第04讲 直线和圆的解答题讲义（思维导图+知识要点+解题测率+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学一轮复习圆的方程（新高考通用）

第04讲 直线与圆的方程综合题 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 8 题型归纳 9 题型01：圆过定点问题 9 题型02：圆的切线方程 11 题型03：圆的弦长问题 18 题型04：已知弦长求直线方程及参数问题 24 题型05：与面积相关问题 33 题型06：圆中的定值问题 36 题型07：与圆有关的最值问题 41 题型08：与圆有关的直线过定点问题 43 题型09：与圆有关的轨迹问题 53 题型10：圆系方程 61 题型11：阿氏圆（阿波罗尼斯圆） 63 巩固提升 75 直线与圆相关内容是高考数学的重要考点，在解答题中常以多种形式呈现，以下是其高考分析： 命题特点： 1. 题型与位置：直线与圆的内容在解答题中单独命题的情况相对较少，更多是作为圆锥曲线等综合大题中的某一部分出现，有时也会与导数、函数等知识相结合，出现在解答题的中间或后半部分位置。 2. 分值占比：若单独成题，分值一般在12分左右；作为综合题中的一部分，分值大概在4-8分。 考查内容： 1. 直线与圆的基本要素：考查圆的标准方程、一般方程的求解，直线方程的各种形式（如点斜式、斜截式、一般式等），以及直线的斜率、倾斜角等概念。例如根据圆的几何性质（如圆心坐标、半径与已知点或直线的关系）求圆的方程。 2. 位置关系：这是核心考点，包括直线与圆的位置关系（相交、相切、相离）的判定与应用，以及圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）的判断，常结合点到直线的距离公式等进行考查。如已知直线和圆的方程，求直线与圆相交时的弦长，或根据直线与圆相切求直线的斜率等参数值。 3. 综合问题：涉及与最值、定值、定点相关的问题。比如求圆上一点到直线距离的最值、直线与圆相交形成的三角形面积的最值等，还可能会出现探索性问题，如探究是否存在满足特定条件的直线或点等。 解题关键与思想方法： 1. 关键技能：熟练掌握点到直线的距离公式、弦长公式、直线垂直和平行的条件等基本公式和性质是解题基础。同时，要具备准确的运算能力，因为直线与圆问题常涉及联立方程、求解参数等复杂计算。 2. 思想方法：注重数形结合思想，通过图形直观地分析直线与圆的位置关系，帮助找到解题思路，如借助圆的半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形来计算弦长等。另外，分类讨论思想也较为常用，比如在讨论直线与圆的位置关系时，对于直线斜率是否存在的情况要分别进行分析。 难度趋势： 近年来，直线与圆解答题整体难度相对稳定，一般属于中等难度，但计算量和思维量有一定要求。单独考查时，题目难度通常适中，侧重对基础知识和常规方法的考查；而作为综合题的一部分时，难度会随整体题目提升，更注重对知识综合运用能力和数学思维的考查。 1. 掌握核心知识：熟练掌握直线方程的各种形式、圆的标准方程与一般方程，以及直线与圆、圆与圆位置关系的判定条件。 2. 运用基本公式：能灵活运用点到直线的距离公式、弦长公式等解决距离、弦长计算问题。 3. 提升综合能力：具备将直线与圆知识与圆锥曲线、函数等结合的综合解题能力，能处理最值、定值、定点及探索性问题。 4. 强化思想方法：学会运用数形结合、分类讨论等数学思想，简化问题并优化解题思路。 5. 确保运算准确：在联立方程、求解参数等过程中，保证运算步骤规范、结果正确。 知识点一：判断直线与圆的位置关系 （1）几何法 圆圆心到直线的距离． ①若直线与圆相离没有交点； ②若直线与圆相切有一个交点； ③若直线与圆相交有两个交点． （2）代数法 联立直线方程与圆的一般方程，得到方程组，消去（或），得到关于（或）的一元二次方程． ①若，直线与圆有2个交点，直线与圆相交； ②若，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； ③若，直线与圆没有交点，直线与圆相离． 知识点二：直线与圆相离的应用 （1）圆上的动点到直线的距离的最大值为，最小值为（为圆心到直线的距离）； （2）圆上的动点到直线的距离的最大值为，最小值为（为圆心到直线的距离）． 知识点三：直线与圆相交的应用 （一）弦长（为圆心到直线的距离）； 1．圆弦长问题的两个主要考查角度 (1)已知直线与圆的方程求圆的弦长． (2)已知圆的弦长求解直线或圆的方程中的参数等． 2．求解弦长问题的两个方法 几何法 如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝·＝ ·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB| （二）过圆内一定点最长的弦为直径，最短的弦和定点与圆心的连线垂直； （三）圆上的点到直线的距离为的个数问题，结合圆心到直线的距离考虑． 知识点四：直线与圆相切的应用 （一）求过圆上一点的切线方程 切线与垂直且过点，点斜式写出切线方程即可 已知圆与圆上一点 则过点的切线方程为 （二）求过圆外一点的切线方程（一定有两条） 圆的方程为，求过圆外一点的切线方程步骤： 2 当切线斜率不存在时，验证是否成立； ②当切线斜率存在时，设点斜式方程，，化为一般式，然后用圆心到该直线距离，求解，得到切线方程． 求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程 代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出 （三）切线长 过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为， 则切线长（利用勾股定理求解）． （四）切点弦问题 过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为， 切点弦所在直线方程为： （以圆心，为半径作圆，然后两圆相减即可） 切点弦的长度：（可利用等面积法或者相似求解） 知识点五：圆常用结论 （一）：圆的方程其它表示形式 1.圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。圆的参数方程的主要应用是三角换元： ，； 2.圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、). 3.圆系方程 (1)过点,的圆系方程是 ,其中是直线的方程,λ是待定的系数． (2)过直线:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数． (3) 过圆:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数． （二）圆的切线方程 1.已知圆． ①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是 . 当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程． ②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线． 3 斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线． 2.已知圆． ①过圆上的点的切线方程为; ②斜率为的圆的切线方程为 圆的弦长公式： 3.为直径端点的圆方程； 切线长：过圆（）外一点引圆的切线的长为： （） 知识点六：与圆有关的长度或距离的最值问题的解法: 一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解,注意圆的弦长或切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到直线距离或点到圆心距离. （2）与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法: 形如型的最值问题,可转化为过点(a,b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题； 形如t=ax+by型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题； 形如(x-a)2+(y-b)2型的最值问题,可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离平方的最值问题. （3）与距离最值有关的常见的结论: ①圆外一点A到圆上距离最近为|AO|-r,最远为|AO|+r； ②过圆内一点的弦最长为圆的直径,最短为该点为中点的弦； ③直线与圆相离,则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d+r,最近为d-r； ④过两定点的所有圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积. ⑤直线外一点与直线上的点的距离中,最短的是点到直线的距离； ⑥两个动点分别在两条平行线上运动,这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离. (4)与圆有关的面积的最值问题或圆中与数量积有关的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解. 知识点七：与圆有关的直线过定点问题 （1）涉及直线过定点的问题： 若涉及直线过定点的证明，则直线一定为含有参数的动直线，即直线系，对于直线系方程，可将直线方程化为f(x,y)+，令f(x,y)且，求出交点坐标即为定点，例如直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)对于参数k，此直线系过定点。 （2）圆中定点问题的一般解题方法： ①引进参数法，引进动点的坐标或动线中的系数为参数，再研究变量与参数何时没有关系，找到定点； ②特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 对于引进参数后，把直线或者曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把常量当作未知数，将方程一端化为0，即化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(这里把常量k当作未知数)，由解得点的坐标即为定点． 知识点八：与圆有关的轨迹问题 （1） 用定义法求圆的轨迹方程：直接根据圆的定义求解； （2）用待定系数法求圆的轨迹方程：设圆的标准方程为； （3）相关点法确定圆的轨迹： ①双动点、一显一隐：已知条件中有两个动点，一个动点的轨迹明显易求，另一个隐藏极深难求. ②建立关联：即建立双动点的关系，最好以向量的形式出现，从而便于使用坐标形式. ③消显现隐：利用显动点的轨迹方程，通过代入，从而求出隐动点的轨迹方程. 知识点九：阿波罗尼斯圆的定义 平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ>0, λ≠1）的点M的轨迹是圆（此圆被称为阿波罗尼斯圆）．特别的，当λ=1时，点M的轨迹是线段AB的中垂线. 证明： 以直线AB为x轴建立平面直角坐标系，并设A(a,0)，B(b,0)，M(x,y)． 因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以，所以点M的轨迹是圆． 阿波罗尼斯圆的性质——三角形相似 当把点A，B的坐标分别记为A(,0)，B(b,0)时，其阿波罗尼斯圆的方程为， 即，则阿波罗尼斯圆圆心为O(0,0)，半径为|λb|， 此时有，于是⧍OAM与⧍OMB相似． 若取b=4，λ=，则如下图所示．虽然是取特殊坐标推导的，但结论具有普遍性，即当M为阿波罗尼斯圆上一点，且M不与O，A，B三点所在直线共线时，⧍OAM相似于⧍OMB． 一．综合题型解题策略 1. 最值问题 • 圆上点到直线的距离最值：最大值d + r，最小值|d - r|（d为圆心到直线的距离）。 • 圆上点到定点的距离最值：设定点为P，圆心为C，则最大值|PC| + r，最小值||PC| - r|。 • 面积最值：如直线与圆相交形成的三角形面积，结合弦长和点到直线距离公式，转化为函数最值求解。 2. 定点/定值问题 • 定点问题：将直线/圆的方程整理为含参数的形式（如f(x,y) + \lambda g(x,y) = 0），令参数的系数为0，解方程组得定点坐标。 • 定值问题：设出变量（如直线斜率、点的坐标），通过代数运算消去变量，证明结果为常数，注意运用韦达定理简化计算。 3. 探索性问题（是否存在型） • 假设存在满足条件的直线/点，设出其方程或坐标。 • 结合直线与圆的位置关系、已知条件列方程，求解参数。 • 验证参数是否满足题意（如直线是否存在、点是否在圆上），若有解则存在，无解则不存在。 二、通用解题步骤与技巧 1. 画图分析：运用数形结合思想，画出直线与圆的大致图形，标注圆心、半径、直线位置等关键要素，直观梳理关系。 2. 优先几何法：处理直线与圆的位置关系、弦长等问题时，优先用几何性质（如距离、勾股定理），避免复杂的代数联立。 3. 规范运算：联立方程、求解参数时，步骤清晰，注意符号和公式准确性，尤其关注斜率不存在、圆的方程化简等易错点。 4. 分类讨论：当直线斜率不确定、参数范围未明确时，需分类讨论（如斜率存在与不存在、圆与圆位置的多种情况），避免漏解。 题型01：圆过定点问题 【典型例题】已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为，且被直线：截得的弦长为． 圆的方程； 设是直线上动点，过点作圆的切线，切点为，证明：经过，三点的圆必过定点，并求所有定点坐标． 【答案】 和 【解析】 设圆的圆心为，则圆心到直线的距离． 由题意可得，，即，解得或舍)． 圆的方程为； 证明：是直线上的点，． 为圆的切线，即过三点的圆是以为直径的圆． 设圆上任意一点，则． ，， ， 即． 故，解得或． 因此经过三点的圆必过定点和 【变式训练1-1】 如图，已知圆：，直线的方程为，点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点为． 当的横坐标为时，求∠的大小； 求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 【答案】 【解析】由题可知，圆M的半径r=2，， 因为是圆M的一条切线，所以∠MAP=90° 又因， 又∠，∠； 设，因为∠， 所以经过三点的圆以为直径， 方程为：， 即 由，解得或， 所以圆过定点 【变式训练1-2】 已知圆M方程为，直线的方程为，点在直线上，过P作圆M的切线、，切点为A、B． (1)若P点坐标为，求 (2)经过A、P、M三点的圆是否经过异于点的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由． 【解析】（1）利用特殊角的三角函数和对称性即可得到答案； （2）设，计算出中点坐标，写出圆的方程，整理，利用方程恒成立得到方程组，解出即可. 【解答过程】（1）因为点坐标为，所以， 又因为，所以,故. （2）设的中点，因为为圆的切线， 所以经过三点的圆是以为圆心，为半径的圆， 故其方程为 化简得， 由，解得（舍）或 所以经过三点的圆经过异于点的定点.    题型02：圆的切线方程 【典型例题1】．已知圆过三个点，过点引圆的切线，求： (1)圆的一般方程； (2)圆过点的切线方程. 【解析】（1）设圆的一般方程为，代入三点的坐标，求解即可； （2）分斜率不存在和斜率存在两种情况，再结合点线距离公式即可求解. （1）设圆的一般方程为， 代入三个点得，解得 所以圆的一般方程为. （2）圆的一般方程化为标准形式为. 当切线斜率不存在时，易知切线方程符合题意. 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则依题意可得，解得， 此时切线方程为，即. 综上所述，圆过点的切线方程为和. 【典型例题2】．已知一圆的圆心为，且该圆被直线截得的弦长为. (1)求该圆的方程； (2)求过点的该圆的切线方程. 【解析】（1）假设圆的方程，利用垂径定理可构造方程求得圆的半径，由此可得圆的方程； （2）分别在切线斜率不存在和存在的情况下，根据圆心到直线距离等于半径可求得切线方程. （1）设圆的方程为， 圆心到直线的距离为， 又圆被直线截得的弦长为，， 圆的方程为：. （2）当切线斜率不存在的时候，切线方程为：，满足题意； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由得：，切线方程为，即， 综上所述：过点的圆的切线方程为或. 【变式训练2-1】．已知圆经过点和，且圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)过点作直线与圆相切，求直线的方程． 【解析】（1）由题意可知圆心为AB中垂线与的交点，计算圆心再求半径，由圆的标准方程表示即可； （2）分类讨论，设切线方程，由圆心到切线的距离等于半径计算即可. （1）∵，，故AB的中点坐标为，， ∴AB的垂直平分线为：， 由解得圆心，半径 故圆的方程为； （2）若直线的斜率存在，方程可设为，即 圆心到直线的距离为，解得， 所求的一条切线为； 当直线的斜率不存在时，圆心到的距离为4，即与圆相切， 所以直线的方程为和． 【变式训练2-2】．已知圆 (1)若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程； (2)若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程． 【解析】（1）由点到直线的距离等于半径，即可分情况求解， （2）由两圆外切圆心距与半径之和的关系，即可列方程求解. 化为标准方程为， 所以圆C的圆心为，半径为 ①若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意． ②若直线的斜率存在，设直线的方程为即 由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2， 所以，即， 解得，所以直线方程为 综上，所求直线的方程为或 （2）依题意，设 又已知圆C的圆心为，半径为2， 由两圆外切，可知， 所以， 解得或所以或， 所以所求圆D的方程为或 【变式训练2-3】．在平面直角坐标系中，圆过点，，且圆心在上． (1)求圆的方程； (2)若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程． 【解析】（1）根据题意，求出的中垂线方程，与直线联立，可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案； （2）分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案． （1）因为圆过，则的中垂线过圆心， 设的中点为，则， 因为，所以的中垂线方程为，即， 又圆心在， 联立，解得， 因此圆心，半径， 所以圆的方程为.   . （2）因为，所以在圆外， 过作圆的切线， 若切线斜率不存在时，则切线方程为，满足与圆相切， 若切线斜率存在时，设切线方程，即， 则，解得， 所以切线方程为，即. 综上：切线方程为或. 【变式训练2-4】．已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)求与直线平行且与圆相切的直线方程． 【解析】（1）求出线段AB的中垂线方程与直线l的方程联立方程组求得圆心坐标，再求出半径即得圆标准方程，也可用一般方程求解． （2）设出直线方程，由圆心到切线的距离等于半径求得参数值，得切线方程． （1）的中点为，，所以线段的中垂线方程为， 由垂径定理可知，圆心在线段的垂直平分线上， 所以它的坐标是方程组的解，解之得 所以圆心的坐标是，圆的半径， 所以圆的标准方程是． （2）设所求直线方程为，圆心到直线的距离， 所以，即，所以所求直线方程为． 【变式训练2-5】．已知圆经过点，，且________.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①过直线与直线的交点；②圆恒被直线平分；③与轴相切. (1)求圆的方程； (2)求过点的圆的切线方程. 【解析】（1）根据题意设出圆的一般方程或标准方程，对①②③逐个分析，求出圆的标准方程即可； （2）先判断点P在圆外，知切线有两条，分情况讨论求解即可. （1）选择①：联立，解得，所以， 设圆的方程为 ， 因为，，三点均在圆上， 所以，解得， 所以圆的方程为，即； 选择②：直线的方程可化为， 因为上式恒成立，所以，解得， 所以直线恒过定点，且为圆心， 所以， 所以圆的方程为； 选择③：设圆的方程为， 由题可得，解得， 故圆的方程为； （2）因为，所以点P在圆E外， ①若直线斜率不存在，直线方程为，圆心到直线的距离为5，满足题意； ②当直线斜率存在时，设切线的斜率为，则切线方程为， 即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离， 所以，所以直线的方程为， 综上可得：过点的圆的切线方程为或.    【变式训练2-6】.在直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与直线相切 (1)求圆O的方程； (2)若已知点，过点P作圆O的切线，求切线的方程． 【解析】（1）根据圆与直线相切，可得圆心到直线的距离为半径，即可求得半径，可得答案； （2）判断切线斜率存在，设切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径可求得切线斜率，即得答案. （1）由题意知以原点O为圆心的圆与直线相切， 故圆的半径为， 故圆的方程为. （2）当过点的直线斜率不存在时，为与圆不相切； 故过点作圆O的切线，斜率一定存在，设方程为， 即，则，解得或， 故切线方程为或． 题型03：圆的弦长问题 【典型例题1】.已知圆，直线. (1)证明：直线和圆恒有两个交点； (2)若直线和圆交于两点，求的最小值及此时直线的方程. 【解析】（1）先求直线所过定点，然后判断定点在圆内即可得证； （2）根据直线垂直于时，有最小值可解. （1）直线，即， 联立解得所以不论取何值，直线必过定点. 圆，圆心坐标为，半径， 因为，所以点在圆内部， 则直线与圆恒有两个交点. （2）直线经过圆内定点，圆心， 记圆心到直线的距离为d. 因为，所以当d最大时，取得最小值， 所以当直线时，被圆截得的弦最短， 此时， 因为，所以直线的斜率为，又直线过点， 所以当取得最小值时，直线的方程为，即， 综上：最小值为，此时直线方程为.    【典型例题2】.如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度为，圆拱的最高点离水面的高度为，桥面离水面的高度为.    (1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程； (2)求桥面在圆拱内部分的长度.（结果精确到） 【解析】（1）先找到合适的垂直关系建立平面直角坐标系，再根据圆的几何关系列出方程求解半径并写出方程即可； （2）根据圆的方程，代入纵坐标求解横坐标即可. （1）设圆拱所在圆的圆心为，以为原点，方向为轴正方向， 中垂线向上为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.    设与轴交于点，与轴交于点，连接 设圆的半径为， 则，，， 在直角中，， 所以，解得， 所以， 所以圆拱方程为，. （2）由题意得，， 令，得， 所以， 所以，所以. 所以桥面在圆拱内部分的长度约为367.4m. 【变式训练3-1】.已知直线过点，且__________. 在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答. ①与圆相切；②倾斜角的余弦值为；③直线的一个方向向量为. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线与曲线相交于两点，求弦长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】（1）选①，先得到点在圆上，从而根据垂直关系求出直线的斜率，得到直线的一般式方程；选②，求出，从而得到直线的一般式方程；选③，根据直线的一个方向向量求出的斜率，求出直线的一般式方程； （2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长. （1）若选①：因为，故点在圆上， 且圆心与连线的斜率为， 因为直线与圆相切，所以直线的斜率为2； 所以直线的一般式方程为； 若选②：设直线的倾斜角为，由得； 故直线的斜率； 所以直线的一般式方程为； 若选③：因为直线的一个方向向量为，所以的斜率； 所以直线的一般式方程为 （2）曲线，即； 故为圆，圆心为，半径为； 则圆心到直线的距离为； 所以弦长. 【变式训练3-2】.已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若直线方程为与圆相交于两点，求. 【答案】(1)或，(2) 【解析】（1）讨论切线l斜率是否存在设方程，利用相切时圆心到直线的距离等于半径列关系计算即得结果； （2）计算到直线AB的距离d，再利用弦三角形的勾股定理，即得弦长. （1）圆方程可化为，则圆心，半径为1， 由，可得点在圆外， 当过点的直线斜率存在时，设l的方程为， 即， 则圆心到直线l的距离为，解得， 的方程为，即， 当过点的直线斜率不存在时，的方程为，此时与圆相切， 的方程为或； （2）直线方程为， 则圆心到直线的距离，直线与圆相交， 【变式训练3-3】.圆内有一点，过的直线交圆于A、B两点. (1)当弦AB被平分时，求直线AB的方程； (2)若圆与圆相交于E，F两点，求． 【答案】(1)，(2) 【解析】（1）首先根据题意得到，从而得到，再利用点斜式求解直线方程即可. （2）首先根据题意得到公共弦方程为，再求弦长即可. （1）如图所示： ， 因为弦AB被平分，所以，即. 所以直线为，即. （2）. 原点到直线的距离. 则. 【变式训练3-4】.如图，已知圆心坐标为的圆M与x轴及直线均相切，切点分别为A，B，另一圆N与圆M，x轴及直线均相切，切点分别为C，D.    (1)求圆M和圆N的方程； (2)过B点作的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度． 【答案】(1)圆M的方程为，圆N的方程为 (2). 【解析】（1）先得到O，M，N三点共线，射线ON为的角平分线，从而得到圆M的方程，由三角形相似得到圆N的半径，并求出得到圆心，得到圆N的方程； （2）所求弦长等于过A点的的平行线被圆N截得的弦长，求出过A点的的平行线所在直线方程，由点到直线距离公式求出圆心N到该直线的距离，从而求出弦长. （1）由于圆M与的两边相切，故M到及的距离均为圆M的半径，则M在的角平分线上， 同理，N也在的角平分线上，即O，M，N三点共线， 且射线ON为的角平分线，因为M的坐标为， 所以M到x轴的距离为1，即：圆M的半径为1， 所以圆M的方程为； 设圆N的半径为r，由∽， 得， 即，解得，， 圆N的方程为； （2）由对称性可知，所求弦长等于过A点的的平行线被圆N截得的弦长， 其中，直线的斜率为， 故过A点的的平行线所在直线方程为，即， 圆心N到该直线的距离， 则弦长为. 题型04：已知弦长求直线方程及参数问题 【典型例题1】．在平面直角坐标系中，已知圆.设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)设垂直于的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程. 【解析】（1）由题意求出圆，圆的圆心和半径，由两圆外切，可得，即可求出答案. （2）由，可求出圆心O1到直线l的距离，再由点到直线的距离公式代入求解即可. 【解答过程】（1）圆：， 则圆的标准方程为， 即圆的圆心坐标为，半径为， 因为圆与x轴相切，与圆O1外切，则圆心 ，， 则圆的半径为， 则，解得， 即圆的标准方程为； （2）由（1）知O2（﹣6，1），则， 所以直线l的斜率为， 设直线l的方程为， 因为，则圆心O1到直线l的距离， 所以，解得或， 所以直线l的方程为或． 【典型例题2】．已知半径小于6的圆过点，且圆与两坐标轴均相切． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与直线交于两点，__________，求的值． 从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 【解析】（1）设圆，由圆过点代入方程，再根据圆与两坐标轴均相切得出，，且，解出，即可得出圆的方程； （2）选①：过点作于点，由得出，则，得出圆心到直线的距离，由点到直线距离公式列出方程求解即可；选②：在中，由余弦定理得出，则，过点作于点，得出，则圆心到直线的距离，由点到直线距离公式列出方程求解即可． （1）设圆， 因为圆过点， 所以， 又因为圆两坐标轴均相切， 所以得，且， 则，解得或， 因为圆的半径小于6， 所以，即， 所以． （2）如果选择条件①： 由，，得， 过点作于点，则， 所以圆心到直线的距离， 则， 解得； 如果选择条件②：， 在中，， 由余弦定理得， 所以， 过点作于点，则， 所以圆心到直线的距离， 则， 解得． 【变式训练4-1】.已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点． (1)求圆的方程； (2)已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【解析】（1）分析可知圆心在直线上，将直线与直线的方程联立，可求得圆心的坐标，进而可求得圆的半径，由此可得出圆的方程； （2）求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在的情况下，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，根据圆心到直线的距离求出直线的斜率，综合可得出直线的方程. （1）解：因为圆与轴相切于点，所以圆心在直线上， 又因为圆的圆心在直线上， 由，解得，即，圆的半径， 所以，圆的方程为． （2）解：设圆心到直线的距离为，则， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为， 即． 因为圆心为，所以圆心到直线的距离为， 整理可得，解得， 所以，直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或. 【变式训练4-2】.在平面直角坐标系中，圆C的方程为，． (1)当时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程； (2)对于，若圆C上存在点M，使，求实数的取值范围． 【解析】（1）分直线l的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合点到直线得距离公式即可得解； （2）要使得，则M在线段的中垂线上，从而可得线段的中垂线与圆C有公共点，则有圆心到直线得距离小于等于半径，从而可得出答案. （1）当时，圆C的方程为， 圆心，半径， ①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，满足条件； ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 由直线l与圆C相切，则，解得， 所以l的方程为，即， 综上得，直线l的方程为或； （2）圆心，， 则线段的中垂线的方程为，即， 要使得，则M在线段的中垂线上， 所以存在点M既要在上，又要在圆C上， 所以直线与圆C有公共点， 所以，解得， 所以．    【变式训练4-3】.圆C：内有一点，过点P作直线l交圆C于A，B两点. (1)当弦AB最长时，求直线l的方程； (2)当直线l被圆C截得的弦长为时，求l的方程. 【答案】(1)，(2)或 【解析】（1）弦AB最长时，直线l过点和圆心,可求方程； （2）根据弦长，求得圆心到直线距离，利用点到距离公式可求直线方程. （1）圆C：化为标准方程为，则圆C的圆心为. 又弦AB最长时，直线l过点和，所以直线l的方程为， 即. （2）当直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 弦长为时，由圆的半径为3，由垂径定理和勾股定理得， 圆心到直线距离为，即，解得， 此时直线l的方程为， 经检验k不存在时的直线也符合条件. 所以直线l的方程为或. 【变式训练4-4】.在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点. (1)求圆的方程； (2)过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【解析】（1）求出过点且与直线垂直的直线方程，与联立求出圆心，根据两点间的距离求出半径，即可得圆的方程； （2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【解答过程】（1）过点且与直线垂直的直线方程为， 联立，解得，所以, 所以圆的半径为, 所以圆的方程为.      （2）由（1）可知圆的方程为， 因为直线被圆截得的弦长为， 所以到直线的距离为， 若直线的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为，不符合题意； 若直线的斜率存在，设方程为， 则,即,解得或, 所以直线的方程为或.    【变式训练4-5】.已知圆过两点，，且圆心P在直线上． (1)求圆P的方程； (2)过点的直线交圆于两点，当时，求直线的方程． 【解析】（1）依题意可设圆P的方程为，圆P过两点，，可列方程组求解未知数，从而可得圆P的方程； （2）由弦长，可得圆心到直线的距离为1，当直线的斜率不存在时验证即可，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，由点到直线的距离公式列出方程可求解. （1）依题意圆心P在直线上，可设圆P的方程为， 因为圆P过两点，， 所以，解得， 所以圆P的方程为. （2）由（1）可知，圆心，半径， 当直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到直线的距离为1， 此时满足题意； 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，即， 当时，圆心到直线的距离， 即有，解得， 此时直线的方程为，即为. 综上，直线的方程为或. 【变式训练4-6】.已知圆与圆关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)直线与圆相交于两点，且的外接圆的圆心在内部，求的取值范围. 【解析】（1）设，由题意可得，解方程即可得出答案. （2）由题意可得是锐角三角形，令到的距离为，则，由点到直线的距离公式代入求解即可得出答案. （1）设，则， 解得 所以圆的标准方程为； （2）因为的外接圆的圆心在内部， 所以是锐角三角形， 又是以为腰的等腰三角形， ， 令到的距离为，则， ， 解得：.    【变式训练4-7】.已知以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为坐标原点． (1)试写出圆C的标准方程； (2)设直线与圆C交于M，N两点，若，求圆C的标准方程． 【解析】（1）先设出圆的方程，根据圆所过点可得方程； （2）由可得，进而可得方程. （1）设圆的方程为， 因为圆经过原点，所以； 即圆的标准方程为：. （2）设线段的中点为， 因为，所以； 由圆的性质可得，所以. 所以，解得； 当时，显然直线和圆不相交，不合题意； 当时，符合题意； 所以圆的方程为：.    题型05：与面积相关问题 【典型例题】.已知直线：与圆O：相交于不重合的A，B两点，O是坐标原点，且A，B，O三点构成三角形．    (1)求的取值范围； (2)的面积为，求的最大值，并求取得最大值时的值． 【解析】（1）解法一：通过圆心到直线的距离小于半径且列出不等式求解即可；解法二：联立方程，令得到不等式求解，结合即可得到答案； （2）先求出高和弦长，通过三角形面积公式直接代入求解面积，通过换元，结合二次函数性质即可得到答案. （1）解法一： 由题意知：圆心到直线的距离 ， 因为直线与圆O相交于不重合的A，B两点，且A，B，O三点构成三角形， 所以，得，解得且， 所以的取值范围为. 解法二： 联立，化简得： ，得， 因为A，B，O三点构成三角形，所以 所以的取值范围为. （2）直线：，即， 点O到直线距离：， 所以 所以，（且） 设，则， 所以 所以当，即，即时， 所以的最大值为2，取得最大值时. 【变式训练5-1】.已知点，设直线l：y=kx+b（b，）与圆相交于异于点P的A，B两点. (1)若，求b的值； (2)若，且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的斜率k的值； (3)当时，是否存在一定圆M，使得直线l与圆M相切?若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）根据可知直线过圆的圆心，可得； （2）由得原点到直线的距离为，得，再根据面积得，联立消去可得的值； （3）联立直线与圆，化为关于的一元二次方程，设，，根据韦达定理可得和，利用和，将化为，利用求出点到直线的距离为，由此可得结果. （1）因为，又在圆上， 所以直线过圆的圆心，所以. （2）因为，圆的半径为， 所以圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式可得，得， 当时，直线与坐标轴不能围成三角形，故， 在中，令，得；令，得， 所以，得， 所以，解得或， 所以或. （3）联立，消去并整理得， ，即， 设，， 则，， 所以 ， ， 所以 ， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以点到直线的距离为 ， 所以直线与以为圆心，为半径的圆相切， 所以存在一个定圆，使得直线与圆相切. 题型06：圆中的定值问题 【典型例题1】.已知过点的直线与圆相交于、两点，是弦的中点，且直线与直线相交于点． (1)当直线与直线垂直时，求证：直线经过圆心； (2)当弦长时，求直线的方程； (3)设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由． 【解析】（1）利用垂直时求出，利用点斜式即可得出直线的方程，然后验证圆心在直线上即可； （2）讨论直线斜率是否存在，当斜率存在时，利用点斜式设出方程，再根据即可得解； （3）先转化，根据直线斜率是否存在分别求出点点坐标，计算后即可得解. （1）解：直线与直线垂直，且， . 故直线方程为，即. 圆心为，且，故当直线与直线垂直时，直线经过圆心. （2）解：①当直线与轴垂直时，则直线的方程为，圆心到直线的距离为， 且，合乎题意； ②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即， ，是中点，圆圆心为，半径为， ，则由，得， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （3）解： ， . ①当与轴垂直时，直线的方程为，联立可得， 即点，则， 又， . ②当的斜率存在时，设直线的方程为，其中， 则由可得，即点，则. . 综上所述，与直线的斜率无关，且. 【典型例题2】.已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程． (2)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，若点，试求 的最小值． 【解析】（1）设圆C的方程为，根据直线与圆相切可求解； （2）设，，利用两点距离公式可求得，可知当，为定值，从而可解； （3）由（2）可知， = ，当且仅当三点共线时， 的值最小，从而可解. （1）由题意设圆心坐标为，则圆C的方程为 因为直线与圆C相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以，故圆C的标准方程为 （2）假设存在定点B，设，， 则， 则 当，即（舍去）时，为定值，且定值为， 故存在定点B，且B的坐标为 （3）由（2）知 =，故= ，从而 = ， 当且仅当三点共线时， 的值最小，且 . 【变式训练6-1】.已知圆：与直线相切. (1)若直线与圆交于，两点，求； (2)已知，，设为圆上任意一点，证明：为定值. 【答案】(1)，(2) 【解析】(1) 利用直线与圆相切 , 结合点到直线距离公式求出半径, 从而得到圆的方程; 根据直线被圆截得 弦长的求解方法可求得结果; （2）设 , 则 , 利用两点间距离公式表示出 , 化简可得结果. （1）由题意， 圆心 到直线 的距离：， 圆 与直线相切， ∴ ，圆 方程为: ， ∵圆心 到直线 的距离: ， ∴. （2）由题意及（1）证明如下 设 , 则 ， ∴， 即 为定值. 【变式训练6-2】.已知圆：与圆：. (1)若圆与圆内切，求实数的值； (2)设，在轴正半轴上是否存在异于A的点，使得对于圆上任意一点，为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)16，(2)存在，6 【解析】（1）根据题意求圆心和半径，在结合两圆的位置关系列式求解； （2）设点，利用两点间距离公式可得，结合题意分析运算即可. （1）因为：，即， 故圆的圆心坐标为，半径长， 且圆：，故圆的圆心坐标为，半径长， 若圆与圆内切，则， 即，且，所以. （2）设点，则， 于是，即， 同理，可得， 要使为定值，则，解得或（舍去）， 故存在点使得为定值，此时. 【变式训练6-3】.已知直线过定点，且与圆交于两点． (1)求直线的斜率的取值范围； (2)若为坐标原点，直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，(2)定值 【解析】（1）法一：若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意，则直线的斜率存在，设直线的方程为，即，由求解；法二：若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意，则直线的斜率存在，设直线的方程为，与圆的联立，根据直线与圆相交，由求解. （2）设，，设直线的方程为，与圆的方程联立，结合韦达定理求解. （1）解：法一：圆的标准方程为，圆心为，半径为． 若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意． 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即 由题意可得，解得．                因此，直线的斜率的取值范围是． 法二：若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意． 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为． 联立，得，其中 因为直线与圆相交，所以， 解得，                                           因此，直线的斜率的取值范围是． （2）设，，设直线的方程为． 联立，得，其中， 所以，， 则 ， 所以为定值． 题型07：与圆有关的最值问题 【典型例题】.已知圆. (1)若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程； 【答案】(1)或，(2)最大值为1，或 【解析】（1）求出圆C的圆心和半径，再由弦长，弦心距和半径的关系求出圆心C到直线l的距离，然后分直线l的斜率不存在和存在两情况讨论求解即可； （2）设直线l的方程为，求出圆心C到直线l的距离，从而可求出的面积的最大值，进而可求出直线方程. （1）圆，圆心，半径 当直线的斜率不存在时，的方程为：，此时圆心到直线的距离， 则相交弦长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程为：，即 此时圆心到直线的距离，则相交弦长为 ，解得： 所以此时直线的方程为：，即. 综上，直线的方程为或 （2）在圆外，显然直线的斜率存在， 设直线的方程为：，则圆心到直线的距离， 所以弦长，所以， 当时最大，即，即，解得或， 的最大值为1，所以直线的方程为：或 【变式训练7-1】．已知圆的圆心坐标为，且点在圆上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于､两点，当变化时，线段的最小值为6，求的值. 【解析】（1）由题意得 ∴圆的标准方程为. （2）若，可知圆心到直线的距离为4， 而圆心到直线的距离， 当时，线段的最小值为6，此时， ∴或. 【变式训练7-2】．已知圆和直线，点P是圆C上的动点. （1）求圆C的圆心坐标及半径； （2）求点P到直线的距离的最小值. 【解析】（1）由圆， 化为， 所以圆C的圆心坐标，半径为. （2）由直线， 所以圆心到直线的距离， 所以点P到直线的距离的最小值为. 【变式训练7-3】．已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边上的高所在直线的方程； （2）的外接圆的方程． 【解析】（1）直线AB的斜率为，AB边上的高所在直线的斜率为-2，则AB边上的高所在直线的方程为y+2=-2（x-2），即2x+y-2=0 （2）设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0由，解之可得故△ABC的外接圆的方程为x2+y2+2x+2y-8=0 【变式训练7-4】．已知线段的端点B的坐标为，端点A在圆上运动. (1)求线段的中点M的轨迹方程； (2)已知点为（1）所求轨迹上任意一点，求的最大值. 【解析】（1）设，，因为是中点，所以，而在圆上， 所以，即， 所以的轨迹方程是； （2）由（1）知在圆，设其圆心为，半径为1，， ，因此的最大值是，从而的最大值是． 题型08：与圆有关的直线过定点问题 （1）涉及直线过定点的问题： 若涉及直线过定点的证明，则直线一定为含有参数的动直线，即直线系，对于直线系方程，可将直线方程化为f(x,y)+，令f(x,y)且，求出交点坐标即为定点，例如直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)对于参数k，此直线系过定点。 （2）圆中定点问题的一般解题方法： ①引进参数法，引进动点的坐标或动线中的系数为参数，再研究变量与参数何时没有关系，找到定点； ②特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 对于引进参数后，把直线或者曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把常量当作未知数，将方程一端化为0，即化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(这里把常量k当作未知数)，由解得点的坐标即为定点． 【典型例题】.已知圆M与直线相切，圆心M在直线上，且直线被圆M截得的弦长为． (1)求圆M的方程； (2)若在x轴上的截距为且不与坐标轴垂直的直线l与圆M交于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，(2)存在，点坐标为 【解析】（1）设圆M的圆心为，半径为r，根据垂径定理，结合直线与圆相切的性质列式求解即可； （2）设，，，联立直线与圆的方程，得出韦达定理，假设存在满足条件，根据，化简，再代入韦达定理化简即可. （1）设圆M的圆心为，半径为r， 因为圆M与直线相切，所以． 又因为直线被圆M截得的弦长为， 所以，解得， 即圆心坐标为，，所以圆M的方程为．    （2）存在．设，，， 由，得． 由根与系数的关系，得． 假设存在满足条件，则，． 由，得， 即， 即，， 即且，所以． 所以存在满足条件．    【变式训练8-1】.已知直线l：与圆C：相交于A、B两点． (1)若，求k； (2)在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA、MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【解析】（1）由圆的方程确定圆心和半径，利用几何法求弦长公式和点到直线的距离公式计算即可求解； （2）设，，假设存在点满足题意，即，直线方程联立圆的方程，利用韦达定理表示、，结合两点求斜率公式，化简计算即可求解. （1）因为圆C：， 所以圆心坐标为，半径为2，因为， 所以C到AB的距离为， 由点C到直线的距离为：，解得； （2）设，，l的方程为， 则，得， 因为，所以，， 设存在点满足题意，即， 所以 ， 因为， 所以， 所以，解得． 所以存在点符合题意． 【变式训练8-2】.在平面直角坐标系中，已知两个定点，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于不同的两点，且（为坐标原点），求直线的斜率； (3)若点是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点. 【答案】(1)；，(2)；，(3)过定点. 【解析】（1）利用两点间距离公式列式化简作答. （2）求出点到直线距离，再利用点到直线距离公式计算作答. （3）设出点的坐标，求出直线的方程即可推理作答. （1）设点的坐标为，由，得，整理得， 所以曲线的轨迹方程为. （2）依题意，，且，则点到边的距离为， 于是，解得， 所以直线的斜率为. （3）依题意，，则都在以为直径的圆上， 而是直线上的动点，设，则圆的圆心为， 圆的方程为，即， 又因为在曲线上，由，得， 因此直线的方程为，即过定点， 所以直线是过定点. 【变式训练8-3】.在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线上. (1)设直线l：与圆M交于C，D两点，且，求圆M的方程； (2)设直线与（1）中所求圆M交于E，F两点，点P为直线上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线EF两侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1)，(2) 【解析】（1）由题意设圆的方程为，再根据直线l：与圆M交于C，D两点，且，由求解； （2）由题意设，又，得到，设，分别得到直线PE和直线PF的方程，与圆的方程联立，结合韦达定理，消去m得到，再设直线GH的方程为：，代入圆的方程，将韦达定理代入上式求解. 所以设圆心为，又圆M过坐标原点O，则半径为：， 设圆的方程为， 又直线l：与圆M交于C，D两点，且, 所以，则，解得， 当时，圆的方程为， 此时，圆心到直线的距离，符合题意； 当时，圆的方程为：， 此时，圆心到直线的距离，不符合题意； （2）如图所示：    由题意设，又， 则，则，设， 则直线PE的方程为，代入圆的方程消去y得： ， ， 由韦达定理得，即， 设直线PF的方程为：，代入圆的方程消去y得： ， ， 由韦达定理得，即， 所以，， 消去m得， 设直线GH的方程为：， 代入圆的方程消去y得：， ， 由韦达定理得，， 则，即， 解得或， 当时，，直线GH的方程为，过定点； 当时，，解得， 直线GH的方程为，过定点，此时G，H在直线EF同侧，不符合题意， 故直线GH过定点. 【变式训练8-4】.已知圆经过三点． (1)求圆的方程． (2)已知直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 【答案】(1)，(2)直线经过定点，该定点的坐标为 【解析】（1）设出圆的一般方程，代入的坐标，由此求得正确答案. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由直线的斜率之积列方程，化简求得定点坐标. （1）设圆W的方程为， 则，解得 则圆W的方程为． （2）若直线的斜率不存在，则设直线的方程为， 则，整理得． 又，解得，所以直线的方程为，此时经过点，不符合题意． 若直线的斜率存在，则设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则． ， 则， 整理得， 解得或． 当时，直线的方程为， 此时直线经过点，不符合题意，故舍去． 所以， 故直线的方程为，即，经过定点． 综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为．        【点睛】求圆的方程的方法有两种思路，一种思路是根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程；另一种思路是设圆的一般方程，然后根据已知条件求得，从而求得圆的一般方程. 【变式训练8-5】.已知圆经过坐标原点和点，且圆心在直线上． 求圆的方程； 设是圆的两条切线，其中为切点． ①若点在直线上运动，求证：直线经过定点； ②若点在曲线其中上运动，记直线与轴的交点分别为，求面积的最小值． 【答案】 ； ①直线恒过定点；②的面积取得最小值． 【解析】由题意设圆的圆心坐标， 由题意，即， 解得，即， 所以可得半径， 所以圆的方程为； ①由点在直线上运动，可设， 由和为圆的两条切线，可得，， 则四点共圆，且圆心为的中点，半径为， 则以为直径的圆的方程为， 又圆的方程为， 上面两圆的方程相减可得直线的方程， 由，可得，解得， 则直线恒过定点； ②若点在曲线其中上运动，可，， 显然切线的斜率存在，设为，可得切线方程设为， 即， 由直线和圆相切的条件可得， 化为， 在恒成立， ，， ， 而， ， 所以面积， 可设，，则， 当且仅当，即时，的面积取得最小值． 题型09：与圆有关的轨迹问题 （2） 用定义法求圆的轨迹方程：直接根据圆的定义求解； （2）用待定系数法求圆的轨迹方程：设圆的标准方程为； （3）相关点法确定圆的轨迹： ①双动点、一显一隐：已知条件中有两个动点，一个动点的轨迹明显易求，另一个隐藏极深难求. ②建立关联：即建立双动点的关系，最好以向量的形式出现，从而便于使用坐标形式. ③消显现隐：利用显动点的轨迹方程，通过代入，从而求出隐动点的轨迹方程. 【典型例题】.已知圆：． (1)求圆的圆心坐标及半径； (2)设直线： ①求证：直线与圆恒相交； ②若直线与圆交于，两点，弦的中点为，求点的轨迹方程，并说明它是什么曲线． 【解析】（1）根据圆的标准方程，即可得解； （2）①易知直线恒过点，计算的长，并与圆的半径比较大小，即可得证； ②设，其中，由，结合平面向量数量积的坐标运算，即可得解． （1）由圆的标准方程知，圆的圆心坐标为，半径长为2． （2）①证明：直线恒过点， 因为，所以点在圆内部，即直线与圆恒相交． ②解：设，其中，则，， 由垂径定理知，，    所以，即，整理得， 所以点的轨迹方程为，它表示以为圆心，以为半径的圆（去除与轴的交点）． 【变式训练9-1】.已知圆：，直线：. (1)设直线与圆相交于两点，且，求直线的方程； (2)设直线与圆相交于两点，求弦中点的轨迹方程. 【解析】（1）由弦长得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出m的值，得直线方程； （2）设动点，由几何关系得动点满足的向量关系，求得轨迹方程. （1）圆的圆心为,半径为, 设圆心到直线的距离为d，因为，则，解得， 所以，， 故直线方程为或. （2）直线l：，过定点， 设弦AB的中点，则， 所以，即， 所以弦AB的中点的轨迹方程为.    【变式训练9-2】.已知圆. (1)若直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程； (2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，满足，求点的轨迹方程. 【解析】（1）讨论直线是否存在斜率，当斜率存在时，设出直线方程，利用弦长公式，即可求得直线斜率，则直线方程得解； （2）根据题意以及几何关系，求得点的轨迹方程， （1）根据题意，圆的方程为：，其圆心为，半径为， 当直线的斜率不存在时，其方程为， 此时直线与圆的交点为，，，符合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为， 综上，直线的方程为或； （2）如图，为圆的切线，连接，，则， 所以为直角三角形，即. 设，由（1）知，， 因为，所以， 化简得点的轨迹方程为. 【变式训练9-3】.已知直线和圆. (1)求证：对任意实数，直线和圆总有两个不同的交点； (2)设直线和圆交于，两点. ①若，求的倾斜角； ②求弦的中点的轨迹方程. 【解析】（1）解法1，联立消元，根据，即可得证； 解法2：求出圆心到直线的距离，即可证明； 解法3：求出直线过定点坐标，判断点与圆的位置关系，即可证明； （2）①求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式得到方程，解得即可； ②联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可求出中点坐标，消去参数，即可得解； （1）解法1：将代入， 得，因为， 故直线和圆C总有两个不同的交点. 解法2：圆心到直线的距离， 于是直线和圆C总有两个不同的交点. 解法3：由已知，直线，令，解得， 所以直线恒过定点， 因为，所以点P在圆C内， 于是直线和圆C总有两个不同的交点. （2）①圆心到直线的距离， 由弦长公式，即，解得， 即直线的斜率为，于是的倾斜角为或. ②将代入， 得，设，，显然， 所以，则， 则，， 所以， 消去得， 即，其中. 【变式训练9-4】.已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，求弦的中点的轨迹方程． 【答案】且. 【解析】由题设直线恒过，若的中点为，结合圆的性质有，进而判断的轨迹，即可写出轨迹方程. 由恒过，且与圆相交于、， 而的圆心为，若的中点为，则， 所以，易知：在以为直径的圆上，且，    所以弦的中点的轨迹方程且. 【变式训练9-5】.已知点，且． (1)求点P的轨迹方程； (2)判断点P的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，(2)是，圆心坐标为，半径 【解析】（1）根据可列出方程，化简即得答案； （2）解法一，利用配方法，结合圆的标准方程，可得答案；解法二，结合圆的一般方程以及二元二次方程表示圆的条件，即可求得答案.【详解】（1）由题意得， 两边同时平方，化简得， 即点P的轨迹方程为． （2）解法一：由（1）得， 故点P的轨迹是圆，其圆心坐标为，半径为． 解法二：由（1）结合圆的一般方程得， 所以，故点P的轨迹是圆． 又，，所以圆心坐标为，半径． 【变式训练9-6】.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足 (1)求动点P的轨迹C的方程 (2)若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程. 【答案】(1)；，(2)或. 【解析】（1）设，根据动点满足，再用两点间距离公式列式化简作答. （2）讨论直线的斜率，设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解作答. （1）设，由，得， 化简得， 所以P点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，轨迹：表示圆心为，半径为2的圆， 当直线l的斜率不存在时，方程为，圆心到直线l的距离为2，与相切； 当直线l的斜率存在时，设，即，     于是，解得，因此直线的方程为，即， 所以直线l的方程为或.    【变式训练9-7】.已知曲线上的动点满足到定点的距离与到定点距离之比为 (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程. 【答案】(1)（或），(2)或. 【解析】（1）根据动点满足到定点的距离与到定点距离之比为，建立方程，化简可得曲线C的方程. （2）分类讨论，设出直线l方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可求得直线l的方程. （1）由题意得，故， 化简得（或）； （2）当直线的斜率不存在时，， 将代入方程得或，所以，满足题意； 当直线的斜率存在时，设，则， 因为，所以，解得，此时. 综上，直线的方程为或.    【变式训练9-8】.已知的斜边为，且． (1)求直角顶点的轨迹的方程； (2)直线与交于两点M，N，若，求的值． 【答案】(1)，(2) 【解析】（1）设出点坐标，利用向量数量积的运算列方程，化简求得轨迹的方程. （2）利用勾股定理以及点到直线的距离公式列方程，由此求得的值. （1）设，，，由已知得， ∴，化简得的方程为：. （2）∵，圆的半径为2， ∴圆心到的距离为， ∴，解得.    题型10：圆系方程 【典题例题1】 已知圆与圆． 求证：圆与圆相交； 求两圆公共弦所在直线的方程； 求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程． 【解析】(1)证明：(圆心距两圆相交) 圆：化为标准方程为 ， 圆的圆心坐标为，半径为 , ，两圆相交； (两圆方程相减所得方程即是公共弦所在直线方程) 将两圆方程相减，可得， 即两圆公共弦所在直线的方程为； 方法一 (先求出两个交点，再求圆心与半径得圆的方程，思路很直接) 由解得，(这里还是有些计算量的) 则交点为， 圆心在直线上，设圆心为， 则，解得， 故圆心，半径， 所求圆的方程为． 方法二 设所求圆的方程为 即 圆心坐标为 代入直线可得：， 所求圆的方程为． 此题是过圆与圆交点的圆系问题. ① 两圆之间的位置关系看圆心距与两圆半径与之间的关系； ② 过两圆，交点的圆系方程为 此圆系不含 特别地，当时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. ③ 方法的选取在于思考难度、计算量、严谨性性等. 【变式训练11-1】 已知直线：，，为坐标原点，动点满足 ，动点的轨迹为曲线 求曲线的方程； 若直线与圆：交于不同的两点，当∠时，求的值； 若，是直线上的动点，过点作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点． 【解析】设点，依题意知， 整理得， 曲线的方程为 点为圆心，∠， 点到的距离， ； 由题意可知：四点共圆且在以为直径的圆上， (对角互补的四边形的四顶点共圆) 设，则圆心，半径 得 即 又在圆：上 即 (直线是两圆的公共弦所在直线，故两圆方程相减便得其方程) 由得 ， 直线过定点.  题型11：阿氏圆（阿波罗尼斯圆） 阿波罗尼斯圆的定义 平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ>0, λ≠1）的点M的轨迹是圆（，此圆被称为阿波罗尼斯圆．特别的，当λ=1时，点M的轨迹是线段AB的中垂线. 证明： 以直线AB为x轴建立平面直角坐标系，并设A(a,0)，B(b,0)，M(x,y)． 因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以，所以点M的轨迹是圆． 阿波罗尼斯圆的性质——三角形相似 当把点A，B的坐标分别记为A(,0)，B(b,0)时，其阿波罗尼斯圆的方程为， 即，则阿波罗尼斯圆圆心为O(0,0)，半径为|λb|， 此时有，于是⧍OAM与⧍OMB相似． 若取b=4，λ=，则如下图所示．虽然是取特殊坐标推导的，但结论具有普遍性，即当M为阿波罗尼斯圆上一点，且M不与O，A，B三点所在直线共线时，⧍OAM相似于⧍OMB． 【典型例题1】已知两定点，，动点M与定点P，Q的距离之比（，），那么点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为__________． 【解析】先根据阿波罗尼斯圆的性质得到三角形相似，进而得到比值和相应值. 如图所示，根据阿波罗尼斯圆的性质得，与相似， 于是有， 又，且阿波罗尼斯圆方程为， 所以，，因此，， 由于，因此，故的值为． 利用阿波罗尼斯圆的性质解决有关定点、定比问题，可简化运算过程，提高解题速度. 在处理定点、定值问题时，要注意一些结论的应用：已知动点P与两定点A、B的距离之比为λ（λ≠1），即已知两个定点A、B，及定比λ，则阿氏圆的常用公式，，阿氏圆的半径为：． 【典型例题2】阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据点的轨迹方程可得，结合条件可得，即得. 设，，所以， 又，所以． 因为且，所以， 整理可得， 又动点M的轨迹是， 所以，解得， 所以，又， 所以，因为， 所以的最小值为． 故选：C． 【典型例题3】若AB=2，，则三角形ABC面积的最大值为______． 【解析】先利用阿波罗尼斯圆的定义得到动点的轨迹方程，再利用阿波罗尼斯圆的半径公式得到半径，进而求出三角形面积的的最大值. 如图所示，，．设．， 所以，化为：． 可知：当且仅当取，三角形ABC的面积的最大值， （或者直接用），故答案为． 该题也可以直接利用阿波罗尼斯圆的方程，写出圆的方程． 若三角形中出现（λ≠1），且c为定值，则点C位于阿波罗尼斯圆上． 【典型例题4】中，角的对边分别为，且，以下四个命题中正确的是（    ） 满足条件的不可能是直角三角形 面积的最大值为 是中点，的最大值为3 当时，的面积为 【答案】BD 【解析】建立平面直角坐标系，由条件确定点的轨迹，由此判断各选项对错. 以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则， 设，由，得，即， ，化简得：， 即点在以为圆心，以为半径的圆上（除去两点）. 如图所示： 对于：以为圆心，为半径作圆，记该圆与圆的交点为，则 为直角三角形，错误； 对于：由图得面积的最大值为正确； 对于是中点，的值为在上的投影与的积，又点在以为圆心，以为半径的圆上（除去两点），故，错误； 对于D：若，则，， 正确. 故选：BD 【变式训练11-1】在中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，若面积，且，则c最小值为 ． 【答案】 【解析】由三角形的面积公式可得，再将其代入余弦定理化简可得，由二倍角的正弦、余弦公式和基本不等式求解即可. 因为面积，所以，所以， 由余弦定理可得：， 将代入可得： ，， ， 当且仅当，即时取等. 所以，c最小值为. 故答案为：. 【变式训练11-2】在平面直角坐标系中，已知，，P为上一动点，则最小值为 ． 【答案】 【解析】根据题意画出图象，在y轴取点C，使得，由比例关系求得并得的坐标，再用比例关系得，进而当共线时取得最小值. 根据题意画出图象如下： 连接，则， 在y轴取点C，使得，则有， 即， ，又，即. 所以，. 当共线且在之间时取等号. 故答案为：. 【变式训练11-3】已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则最小值为 . 【答案】 【解析】建立坐标系，设，，，设，，则，构造相似三角形，设，可得，所以． 如图，，设，则向量满足，设，所以点为以为圆心，以为半径的圆上的一点， 所以，同理， 取点，则，又因， 所以， 所以，即， 所以， 由三角形的三边关系知. 故填：. 【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量的模，向量模的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造相似三角形等知识，属于难题． 【变式训练11-4】在平面四边形ABCD中，， ，．若， 则的最小值为 ． 【答案】 【解析】以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系. 设，根据已知条件可求得点在以为圆心，2为半径的圆上，取，可得，从而有，因此＝，因此只要最小即可． 如图，以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系. 则，， 设，则，， 因为 所以，即： 整理得：，所以点在以原点为圆心，半径为2的圆上. 在轴上取，连接 可得，所以，所以 由图可得：当三点共线时，即点在图中的位置时，最小. 此时最小为. 故答案为． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查平面向量的几何应用．解题关键点有二，一是建立坐标系，求出点在一个圆上，二是取点，构造出，于是，问题转化为求的最小值． 【变式训练11-5】在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：与直线l：，若对圆O上任意一点P，在直线l上均存在两点E，F，使得，且，则r的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由阿氏圆的定义求出P轨迹，当E，F在直线l上滑动时，P点轨迹为宽度为的带状区域，此区域包含圆O，即可得出答案. 对于确定位置的E，F， 如图，由阿氏圆的定义知满足的P轨迹是 以为圆心，为半径的圆，其中在直线l上； 当E，F在直线l上滑动时，P点轨迹为宽度为的带状区域， 由题意，让此区域包含圆O即可，因为O到l的距离为， 所以， 故答案为：．    【变式训练11-6】P，Q分别为圆A：，B：上动点，则为 ． 【答案】9 【解析】取点，则，将的最小值转化为距离，即可得到所求. 为圆：上一动点，为圆：上一动点， 为坐标原点， 取，则， 故答案为：    【变式训练11-7】已知，P是圆：上任意一点，x轴上是否存在一点B，使？若存在，求出点B的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】存在， 【解析】假设存在，设，则，根据条件再结合点在圆上，整理可得，解出即可. 假设存在满足条件，即有， 设，，则， 整理可得①， 又因为点在圆上，则②， 将②代入①可得， 由题可得，解得， 所以，故存在点满足条件. 【变式训练11-8】在平面直角坐标系中，点，直线，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标a的取值范围． 【答案】 【解析】设，由得出点的轨迹方程，轨迹是圆，由此圆与圆有公共点可得． 因为圆心C在直线． 可设圆心，则圆C的方程为． 设，由，得， 化简整理得， 所以点M在以为圆心，2为半径的圆上， 由题意得点M也在圆C上， 所以圆D和圆C有公共部分， 即  ， ， 解得， 故圆心C的横坐标a的取值范围． 【变式训练11-9】在平面直角坐标系xQy中，圆O：． (1)P为直线l：上一点． 若点P在第一象限，且，求过点P的圆O的切线方程； 若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围； (2)已知，M为圆O上任一点，问：是否存在定点D（异于点C），使为定值，若存在，求出D坐标；若不存在，说明你的理由． 【答案】(1)①或；②，(2)存在， 【解析】（1）①设点P的坐标为，根据求出，再设过点P的圆O的切线为，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求出即可得出答案；②设，根据中点坐标公式求出，再根据点A、B均在圆O上，可得。解不等式即可得出答案. （2）根据阿氏圆的定义、性质和内外分比定理求解即可得出答案. （1）①设点P的坐标为，因为，故， 解得．又点P在第一象限，则，即P的坐标为， 易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k， 则切线为，即，于是有， 解得或，因此过点P的圆O的切线方程为：或. ②设，则，由点A、B均在圆O上， 有圆与圆有公共点． 于是，解得， 即点P纵坐标的取值范围是； （2）设，假设存在点，使得为定值， 由阿氏圆的定义易知点D在x轴上，设为，如图所示， 由阿氏圆性质有：，则，所以点D的坐标为， 由阿氏圆内外分比定理有：， 所以存在定点，使为定值2．      【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键点在于由阿氏圆的定义知点D在x轴上，设为，再结合阿氏圆的性质和阿氏圆内外分比定理可得出答案. 巩固练习 1求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： 斜率为；过点；平行于直线． 【答案】 【解析】直线与的交点为， 当斜率为时，由直线的点斜式方程得：直线方程为． 直线方程为． 过点时，由两点式得：即为． 直线方程为． 平行于直线时，得直线斜率为，直线方程为， 直线方程为． 方法二 由直线系方程可设所求直线为 (1) 直线的斜率为时，，解得， 故所求直线方程为． (2) 过点时，代入方程得， 故所求直线方程为． (3) 平行于直线时，，解得, 故所求直线方程为． 2 求过直线和圆的交点，并且面积最小的圆的方程． 【答案】 【解析】设所求的圆的方程为， 即， 该圆的半径的平方为[， 故当时，圆的半径的平方最小，圆的面积最小， 此时，圆的方程为 ． 3求经过圆与直线的交点且在轴上的弦长为的圆的方程． 【答案】 或 【解析】设所求的圆的方程为，且与轴的交点坐标为， 令得，化简得 ， 由两边平方得 ，化简得 解得或 所求圆的方程为， 或 所求圆的方程为或 4 求圆心在直线上，且过两圆与的交点的圆的方程． 【答案】 【解析】方法一 (先求出两个交点，再求圆心与半径得圆的方程，思路很直接) 将两圆的方程联立得方程组， 解方程组求得两圆的交点坐标．(这里还是有些计算量的) 弦的中垂线为， 它与直线交点就是圆心，又半径， 故所求圆的方程为． 方法二 过两圆与的交点的圆的方程可设为， 整理得 其圆心为， 又由圆心在直线上， 则有，解得, 所以所求圆的方程为. 5 过圆内一点作一弦交圆于两点，过点作圆的切线，求点的轨迹方程. 【答案】 【解析】设，， 则过圆上的点的切线方程分别为： ，点在切线上； ，； 直线的方程为：； 直线过点； ； 点的轨迹方程为． 故答案为：． 6.已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为，且被直线：截得的弦长为． 圆的方程； 设是直线上动点，过点作圆的切线，切点为，证明：经过，三点的圆必过定点，并求所有定点坐标． 【答案】 和 【解析】 设圆的圆心为，则圆心到直线的距离． 由题意可得，，即，解得或舍)． 圆的方程为； 证明：是直线上的点，． 为圆的切线，即过三点的圆是以为直径的圆． 设圆上任意一点，则． ，， ， 即． 故，解得或． 因此经过三点的圆必过定点和 7.如图，已知圆：，直线的方程为，点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点为． 当的横坐标为时，求∠的大小； 求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 【答案】 【解析】由题可知，圆M的半径r=2，， 因为是圆M的一条切线，所以∠MAP=90° 又因， 又∠，∠； 设，因为∠， 所以经过三点的圆以为直径， 方程为：， 即 由，解得或， 所以圆过定点 8.已知圆经过坐标原点和点，且圆心在直线上． 求圆的方程； 设是圆的两条切线，其中为切点． ①若点在直线上运动，求证：直线经过定点； ②若点在曲线其中上运动，记直线与轴的交点分别为，求面积的最小值． 【答案】 ； ①直线恒过定点；②的面积取得最小值． 【解析】由题意设圆的圆心坐标， 由题意，即， 解得，即， 所以可得半径， 所以圆的方程为； ①由点在直线上运动，可设， 由和为圆的两条切线，可得，， 则四点共圆，且圆心为的中点，半径为， 则以为直径的圆的方程为， 又圆的方程为， 上面两圆的方程相减可得直线的方程， 由，可得，解得， 则直线恒过定点； ②若点在曲线其中上运动，可，， 显然切线的斜率存在，设为，可得切线方程设为， 即， 由直线和圆相切的条件可得， 化为， 在恒成立， ，， ， 而， ， 所以面积， 可设，，则， 当且仅当，即时，的面积取得最小值． 9.已知直线，圆. (1)证明：直线与圆相交； (2)设直线与的两个交点分别为、，弦的中点为，求点的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，设圆在点处的切线为，在点处的切线为，与的交点为.证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当变化时，点是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由. 【解析】（1）求出直线恒过的定点，利用点与圆的位置关系判断即可； （2）求出圆的圆心坐标，设出M的坐标，利用垂径定理，转化求解轨迹方程即可； （3）设点，证明Q，A，B，C四点共圆，求出圆的方程，求出与圆相交弦的方程，即为直线l的方程，可求点坐标的特征． （1）证明：如图所示， 圆，化成标准方程为，圆心，半径为2， 直线过定点，定点到圆心距离为1，即在圆内，故直线l与圆C相交； （2）l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M， 设点，由垂径定理得，即，整理得， 直线l不过圆心C，则， 所以点M的轨迹方程为； （3）依题意有，， 四边形QACB对角互补，所以Q，A，B，C四点共圆， 且QC为圆的直径， 设，则圆心坐标为， 半径为， 则圆的标准方程为 ， 整理得，与圆C的方程联立， 消去二次项得∶，即为直线l的方程， 因为直线过定点，所以，解得：， 所以当m变化时，点Q恒在直线 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 直线与圆的方程综合题 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 8 题型归纳 9 题型01：圆过定点问题 9 题型02：圆的切线方程 10 题型03：圆的弦长问题 12 题型04：已知弦长求直线方程及参数问题 15 题型05：与面积相关问题 18 题型06：圆中的定值问题 19 题型07：与圆有关的最值问题 22 题型08：与圆有关的直线过定点问题 24 题型09：与圆有关的轨迹问题 26 题型10：圆系方程 28 题型11：阿氏圆（阿波罗尼斯圆） 29 巩固提升 34 直线与圆相关内容是高考数学的重要考点，在解答题中常以多种形式呈现，以下是其高考分析： 命题特点： 1. 题型与位置：直线与圆的内容在解答题中单独命题的情况相对较少，更多是作为圆锥曲线等综合大题中的某一部分出现，有时也会与导数、函数等知识相结合，出现在解答题的中间或后半部分位置。 2. 分值占比：若单独成题，分值一般在12分左右；作为综合题中的一部分，分值大概在4-8分。 考查内容： 1. 直线与圆的基本要素：考查圆的标准方程、一般方程的求解，直线方程的各种形式（如点斜式、斜截式、一般式等），以及直线的斜率、倾斜角等概念。例如根据圆的几何性质（如圆心坐标、半径与已知点或直线的关系）求圆的方程。 2. 位置关系：这是核心考点，包括直线与圆的位置关系（相交、相切、相离）的判定与应用，以及圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）的判断，常结合点到直线的距离公式等进行考查。如已知直线和圆的方程，求直线与圆相交时的弦长，或根据直线与圆相切求直线的斜率等参数值。 3. 综合问题：涉及与最值、定值、定点相关的问题。比如求圆上一点到直线距离的最值、直线与圆相交形成的三角形面积的最值等，还可能会出现探索性问题，如探究是否存在满足特定条件的直线或点等。 解题关键与思想方法： 1. 关键技能：熟练掌握点到直线的距离公式、弦长公式、直线垂直和平行的条件等基本公式和性质是解题基础。同时，要具备准确的运算能力，因为直线与圆问题常涉及联立方程、求解参数等复杂计算。 2. 思想方法：注重数形结合思想，通过图形直观地分析直线与圆的位置关系，帮助找到解题思路，如借助圆的半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形来计算弦长等。另外，分类讨论思想也较为常用，比如在讨论直线与圆的位置关系时，对于直线斜率是否存在的情况要分别进行分析。 难度趋势： 近年来，直线与圆解答题整体难度相对稳定，一般属于中等难度，但计算量和思维量有一定要求。单独考查时，题目难度通常适中，侧重对基础知识和常规方法的考查；而作为综合题的一部分时，难度会随整体题目提升，更注重对知识综合运用能力和数学思维的考查。 1. 掌握核心知识：熟练掌握直线方程的各种形式、圆的标准方程与一般方程，以及直线与圆、圆与圆位置关系的判定条件。 2. 运用基本公式：能灵活运用点到直线的距离公式、弦长公式等解决距离、弦长计算问题。 3. 提升综合能力：具备将直线与圆知识与圆锥曲线、函数等结合的综合解题能力，能处理最值、定值、定点及探索性问题。 4. 强化思想方法：学会运用数形结合、分类讨论等数学思想，简化问题并优化解题思路。 5. 确保运算准确：在联立方程、求解参数等过程中，保证运算步骤规范、结果正确。 知识点一：判断直线与圆的位置关系 （1）几何法 圆圆心到直线的距离． ①若直线与圆相离没有交点； ②若直线与圆相切有一个交点； ③若直线与圆相交有两个交点． （2）代数法 联立直线方程与圆的一般方程，得到方程组，消去（或），得到关于（或）的一元二次方程． ①若，直线与圆有2个交点，直线与圆相交； ②若，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； ③若，直线与圆没有交点，直线与圆相离． 知识点二：直线与圆相离的应用 （1）圆上的动点到直线的距离的最大值为，最小值为（为圆心到直线的距离）； （2）圆上的动点到直线的距离的最大值为，最小值为（为圆心到直线的距离）． 知识点三：直线与圆相交的应用 （一）弦长（为圆心到直线的距离）； 1．圆弦长问题的两个主要考查角度 (1)已知直线与圆的方程求圆的弦长． (2)已知圆的弦长求解直线或圆的方程中的参数等． 2．求解弦长问题的两个方法 几何法 如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝·＝ ·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB| （二）过圆内一定点最长的弦为直径，最短的弦和定点与圆心的连线垂直； （三）圆上的点到直线的距离为的个数问题，结合圆心到直线的距离考虑． 知识点四：直线与圆相切的应用 （一）求过圆上一点的切线方程 切线与垂直且过点，点斜式写出切线方程即可 已知圆与圆上一点 则过点的切线方程为 （二）求过圆外一点的切线方程（一定有两条） 圆的方程为，求过圆外一点的切线方程步骤： 2 当切线斜率不存在时，验证是否成立； ②当切线斜率存在时，设点斜式方程，，化为一般式，然后用圆心到该直线距离，求解，得到切线方程． 求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程 代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出 （三）切线长 过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为， 则切线长（利用勾股定理求解）． （四）切点弦问题 过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为， 切点弦所在直线方程为： （以圆心，为半径作圆，然后两圆相减即可） 切点弦的长度：（可利用等面积法或者相似求解） 知识点五：圆常用结论 （一）：圆的方程其它表示形式 1.圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。圆的参数方程的主要应用是三角换元： ，； 2.圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、). 3.圆系方程 (1)过点,的圆系方程是 ,其中是直线的方程,λ是待定的系数． (2)过直线:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数． (3) 过圆:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数． （二）圆的切线方程 1.已知圆． ①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是 . 当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程． ②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线． 3 斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线． 2.已知圆． ①过圆上的点的切线方程为; ②斜率为的圆的切线方程为 圆的弦长公式： 3.为直径端点的圆方程； 切线长：过圆（）外一点引圆的切线的长为： （） 知识点六：与圆有关的长度或距离的最值问题的解法: 一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解,注意圆的弦长或切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到直线距离或点到圆心距离. （2）与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法: 形如型的最值问题,可转化为过点(a,b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题； 形如t=ax+by型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题； 形如(x-a)2+(y-b)2型的最值问题,可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离平方的最值问题. （3）与距离最值有关的常见的结论: ①圆外一点A到圆上距离最近为|AO|-r,最远为|AO|+r； ②过圆内一点的弦最长为圆的直径,最短为该点为中点的弦； ③直线与圆相离,则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d+r,最近为d-r； ④过两定点的所有圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积. ⑤直线外一点与直线上的点的距离中,最短的是点到直线的距离； ⑥两个动点分别在两条平行线上运动,这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离. (4)与圆有关的面积的最值问题或圆中与数量积有关的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解. 知识点七：与圆有关的直线过定点问题 （1）涉及直线过定点的问题： 若涉及直线过定点的证明，则直线一定为含有参数的动直线，即直线系，对于直线系方程，可将直线方程化为f(x,y)+，令f(x,y)且，求出交点坐标即为定点，例如直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)对于参数k，此直线系过定点。 （2）圆中定点问题的一般解题方法： ①引进参数法，引进动点的坐标或动线中的系数为参数，再研究变量与参数何时没有关系，找到定点； ②特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 对于引进参数后，把直线或者曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把常量当作未知数，将方程一端化为0，即化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(这里把常量k当作未知数)，由解得点的坐标即为定点． 知识点八：与圆有关的轨迹问题 （1） 用定义法求圆的轨迹方程：直接根据圆的定义求解； （2）用待定系数法求圆的轨迹方程：设圆的标准方程为； （3）相关点法确定圆的轨迹： ①双动点、一显一隐：已知条件中有两个动点，一个动点的轨迹明显易求，另一个隐藏极深难求. ②建立关联：即建立双动点的关系，最好以向量的形式出现，从而便于使用坐标形式. ③消显现隐：利用显动点的轨迹方程，通过代入，从而求出隐动点的轨迹方程. 知识点九：阿波罗尼斯圆的定义 平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ>0, λ≠1）的点M的轨迹是圆（此圆被称为阿波罗尼斯圆）．特别的，当λ=1时，点M的轨迹是线段AB的中垂线. 证明： 以直线AB为x轴建立平面直角坐标系，并设A(a,0)，B(b,0)，M(x,y)． 因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以，所以点M的轨迹是圆． 阿波罗尼斯圆的性质——三角形相似 当把点A，B的坐标分别记为A(,0)，B(b,0)时，其阿波罗尼斯圆的方程为， 即，则阿波罗尼斯圆圆心为O(0,0)，半径为|λb|， 此时有，于是⧍OAM与⧍OMB相似． 若取b=4，λ=，则如下图所示．虽然是取特殊坐标推导的，但结论具有普遍性，即当M为阿波罗尼斯圆上一点，且M不与O，A，B三点所在直线共线时，⧍OAM相似于⧍OMB． 一．综合题型解题策略 1. 最值问题 • 圆上点到直线的距离最值：最大值d + r，最小值|d - r|（d为圆心到直线的距离）。 • 圆上点到定点的距离最值：设定点为P，圆心为C，则最大值|PC| + r，最小值||PC| - r|。 • 面积最值：如直线与圆相交形成的三角形面积，结合弦长和点到直线距离公式，转化为函数最值求解。 2. 定点/定值问题 • 定点问题：将直线/圆的方程整理为含参数的形式（如f(x,y) + \lambda g(x,y) = 0），令参数的系数为0，解方程组得定点坐标。 • 定值问题：设出变量（如直线斜率、点的坐标），通过代数运算消去变量，证明结果为常数，注意运用韦达定理简化计算。 3. 探索性问题（是否存在型） • 假设存在满足条件的直线/点，设出其方程或坐标。 • 结合直线与圆的位置关系、已知条件列方程，求解参数。 • 验证参数是否满足题意（如直线是否存在、点是否在圆上），若有解则存在，无解则不存在。 二、通用解题步骤与技巧 1. 画图分析：运用数形结合思想，画出直线与圆的大致图形，标注圆心、半径、直线位置等关键要素，直观梳理关系。 2. 优先几何法：处理直线与圆的位置关系、弦长等问题时，优先用几何性质（如距离、勾股定理），避免复杂的代数联立。 3. 规范运算：联立方程、求解参数时，步骤清晰，注意符号和公式准确性，尤其关注斜率不存在、圆的方程化简等易错点。 4. 分类讨论：当直线斜率不确定、参数范围未明确时，需分类讨论（如斜率存在与不存在、圆与圆位置的多种情况），避免漏解。 题型01：圆过定点问题 【典型例题】已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为，且被直线：截得的弦长为． 圆的方程； 设是直线上动点，过点作圆的切线，切点为，证明：经过，三点的圆必过定点，并求所有定点坐标． 【答案】 和 【解析】 设圆的圆心为，则圆心到直线的距离． 由题意可得，，即，解得或舍)． 圆的方程为； 证明：是直线上的点，． 为圆的切线，即过三点的圆是以为直径的圆． 设圆上任意一点，则． ，， ， 即． 故，解得或． 因此经过三点的圆必过定点和 【变式训练1-1】 如图，已知圆：，直线的方程为，点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点为． 当的横坐标为时，求∠的大小； 求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 【变式训练1-2】 已知圆M方程为，直线的方程为，点在直线上，过P作圆M的切线、，切点为A、B． (1)若P点坐标为，求 (2)经过A、P、M三点的圆是否经过异于点的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由． 题型02：圆的切线方程 【典型例题1】．已知圆过三个点，过点引圆的切线，求： (1)圆的一般方程； (2)圆过点的切线方程. 【解析】（1）设圆的一般方程为，代入三点的坐标，求解即可； （2）分斜率不存在和斜率存在两种情况，再结合点线距离公式即可求解. （1）设圆的一般方程为， 代入三个点得，解得 所以圆的一般方程为. （2）圆的一般方程化为标准形式为. 当切线斜率不存在时，易知切线方程符合题意. 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则依题意可得，解得， 此时切线方程为，即. 综上所述，圆过点的切线方程为和. 【典型例题2】．已知一圆的圆心为，且该圆被直线截得的弦长为. (1)求该圆的方程； (2)求过点的该圆的切线方程. 【解析】（1）假设圆的方程，利用垂径定理可构造方程求得圆的半径，由此可得圆的方程； （2）分别在切线斜率不存在和存在的情况下，根据圆心到直线距离等于半径可求得切线方程. （1）设圆的方程为， 圆心到直线的距离为， 又圆被直线截得的弦长为，， 圆的方程为：. （2）当切线斜率不存在的时候，切线方程为：，满足题意； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由得：，切线方程为，即， 综上所述：过点的圆的切线方程为或. 【变式训练2-1】．已知圆经过点和，且圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)过点作直线与圆相切，求直线的方程． 【变式训练2-2】．已知圆 (1)若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程； (2)若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程． 【变式训练2-3】．在平面直角坐标系中，圆过点，，且圆心在上． (1)求圆的方程； (2)若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程． 【变式训练2-4】．已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)求与直线平行且与圆相切的直线方程． 【变式训练2-5】．已知圆经过点，，且________.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①过直线与直线的交点；②圆恒被直线平分；③与轴相切. (1)求圆的方程； (2)求过点的圆的切线方程. 【变式训练2-6】.在直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与直线相切 (1)求圆O的方程； (2)若已知点，过点P作圆O的切线，求切线的方程． 题型03：圆的弦长问题 【典型例题1】.已知圆，直线. (1)证明：直线和圆恒有两个交点； (2)若直线和圆交于两点，求的最小值及此时直线的方程. 【解析】（1）先求直线所过定点，然后判断定点在圆内即可得证； （2）根据直线垂直于时，有最小值可解. （1）直线，即， 联立解得所以不论取何值，直线必过定点. 圆，圆心坐标为，半径， 因为，所以点在圆内部， 则直线与圆恒有两个交点. （2）直线经过圆内定点，圆心， 记圆心到直线的距离为d. 因为，所以当d最大时，取得最小值， 所以当直线时，被圆截得的弦最短， 此时， 因为，所以直线的斜率为，又直线过点， 所以当取得最小值时，直线的方程为，即， 综上：最小值为，此时直线方程为.    【典型例题2】.如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度为，圆拱的最高点离水面的高度为，桥面离水面的高度为.    (1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程； (2)求桥面在圆拱内部分的长度.（结果精确到） 【解析】（1）先找到合适的垂直关系建立平面直角坐标系，再根据圆的几何关系列出方程求解半径并写出方程即可； （2）根据圆的方程，代入纵坐标求解横坐标即可. （1）设圆拱所在圆的圆心为，以为原点，方向为轴正方向， 中垂线向上为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.    设与轴交于点，与轴交于点，连接 设圆的半径为， 则，，， 在直角中，， 所以，解得， 所以， 所以圆拱方程为，. （2）由题意得，， 令，得， 所以， 所以，所以. 所以桥面在圆拱内部分的长度约为367.4m. 【变式训练3-1】.已知直线过点，且__________. 在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答. ①与圆相切；②倾斜角的余弦值为；③直线的一个方向向量为. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线与曲线相交于两点，求弦长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【变式训练3-2】.已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若直线方程为与圆相交于两点，求. 【变式训练3-3】.圆内有一点，过的直线交圆于A、B两点. (1)当弦AB被平分时，求直线AB的方程； (2)若圆与圆相交于E，F两点，求． 【变式训练3-4】.如图，已知圆心坐标为的圆M与x轴及直线均相切，切点分别为A，B，另一圆N与圆M，x轴及直线均相切，切点分别为C，D.    (1)求圆M和圆N的方程； (2)过B点作的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度． 题型04：已知弦长求直线方程及参数问题 【典型例题1】．在平面直角坐标系中，已知圆.设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)设垂直于的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程. 【解析】（1）由题意求出圆，圆的圆心和半径，由两圆外切，可得，即可求出答案. （2）由，可求出圆心O1到直线l的距离，再由点到直线的距离公式代入求解即可. 【解答过程】（1）圆：， 则圆的标准方程为， 即圆的圆心坐标为，半径为， 因为圆与x轴相切，与圆O1外切，则圆心 ，， 则圆的半径为， 则，解得， 即圆的标准方程为； （2）由（1）知O2（﹣6，1），则， 所以直线l的斜率为， 设直线l的方程为， 因为，则圆心O1到直线l的距离， 所以，解得或， 所以直线l的方程为或． 【典型例题2】．已知半径小于6的圆过点，且圆与两坐标轴均相切． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与直线交于两点，__________，求的值． 从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 【解析】（1）设圆，由圆过点代入方程，再根据圆与两坐标轴均相切得出，，且，解出，即可得出圆的方程； （2）选①：过点作于点，由得出，则，得出圆心到直线的距离，由点到直线距离公式列出方程求解即可；选②：在中，由余弦定理得出，则，过点作于点，得出，则圆心到直线的距离，由点到直线距离公式列出方程求解即可． （1）设圆， 因为圆过点， 所以， 又因为圆两坐标轴均相切， 所以得，且， 则，解得或， 因为圆的半径小于6， 所以，即， 所以． （2）如果选择条件①： 由，，得， 过点作于点，则， 所以圆心到直线的距离， 则， 解得； 如果选择条件②：， 在中，， 由余弦定理得， 所以， 过点作于点，则， 所以圆心到直线的距离， 则， 解得． 【变式训练4-1】.已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点． (1)求圆的方程； (2)已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【变式训练4-2】.在平面直角坐标系中，圆C的方程为，． (1)当时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程； (2)对于，若圆C上存在点M，使，求实数的取值范围． 【变式训练4-3】.圆C：内有一点，过点P作直线l交圆C于A，B两点. (1)当弦AB最长时，求直线l的方程； (2)当直线l被圆C截得的弦长为时，求l的方程. 【变式训练4-4】.在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点. (1)求圆的方程； (2)过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【变式训练4-5】.已知圆过两点，，且圆心P在直线上． (1)求圆P的方程； (2)过点的直线交圆于两点，当时，求直线的方程． 【变式训练4-6】.已知圆与圆关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)直线与圆相交于两点，且的外接圆的圆心在内部，求的取值范围. 【变式训练4-7】.已知以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为坐标原点． (1)试写出圆C的标准方程； (2)设直线与圆C交于M，N两点，若，求圆C的标准方程． 题型05：与面积相关问题 【典型例题】.已知直线：与圆O：相交于不重合的A，B两点，O是坐标原点，且A，B，O三点构成三角形．    (1)求的取值范围； (2)的面积为，求的最大值，并求取得最大值时的值． 【解析】（1）解法一：通过圆心到直线的距离小于半径且列出不等式求解即可；解法二：联立方程，令得到不等式求解，结合即可得到答案； （2）先求出高和弦长，通过三角形面积公式直接代入求解面积，通过换元，结合二次函数性质即可得到答案. （1）解法一： 由题意知：圆心到直线的距离 ， 因为直线与圆O相交于不重合的A，B两点，且A，B，O三点构成三角形， 所以，得，解得且， 所以的取值范围为. 解法二： 联立，化简得： ，得， 因为A，B，O三点构成三角形，所以 所以的取值范围为. （2）直线：，即， 点O到直线距离：， 所以 所以，（且） 设，则， 所以 所以当，即，即时， 所以的最大值为2，取得最大值时. 【变式训练5-1】.已知点，设直线l：y=kx+b（b，）与圆相交于异于点P的A，B两点. (1)若，求b的值； (2)若，且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的斜率k的值； (3)当时，是否存在一定圆M，使得直线l与圆M相切?若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由. 题型06：圆中的定值问题 【典型例题1】.已知过点的直线与圆相交于、两点，是弦的中点，且直线与直线相交于点． (1)当直线与直线垂直时，求证：直线经过圆心； (2)当弦长时，求直线的方程； (3)设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由． 【解析】（1）利用垂直时求出，利用点斜式即可得出直线的方程，然后验证圆心在直线上即可； （2）讨论直线斜率是否存在，当斜率存在时，利用点斜式设出方程，再根据即可得解； （3）先转化，根据直线斜率是否存在分别求出点点坐标，计算后即可得解. （1）解：直线与直线垂直，且， . 故直线方程为，即. 圆心为，且，故当直线与直线垂直时，直线经过圆心. （2）解：①当直线与轴垂直时，则直线的方程为，圆心到直线的距离为， 且，合乎题意； ②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即， ，是中点，圆圆心为，半径为， ，则由，得， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （3）解： ， . ①当与轴垂直时，直线的方程为，联立可得， 即点，则， 又， . ②当的斜率存在时，设直线的方程为，其中， 则由可得，即点，则. . 综上所述，与直线的斜率无关，且. 【典型例题2】.已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程． (2)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，若点，试求 的最小值． 【解析】（1）设圆C的方程为，根据直线与圆相切可求解； （2）设，，利用两点距离公式可求得，可知当，为定值，从而可解； （3）由（2）可知， = ，当且仅当三点共线时， 的值最小，从而可解. （1）由题意设圆心坐标为，则圆C的方程为 因为直线与圆C相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以，故圆C的标准方程为 （2）假设存在定点B，设，， 则， 则 当，即（舍去）时，为定值，且定值为， 故存在定点B，且B的坐标为 （3）由（2）知 =，故= ，从而 = ， 当且仅当三点共线时， 的值最小，且 . 【变式训练6-1】.已知圆：与直线相切. (1)若直线与圆交于，两点，求； (2)已知，，设为圆上任意一点，证明：为定值. 【变式训练6-2】.已知圆：与圆：. (1)若圆与圆内切，求实数的值； (2)设，在轴正半轴上是否存在异于A的点，使得对于圆上任意一点，为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【变式训练6-3】.已知直线过定点，且与圆交于两点． (1)求直线的斜率的取值范围； (2)若为坐标原点，直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 题型07：与圆有关的最值问题 【典型例题】.已知圆. (1)若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程； 【答案】(1)或，(2)最大值为1，或 【解析】（1）求出圆C的圆心和半径，再由弦长，弦心距和半径的关系求出圆心C到直线l的距离，然后分直线l的斜率不存在和存在两情况讨论求解即可； （2）设直线l的方程为，求出圆心C到直线l的距离，从而可求出的面积的最大值，进而可求出直线方程. （1）圆，圆心，半径 当直线的斜率不存在时，的方程为：，此时圆心到直线的距离， 则相交弦长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程为：，即 此时圆心到直线的距离，则相交弦长为 ，解得： 所以此时直线的方程为：，即. 综上，直线的方程为或 （2）在圆外，显然直线的斜率存在， 设直线的方程为：，则圆心到直线的距离， 所以弦长，所以， 当时最大，即，即，解得或， 的最大值为1，所以直线的方程为：或 【变式训练7-1】．已知圆的圆心坐标为，且点在圆上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于､两点，当变化时，线段的最小值为6，求的值. 【变式训练7-2】．已知圆和直线，点P是圆C上的动点. （1）求圆C的圆心坐标及半径； （2）求点P到直线的距离的最小值. 【变式训练7-3】．已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边上的高所在直线的方程； （2）的外接圆的方程． 【变式训练7-4】．已知线段的端点B的坐标为，端点A在圆上运动. (1)求线段的中点M的轨迹方程； (2)已知点为（1）所求轨迹上任意一点，求的最大值. 题型08：与圆有关的直线过定点问题 （1）涉及直线过定点的问题： 若涉及直线过定点的证明，则直线一定为含有参数的动直线，即直线系，对于直线系方程，可将直线方程化为f(x,y)+，令f(x,y)且，求出交点坐标即为定点，例如直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)对于参数k，此直线系过定点。 （2）圆中定点问题的一般解题方法： ①引进参数法，引进动点的坐标或动线中的系数为参数，再研究变量与参数何时没有关系，找到定点； ②特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 对于引进参数后，把直线或者曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把常量当作未知数，将方程一端化为0，即化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(这里把常量k当作未知数)，由解得点的坐标即为定点． 【典型例题】.已知圆M与直线相切，圆心M在直线上，且直线被圆M截得的弦长为． (1)求圆M的方程； (2)若在x轴上的截距为且不与坐标轴垂直的直线l与圆M交于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，(2)存在，点坐标为 【解析】（1）设圆M的圆心为，半径为r，根据垂径定理，结合直线与圆相切的性质列式求解即可； （2）设，，，联立直线与圆的方程，得出韦达定理，假设存在满足条件，根据，化简，再代入韦达定理化简即可. （1）设圆M的圆心为，半径为r， 因为圆M与直线相切，所以． 又因为直线被圆M截得的弦长为， 所以，解得， 即圆心坐标为，，所以圆M的方程为．    （2）存在．设，，， 由，得． 由根与系数的关系，得． 假设存在满足条件，则，． 由，得， 即， 即，， 即且，所以． 所以存在满足条件．    【变式训练8-1】.已知直线l：与圆C：相交于A、B两点． (1)若，求k； (2)在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA、MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【变式训练8-2】.在平面直角坐标系中，已知两个定点，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于不同的两点，且（为坐标原点），求直线的斜率； (3)若点是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点. 【变式训练8-3】.在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线上. (1)设直线l：与圆M交于C，D两点，且，求圆M的方程； (2)设直线与（1）中所求圆M交于E，F两点，点P为直线上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线EF两侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标. 【变式训练8-4】.已知圆经过三点． (1)求圆的方程． (2)已知直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 【变式训练8-5】.已知圆经过坐标原点和点，且圆心在直线上． 求圆的方程； 设是圆的两条切线，其中为切点． ①若点在直线上运动，求证：直线经过定点； ②若点在曲线其中上运动，记直线与轴的交点分别为，求面积的最小值． 题型09：与圆有关的轨迹问题 （2） 用定义法求圆的轨迹方程：直接根据圆的定义求解； （2）用待定系数法求圆的轨迹方程：设圆的标准方程为； （3）相关点法确定圆的轨迹： ①双动点、一显一隐：已知条件中有两个动点，一个动点的轨迹明显易求，另一个隐藏极深难求. ②建立关联：即建立双动点的关系，最好以向量的形式出现，从而便于使用坐标形式. ③消显现隐：利用显动点的轨迹方程，通过代入，从而求出隐动点的轨迹方程. 【典型例题】.已知圆：． (1)求圆的圆心坐标及半径； (2)设直线： ①求证：直线与圆恒相交； ②若直线与圆交于，两点，弦的中点为，求点的轨迹方程，并说明它是什么曲线． 【解析】（1）根据圆的标准方程，即可得解； （2）①易知直线恒过点，计算的长，并与圆的半径比较大小，即可得证； ②设，其中，由，结合平面向量数量积的坐标运算，即可得解． （1）由圆的标准方程知，圆的圆心坐标为，半径长为2． （2）①证明：直线恒过点， 因为，所以点在圆内部，即直线与圆恒相交． ②解：设，其中，则，， 由垂径定理知，，    所以，即，整理得， 所以点的轨迹方程为，它表示以为圆心，以为半径的圆（去除与轴的交点）． 【变式训练9-1】.已知圆：，直线：. (1)设直线与圆相交于两点，且，求直线的方程； (2)设直线与圆相交于两点，求弦中点的轨迹方程. 【变式训练9-2】.已知圆. (1)若直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程； (2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，满足，求点的轨迹方程. 【变式训练9-3】.已知直线和圆. (1)求证：对任意实数，直线和圆总有两个不同的交点； (2)设直线和圆交于，两点. ①若，求的倾斜角； ②求弦的中点的轨迹方程. 【变式训练9-4】.已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，求弦的中点的轨迹方程． 【变式训练9-5】.已知点，且． (1)求点P的轨迹方程； (2)判断点P的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由． 【变式训练9-6】.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足 (1)求动点P的轨迹C的方程 (2)若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程.  【变式训练9-7】.已知曲线上的动点满足到定点的距离与到定点距离之比为 (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程. 【变式训练9-8】.已知的斜边为，且． (1)求直角顶点的轨迹的方程； (2)直线与交于两点M，N，若，求的值． 题型10：圆系方程 【典题例题1】 已知圆与圆． 求证：圆与圆相交； 求两圆公共弦所在直线的方程； 求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程． 【解析】(1)证明：(圆心距两圆相交) 圆：化为标准方程为 ， 圆的圆心坐标为，半径为 , ，两圆相交； (两圆方程相减所得方程即是公共弦所在直线方程) 将两圆方程相减，可得， 即两圆公共弦所在直线的方程为； 方法一 (先求出两个交点，再求圆心与半径得圆的方程，思路很直接) 由解得，(这里还是有些计算量的) 则交点为， 圆心在直线上，设圆心为， 则，解得， 故圆心，半径， 所求圆的方程为． 方法二 设所求圆的方程为 即 圆心坐标为 代入直线可得：， 所求圆的方程为． 此题是过圆与圆交点的圆系问题. ① 两圆之间的位置关系看圆心距与两圆半径与之间的关系； ② 过两圆，交点的圆系方程为 此圆系不含 特别地，当时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. ③ 方法的选取在于思考难度、计算量、严谨性性等. 【变式训练11-1】 已知直线：，，为坐标原点，动点满足 ，动点的轨迹为曲线 求曲线的方程； 若直线与圆：交于不同的两点，当∠时，求的值； 若，是直线上的动点，过点作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点．  题型11：阿氏圆（阿波罗尼斯圆） 阿波罗尼斯圆的定义 平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ>0, λ≠1）的点M的轨迹是圆（，此圆被称为阿波罗尼斯圆．特别的，当λ=1时，点M的轨迹是线段AB的中垂线. 证明： 以直线AB为x轴建立平面直角坐标系，并设A(a,0)，B(b,0)，M(x,y)． 因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以，所以点M的轨迹是圆． 阿波罗尼斯圆的性质——三角形相似 当把点A，B的坐标分别记为A(,0)，B(b,0)时，其阿波罗尼斯圆的方程为， 即，则阿波罗尼斯圆圆心为O(0,0)，半径为|λb|， 此时有，于是⧍OAM与⧍OMB相似． 若取b=4，λ=，则如下图所示．虽然是取特殊坐标推导的，但结论具有普遍性，即当M为阿波罗尼斯圆上一点，且M不与O，A，B三点所在直线共线时，⧍OAM相似于⧍OMB． 【典型例题1】已知两定点，，动点M与定点P，Q的距离之比（，），那么点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为__________． 【解析】先根据阿波罗尼斯圆的性质得到三角形相似，进而得到比值和相应值. 如图所示，根据阿波罗尼斯圆的性质得，与相似， 于是有， 又，且阿波罗尼斯圆方程为， 所以，，因此，， 由于，因此，故的值为． 利用阿波罗尼斯圆的性质解决有关定点、定比问题，可简化运算过程，提高解题速度. 在处理定点、定值问题时，要注意一些结论的应用：已知动点P与两定点A、B的距离之比为λ（λ≠1），即已知两个定点A、B，及定比λ，则阿氏圆的常用公式，，阿氏圆的半径为：． 【典型例题2】阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据点的轨迹方程可得，结合条件可得，即得. 设，，所以， 又，所以． 因为且，所以， 整理可得， 又动点M的轨迹是， 所以，解得， 所以，又， 所以，因为， 所以的最小值为． 故选：C． 【典型例题3】若AB=2，，则三角形ABC面积的最大值为______． 【解析】先利用阿波罗尼斯圆的定义得到动点的轨迹方程，再利用阿波罗尼斯圆的半径公式得到半径，进而求出三角形面积的的最大值. 如图所示，，．设．， 所以，化为：． 可知：当且仅当取，三角形ABC的面积的最大值， （或者直接用），故答案为． 该题也可以直接利用阿波罗尼斯圆的方程，写出圆的方程． 若三角形中出现（λ≠1），且c为定值，则点C位于阿波罗尼斯圆上． 【典型例题4】中，角的对边分别为，且，以下四个命题中正确的是（    ） 满足条件的不可能是直角三角形 面积的最大值为 是中点，的最大值为3 当时，的面积为 【答案】BD 【解析】建立平面直角坐标系，由条件确定点的轨迹，由此判断各选项对错. 以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则， 设，由，得，即， ，化简得：， 即点在以为圆心，以为半径的圆上（除去两点）. 如图所示： 对于：以为圆心，为半径作圆，记该圆与圆的交点为，则 为直角三角形，错误； 对于：由图得面积的最大值为正确； 对于是中点，的值为在上的投影与的积，又点在以为圆心，以为半径的圆上（除去两点），故，错误； 对于D：若，则，， 正确. 故选：BD 【变式训练11-1】在中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，若面积，且，则c最小值为 ． 【变式训练11-2】在平面直角坐标系中，已知，，P为上一动点，则最小值为 ． 【变式训练11-3】已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则最小值为 . 【变式训练11-4】在平面四边形ABCD中，， ，．若， 则的最小值为 ． 【变式训练11-5】在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：与直线l：，若对圆O上任意一点P，在直线l上均存在两点E，F，使得，且，则r的取值范围为 ． 【变式训练11-6】P，Q分别为圆A：，B：上动点，则为 ． 【变式训练11-7】已知，P是圆：上任意一点，x轴上是否存在一点B，使？若存在，求出点B的坐标；若不存在，说明理由． 【变式训练11-8】在平面直角坐标系中，点，直线，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标a的取值范围． 【变式训练11-9】在平面直角坐标系xQy中，圆O：． (1)P为直线l：上一点． 若点P在第一象限，且，求过点P的圆O的切线方程； 若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围； (2)已知，M为圆O上任一点，问：是否存在定点D（异于点C），使为定值，若存在，求出D坐标；若不存在，说明你的理由． 巩固练习 1求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： 斜率为；过点；平行于直线． 2 求过直线和圆的交点，并且面积最小的圆的方程． 4 求圆心在直线上，且过两圆与的交点的圆的方程． 5 过圆内一点作一弦交圆于两点，过点作圆的切线，求点的轨迹方程. 6.已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为，且被直线：截得的弦长为． 圆的方程； 设是直线上动点，过点作圆的切线，切点为，证明：经过，三点的圆必过定点，并求所有定点坐标． 7.如图，已知圆：，直线的方程为，点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点为． 当的横坐标为时，求∠的大小； 求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 8.已知圆经过坐标原点和点，且圆心在直线上． 求圆的方程； 设是圆的两条切线，其中为切点． ①若点在直线上运动，求证：直线经过定点； ②若点在曲线其中上运动，记直线与轴的交点分别为，求面积的最小值． 9.已知直线，圆. (1)证明：直线与圆相交； (2)设直线与的两个交点分别为、，弦的中点为，求点的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，设圆在点处的切线为，在点处的切线为，与的交点为.证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当变化时，点是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $