔ 点在圆外 ⇔点在圆A外 点在圆外⇔ （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. 知识点三：直线与圆的位置关系 一：判断直线和圆位置关系 1、几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离 （1）直线与圆相离无交点； （2）直线与圆相切只有一个交点； （3）直线与圆相交有两个交点. 2、代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： （1）当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 二、直线与圆相交时的弦长求法： 1、几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系， 整理出弦长公式为： 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长； 3、弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长 三、直线与圆相切时的切线问题 1、求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。 （1）若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条； （2）若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况 【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。 2、求过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结课图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程。 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。 3、过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程； 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。 四、与圆的切线相关的结论 1.已知圆． ①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是 . 当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程． ②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线． ③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线． 2.已知圆． ①过圆上的点的切线方程为; ②斜率为的圆的切线方程为 圆的弦长公式： 3、过上一点的圆的切线方程为 4、过外一点作圆的两条切线，切点分别为， 则切点弦所在直线方程为： 5、切线长：过圆（）外一点引圆的切线的长为： （） 6、圆心的三个重要几何性质： （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上； （2）圆心在某一条弦的中垂线上； （3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。 .圆的切线方程 知识点四：圆与圆的位置关系及其判定 一：判断圆与圆位置关系 1、几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与，的关系 2、代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元，一元二次方程 二、两圆的公切线 1、定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线； 2、公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 三、两圆公共弦所在直线方程 圆：， 圆：， 则为两相交圆公共弦方程. 【注意】（1）若与相切，则表示其中一条公切线方程； （2）若与相离，则表示连心线的中垂线方程. 四、利用圆系方程求圆的方程 1、过直线与圆的交点的圆系方程是： （） 2、以为圆心的同心圆系方程是：； 3、与圆同心的圆系方程是； 4、过同一定点的圆系方程是． 圆与圆位置关系问题的解题策略： (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． 知识点六：与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 知识点七：与圆有关的最值问题 (1)与圆的代数结构有关的最值问题 ①形如t=形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； ②形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； ③形如t=形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. （2）与圆有关的长度或距离的最值问题的解法: 一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解,注意圆的弦长或切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到直线距离或点到圆心距离. （3）与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法: 形如型的最值问题,可转化为过点(a,b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题； 形如t=ax+by型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题； 形如型的最值问题,可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离平方的最值问题. （4）与距离最值有关的常见的结论: ①圆外一点A到圆上距离最近为|AO|-r,最远为|AO|+r； ②过圆内一点的弦最长为圆的直径,最短为该点为中点的弦； ③直线与圆相离,则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d+r,最近为d-r； ④过两定点的所有圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积. ⑤直线外一点与直线上的点的距离中,最短的是点到直线的距离； ⑥两个动点分别在两条平行线上运动,这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离. (5)与圆有关的面积的最值问题或圆中与数量积有关的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解. 知识点八：涉及直线过定点的问题 若涉及直线过定点的证明，则直线一定为含有参数的动直线，即直线系，对于直线系方程，可将直线方程化为f(x,y)+，令f(x,y)且，求出交点坐标即为定点，例如直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)对于参数k，此直线系过定点。 知识点九：圆中定点问题的一般解题方法 ①引进参数法，引进动点的坐标或动线中的系数为参数，再研究变量与参数何时没有关系，找到定点； ②特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 对于引进参数后，把直线或者曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把常量当作未知数，将方程一端化为0，即化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(这里把常量k当作未知数)，由解得点的坐标即为定点． 知识点十：解决圆中的定值的基本方法 定值是指有些问题和参数无关，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。 知识点十一：与圆有关的轨迹问题 （1） 用定义法求圆的轨迹方程：直接根据圆的定义求解； （2）用待定系数法求圆的轨迹方程：设圆的标准方程为； （3）相关点法确定圆的轨迹： ①双动点、一显一隐：已知条件中有两个动点，一个动点的轨迹明显易求，另一个隐藏极深难求. ②建立关联：即建立双动点的关系，最好以向量的形式出现，从而便于使用坐标形式. ③消显现隐：利用显动点的轨迹方程，通过代入，从而求出隐动点的轨迹方程. 一、核心思路：方程与几何结合 以圆的方程（标准式/一般式）为基础，结合圆的几何性质（如圆心、半径、垂径定理等），通过“代数运算”或“几何分析”破解问题，优先选用几何法简化计算。 二、常见题型及解题策略 1. 优先几何法：涉及圆的切线、弦长、位置关系等问题，优先用圆的几何性质（垂径定理、圆心距与半径关系），减少代数运算量。 2. 灵活选方程：求圆的方程时，已知圆心或半径选标准式，已知多点选一般式。 3. 勿忘特殊情况：求切线方程时，警惕斜率不存在的直线；两圆相交时，公共弦方程可通过两圆方程相减得到（需保证两圆相交）。 题型01：圆的标准方程 【典型例题1】（1）.已知，则圆心坐标和半径分别是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据圆的方程为， 可得圆心坐标为，半径等于2.故选：B. （2）.已知圆，则其圆心与半径分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】已知圆， 则其圆心为，半径为 故选：D 【典型例题2】（1）以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意直接写出圆的标准方程即可.以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程为.故选：B. （2）以为圆心，为半径的圆的标准方程是 . 【答案】 【解析】由圆心（或半径）求圆的方程 直接根据已知写出圆的标准方程得解. 由题得圆的标准方程为. 故答案为：. 【典型例题3】.当为任意实数时，直线恒过定点，则以点C为圆心，半径为圆的标准方程______． 【答案】 【解析】直线可化为， 则，解得， 所以直线恒过定点， 所以以点C为圆心，半径为圆的标准方程是， 故答案为： 【典型例题4】.过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，可得圆的方程． 因为过点与， 所以线段AB的中点坐标为，， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 所以线段AB的中垂线的方程为， 又因为圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆心为， 所以圆的方程为. 故选：A. 【典型例题5】求过点，圆心在直线上，且与直线相切的圆的方程． 【答案】或 【解析】依题意，设圆的方程为，则圆心坐标为，半径为， 由题意得：， 由得， 将代入，得， 将代入，同时平方，得， 从而有，解得或， 当时，，，则圆的方程为； 当时，，，则圆的方程为； 综上：所求圆的方程为或． 【典型例题6】．经过三个点的圆的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据三点在坐标系的位置，确定出是直角三角形，其中是斜边，则有过三点的圆的半径为的一半，圆心坐标为的中点，进而根据圆的标准方程求解. 由已知得，分别在原点、轴、轴上， ， 经过三点圆的半径为， 圆心坐标为的中点，即， 圆的标准方程为. 故选：C. 【变式训练1-1】.圆心在轴上，半径为1，且过点 的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆心坐标为 ，则由题意知 ，解得， 故圆的方程为，故选：A. 【变式训练1-2】.已知圆的圆心为，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据中点坐标公式求出直径两端点的坐标，然后求出半径，再求出圆的方程即可. 设直径的两个端点分别， 圆心C为点由中点坐标公式，得，解得 ∴半径， ∴圆的方程是即 故选：A. 【变式训练1-3】.圆心在直线上，且过点､的圆的标准方程为___________. 【答案】 【解析】设圆心，半径为，则圆的方程为， 把点和的坐标代入方程可得①， ②，解①②可得，， 故所求的圆的方程为． 【变式训练1-4】已知圆的圆心为，且直线与圆相切，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知切线求参数、由直线与圆的位置关系求参数、由圆心（或半径）求圆的方程、求点到直线的距离 由直线与圆相切结合点到直线距离公式求出圆的半径r即可得解. 因为直线与圆相切，设圆的半径为r， 则， 所以圆的标准方程为. 故选：A. 【变式训练1-5】下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 ，且过原点的圆的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由圆心（或半径）求圆的方程 假设圆的标准方程，根据题意列出方程求解圆心和半径即可. 因为圆心在上，所以设圆心为, 因为圆的半径为， 所以设圆的标准方程为, 因为该圆过原点， 所以， 解得, 所以圆心为或, 当圆心为时，圆的标准方程为，D对; 当圆心为时，圆的标准方程为. 故选：D. 【变式训练1-6】写出一个同时满足下列条件①②的圆的标准方程: ①圆心在直线上，②与轴相切． 【答案】（答案不唯一） 【解析】由直线与圆的位置关系求参数、由圆心（或半径）求圆的方程 根据已知条件可设圆心为，则半径为，写出圆的标准方程，可令，即可得到符合条件的一个标准方程. 由题意，可设圆心为，则半径为， 所以圆的标准方程为， 可令，则圆的标准方程为. 故答案为：（答案不唯一）. 【变式训练1-7】与圆同圆心，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设所求圆的方程为，利用点求得，从而确定正确答案. 依题意，设所求圆的方程为， 由于所求圆过点，所以， 解得，所以所求圆的方程为． 故选：B. 【变式训练1-8】．方程表示的曲线是（       ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】整理得，再根据圆的方程即可得答案. 解：对两边平方整理得， 所以，方程表示圆心为坐标原点，半径为的圆在轴及下方的部分，A选项满足. 故选：A 【变式训练1-9】圆心在直线上且与直线相切于点的圆的方程是 ． 【答案】 【解析】依题意，过切点的圆的半径所在直线方程为，即， 由解得，因此所求圆的圆心为，半径， 所以所求圆的方程为. 故答案为： 【变式训练1-10】如图所示，设圆的圆心C在直线：上，且，都是圆上的点，求圆的标准方程. 【答案】 【解析】设所求圆的方程为， 由题意得 解得，，， 因此所求圆的方程为. 【变式训练1-11】已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，求该圆的方程． 【答案】 【解析】（方法一）设圆心为，半径为r， 则圆的标准方程为． 由题意可得方程组． 解此方程组，得，故所求圆的方程为． （方法二）如图，由于圆心M到点A，B的距离相等（都等于半径），    因此圆心M在AB的垂直平分线l上，并且处于直线l与直线的交点处． 因为，所以是l的法向量， 故可设直线l的方程为．    ① 又直线l过AB的中点N，而N的坐标为， 即，将其代入①式，解得． 所以直线l的方程为，即． 圆心M的坐标是方程组的解， 解此方程组，得．所以圆心M的坐标为． 圆的半径． 故所求圆的方程为． 【变式训练1-12】经过三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据三点在坐标系的位置，确定出是直角三角形，其中是斜边，则有过三点的圆的半径为的一半，圆心坐标为的中点，进而根据圆的标准方程求解. 由已知得，分别在原点、轴、轴上， ， 经过三点圆的半径为， 圆心坐标为的中点，即， 圆的标准方程为. 故选：C. 【变式训练1-13】的三个顶点的坐标分别为，求的外接圆的方程. 【答案】 【解析】解法一（待定系数法） 设所求圆的标准方程为， 则解得 所以外接圆的方程为． 解法二（几何法）    , 易知，是直角三角形，， 所以圆心是斜边的中点，半径是斜边长的一半，即， 所以外接圆的方程为． 【变式训练1-14】.在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求出圆心坐标以及圆的半径，即可得出圆的标准方程. 由题意可知，圆心的横坐标为，纵坐标为，即点， 圆的半径为， 因此，圆的标准方程为. 故选：A. 题型02：圆的一般方程 【典型例题1】.已知圆经过原点，，三点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆的方程为 ， 解方程组即得解. 设圆的方程为 ， 把点，，代入得 ， 解得，，， 所以圆的方程是． 故选：D． 【典型例题2】.（多选）已知圆M的一般方程为，则下列说法中正确的是（ ） A．圆M的圆心为 B．圆M经过点 C．圆M的半径为25 D．圆M不经过第二象限 【答案】AD 【解析】对于选项A、C，圆M的一般方程为， 则圆的标准方程为． 所以圆的圆心坐标，半径为5． 所以选项A正确，选项C不正确； 对于选项B，将代入圆的方程，不满足，所以选项B错误； 对于选项D，令中的， 得或， 所以圆M被y轴截得的弦长为6，所以选项D正确．故选：AD． 【变式训练2-1】.与圆同圆心，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据同圆心,可设圆的一般式方程为,代入点即可求解. 设所求圆的方程为，由该圆过点，得m＝4， 所以所求圆的方程为. 故选：B. 【变式训练2-2】.已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先将圆的一般方程写出，然后利用待定系数法即可求解. 设圆的一般方程为，圆心坐标为， 因为圆经过两点，，且圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆的方程为. 故选：C. 【变式训练2-3】.已知，则的外接圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设外接圆的方程为：，然后将三点坐标代入解方程组求出的值，从而可求出的外接圆的一般方程. 设外接圆的方程为：， 由题意可得：，解得：， 即的外接圆的方程为：． 故选：C. 【变式训练2-4】. 的三个顶点的坐标分别是，则的外接圆的标准方程是____． 【答案】 【解析】设所求圆的一般方程为：， 则圆经过三点， ，解得：， 则所求圆的一般方程为：， 所以的外接圆的标准方程是：. 故答案为：. 【变式训练2-5】三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用待定系数法进行求解即可. 设圆的一般方程为， 因为，，在这个圆上， 所以有， 故选：B. 【变式训练2-6】.已知圆的方程为，那么圆心坐标和半径分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】由题，所以， 所以圆心坐标为，半径为，故选：B． 【变式训练2-7】.若曲线上所有的点均在第二象限内，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】曲线， 即表示圆，圆心是，半径为. 故圆上任一点满足， 又因为任一点在第二象限内， 所以且，解得. 题型03：二元二次方程表示圆的条件 【典型例题1】.已知表示的曲线是圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方程配方后得，根据圆的半径大于0求解. 由方程可得， 所以当时表示圆，解得. 故选：C. 【典型例题2】.“”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据二元二次方程表示圆的充要条件是可得答案. 因为方程，即表示圆， 等价于0，解得或. 故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式训练3-1】.方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．圆的右半部分 C．圆 D．圆的上半部分 【答案】D 【解析】平方后可判断曲线的形状. 因为，所以， 即， 故方程表示的曲线为圆的上半部分. 故选：D. 【变式训练3-2】.若方程表示的曲线为圆，则的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解析】根据二元二次方程表示圆的条件，可以求得若方程表示圆，必有，即可求出的取值范围. 方程表示圆，必有， 即，解可得，或， 故选：B. 【变式训练3-3】.若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 得， 由该曲线表示圆，可知， 解得或，故选：B. 【变式训练3-4】.若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方程化为标准式得 ，则.故选：D. 【变式训练3-5】.已知表示圆，则实数a的值是_______． 【答案】 【解析】把方程化为， 因为此曲线表示圆，所以，解得. 【变式训练3-6】若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围. 由， 得， 由该曲线表示圆， 可知， 解得或， 故选：B. 【变式训练3-7】设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由方程表示圆可构造不等式求得的范围，根据推出关系可得结论. 若方程表示圆，则，解得：； ∵，， 甲是乙的必要不充分条件. 故选：B. 【变式训练3-8】已知曲线的方程，则“”是“曲线是圆”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据必要不充分条件求参数、二元二次方程表示的曲线与圆的关系，根据二元二次方程表示圆的条件、必要不充分条件的定义可得答案. ，即， ∴曲线是圆，∴“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 【变式训练3-9】设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】判断命题的充分不必要条件、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 由方程表示圆可构造不等式求得的范围，根据推出关系可得结论.若方程表示圆，则，解得：； ，，甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. 【变式训练3-10】已知p：，q：关于x，y的方程表示圆，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】判断命题的充分不必要条件、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 由方程表示圆得出参数的范围，然后再判断出是的充分不必要条件. 关于x，y的方程表示圆等价于，即， 显然由可推出，反之由不能的到（可能是） 故是的充分不必要条件. 故选：A. 【变式训练3-11】已知方程，其中．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题： 甲：可以是圆的方程；    乙：可以是抛物线的方程； 丙：可以是椭圆的标准方程；    丁：可以是双曲线的标准方程． 其中，真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】判断命题的真假、二元二次方程表示的曲线与圆的关系、判断方程是否表示椭圆、判断方程是否表示双曲线，根据圆，抛物线，椭圆及双曲线的方程特点结合条件分析即得. 因为方程，其中， 所以当时，方程为，即是圆的方程，故方程可以是圆的方程； 当时，方程为，即是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程； 当时，方程为，即是椭圆的标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程； 若方程为双曲线的标准方程，则有，这与矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程； 所以真命题有3个. 故选：C. 题型04：圆过定点 【典型例题1】.已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设垂直于直线，可知圆恒过垂足；两条直线方程联立可求得点坐标. 设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：， 由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点， 由得：，以为直径的圆恒过定点. 故选：D. 【典型例题2】.点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 【典型例题3】.若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为_______ 【答案】 【解析】设抛物线交轴于点，交轴于点、， 由题意可知，由韦达定理可得，， 所以，线段的中点为，设圆心为， 由可得，解得， ，则，则， 所以，圆的方程为， 整理可得， 方程组的解为. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 【典型例题4】.已知曲线：． （1）当取何值时，方程表示圆？ （2）求证：不论为何值，曲线必过两定点． （3）当曲线表示圆时，求圆面积最小时的值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【解析】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于，所以时方程表示圆． （2）证明：方程变形为． 由于取任何值，上式都成立，则有． 解得或 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点. （3）由（2）知曲线过定点A，，在这些圆中， 以为直径的圆的面积最小 （其余不以为直径的圆的直径大于的长，圆的面积也大）， 从而以为直径的圆的方程为， 所以，解得． 【变式训练4-1】.点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解析】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、，故选：D. 【变式训练4-2】已知圆C：，若点P在直线上运动，过点P作圆C的两条切线，，切点分别为A，B，则直线过定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求出的圆心和半径，由几何关系得到四点共圆，设，得到的圆的方程，与相减后得到直线的方程，求出直线过定点坐标. 圆C：①的圆心为，半径为2， 过点P作圆C的两条切线，，切点分别为A，B，故四点共圆， 其中的中点为该圆心，为直径， 设，则的中点为， ， 故过的圆的方程为， 变形得到②， 由①②相减可得直线的方程，即， 整理得， 令，解得， 故直线过定点坐标. 故选：D 【变式训练4-3】.对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为 . 【答案】、. 【解析】将圆的方程重新按合并同类项，由此列方程组，解方程组求得定点坐标. 由由得，故，解得或. 故答案为：、. 【变式训练4-4】.已知二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为，则圆经过定点的坐标为 （其坐标与无关）. 【答案】和． 【解析】设出的图象与坐标轴的三个交点坐标，再设出圆的一般方程，把三点坐标代入圆方程，求出系数，得圆的方程（含有），分析此方程可得圆所过定点． 二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，记为，易知，满足，，，，设圆方程为，则 ， ①－②得，，∴，从而， 代入③得， ∴圆方程为， 整理得， 由得或． ∴圆过定点和． 故答案为：和． 【变式训练4-5】已知直线的方程是.求证：对于任意，直线均经过定点，并求此定点的坐标. 【答案】 【解析】合并包含的项，再令的系数为0，结合方程恒等求解即可. 即，故. 令，则.故对于任意，直线均经过定点 【变式训练4-6】.已知动圆经过坐标原点，且圆心在直线上. （1）求半径最小时的圆的方程； （2）求证：动圆恒过一个异于点的定点. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）因为圆心在直线上， 所以设圆心的坐标为. 又因为动圆经过坐标原点， 所以动圆的半径，所以半径的最小值为. 并且此时圆的方程为：. （2）设定点坐标，，因为圆的方程为： 所以，即， 因为当为变量时，，却能使该等式恒成立， 所以只可能且 即解方程组可得：，或者，（舍去） 所以圆恒过一定点，. 【变式训练4-7】已知圆M与直线相切，圆心M在直线上，且直线被圆M截得的弦长为． (1)求圆M的方程； (2)若在x轴上的截距为且不与坐标轴垂直的直线l与圆M交于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为 【解析】（1）设圆M的圆心为，半径为r，根据垂径定理，结合直线与圆相切的性质列式求解即可； （2）设，，，联立直线与圆的方程，得出韦达定理，假设存在满足条件，根据，化简，再代入韦达定理化简即可. （1）设圆M的圆心为，半径为r， 因为圆M与直线相切，所以． 又因为直线被圆M截得的弦长为， 所以，解得， 即圆心坐标为，，所以圆M的方程为．    （2）存在．设，，， 由，得． 由根与系数的关系，得． 假设存在满足条件，则，． 由，得， 即， 即，， 即且，所以． 所以存在满足条件．    【变式训练4-8】在平面直角坐标系中，已知两个定点，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于不同的两点，且（为坐标原点），求直线的斜率； (3)若点是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点. 【答案】(1)； (2)； (3)过定点. 【解析】（1）利用两点间距离公式列式化简作答. （2）求出点到直线距离，再利用点到直线距离公式计算作答. （3）设出点的坐标，求出直线的方程即可推理作答. （1）设点的坐标为，由，得，整理得， 所以曲线的轨迹方程为. （2）依题意，，且，则点到边的距离为， 于是，解得， 所以直线的斜率为. （3）依题意，，则都在以为直径的圆上， 而是直线上的动点，设，则圆的圆心为， 圆的方程为，即， 又因为在曲线上，由，得， 因此直线的方程为，即过定点， 所以直线是过定点. 【变式训练4-9】在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线上. (1)设直线l：与圆M交于C，D两点，且，求圆M的方程； (2)设直线与（1）中所求圆M交于E，F两点，点P为直线上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线EF两侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题意设圆的方程为，再根据直线l：与圆M交于C，D两点，且，由求解； （2）由题意设，又，得到，设，分别得到直线PE和直线PF的方程，与圆的方程联立，结合韦达定理，消去m得到，再设直线GH的方程为：，代入圆的方程，将韦达定理代入上式求解. （1）解：因为圆心在曲线上， 所以设圆心为，又圆M过坐标原点O，则半径为：， 设圆的方程为， 又直线l：与圆M交于C，D两点，且, 所以，则，解得， 当时，圆的方程为， 此时，圆心到直线的距离，符合题意； 当时，圆的方程为：， 此时，圆心到直线的距离，不符合题意； （2）如图所示：    由题意设，又， 则，则，设， 则直线PE的方程为，代入圆的方程消去y得： ， ， 由韦达定理得，即， 设直线PF的方程为：，代入圆的方程消去y得： ， ， 由韦达定理得，即， 所以，， 消去m得， 设直线GH的方程为：， 代入圆的方程消去y得：， ， 由韦达定理得，， 则，即， 解得或， 当时，，直线GH的方程为，过定点； 当时，，解得， 直线GH的方程为，过定点，此时G，H在直线EF同侧，不符合题意， 故直线GH过定点. 【变式训练4-10】已知圆经过三点． (1)求圆的方程． (2)已知直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线经过定点，该定点的坐标为 【解析】（1）设出圆的一般方程，代入的坐标，由此求得正确答案. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由直线的斜率之积列方程，化简求得定点坐标. （1）设圆W的方程为， 则，解得 则圆W的方程为． （2）若直线的斜率不存在，则设直线的方程为， 则，整理得． 又，解得，所以直线的方程为，此时经过点，不符合题意． 若直线的斜率存在，则设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则． ， 则， 整理得， 解得或． 当时，直线的方程为， 此时直线经过点，不符合题意，故舍去． 所以， 故直线的方程为，即，经过定点． 综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为．        【点睛】求圆的方程的方法有两种思路，一种思路是根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程；另一种思路是设圆的一般方程，然后根据已知条件求得，从而求得圆的一般方程. 题型05：点与圆的位置关系 【典型例题1】.点与圆的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 【答案】B 【解析】计算到圆心的距离和半径作比较即可. 圆的圆心为，半径，， 故点在圆内. 故选：B. 【典型例题2】.已知圆的方程是，则点满足( ) A．是圆心 B．在圆上 C．在圆内 D．在圆外 【答案】C 【解析】由题可知：，所以点在圆内，故选：C 6.点与圆的位置关系是（ ）． A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．不确定 【答案】B 【解析】因为，所以点在圆外，故选：B 【典型例题3】若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点与圆的位置关系求参数、圆的一般方程与标准方程之间的互化 由点在圆外代入圆的方程可得，再由圆的一般方程中可得，最后求交集即可. 由题意知， 故， 又由圆的一般方程， 可得，即， 即或， 所以实数的范围为. 故选：C. 【典型例题4】已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可 【解答过程】由题意，表示圆 故，即或 点A（1，2）在圆C：外 故，即 故实数m的取值范围为或 即 故选：A. 【典型例题5】点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关 【答案】A 【解析】将点的坐标代入圆的方程中，看结果即可判断选项是哪个. 将点P(m，3)坐标代入(x－2)2＋(y－1)2＝2中， 有： 恒成立，故点P在圆外， 故选：A. 【变式训练5-1】.两个点、与圆的位置关系是（    ） A．点在圆外，点在圆外 B．点在圆内，点在圆内 C．点在圆外，点在圆内 D．点在圆内，点在圆外 【答案】D 【解析】本题可将点、代入方程左边，通过得出的值与的大小关系即可判断出结果. 将代入方程左边得， 则点在圆内， 将代入方程左边得， 则点在圆外， 故选：D. 【变式训练5-2】.若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由方程表示圆的条件以及点到圆心的距离大于半径求解即可 圆， 则圆，圆心，半径， 点在圆的外部， ，即，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 【变式训练5-3】.已知点在圆C：的外部，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，得，解得，或，故选：A. 【变式训练5-4】.若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用点与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，解之即可. 由题意可得，解得. 故选：A. 【变式训练5-5】.若点在圆的内部，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点在圆的内部， 所以，解得：，故选：A 【变式训练5-6】已知点在圆的外部，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由点在圆外以及方程表示圆得到不等式组，解不等式组即可. 由点在圆外知，即，解得， 又为圆，则， 解得，故. 故选：D 【变式训练5-7】若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】点与圆的位置关系求参数、二元二次方程表示的曲线与圆的关系、圆的一般方程与标准方程之间的互化 根据表示圆得，又利用点在圆外得，从而可得结果. 因为可化为，则，所以． 又点在圆的外部，所以，故， 综上，． 故选：A. 【变式训练5-8】（多选题）若点在圆的外部，则的取值可能为（    ） A． B．1 C．4 D．7 【答案】BC 【解析】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数 由圆，结合点在圆外列不等式组求参数范围. 由题设，在圆外， 则，解得. 故选：BC 【变式训练5-9】（多选题）在平面直角坐标系中，已知圆：，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点在圆外 B．圆与轴相切 C．若圆截轴所得弦长为，则 D．点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为 【答案】ABD 【解析】点与圆的位置关系求参数、定点到圆上点的最值（范围）、判断直线与圆的位置关系、已知圆的弦长求方程或参数 选项A，根据点与圆的位置关系判断即可；选项B，根据直线与圆相切的定义判断即可；选项C，根据圆的弦长公式求解即可；选项D，根据分和两种情况即可判断. 对于A，因为时，将原点代入圆方程可得，故点在圆外，故A正确； 对于B，圆化为标准方程即为，则圆心，， 显然圆心到轴距离为等于半径，所以相切，故B正确； 对于C，对根据题意，，解得，解得所以圆截轴所得弦长为， 则，故C不正确； 对于D，当时，圆：，所以点在圆上，显然最小值为，最大值为， 故乘积且等于；当时，由选项A知，点在圆外，， 所以最大值为，最小值为，乘积为，故D正确. 故选：ABD. 【变式训练5-10】若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 求出圆心到直线的距离，再利用圆的性质求出最小值. 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 即直线与圆相离，又点在该圆上， 所以点到直线的距离的最小值为. 故选：A 【变式训练5-11】已知直线，圆，下列说法错误的是（    ） A．对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点； B．当且仅当时，直线被圆所截弦长为； C．对任意实数，圆不关于直线对称； D．存在实数，使得直线与圆相切． 【答案】D 【解析】圆的弦长与中点弦、判断直线与圆的位置关系、判断点与圆的位置关系、直线过定点问题 求出直线所过的定点，并判断该定点与圆的位置关系，再逐项分析判断即可得解. 直线，由，解得，即直线恒过定点， 圆的半径，，即点在圆内， 对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点，A正确，D错误； 直线不过圆的圆心，因此对任意实数，圆不关于直线对称，C正确； 直线的斜率，当时，直线的斜率为，因此直线 此时直线被圆所截弦是过点的最短弦，最短弦长为， 因此当且仅当时，直线被圆所截弦长为，B正确. 故选：D 题型06：与圆有关的轨迹 【典型例题1】.当点在圆上运动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点，的中点的坐标为，根据已知中点关系建立关系式，利用变换代入化简即可. 设点，的中点的坐标为， ，由中点坐标公式可得，可得， 又点在圆，则，即. 因此，线段的中点的轨迹方程为. 故选：C. 【典型例题2】.已知点和点，动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据两点间的距离公式列式求解即可. 解：因为点和点，动点， 所以， 又因为其满足， 所以，整理得： 所以点的轨迹方程为. 故选：D. 【典型例题3】.古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直接设，根据两点间距离公式代入运算整理． ∵，即 设，则，整理得 故选：B． 【典型例题4】的顶点B，C的坐标分别是，，顶点A在圆上运动，求的重心G的轨迹方程. 【答案】 【解析】设的重心G的坐标是，点A的坐标是. 已知点B，C的坐标分别是，， 则的重心G的坐标满足，. 因此有，.① 因为点A在圆上运动， 所以点A的坐标满足方程， 即满足方程.② 将①代入②，得. 即所求轨迹方程为.    【典型例题5】已知曲线上的动点满足到定点的距离与到定点距离之比为 (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程. 【答案】(1)（或） (2)或. 【解析】（1）根据动点满足到定点的距离与到定点距离之比为，建立方程，化简可得曲线C的方程. （2）分类讨论，设出直线l方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可求得直线l的方程. （1）由题意得，故， 化简得（或）； （2）当直线的斜率不存在时，， 将代入方程得或，所以，满足题意； 当直线的斜率存在时，设，则， 因为，所以，解得，此时. 综上，直线的方程为或.    【变式训练6-1】.已知点，，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，根据即得. 设，由条件知，且PM，PN的斜率肯定存在，故， 即，所以， 因为为直角三角形的直角顶点， 所以，故所求轨迹方程为． 故选：C. 【变式训练6-2】两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意建立坐标系，由题意可得点M的轨迹方程，进而可得M点的轨迹长． 以点A为坐标原点，直线AB为x轴，建立直角坐标系，如图，      则，设点， 由，得，化简并整理得：， 于是得点M的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其周长为， 所以M点的轨迹长为. 故选：A. 【变式训练6-3】．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，即 设，则，整理得 故选：B． 【变式训练6-4】．如图，定点A，B都在平面内，定点，C是内异于A和B的动点，且，则动点C在平面内的轨迹是（    ） A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点 C．一段弧，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点 【答案】B 【解析】连接，因为，所以，又，， 所以平面，又平面，故， 因为A，B是平面上的定点，所以点C在内的轨迹是以为直径的圆， 又C是内异于A和B的点，故此轨迹要去掉A、B两个点，所以B正确. 故选：B 【变式训练6-5】．给定圆O及圆内一点P，设A，B是圆O上的两个动点，满足，则的中点的轨迹为（    ） A．一个圆 B．一个椭圆 C．一段双曲线 D．一段抛物线 【答案】A 【解析】如图，设点P关于线段的中点M的对称点为Q，连结． 根据题意，四边形为矩形， 由矩形的性质可得， 故 进而点M的轨迹为圆， 故选：A 【变式训练6-6】．如图所示，垂直于平面的线段AB和CD，其长分别为和，则平面内满足的点P的轨迹是（    ）    A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【答案】D 【解析】由题意知，， 所以， 在平面内， 以所在直线为轴，中垂线为轴，如图，    设， 可推出点轨迹是. 故选：D 【变式训练6-7】．已知A，B是圆C：上的两个动点，P是线段的中点，若，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为中点为P，所以，又，所以， 所以点P在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为. 故选：C. 【变式训练6-8】已知点，，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，根据即得. 【解答过程】设，由条件知，且PM，PN的斜率肯定存在，故， 即，所以， 因为为直角三角形的直角顶点， 所以，故所求轨迹方程为． 故选：C. 【变式训练6-9】已知A（3，3），点B是圆x2+y2＝1上的动点，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】通过定比分点坐标公式，用M的坐标表示B，把B的坐标代入圆的方程，整理可得点M的轨迹方程. 【解答过程】设M点的坐标（x，y），B（a，b），因为点M是线段AB上靠近A的三等分点，所以a＝3x﹣6，b＝3y﹣6，又点B是圆x2+y2＝1上的动点，所以B的坐标适合圆的方程，即 故选：A. 【变式训练6-10】已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在直角三角形中利用几何关系即可获解 圆即,半径 因为,所以 又是的中点,所以 所以点的轨迹方程为 故选：B. 【变式训练6-11】已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】圆，所以圆心为，半径为2，设， 由线段的中点为，可得，即有， 即，所以点的轨迹方程为． 故答案为： 【变式训练6-12】已知圆的方程是，则圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】因为方程表示圆， 即表示圆,所以， 解得, 易知圆心坐标为，且， 设圆心坐标为，则有， 消去，得即为所求圆心的轨迹方程. 故答案为： 【变式训练6-13】已知定点，动点在圆上，点在线段上，且，求点的轨迹方程． 【答案】 【解析】在上找一点，则， 过作交于，此时满足，如下图， 所以，令，则.    【变式训练6-14】从定点向圆任意引一割线交圆于P，Q两点，求弦PQ的中点M的轨迹方程. 【答案】（在圆C内部的部分） 【解析】设所求轨迹上任一点， 圆C的方程可化为 则圆心坐标为，，    因为，所以点M的轨迹是以AC为直径的圆（在圆C内部的部分）， 因为AC的中点坐标为， 所以点M的轨迹方程为（在圆C内部的部分）． 【变式训练6-15】已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，求弦的中点的轨迹方程． 【答案】且. 【解析】由题设直线恒过，若的中点为，结合圆的性质有，进而判断的轨迹，即可写出轨迹方程. 由恒过，且与圆相交于、， 而的圆心为，若的中点为，则， 所以，易知：在以为直径的圆上，且，    所以弦的中点的轨迹方程且. 【变式训练6-16】已知点，且． (1)求点P的轨迹方程； (2)判断点P的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，圆心坐标为，半径 【解析】（1）根据可列出方程，化简即得答案； （2）解法一，利用配方法，结合圆的标准方程，可得答案；解法二，结合圆的一般方程以及二元二次方程表示圆的条件，即可求得答案. （1）由题意得， 两边同时平方，化简得， 即点P的轨迹方程为． （2）解法一：由（1）得， 故点P的轨迹是圆，其圆心坐标为，半径为． 解法二：由（1）结合圆的一般方程得， 所以，故点P的轨迹是圆． 又，，所以圆心坐标为，半径． 【变式训练6-17】在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足 (1)求动点P的轨迹C的方程 (2)若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【解析】（1）设，根据动点满足，再用两点间距离公式列式化简作答. （2）讨论直线的斜率，设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解作答. （1）设，由，得， 化简得， 所以P点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，轨迹：表示圆心为，半径为2的圆， 当直线l的斜率不存在时，方程为，圆心到直线l的距离为2，与相切； 当直线l的斜率存在时，设，即，     于是，解得，因此直线的方程为，即， 所以直线l的方程为或.    【变式训练6-18】已知的斜边为，且． (1)求直角顶点的轨迹的方程； (2)直线与交于两点M，N，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设出点坐标，利用向量数量积的运算列方程，化简求得轨迹的方程. （2）利用勾股定理以及点到直线的距离公式列方程，由此求得的值. （1）设，，，由已知得， ∴，化简得的方程为：. （2）∵，圆的半径为2， ∴圆心到的距离为， ∴，解得.    【变式训练6-19】已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． (1)求的轨迹方程； (2)当，求的方程及的面积． 【答案】(1) (2)， 【解析】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、圆的弦长与中点弦、相交圆的公共弦方程 （1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出坐标，由与数量积等于0列式得的轨迹方程； （2）法一：由确定点M与点P坐标满足的等式，再结合（1）中轨迹方程，可求得l的方程，进而求弦长、圆心到直线的距离，即可求面积； 法二：由确定点M与点P坐标满足的等式，求得坐标，确定直线方程，后同法一. （1）设点，当点不与点重合时，即当且时， 由垂径定理可知,即 又圆的圆心为， 则， ∴，即 当点与点重合时，点的坐标也满足方程 故点的轨迹方程为圆：. （2）当时，点与点满足圆的方程 又点与点在圆：上 ∴直线为圆和圆的交线，圆与圆的方程相减得， 直线的方程为，即 ∴的方程为： 点到直线的距离， 又圆的半径， ∴弦长， ∴的面积； 法二：设 由题意可得，解得，即点 又， ∴直线的方程为 ，则直线的方程为，且 点到直线的距离为 故的面积 【变式训练6-20】已知圆：和点，为圆外一点，直线与圆相切于点，. (1)求点的轨迹方程； (2)记（1）中的点的轨迹为，是否存在斜率为的直线，使以被曲线截得得弦为直径得圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或 【解析】轨迹问题——圆、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 （1）根据圆的切线性质，结合两点间距离公式进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数关系，结合直径所对圆周角为直角的性质、互相垂直两直线的斜率关系进行求解即可. （1）设点坐标为，直线与圆相切于点， 则，所以， 即， 化简得. （2）设直线方程为，点，. 联立方程，得， 所以. 因为以为直径得圆过点，则， 即， 化简得， 代入根与系数关系中，得， 解得或， 故直线的方程为或. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用直径所对圆周角为直角、一元二次方程根与系数关系进行求解. 【变式训练6-21】已知椭圆，直线与椭圆交于A、B两点，为坐标原点，且，，垂足为点． (1)求点的轨迹方程； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】轨迹问题——圆、椭圆中三角形（四边形）的面积 （1）分直线l斜率不存在和存在两种情况进行讨论，结合韦达定理以及向量垂直的坐标表示即可求得P的轨迹方程； （2）分直线l斜率不存在和存在两种情况进行讨论，求出弦长的取值范围，结合面积公式即可求得答案. （1）①当直线l斜率不存在时，由椭圆的对称性，不妨设直线l在y轴右侧， 直线OA的方程为， 由，解得，，所以，， 所以，直线AB的方程为，此时． 同理，当直线l在y轴左侧时，． ②当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，，， 由消去y整理得，， ∴，且，， 又∵，∴即：， 所以，， 则， 故， 所以满足， 所以，． 综上，，所以，点P的轨迹方程为． （2）①由（1）可知，当直线l斜率不存在或斜率为0时，． ②当直线l斜率存在且不为0时， ， ∵，∴，当且仅当，即等号成立． ∴，∴， ∴， 综上，．    【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 题型07：与圆有关对称问题 【典型例题1】.圆关于直线对称后的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得圆心关于直线的对称点，半径不变，进而即得. 圆的圆心 半径为 ，由得， 设圆心关于直线对称点的坐标为，则 ，解得, 所以对称圆的方程为. 故选：A. 【典型例题2】.已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，求得圆心关于直线的对称点，即可得到结果. 由题意可得，圆的圆心坐标为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得， 所以圆的标准方程为. 故选：A. 【典型例题3】.设曲线关于直线对称，则__________． 【答案】 【解析】表示圆心是，半径的圆， 由条件可知，圆心在直线上， 即，得. 【典型例题4】.点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（    ） A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】C 【解析】将圆的一般方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径的表达式，利用已知条件，得到圆心在直线上，结合二次函数的性质即可求解. 由，得， 所以圆心为，半径为， 由题意可得直线经过圆心 ， 故有，即， 所以半径为， 当时，圆C的半径的最小值为. 故选：C. 【变式训练7-1】.已知圆：，直线：，则圆关于直线对称的圆是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设对称圆的圆心，，所以中点为， 所以，解得， 所以圆关于直线对称的圆的方程为：. 【变式训练7-2】圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求出已知圆的圆心和半径，求出圆心关于原点对称的圆的圆心的坐标，即可得到对称的圆的标准方程． 解：圆的圆心，半径等于， 圆心关于原点对称的圆的圆心， 故对称圆的方程为， 故选：． 【变式训练7-3】若圆与圆C关于直线对称，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由对称性得出的圆C圆心坐标，进而写出方程. 圆的标准方程为，其圆心为，半径为 因为关于直线对称的点为，所以圆C的方程为 即 故选：C. 【变式训练7-4】）圆关于点对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求出圆心关于的对称点，即为对称圆的圆心，对称圆的半径为1. 圆的圆心为， 因为点关于点对称的点为， 所以对称圆的圆心为， 又因为半径不变， 所以所求圆的标准方程为. 故选：A. 【变式训练7-5】.已知圆关于直线对称，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，直线过圆心， 则，即，又， 则， 当且仅当， 即时取等，则的最小值为，故选：A. 【变式训练7-6】.已知圆关于直线对称，则的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】由圆的方程求出圆心坐标，将圆心坐标代入直线方程，由基本不等式即可求出的最大值. 解：由题意 在圆中， ∴圆心为，半径为1 在直线中， 圆关于该直线对称 ∴直线过圆心， ∴，即： ∵ 解得： 当且仅当时等号成立 ∴的最大值为. 故选：D. 【变式训练7-7】.若圆关于直线和直线都对称，则D＋E的值为_________． 【答案】4 【解析】圆的圆心为， 因为圆关于直线和直线都对称， 所以圆心在直线上，也在直线上， 所以，解得， 所以，故答案为：4 【变式训练7-8】若圆和圆关于直线对称，则直线的方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知直线即为线段的中垂线，求出线段的中点坐标和所在直线的斜率，从而可求的直线的斜率，即可得出答案. 解：因为圆和圆关于直线对称， 所以直线即为线段的中垂线， ， 则线段的中点坐标为，， 所以直线的斜率， 所以直线的方程是，即. 故选：A. 题型08：与圆有关的定值 【典型例题1】已知圆与轴交于两点，点的坐标为．圆过三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则此定直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆为，根据圆与圆都经过两点，可用表示，又点 在圆上，可用表示，进而可得含参数的圆的方程，再由圆系方程求解即可. 圆方程为，令，得， 设圆的方程为，令，得， 由题意，圆与圆都经过两点， ∴方程与等价，∴，， ∴圆的方程为， ∵点 在圆上，∴，∴， ∴圆：，整理得， ∴圆经过直线与圆的交点， ∴当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值， 故选：C. 【典型例题2】．（多选）已知圆，斜率为k的直线l经过圆O内与O点不重合且不在坐标轴上的一个定点P，且与圆O相交于A、B两点，下列选项中正确的是（    ） A．若r为定值，则存在k，使得 B．若k为定值，则存在r，使得 C．若r为定值，则存在k，使得圆O上恰有三个点到l的距离均为 D．若k为定值，则存在r，使得圆O上恰有三个点到l的距离均为 【答案】AC 【解析】当P为弦AB中点时可判断AB选项，利用平行线间的距离及极限思想判定C，设直线OP与l的夹角为，求出满足条件时的取值范围即可判断D. 如图， 当P为弦AB中点时，，A 正确，B错误； 因为与l距离为非零定值的所有点的轨迹是与l平行的两条平行线， 若r为定值，当k趋向于0时，两条平行线与l的距离趋向于0，都与圆相交，当k趋向于无穷大时，两条平行线与l的距离趋向于无穷大，都与圆相离. 由于P点在圆内且与O点不重合，前面两个极限状态之间必然存在一条平行线与圆相交而另一条平行线与圆相切的情况，此时圆O上恰有三个点到l的距离均为，符合题意，C正确； 若k为定值，当圆O上恰有三个点到l的距离均为时，l的两条平行线中一条与圆相切，一条与圆相交．设原点O与l的距离为d ，直线OP与l的夹角为 ，此时，即，由于，所以，所以，故当时，不存在圆O上恰有三个点到l的距离均为，故D错误. 故选：AC 【变式训练8-1】已知圆：与直线相切. (1)若直线与圆交于，两点，求； (2)已知，，设为圆上任意一点，证明：为定值. 【答案】(1)，(2) 【解析】(1) 利用直线与圆相切 , 结合点到直线距离公式求出半径, 从而得到圆的方程; 根据直线被圆截得 弦长的求解方法可求得结果; （2）设 , 则 , 利用两点间距离公式表示出 , 化简可得结果. （1）由题意， 圆心 到直线 的距离：， 圆 与直线相切， ∴ ，圆 方程为: ， ∵圆心 到直线 的距离: ， ∴. （2）由题意及（1）证明如下 设 , 则 ， ∴， 即 为定值. 【变式训练8-2】已知圆：与圆：. (1)若圆与圆内切，求实数的值； (2)设，在轴正半轴上是否存在异于A的点，使得对于圆上任意一点，为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)16，(2)存在，6 【解析】（1）根据题意求圆心和半径，在结合两圆的位置关系列式求解； （2）设点，利用两点间距离公式可得，结合题意分析运算即可. （1）因为：，即， 故圆的圆心坐标为，半径长， 且圆：，故圆的圆心坐标为，半径长， 若圆与圆内切，则， 即，且，所以. （2）设点，则， 于是，即， 同理，可得， 要使为定值，则，解得或（舍去）， 故存在点使得为定值，此时. 【变式训练8-3】已知直线过定点，且与圆交于两点． (1)求直线的斜率的取值范围； (2)若为坐标原点，直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，(2)定值 【解析】（1）法一：若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意，则直线的斜率存在，设直线的方程为，即，由求解；法二：若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意，则直线的斜率存在，设直线的方程为，与圆的联立，根据直线与圆相交，由求解. （2）设，，设直线的方程为，与圆的方程联立，结合韦达定理求解. （1）解：法一：圆的标准方程为，圆心为，半径为． 若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意． 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即 由题意可得，解得．                因此，直线的斜率的取值范围是． 法二：若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意． 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为． 联立，得，其中 因为直线与圆相交，所以， 解得，                                           因此，直线的斜率的取值范围是． （2）设，，设直线的方程为． 联立，得，其中， 所以，， 则 ， 所以为定值． 题型09：与圆有关的最值 【典型例题1】若圆C的方程为，点P是圆C上的动点，点O为坐标原点，则的最大值为__________，最小值为__________. 【答案； 【解析】圆C的标准方程为: 所以圆C的圆心为，半径，， 所以的最大值为， 最小值为. 【典型例题2】已知为坐标原点，为圆上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【解析】由圆，可得圆C的圆心坐标为，半径为， 则， 所以的最小值为.故选：A. 【典型例题3】在圆上与点距离最大的点的坐标是______． 【答案】 【解析】，点在圆外 圆上与点距离最远的点， 在圆心与点连线上，且与点分别在圆心两侧， 令直线解析式：， 由于直线通过点和，可得直线解析式：， 与圆的方程联立，可得，或 交点坐标为和，其中距离点较大的一个点为. 【变式训练9-1】（多选题）当实数变化时，关于的方程可以表示的曲线类型有（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】ACD 【解析】判断方程是否表示双曲线、判断方程是否表示椭圆、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 利用曲线方程的特征逐一判断即可. 当时，方程为，即，此时方程表示直线； 当时，方程为 若，则方程表示双曲线； 若，此时无解； 当，方程表示椭圆. 方程可以表示的曲线类型有直线，双曲线，椭圆. 故选：ACD. 【变式训练9-2】（在平面直角坐标系中，已知直线：与圆：交于两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】定点到圆上点的最值（范围）、圆的一般方程与标准方程之间的互化、轨迹问题——圆、向量加法法则的几何应用 根据题意分析可知直线过定点，取线段的中点，可知点的轨迹为以的中点为圆心，半径的圆，结合圆的性质分析求解. 由题意可知：直线：过定点， 圆：，即， 可知圆心为，半径， 取线段的中点，则， 可知点的轨迹为以的中点为圆心，半径的圆，    可得， 当且仅当在的延长线上时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 【变式训练9-3】点为圆上一点，点，，记到两点的距离分别为与．则的最大值为 ． 【答案】850 【解析】定点到圆上点的最值（范围） 设出点，利用两点的距离公式求出，然后求解最值即可. ，，设， 则 ， 故当，时，取最大值，最大值为850， 此时点的坐标为 故答案为：850 【变式训练9-4】已知点P为直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为 ． 【答案】 【解析】切点弦及其方程、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、求点到直线的距离 根据意义可设，求出直线的方程为，且恒过定点，所以点M到直线AB的距离的最大值为. 设，则满足； 易知圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径，如下图所示： 易知，所以，即，整理可得； 同理可得， 即是方程的两组解， 可得直线的方程为，联立，即； 令，可得，即时等式与无关， 所以直线恒过定点，可得； 又在圆内，当，且点为的延长线与圆的交点时，点到直线的距离最大； 最大值为； 故答案为： 【变式训练9-5】在平面直角坐标系中，已知，为圆上两动点，点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令为中点，根据直角三角形性质，圆中弦长、弦心距、半径的几何关系求得轨迹为圆，求定点到所得圆上点距离的最大值，结合即可求结果. 由，要使最大只需到中点距离最大， 又且， 令，则，整理得， 所以轨迹是以为圆心，为半径的圆，又，即在圆内， 故，而，故. 故选：D. 【变式训练9-6】若x，y满足，则的最小值是（    ） A．5 B． C． D．无法确定 【答案】C 【解析】由为圆上的点与原点距离的平方，结合圆的性质即得. 由，可得， 表示以为圆心，以为半径的圆， 设原点， ， 则（为圆上的点与原点距离的平方）的最小值是 ． 故选：C． 【变式训练9-7】已知点在过点且与直线垂直的直线上，则圆：上的点到点的轨迹的距离的最小值为（       ） A．1 B．2 C．5 D． 【答案】A 【解析】利用直线垂直的性质、直线的点斜式以及直线与圆上的点的位置关系进行求解. 过点且与直线垂直的直线为：， 已知点在该直线上，所以，即， 所以点的轨迹方程为，又圆：， 所以圆心，半径，所以圆上的点到点的轨迹的距离的最小值为： .故A，B，D错误. 故选：A. 【变式训练9-8】在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先求得A，两点坐标，根据得到，再结合可得到C轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案. 由得 ， 故 由得， 由得，设 ，则 ， 即，即点C轨迹为一动圆， 设该动圆圆心为 ，则， 整理得 ，代入到中， 得： ，即C轨迹的圆心在圆上， 故点（1,1）与该圆上的点的连线的距离加上圆的半径即为点到点的距离的最大值，最大值为 ， 故选：B. 【变式训练9-9】．已知点在圆上，则到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的圆心，，圆心到直线的距离等于， 故圆上的动点到直线的距离的最小值为． 故选：C 【变式训练9-10】．已知直线和圆，则圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由题知，圆，其中圆心，半径为1，直线过定点， 所以点到直线的距离的最大值为到圆心的距离加上圆的半径，即. 故选：C 【变式训练9-11】．已知O为坐标原点，过点作直线（不全为零）的垂线，垂足为，当变化时，的最小值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【解析】因为直线，可得， 由方程组，解得，即直线恒过点， 有因为过点作直线的垂线，垂足为，设， 可得，所以， 可得， 整理得，即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 又由，所以. 故选：B. 【变式训练9-12】．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句．诗中隐含着一个数学问题——“将军饮马”：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【解析】设点关于直线的对称点坐标为 故，解得，即对称点，故原点到点的距离， 所以最短距离为． 故选：C    【变式训练9-13】．已知圆的直径，若平面内一个动点与点的距离是它与点距离的倍，则的面积的最大值为（    ） A．64 B．12 C． D． 【答案】D 【解析】以为原点，所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，设， 因为，所以， 整理得， 所以点在以为圆心，以为半径的圆上，到直线的距离的最大值为， 因此的面积的最大值为.    故选：D 【变式训练9-14】若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最小值为是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴， 建立平面直角坐标系，则，， 设，因为，所以， 两边平方并整理，得，即， 所以点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 则， 因为，所以， 由，得， 所以， 由此可知的最小值为． 故选：A. 【变式训练9-15】已知点，，，点P满足，则点P到点C距离的最大值为 ． 【答案】10 【解析】设， ∵，∴，化简得． 则点P的轨迹是以为圆心，半径等于4圆， ∵，故的最大值为， 故答案为：10． 【变式训练9-16】设点是圆：上的动点，定点，则的最大值为 ． 【答案】10 【解析】由题意知，， 所以， 由于点是圆上的点,故其坐标满足方程， 故， 所以. 由圆的方程，易知， 所以当时，的值最大，最大值为. 故答案为：10 【变式训练9-17】点在动直线上的投影为点M，若点，那么的最小值为 . 【答案】 【解析】解：因为直线过定点，且， 所以的轨迹是以为直径的圆，且圆心为，半径， 所以， 故答案为：. 【变式训练9-18】已知实数、满足，求的最大值． 【答案】 【解析】因为，则根据圆的标准方程知， 所以， 当且仅当或时，取等号，此时有最大值为. 所以当时，的最大值为 . 【变式训练9-19】已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆心为的圆的一般方程； (2)已知，为圆上的点，求的最大值和最小值. 【答案】(1)； (2)最大值为，最小值为. （2）先确定点在圆外，求得可求的最大值和最小值． 【解析】（1）∵，，∴, ∴弦的垂直平分线的斜率为， 又弦的中点坐标为，∴弦的垂直平分线的方程为，即， 与直线：联立，解得：， 圆心坐标为，∴圆的半径， 则圆的方程为. ∴圆的一般方程为；    （2）由（1）知圆的方程为， 所以,∴在圆外， 的最大值为，最小值为. 巩固练习 1.已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径为，得到圆方程. 根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：. 故选：B. 2.若圆与圆C关于直线对称，则圆C的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由对称性得出的圆C圆心坐标，进而写出方程. 圆的标准方程为，其圆心为，半径为 因为关于直线对称的点为，所以圆C的方程为 即 故选：C 3.已知直线过圆的圆心，则的最小值为（       ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】先求得圆心，根据直线过圆心，可得，代入所求，根据二次函数的性质，即可得答案. 由题意得圆心为（1,1），因为直线过圆心， 所以，即， 所以， 所以当时，的最小值为. 故选：A 4.已知实数x，y满足，则x的最大值是（       ） A．3 B．2 C．1 D．以上答案都不对 【答案】C 【解析】将方程化为圆的标准形式，确定圆心和半径，结合圆的性质求x的最大值. 由，则圆心为，半径为， 所以x的最大值出现在圆心的正右方，点位置，故最大值是1. 故选：C 5．已知点，Q是圆上的动点，则线段长的最小值为（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】 根据圆的几何性质转化为圆心与点的距离加上半径即可得解. 圆的圆心为，半径为， 所以， 圆上点在线段上时，， 故选：A 6．圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求点到直线的距离、由圆的一般方程确定圆心和半径 求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 7．设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】几何概型-角度型、由标准方程确定圆心和半径 根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解. 因为区域表示以圆心，外圆半径，内圆半径的圆环， 则直线的倾斜角不大于的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角， 结合对称性可得所求概率. 故选：C.      8．已知圆心为的圆与直线相切，则该圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为圆心为的圆与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即， 所以该圆的标准方程是． 故选：A 9．已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径为， 由得，则两直线与的交点为， 依题意得，解得. 故选：B 10．已知点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点在圆外， 所以，解得：. 故选：C 11．圆C：关于直线对称的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由圆C：，可知圆心坐标：，半径为， 因为点关于直线的对称点为， 所以圆C：关于直线对称的圆的方程是 ， 故选：C 12．定义：既是中心对称，也是轴对称的曲线称为“尚美曲线”，下是方程所表示的曲线中不是“尚美曲线”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A，表示圆心在原点，半径为2的圆，由圆的性质知，的对称中心为，对称轴为轴，轴，即既是中心对称，也是轴对称，所以选项A错误； 选项B，由椭圆的性质知，的对称中心为，对称轴为轴，轴，即既是中心对称，也是轴对称，所以选项B错误； 选项C，由双曲线的性质知，的对称中心为，对称轴为轴，轴，即既是中心对称，也是轴对称，所以选项C错误； 选项D，由，得到，由抛物线性质知，关于轴对称，无对称中心，所以选项D正确. 故选：D. 13．在Rt△ABC中，，，，若动点P满足，则的最大值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【解析】如图，以B为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则，，． 设，则． 因为，所以P是圆A：上的点． 又点P与点距离的最大值为，即， 所以． 故的最大值为17． 故选：B.    14．直线绕原点按顺时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是（    ） A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心 C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点 【答案】A 【解析】直线过原点，斜率为，倾斜角为， 依题意，直线l的倾斜角为，斜率为，而l过原点，因此直线l的方程为：， 而圆的圆心为，半径为，于是得圆心在直线l上， 所以直线l与圆相交，过圆心. 故选：A 15．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则，化简得， 即点的轨迹方程为以为圆心，为半径的圆， 则点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径， 即，点到直线的距离最小值为. 故选：A 16．（多选题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【答案】ABD 【解析】点与圆的位置关系求参数、判断直线与圆的位置关系 转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解. 圆心到直线l的距离， 若点在圆C上，则，所以， 则直线l与圆C相切，故A正确； 若点在圆C内，则，所以， 则直线l与圆C相离，故B正确； 若点在圆C外，则，所以， 则直线l与圆C相交，故C错误； 若点在直线l上，则即， 所以，直线l与圆C相切，故D正确. 故选：ABD. 17．（多选题）已知曲线.（    ） A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m=n>0，则C是圆，其半径为 C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D．若m=0，n>0，则C是两条直线 【答案】ACD 【解析】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、判断方程是否表示椭圆、双曲线定义的理解 结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线. 对于A，若，则可化为， 因为，所以， 即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为， 此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确； 对于C，若，则可化为， 此时曲线表示双曲线， 由可得，故C正确； 对于D，若，则可化为， ，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 18．已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 【答案】/ 【解析】根据抛物线方程求焦点或准线、求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径 先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离. 圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即， 故原点到直线的距离为， 故答案为： 19．动点与定点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是 . 【答案】（） 【解析】由题意可知：，则点的轨迹是以为直径的圆（除外）， 即以的中点为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程是. 故答案为：. 20．圆心与圆的圆心重合，且过点的圆的方程为 ． 【答案】 【解析】依题意， 设所求圆的方程为， 由于所求圆过点，所以， 解得．所以所求圆的方程为． 故答案为：. 21．圆的圆心坐标是 ，如果直线与该圆有公共点，那么实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 由圆的标准方程即可求出圆心和半径；直线与该圆有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，即可求出实数a的取值范围. 由知圆的圆心坐标为，， 直线与该圆有公共点， 则圆心到直线的距离小于等于半径， 所以，化简得：. 所以实数a的取值范围是：. 故答案为：；. 22．设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ． 【答案】 【解析】求平面两点间的距离、由圆心（或半径）求圆的方程 设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程. [方法一]：三点共圆 ∵点M在直线上， ∴设点M为，又因为点和均在上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R， ∴， ，解得， ∴，， 的方程为. 故答案为： [方法二]：圆的几何性质 由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为. 故答案为： 23过四点中的三点的一个圆的方程为____________． 【答案】或或或； 【解析】设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可； 解：依题意设圆的方程为， 若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； 若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； 若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； 若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； 故答案为：或或或； 24由曲线围成的图形的面积为________． 【答案】 【解析】曲线围成的图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可. 将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可. 当，时，曲线可化为：， 在第一象限为弓形，其面积为， 故. 故答案为：. 25若点为圆上的一个动点，则点到直线距离的最大值为________． 【答案】7 【解析】根据给定条件求出圆C的圆心C到直线l的距离即可计算作答. 圆的圆心，半径， 点C到直线的距离， 所以圆C上点P到直线l距离的最大值为. 故答案为：7 26已知点在直线l上的射影为M，点N（0，3），则线段MN长度的最小值为______________ 【答案】 【解析】直线l恒过定点，由得出点在以为直径的圆上，根据圆的对称性以及距离公式得出线段的最小值. 直线l，即，令，且，得出，所以直线恒过定点，由于点在直线l上的射影为M，即，所以点在以为直径的圆上，该圆的圆心为的中点，且半径为，由点到圆心的距离为，所以线段的最小值为. 故答案为： 拓展培优 一、单选题 1．如图是集合P={（x，y）|（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2=4，0≤θ≤π}中的点在平面上运动时留下的阴影，中间形如“水滴”部分的平面面积为 A． B． C． D．π+2 【答案】A 【解析】试题分析：“水滴”部分由一个半圆加一个等边三角形ABC加两个弓形和构成，利用公式，即可得出结论． 解：如图， “水滴”部分由一个半圆加一个等边三角形ABC加两个弓形和构成， ∴“水滴”部分的面积 =S半圆+S△ABC+2S弓形AmB =+2（﹣） =． 故选A． 考点：圆的标准方程；集合的表示法． 2．已知原点到直线的距离为1，圆与直线相切，则满足条件的直线有 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】试题分析：由已知，直线满足到原点的距离为，到点的距离为，满足条件的直线即为圆和圆的公切线，因为这两个圆有两条外公切线和一条内公切线. 故选C. 考点：相离两圆的公切线 3．在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于点、，圆经过、，且圆心在轴上，则圆的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求出点、的坐标，设圆心坐标为，由可求出圆心的坐标，并求出圆的半径，由此可求得圆的方程. 易知，直线交轴于点，交轴于点， 设圆心的坐标为，由可得，解得， 所以，圆的半径为， 因此，圆的方程为，即为. 故选：A. 【点睛】 求圆的方程，主要有两种方法： （1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线； （2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 4．由曲线围成的曲线面积是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分别求出曲线在每个象限内的方程，进而可知所求面积是曲线在第一象限与坐标轴所围成的面积的4倍，利用数形结合求出在第一象限的曲线与坐标轴围成的面积即可求解. ①当，时， 则可化成，即， 同理， ②当，时，可化成， ③当，时，可化成， ④当，时，可化成， 综上可知，所求面积为在第一象限的曲线与坐标轴围成的面积的4倍， 曲线在第一象限内的图像如下图实线部分所示： 结合①易知，点坐标为，点坐标为，且为等腰直角三角形， 所以在第一象限的曲线与坐标轴围成的面积为， 从而曲线围成的曲线面积为. 故选：D. 5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（       ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】先求出点A关于直线的对称点，点到圆心的距离减去半径即为最短. 解：设点A关于直线的对称点， 的中点为，， 故，解得， 要使从点A到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离， “将军饮马”的最短总路程为， 故选：D. 6．已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设分析知的轨迹为(不与重合)，要求的取值范围，只需求出到圆上点的距离范围即可.由题设，在以为直径的圆上，令，则(不与重合)， 所以的取值范围，即为到圆上点的距离范围， 又圆心到的距离，圆的半径为2， 所以的取值范围为，即. 故选：C 7．若两定点，，动点M满足，则动点M的轨迹围成区域的面积为（       ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据给定条件求出动点M的轨迹方程，再确定轨迹即可计算作答. 设，依题意，，化简整理得：， 因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 所以动点M的轨迹围成区域的面积为. 故选：D 8．已知A，B是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方程表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分，数形结合求出的最大值和最小值，进而求出比值. 由，得. 因为，所以或. 当时，；当时，. 所以方程表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分.当A，B分别与图中的M，N重合时，取得最大值，且最大值为6； 当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，取得最小值，且最小值为.故的最大值与最小值的比值是. 故选：A 二、多选题 9．已知直线：，圆：，下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为，半径 B．直线与圆相交且平分圆的面积与周长 C．若直线在两坐标轴上的截距相等，则 D．若直线的倾斜角为，则 【答案】BD 【解析】 ，直线过定点. A：由可知，圆的圆心为，半径为，所以本选项不正确； B：因为直线过定点恰好是圆的圆心， 所以直线与圆相交且平分圆的面积与周长，因此本选项正确； C：当时， 直线的方程为，直线在两坐标轴上的截距都是零，显然相等，所以本选项不正确； D：因为直线的倾斜角为， 所以，因此本选项正确， 故选：BD 10．如图所示，该曲线W是由4个圆：，，，的一部分所构成，则下列叙述正确的是（    ）    A．曲线W围成的封闭图形面积为4+2π B．若圆与曲线W有8个交点，则 C．与的公切线方程为 D．曲线W上的点到直线的距离的最小值为4 【答案】ACD 【解析】曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆， 所以其面积为，故A选项正确. 当时，交点为B，D，F，H；当时，交点为A，C，E，G； 当或时，没有交点；当时，交点个数为8，故B选项错误. 设与的公切线方程为， 由直线和圆相切的条件可得， 解得，（舍去）， 则其公切线方程为，即，故C选项正确. 同理可得，的公切线方程为， 则两平行线的距离，故D选项正确. 故选：ACD. 二、填空题 11．曼哈顿距离是由19世纪著名的德国数学家赫尔曼-闵可夫斯基所创的词汇，用来标明两个点在标准坐标系中的绝对轴距总和.例如在平面直角坐标系中，点的曼哈顿距离为.已知动点在圆上，点，则两点的曼哈顿距离的最大值为__________. 【答案】## 【解析】设点，根据曼哈顿距离公式结合三角函数的性质即可得出答案. 解：设点，则两点的曼哈顿距离， 当且仅当时取等号， 所以两点的曼哈顿距离的最大值为. 故答案为：. 12．已知圆关于轴对称，圆心在轴上方，且经过点，被轴分成两段弧长之比为，则圆的标准方程为_____． 【答案】 【解析】试题分析：设圆心，则半径为CA，根据圆被轴分成两段弧长之比为1：2， 可得圆被轴截得的弦对的圆心角为，故有，解得，半径，故圆的方程为. 考点：圆的标准方程. 13．如图，已知圆是圆上两个动点，点，则矩形的顶点的轨迹方程是___________． 【答案】 【解析】设点，连接交于，可写出的坐标，再在直角中，，利用勾股定理列方程可得x, y的关系式，即顶点的轨迹方程. 【详解】 设点，如图连接交于， 由矩形可知为的中点，， 连接，在直角中，，则 即，整理得， 所以顶点的轨迹方程是 故答案为： 【点睛】 关键点睛：本题考查求轨迹方程，解题的关键是求谁设谁，设点，然后再利用图像的几何关系找到x, y的关系式，即求得轨迹方程，考查学生的直观想象能力与运算求解能力，属于中档题. 14．曲线的长度为____________. 【答案】 【解析】曲线的图形是：以原点为圆心，以2为半径的圆的左半圆，进而可求出结果. 解：由得，所以曲线（）的图形是：以原点为圆心，以2为半径的圆的左半圆， ∴曲线（）的长度是， 故答案为：. 三、解答题 15．在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2＋y2＝4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，求线段BC的长的取值范围． 【答案】 【解析】设的中点为，由已知，因此可设，求出点的轨迹方程，知点轨迹是圆，从而易得的取值范围． 设的中点为，由AB⊥AC 可得 , 故， 所以，化简得， 即点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆，如图： 所以， 所以的取值范围是， 从而的取值范围是． 16．已知圆的圆心坐标为，且点在圆上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于､两点，当变化时，线段的最小值为6，求的值. 【答案】或. 【解析】（1）由题意得 ∴圆的标准方程为. （2）若，可知圆心到直线的距离为4， 而圆心到直线的距离， 当时，线段的最小值为6，此时， ∴或. 17．已知线段的端点B的坐标为，端点A在圆上运动. (1)求线段的中点M的轨迹方程； (2)已知点为（1）所求轨迹上任意一点，求的最大值. 【答案】 【解析】（1）设，，因为是中点，所以，而在圆上， 所以，即， 所以的轨迹方程是； （2）由（1）知在圆，设其圆心为，半径为1，， ，因此的最大值是，从而的最大值是． 18“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和挑战性极强．如图：一个运动员从起滑门点出发，沿着助滑道曲线滑到台端点起跳，然后在空中沿抛物线飞行一段时间后在点着陆，线段的长度称作运动员的飞行距离，计入最终成绩．已知在区间上的最大值为，最小值为． (1)求实数，的值及助滑道曲线的长度． (2)若运动员某次比赛中着陆点与起滑门点的高度差为120米，求他的飞行距离（精确到米，）． 【答案】(1)，，助滑道曲线的长度为米(2)米 【解析】（1）令，即可得到，，即可得到的几何意义，根据二次函数的性质得到，，即可求出、的值，从而求出曲线的长度； （2）由（1）可得的解析式，依题意可得，代入解析式中解出，即可求出点坐标，根据两点间的距离公式计算可得； (1) 解：因为，令，则，， 所以表示以为圆心，半径的圆弧， 因为由图象可知函数开口向下， 所以，又对称轴为，又， 所以当时，， 解得，所以， 即，，助滑道曲线的长度为米 (2) 解：依题意可得，，， 由（1）可得， 令，即，解得，（舍去）； 所以，所以， 即该运动员飞行距离约为米； 19在平面直角坐标系中，、、． (1)求的面积； (2)判断、、、四点是否在同一个圆上？并说明理由． 【答案】(1)；(2)、、、四点共圆，理由见解析. 【解析】（1）求出的方程，可求得点到直线的距离，并求出，利用三角形的面积公式可求得结果； （2）求出的外接圆方程，将原点坐标代入圆的方程，可得结论. (1) 解：直线的斜率为，则所在直线的方程为，即， ，点到直线的距离为， 因此，. (2)解：、、、四点共圆，理由如下： 设的外接圆方程为， 由已知可得，解得， 所以，的外接圆方程为， 因为，即原点在的外接圆上， 因此，、、、四点在同一个圆上. 20．如图所示，等腰梯形的底边在轴上，顶点与顶点关于原点对称，且底边和的长分别为和，高为． (1)求等腰梯形的外接圆E的方程； (2)若点的坐标为，点在圆运动，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）易知圆心在轴上，利用，可求出圆心坐标及半径（2）利用相关点代入法可解 设， 由已知可得：， 由得： ， ∴圆的圆心为，半径为， ∴圆的方程为：． (2) 设， ∵为线段的中点，∴， 代入点所在圆的方程得： ， ∴点的轨迹方程为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 圆的方程 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 13 题型归纳 13 题型01：圆的标准方程 13 题型02：圆的一般方程 18 题型03：二元二次方程表示圆的挑几件 20 题型04：圆过定点 22 题型05：点与圆的位置关系 25 题型06：与圆有关的轨迹问题 29 题型07：与圆有关的对称问题 35 题型08：与圆有关的定值问题 38 题型09：与圆有关的最值问题 40 巩固提升 43 圆的方程是高考数学中的重要知识点，通常以中低档难度题目呈现，主要考查对圆的方程的理解、应用以及与其他知识的综合运用。以下是相关高考分析： 考查形式 题型：多以选择题、填空题的形式出现，偶尔也会在解答题中作为其中的一问，与直线方程、圆锥曲线等知识综合考查。 分值：一般占 5 分左右，若在解答题中涉及，则分值会相应增加。 常见考点 1. 圆的方程的求法：根据已知条件（如圆心坐标、半径、圆所过的点等）求圆的标准方程或一般方程。常用待定系数法，有时也会结合圆的几何性质（如圆心在弦的中垂线上等）来简化计算。 2.圆的方程的性质应用：包括根据圆的方程确定圆心坐标、半径；判断二元二次方程是否表示圆；利用圆的标准方程判断点与圆的位置关系等。 3.与圆有关的综合问题：常与直线方程结合，考查直线与圆的位置关系（如相交时弦长的计算、相切时切线方程的求解等）；也会与圆系方程结合，解决过定点或具有特定位置关系的圆的相关问题；还可能与函数、不等式等知识综合，求解与圆相关的最值问题，如可看作圆上一点与原点连线的斜率，ax + by可通过直线截距来分析最值等。 命题趋势 近年来，圆的方程在高考中的命题相对稳定，注重基础，强调对基本概念、公式的理解和运用。同时，也会融入一些数学思想方法的考查，如数形结合思想，要求考生能通过圆的方程准确把握圆的几何特征，解决相关问题。未来仍将以基础题型为主，但可能会进一步加强与其他章节知识的综合，提升对学生综合运用能力的要求。复习备考时，要熟练掌握圆的两种方程形式及其相互转化，牢记圆的相关性质和公式，多做一些与直线、圆锥曲线等知识综合的题目，提升分析和解决综合问题的能力。 1. 知识掌握：理解圆的标准方程或一般方程的结构特征，能实现两种方程的互化，明确圆心坐标和半径与方程参数的对应关系。 2. 能力提升：能根据不同已知条件（如圆心、半径，或圆所过的点、直线与圆的位置关系等），运用待定系数法等方法求圆的方程；能判断点与圆的位置关系，解决与圆相关的简单几何问题（如弦长计算、切线方程求解）。 3. 思想运用：在学习和解题中，体会并运用数形结合思想，将圆的方程与几何图形结合分析；运用方程思想，通过建立方程解决与圆相关的问题。 4. 综合应用：能将圆的知识与直线方程、圆锥曲线、函数、不等式等知识结合，解决综合性问题，提升知识迁移和综合解题能力。 知识点一：圆的方程 一：标准方程 1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆， 定点称为圆心，定长称为圆的半径。 2、确定圆的基本要素是：圆心和半径 3、圆的方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为 4、几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 二：圆的一般方程 1、定义：当时，方程叫做圆的一般方程. 其中为圆心，为半径. 2、一般方程与标准方程关系： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点. （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 二元二次方程表示圆的充要条件是，且，且。 用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”，大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程. （2）根据已知条件，建立关于或的方程组. （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. (1)圆的标准方程的求法 ①直接代入法：已知圆心坐标和半径大小，直接代入求圆的标准方程.​​​​​​​ ②待定系数法：圆的标准方程中含有三个参变量，必须具备三个独立的条件才能确定出圆的方程.当已知曲线为圆时，一般用待定系数法，即列出关于a,b,r的方程组，求出a,b,r. (2)圆的一般方程的求法 待定系数法：①设：根据题意设出圆的一般方程； ②列：根据已知条件，建立关于D,E,F的方程组；③解：解方程组，求出D,E,F的值. 三：圆的参数方程 圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。圆的参数方程的主要应用是三角换元： ，； 注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值． 四：圆的方程直径式 圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、). 五：圆系方程 (1)过点,的圆系方程是 ,其中是直线的方程,λ是待定的系数． (2)过直线:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数． (3) 过圆:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数． 知识点二：点和圆的位置关系 圆的标准方程为，圆心，半径为. 设所给点为，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 ⇔点在圆A上 点在圆上⇔ 点在圆内 ⇔点在圆A内 点在圆内⇔ 点在圆外 ⇔点在圆A外 点在圆外⇔ （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. 知识点三：直线与圆的位置关系 一：判断直线和圆位置关系 1、几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离 （1）直线与圆相离无交点； （2）直线与圆相切只有一个交点； （3）直线与圆相交有两个交点. 2、代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： （1）当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 二、直线与圆相交时的弦长求法： 1、几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系， 整理出弦长公式为： 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长； 3、弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长 三、直线与圆相切时的切线问题 1、求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。 （1）若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条； （2）若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况 【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。 2、求过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结课图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程。 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。 3、过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程； 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。 四、与圆的切线相关的结论 1.已知圆． ①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是 . 当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程． ②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线． ③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线． 2.已知圆． ①过圆上的点的切线方程为; ②斜率为的圆的切线方程为 圆的弦长公式： 3、过上一点的圆的切线方程为 4、过外一点作圆的两条切线，切点分别为， 则切点弦所在直线方程为： 5、切线长：过圆（）外一点引圆的切线的长为： （） 6、圆心的三个重要几何性质： （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上； （2）圆心在某一条弦的中垂线上； （3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。 .圆的切线方程 知识点四：圆与圆的位置关系及其判定 一：判断圆与圆位置关系 1、几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与，的关系 2、代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元，一元二次方程 二、两圆的公切线 1、定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线； 2、公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 三、两圆公共弦所在直线方程 圆：， 圆：， 则为两相交圆公共弦方程. 【注意】（1）若与相切，则表示其中一条公切线方程； （2）若与相离，则表示连心线的中垂线方程. 四、利用圆系方程求圆的方程 1、过直线与圆的交点的圆系方程是： （） 2、以为圆心的同心圆系方程是：； 3、与圆同心的圆系方程是； 4、过同一定点的圆系方程是． 圆与圆位置关系问题的解题策略： (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． 知识点六：与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 知识点七：与圆有关的最值问题 (1)与圆的代数结构有关的最值问题 ①形如t=形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； ②形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； ③形如t=形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. （2）与圆有关的长度或距离的最值问题的解法: 一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解,注意圆的弦长或切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到直线距离或点到圆心距离. （3）与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法: 形如型的最值问题,可转化为过点(a,b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题； 形如t=ax+by型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题； 形如型的最值问题,可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离平方的最值问题. （4）与距离最值有关的常见的结论: ①圆外一点A到圆上距离最近为|AO|-r,最远为|AO|+r； ②过圆内一点的弦最长为圆的直径,最短为该点为中点的弦； ③直线与圆相离,则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d+r,最近为d-r； ④过两定点的所有圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积. ⑤直线外一点与直线上的点的距离中,最短的是点到直线的距离； ⑥两个动点分别在两条平行线上运动,这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离. (5)与圆有关的面积的最值问题或圆中与数量积有关的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解. 知识点八：涉及直线过定点的问题 若涉及直线过定点的证明，则直线一定为含有参数的动直线，即直线系，对于直线系方程，可将直线方程化为f(x,y)+，令f(x,y)且，求出交点坐标即为定点，例如直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)对于参数k，此直线系过定点。 知识点九：圆中定点问题的一般解题方法 ①引进参数法，引进动点的坐标或动线中的系数为参数，再研究变量与参数何时没有关系，找到定点； ②特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 对于引进参数后，把直线或者曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把常量当作未知数，将方程一端化为0，即化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(这里把常量k当作未知数)，由解得点的坐标即为定点． 知识点十：解决圆中的定值的基本方法 定值是指有些问题和参数无关，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。 知识点十一：与圆有关的轨迹问题 （1） 用定义法求圆的轨迹方程：直接根据圆的定义求解； （2）用待定系数法求圆的轨迹方程：设圆的标准方程为； （3）相关点法确定圆的轨迹： ①双动点、一显一隐：已知条件中有两个动点，一个动点的轨迹明显易求，另一个隐藏极深难求. ②建立关联：即建立双动点的关系，最好以向量的形式出现，从而便于使用坐标形式. ③消显现隐：利用显动点的轨迹方程，通过代入，从而求出隐动点的轨迹方程. 一、核心思路：方程与几何结合 以圆的方程（标准式/一般式）为基础，结合圆的几何性质（如圆心、半径、垂径定理等），通过“代数运算”或“几何分析”破解问题，优先选用几何法简化计算。 二、常见题型及解题策略 1. 优先几何法：涉及圆的切线、弦长、位置关系等问题，优先用圆的几何性质（垂径定理、圆心距与半径关系），减少代数运算量。 2. 灵活选方程：求圆的方程时，已知圆心或半径选标准式，已知多点选一般式。 3. 勿忘特殊情况：求切线方程时，警惕斜率不存在的直线；两圆相交时，公共弦方程可通过两圆方程相减得到（需保证两圆相交）。 题型01：圆的标准方程 【典型例题1】（1）.已知，则圆心坐标和半径分别是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据圆的方程为， 可得圆心坐标为，半径等于2.故选：B. （2）.已知圆，则其圆心与半径分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】已知圆， 则其圆心为，半径为 故选：D 【典型例题2】（1）以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意直接写出圆的标准方程即可.以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程为.故选：B. （2）以为圆心，为半径的圆的标准方程是 . 【答案】 【解析】由圆心（或半径）求圆的方程 直接根据已知写出圆的标准方程得解. 由题得圆的标准方程为. 故答案为：. 【典型例题3】.当为任意实数时，直线恒过定点，则以点C为圆心，半径为圆的标准方程______． 【答案】 【解析】直线可化为， 则，解得， 所以直线恒过定点， 所以以点C为圆心，半径为圆的标准方程是， 故答案为： 【典型例题4】.过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，可得圆的方程． 因为过点与， 所以线段AB的中点坐标为，， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 所以线段AB的中垂线的方程为， 又因为圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆心为， 所以圆的方程为. 故选：A. 【典型例题5】求过点，圆心在直线上，且与直线相切的圆的方程． 【答案】或 【解析】依题意，设圆的方程为，则圆心坐标为，半径为， 由题意得：， 由得， 将代入，得， 将代入，同时平方，得， 从而有，解得或， 当时，，，则圆的方程为； 当时，，，则圆的方程为； 综上：所求圆的方程为或． 【典型例题6】．经过三个点的圆的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据三点在坐标系的位置，确定出是直角三角形，其中是斜边，则有过三点的圆的半径为的一半，圆心坐标为的中点，进而根据圆的标准方程求解. 由已知得，分别在原点、轴、轴上， ， 经过三点圆的半径为， 圆心坐标为的中点，即， 圆的标准方程为. 故选：C. 【变式训练1-1】.圆心在轴上，半径为1，且过点 的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】.已知圆的圆心为，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】.圆心在直线上，且过点､的圆的标准方程为___________. 【变式训练1-4】已知圆的圆心为，且直线与圆相切，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-5】下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 ，且过原点的圆的是 （   ） A． B． C． D． 【变式训练1-6】写出一个同时满足下列条件①②的圆的标准方程: ①圆心在直线上，②与轴相切． 【变式训练1-7】与圆同圆心，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-8】．方程表示的曲线是（       ）． A． B． C． D． 【变式训练1-9】圆心在直线上且与直线相切于点的圆的方程是 ． 【变式训练1-10】如图所示，设圆的圆心C在直线：上，且，都是圆上的点，求圆的标准方程. 【变式训练1-11】已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，求该圆的方程． 【变式训练1-12】经过三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-13】的三个顶点的坐标分别为，求的外接圆的方程. 【变式训练1-14】.在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型02：圆的一般方程 【典型例题1】.已知圆经过原点，，三点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆的方程为 ， 解方程组即得解. 设圆的方程为 ， 把点，，代入得 ， 解得，，， 所以圆的方程是． 故选：D． 【典型例题2】.（多选）已知圆M的一般方程为，则下列说法中正确的是（ ） A．圆M的圆心为 B．圆M经过点 C．圆M的半径为25 D．圆M不经过第二象限 【答案】AD 【解析】对于选项A、C，圆M的一般方程为， 则圆的标准方程为． 所以圆的圆心坐标，半径为5． 所以选项A正确，选项C不正确； 对于选项B，将代入圆的方程，不满足，所以选项B错误； 对于选项D，令中的， 得或， 所以圆M被y轴截得的弦长为6，所以选项D正确．故选：AD． 【变式训练2-1】.与圆同圆心，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】.已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-3】.已知，则的外接圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】. 的三个顶点的坐标分别是，则的外接圆的标准方程是____． 【变式训练2-5】三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-6】.已知圆的方程为，那么圆心坐标和半径分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练2-7】.若曲线上所有的点均在第二象限内，则的取值范围是______． 题型03：二元二次方程表示圆的条件 【典型例题1】.已知表示的曲线是圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方程配方后得，根据圆的半径大于0求解. 由方程可得， 所以当时表示圆，解得. 故选：C. 【典型例题2】.“”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据二元二次方程表示圆的充要条件是可得答案. 因为方程，即表示圆， 等价于0，解得或. 故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式训练3-1】.方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．圆的右半部分 C．圆 D．圆的上半部分 【变式训练3-2】.若方程表示的曲线为圆，则的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【变式训练3-3】.若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】.若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-5】.已知表示圆，则实数a的值是_______． 【变式训练3-6】若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-7】设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练3-8】已知曲线的方程，则“”是“曲线是圆”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练3-9】设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练3-10】已知p：，q：关于x，y的方程表示圆，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练3-11】已知方程，其中．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题： 甲：可以是圆的方程；    乙：可以是抛物线的方程； 丙：可以是椭圆的标准方程；    丁：可以是双曲线的标准方程． 其中，真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型04：圆过定点 【典型例题1】.已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设垂直于直线，可知圆恒过垂足；两条直线方程联立可求得点坐标. 设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：， 由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点， 由得：，以为直径的圆恒过定点. 故选：D. 【典型例题2】.点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 【典型例题3】.若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为_______ 【答案】 【解析】设抛物线交轴于点，交轴于点、， 由题意可知，由韦达定理可得，， 所以，线段的中点为，设圆心为， 由可得，解得， ，则，则， 所以，圆的方程为， 整理可得， 方程组的解为. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 【典型例题4】.已知曲线：． （1）当取何值时，方程表示圆？ （2）求证：不论为何值，曲线必过两定点． （3）当曲线表示圆时，求圆面积最小时的值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【解析】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于，所以时方程表示圆． （2）证明：方程变形为． 由于取任何值，上式都成立，则有． 解得或 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点. （3）由（2）知曲线过定点A，，在这些圆中， 以为直径的圆的面积最小 （其余不以为直径的圆的直径大于的长，圆的面积也大）， 从而以为直径的圆的方程为， 所以，解得． 【变式训练4-1】.点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式训练4-2】已知圆C：，若点P在直线上运动，过点P作圆C的两条切线，，切点分别为A，B，则直线过定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】.对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为 . 【变式训练4-4】.已知二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为，则圆经过定点的坐标为 （其坐标与无关）. 【变式训练4-5】已知直线的方程是.求证：对于任意，直线均经过定点，并求此定点的坐标. 【变式训练4-6】.已知动圆经过坐标原点，且圆心在直线上. （1）求半径最小时的圆的方程； （2）求证：动圆恒过一个异于点的定点. 【变式训练4-7】已知圆M与直线相切，圆心M在直线上，且直线被圆M截得的弦长为． (1)求圆M的方程； (2)若在x轴上的截距为且不与坐标轴垂直的直线l与圆M交于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由． 【变式训练4-8】在平面直角坐标系中，已知两个定点，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于不同的两点，且（为坐标原点），求直线的斜率； (3)若点是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点. 【变式训练4-9】在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线上. (1)设直线l：与圆M交于C，D两点，且，求圆M的方程； (2)设直线与（1）中所求圆M交于E，F两点，点P为直线上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线EF两侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标. 【变式训练4-10】已知圆经过三点． (1)求圆的方程． (2)已知直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 题型05：点与圆的位置关系 【典型例题1】.点与圆的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 【答案】B 【解析】计算到圆心的距离和半径作比较即可. 圆的圆心为，半径，， 故点在圆内. 故选：B. 【典型例题2】.已知圆的方程是，则点满足( ) A．是圆心 B．在圆上 C．在圆内 D．在圆外 【答案】C 【解析】由题可知：，所以点在圆内，故选：C 6.点与圆的位置关系是（ ）． A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．不确定 【答案】B 【解析】因为，所以点在圆外，故选：B 【典型例题3】若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点与圆的位置关系求参数、圆的一般方程与标准方程之间的互化 由点在圆外代入圆的方程可得，再由圆的一般方程中可得，最后求交集即可. 由题意知， 故， 又由圆的一般方程， 可得，即， 即或， 所以实数的范围为. 故选：C. 【典型例题4】已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可 【解答过程】由题意，表示圆 故，即或 点A（1，2）在圆C：外 故，即 故实数m的取值范围为或 即 故选：A. 【典型例题5】点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关 【答案】A 【解析】将点的坐标代入圆的方程中，看结果即可判断选项是哪个. 将点P(m，3)坐标代入(x－2)2＋(y－1)2＝2中， 有： 恒成立，故点P在圆外， 故选：A. 【变式训练5-1】.两个点、与圆的位置关系是（    ） A．点在圆外，点在圆外 B．点在圆内，点在圆内 C．点在圆外，点在圆内 D．点在圆内，点在圆外 【变式训练5-2】.若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】.已知点在圆C：的外部，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-4】.若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-5】.若点在圆的内部，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-6】已知点在圆的外部，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-7】若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-8】（多选题）若点在圆的外部，则的取值可能为（    ） A． B．1 C．4 D．7 【变式训练5-9】（多选题）在平面直角坐标系中，已知圆：，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点在圆外 B．圆与轴相切 C．若圆截轴所得弦长为，则 D．点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为 【变式训练5-10】若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-11】已知直线，圆，下列说法错误的是（    ） A．对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点； B．当且仅当时，直线被圆所截弦长为； C．对任意实数，圆不关于直线对称； D．存在实数，使得直线与圆相切． 题型06：与圆有关的轨迹 【典型例题1】.当点在圆上运动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点，的中点的坐标为，根据已知中点关系建立关系式，利用变换代入化简即可. 设点，的中点的坐标为， ，由中点坐标公式可得，可得， 又点在圆，则，即. 因此，线段的中点的轨迹方程为. 故选：C. 【典型例题2】.已知点和点，动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据两点间的距离公式列式求解即可. 解：因为点和点，动点， 所以， 又因为其满足， 所以，整理得： 所以点的轨迹方程为. 故选：D. 【典型例题3】.古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直接设，根据两点间距离公式代入运算整理． ∵，即 设，则，整理得 故选：B． 【典型例题4】的顶点B，C的坐标分别是，，顶点A在圆上运动，求的重心G的轨迹方程. 【答案】 【解析】设的重心G的坐标是，点A的坐标是. 已知点B，C的坐标分别是，， 则的重心G的坐标满足，. 因此有，.① 因为点A在圆上运动， 所以点A的坐标满足方程， 即满足方程.② 将①代入②，得. 即所求轨迹方程为.    【典型例题5】已知曲线上的动点满足到定点的距离与到定点距离之比为 (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程. 【答案】(1)（或） (2)或. 【解析】（1）根据动点满足到定点的距离与到定点距离之比为，建立方程，化简可得曲线C的方程. （2）分类讨论，设出直线l方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可求得直线l的方程. （1）由题意得，故， 化简得（或）； （2）当直线的斜率不存在时，， 将代入方程得或，所以，满足题意； 当直线的斜率存在时，设，则， 因为，所以，解得，此时. 综上，直线的方程为或.    【变式训练6-1】.已知点，，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-4】．如图，定点A，B都在平面内，定点，C是内异于A和B的动点，且，则动点C在平面内的轨迹是（    ） A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点 C．一段弧，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点 【变式训练6-5】．给定圆O及圆内一点P，设A，B是圆O上的两个动点，满足，则的中点的轨迹为（    ） A．一个圆 B．一个椭圆 C．一段双曲线 D．一段抛物线 【变式训练6-6】．如图所示，垂直于平面的线段AB和CD，其长分别为和，则平面内满足的点P的轨迹是（    ）    A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【变式训练6-7】．已知A，B是圆C：上的两个动点，P是线段的中点，若，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-8】已知点，，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-9】已知A（3，3），点B是圆x2+y2＝1上的动点，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-10】已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（） A． B． C． D． 【变式训练6-11】已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为 ． 【变式训练6-12】已知圆的方程是，则圆心的轨迹方程为 . 【变式训练6-13】已知定点，动点在圆上，点在线段上，且，求点的轨迹方程． 【变式训练6-14】从定点向圆任意引一割线交圆于P，Q两点，求弦PQ的中点M的轨迹方程. 【变式训练6-15】已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，求弦的中点的轨迹方程． 【变式训练6-16】已知点，且． (1)求点P的轨迹方程； (2)判断点P的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由． 【变式训练6-17】在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足 (1)求动点P的轨迹C的方程 (2)若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程. 【变式训练6-18】已知的斜边为，且． (1)求直角顶点的轨迹的方程； (2)直线与交于两点M，N，若，求的值． 【变式训练6-19】已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． (1)求的轨迹方程； (2)当，求的方程及的面积． 【变式训练6-20】已知圆：和点，为圆外一点，直线与圆相切于点，. (1)求点的轨迹方程； (2)记（1）中的点的轨迹为，是否存在斜率为的直线，使以被曲线截得得弦为直径得圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【变式训练6-21】已知椭圆，直线与椭圆交于A、B两点，为坐标原点，且，，垂足为点． (1)求点的轨迹方程； (2)求面积的取值范围． 题型07：与圆有关对称问题 【典型例题1】.圆关于直线对称后的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得圆心关于直线的对称点，半径不变，进而即得. 圆的圆心 半径为 ，由得， 设圆心关于直线对称点的坐标为，则 ，解得, 所以对称圆的方程为. 故选：A. 【典型例题2】.已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，求得圆心关于直线的对称点，即可得到结果. 由题意可得，圆的圆心坐标为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得， 所以圆的标准方程为. 故选：A. 【典型例题3】.设曲线关于直线对称，则__________． 【答案】 【解析】表示圆心是，半径的圆， 由条件可知，圆心在直线上， 即，得. 【典型例题4】.点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（    ） A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】C 【解析】将圆的一般方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径的表达式，利用已知条件，得到圆心在直线上，结合二次函数的性质即可求解. 由，得， 所以圆心为，半径为， 由题意可得直线经过圆心 ， 故有，即， 所以半径为， 当时，圆C的半径的最小值为. 故选：C. 【变式训练7-1】.已知圆：，直线：，则圆关于直线对称的圆是（ ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】若圆与圆C关于直线对称，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-4】）圆关于点对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-5】.已知圆关于直线对称，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练7-6】.已知圆关于直线对称，则的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式训练7-7】.若圆关于直线和直线都对称，则D＋E的值为_________． 【变式训练7-8】若圆和圆关于直线对称，则直线的方程是（       ） A． B． C． D． 题型08：与圆有关的定值 【典型例题1】已知圆与轴交于两点，点的坐标为．圆过三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则此定直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆为，根据圆与圆都经过两点，可用表示，又点 在圆上，可用表示，进而可得含参数的圆的方程，再由圆系方程求解即可. 圆方程为，令，得， 设圆的方程为，令，得， 由题意，圆与圆都经过两点， ∴方程与等价，∴，， ∴圆的方程为， ∵点 在圆上，∴，∴， ∴圆：，整理得， ∴圆经过直线与圆的交点， ∴当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值， 故选：C. 【典型例题2】．（多选）已知圆，斜率为k的直线l经过圆O内与O点不重合且不在坐标轴上的一个定点P，且与圆O相交于A、B两点，下列选项中正确的是（    ） A．若r为定值，则存在k，使得 B．若k为定值，则存在r，使得 C．若r为定值，则存在k，使得圆O上恰有三个点到l的距离均为 D．若k为定值，则存在r，使得圆O上恰有三个点到l的距离均为 【答案】AC 【解析】当P为弦AB中点时可判断AB选项，利用平行线间的距离及极限思想判定C，设直线OP与l的夹角为，求出满足条件时的取值范围即可判断D. 如图， 当P为弦AB中点时，，A 正确，B错误； 因为与l距离为非零定值的所有点的轨迹是与l平行的两条平行线， 若r为定值，当k趋向于0时，两条平行线与l的距离趋向于0，都与圆相交，当k趋向于无穷大时，两条平行线与l的距离趋向于无穷大，都与圆相离. 由于P点在圆内且与O点不重合，前面两个极限状态之间必然存在一条平行线与圆相交而另一条平行线与圆相切的情况，此时圆O上恰有三个点到l的距离均为，符合题意，C正确； 若k为定值，当圆O上恰有三个点到l的距离均为时，l的两条平行线中一条与圆相切，一条与圆相交．设原点O与l的距离为d ，直线OP与l的夹角为 ，此时，即，由于，所以，所以，故当时，不存在圆O上恰有三个点到l的距离均为，故D错误. 故选：AC 【变式训练8-1】已知圆：与直线相切. (1)若直线与圆交于，两点，求； (2)已知，，设为圆上任意一点，证明：为定值. 【变式训练8-2】已知圆：与圆：. (1)若圆与圆内切，求实数的值； (2)设，在轴正半轴上是否存在异于A的点，使得对于圆上任意一点，为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【变式训练8-3】已知直线过定点，且与圆交于两点． (1)求直线的斜率的取值范围； (2)若为坐标原点，直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 题型09：与圆有关的最值 【典型例题1】若圆C的方程为，点P是圆C上的动点，点O为坐标原点，则的最大值为__________，最小值为__________. 【答案； 【解析】圆C的标准方程为: 所以圆C的圆心为，半径，， 所以的最大值为， 最小值为. 【典型例题2】已知为坐标原点，为圆上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【解析】由圆，可得圆C的圆心坐标为，半径为， 则， 所以的最小值为.故选：A. 【典型例题3】在圆上与点距离最大的点的坐标是______． 【答案】 【解析】，点在圆外 圆上与点距离最远的点， 在圆心与点连线上，且与点分别在圆心两侧， 令直线解析式：， 由于直线通过点和，可得直线解析式：， 与圆的方程联立，可得，或 交点坐标为和，其中距离点较大的一个点为. 【变式训练9-1】（多选题）当实数变化时，关于的方程可以表示的曲线类型有（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【变式训练9-2】（在平面直角坐标系中，已知直线：与圆：交于两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】点为圆上一点，点，，记到两点的距离分别为与．则的最大值为 ． 【变式训练9-4】已知点P为直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为 ． 【变式训练9-5】在平面直角坐标系中，已知，为圆上两动点，点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-6】若x，y满足，则的最小值是（    ） A．5 B． C． D．无法确定 【变式训练9-7】已知点在过点且与直线垂直的直线上，则圆：上的点到点的轨迹的距离的最小值为（       ） A．1 B．2 C．5 D． 【变式训练9-8】在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-9】．已知点在圆上，则到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-10】．已知直线和圆，则圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练9-11】．已知O为坐标原点，过点作直线（不全为零）的垂线，垂足为，当变化时，的最小值为（    ） A． B． C．1 D．3 【变式训练9-12】．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句．诗中隐含着一个数学问题——“将军饮马”：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式训练9-13】．已知圆的直径，若平面内一个动点与点的距离是它与点距离的倍，则的面积的最大值为（    ） A．64 B．12 C． D． 【变式训练9-14】若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最小值为是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-15】已知点，，，点P满足，则点P到点C距离的最大值为 ． 【变式训练9-16】设点是圆：上的动点，定点，则的最大值为 ． 【变式训练9-17】点在动直线上的投影为点M，若点，那么的最小值为 . 【变式训练9-18】已知实数、满足，求的最大值． 【变式训练9-19】已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆心为的圆的一般方程； (2)已知，为圆上的点，求的最大值和最小值. 巩固练习 1.已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（       ） A． B． C． D． 2.若圆与圆C关于直线对称，则圆C的方程为（       ） A． B． C． D． 3.已知直线过圆的圆心，则的最小值为（       ） A． B．1 C． D．2 4.已知实数x，y满足，则x的最大值是（       ） A．3 B．2 C．1 D．以上答案都不对 5．已知点，Q是圆上的动点，则线段长的最小值为（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 7．设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆心为的圆与直线相切，则该圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 9．已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 10．已知点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．圆C：关于直线对称的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 12．定义：既是中心对称，也是轴对称的曲线称为“尚美曲线”，下是方程所表示的曲线中不是“尚美曲线”的是（    ） A． B． C． D． 13．在Rt△ABC中，，，，若动点P满足，则的最大值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 14．直线绕原点按顺时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是（    ） A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心 C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点 15．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 16．（多选题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 17．（多选题）已知曲线.（    ） A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m=n>0，则C是圆，其半径为 C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D．若m=0，n>0，则C是两条直线 18．已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 19．动点与定点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是 . 20．圆心与圆的圆心重合，且过点的圆的方程为 ． 21．圆的圆心坐标是 ，如果直线与该圆有公共点，那么实数a的取值范围是 ． 22．设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ． 23过四点中的三点的一个圆的方程为____________． 24由曲线围成的图形的面积为________． 25若点为圆上的一个动点，则点到直线距离的最大值为________． 26已知点在直线l上的射影为M，点N（0，3），则线段MN长度的最小值为______________ 拓展培优 一、单选题 1．如图是集合P={（x，y）|（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2=4，0≤θ≤π}中的点在平面上运动时留下的阴影，中间形如“水滴”部分的平面面积为 A． B． C． D．π+2 2．已知原点到直线的距离为1，圆与直线相切，则满足条件的直线有 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于点、，圆经过、，且圆心在轴上，则圆的方程为（       ） A． B． C． D． 4．由曲线围成的曲线面积是（       ） A． B． C． D． 5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（       ） A． B．2 C． D． 6．已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 7．若两定点，，动点M满足，则动点M的轨迹围成区域的面积为（       ）． A． B． C． D． 8．已知A，B是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是（       ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知直线：，圆：，下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为，半径 B．直线与圆相交且平分圆的面积与周长 C．若直线在两坐标轴上的截距相等，则 D．若直线的倾斜角为，则 10．如图所示，该曲线W是由4个圆：，，，的一部分所构成，则下列叙述正确的是（    ）    A．曲线W围成的封闭图形面积为4+2π B．若圆与曲线W有8个交点，则 C．与的公切线方程为 D．曲线W上的点到直线的距离的最小值为4 二、填空题 11．曼哈顿距离是由19世纪著名的德国数学家赫尔曼-闵可夫斯基所创的词汇，用来标明两个点在标准坐标系中的绝对轴距总和.例如在平面直角坐标系中，点的曼哈顿距离为.已知动点在圆上，点，则两点的曼哈顿距离的最大值为__________. 12．已知圆关于轴对称，圆心在轴上方，且经过点，被轴分成两段弧长之比为，则圆的标准方程为_____． 13．如图，已知圆是圆上两个动点，点，则矩形的顶点的轨迹方程是___________． 14．曲线的长度为____________. 三、解答题 15．在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2＋y2＝4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，求线段BC的长的取值范围． 16．已知圆的圆心坐标为，且点在圆上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于､两点，当变化时，线段的最小值为6，求的值. 17．已知线段的端点B的坐标为，端点A在圆上运动. (1)求线段的中点M的轨迹方程； (2)已知点为（1）所求轨迹上任意一点，求的最大值. 18“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和挑战性极强．如图：一个运动员从起滑门点出发，沿着助滑道曲线滑到台端点起跳，然后在空中沿抛物线飞行一段时间后在点着陆，线段的长度称作运动员的飞行距离，计入最终成绩．已知在区间上的最大值为，最小值为． (1)求实数，的值及助滑道曲线的长度． (2)若运动员某次比赛中着陆点与起滑门点的高度差为120米，求他的飞行距离（精确到米，）． 19在平面直角坐标系中，、、． (1)求的面积； (2)判断、、、四点是否在同一个圆上？并说明理由． 20．如图所示，等腰梯形的底边在轴上，顶点与顶点关于原点对称，且底边和的长分别为和，高为． (1)求等腰梯形的外接圆E的方程； (2)若点的坐标为，点在圆运动，求线段的中点的轨迹方程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $