第03讲 圆与圆的位置关系讲义（思维导图+知识要点+解题测率+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学一轮复习圆的方程（新高考通用）

第03讲 圆与圆的位置关系 目 录 思维导图 1 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 5 题型归纳 6 题型01：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长 6 题型02：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长 8 题型03：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长 9 题型04：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长 11 题型05：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长 12 题型06：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长 14 巩固提升 15 两圆位置关系是高考中解析几何部分的重要考点之一，以下是相关分析： 考查频率与题型 1.考查频率：两圆位置关系在高考中属于常考内容，通常每 2-3 年就会有涉及，一般会结合圆的方程、直线与圆的位置关系等知识综合考查。 2.题型分布：主要以选择题或填空题的形式出现，偶尔也会在解答题的某一问中涉及，分值一般为 5 分。 核心考点 1.位置关系的判断：根据两圆的圆心距d与两圆半径R、r的大小关系判断两圆位置关系，如已知两圆的标准方程，可先确定圆心坐标与半径，再计算圆心距来判断位置关系。 2.公共弦相关问题：当两圆相交时，两圆方程相减可得到公共弦所在直线方程。对于公共弦长的求解，可联立两圆方程求出交点坐标，再用两点间距离公式计算；也可利用几何法，根据圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，结合勾股定理求解。 3.公切线问题：根据两圆位置关系确定公切线条数， 外离时有 4 条， 外切时有 3 条， 相交时有 2 条， 内切时有 1 条， 内含时没有。 求公切线方程通常需结合直线与圆相切的性质，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径来求解。如 2022 年新高考一卷第 14 题，就考查了求与两圆都相切的直线方程。 命题特点与趋势 1.命题特点：题目难度一般为中等，注重对基础知识和基本方法的考查，常与方程思想、数形结合思想相结合。例如通过圆的方程确定圆心和半径，再利用几何图形分析两圆位置关系及相关量的计算。 2.命题趋势：未来高考仍将以两圆位置关系的基本判断及相关衍生问题（如公共弦、公切线）为重点，可能会更多地与直线与圆的位置关系、圆锥曲线等知识进行综合命题，也可能会结合实际情境或平面向量等知识，增加问题的综合性和灵活性，但本质还是对两圆位置关系核心知识的考查。 复习时，考生需熟练掌握两圆位置关系的判断方法及相关性质，多做一些与直线与圆综合的题目，提高运用知识解决问题的能力和计算能力。 两圆位置关系学习目标 1. 知识理解：掌握两圆位置关系的概念，明确外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系的定义。 2. 核心掌握：熟练运用圆心距d与两圆半径R、r的数量关系，精准判断两圆的位置关系；反之，能根据两圆位置关系确定d、R、r之间的关系。 3. 技能运用： （1） 会求两圆的公共弦所在直线方程，能利用几何法或代数法计算公共弦长。 （2） 能根据两圆位置关系判断公切线条数，掌握求两圆公切线方程的基本方法。 4. 思想提升：在解题中体会并运用数形结合思想、方程思想，提高综合运用圆的相关知识分析和解决问题的能力。 5. 应用拓展：能将两圆位置关系知识与直线与圆的位置关系、圆的方程等知识融合，解决综合性问题。 知识点一、圆与圆的位置关系及其判定 1、几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与，的关系 2、代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元，一元二次方程 知识点二、两圆的公切线 1、定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线； 2、公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 知识点三、两圆公共弦所在直线方程 圆：， 圆：， 则为两相交圆公共弦方程. 【注意】 （1）若与相切，则表示其中一条公切线方程； （2）若与相离，则表示连心线的中垂线方程. 知识点四、利用圆系方程求圆的方程 1、过直线与圆的交点的圆系方程是： （） 2、以为圆心的同心圆系方程是：； 3、与圆同心的圆系方程是； 4、过同一定点的圆系方程是． 两圆位置关系解题策略 一、核心依据：抓住“圆心距与半径的数量关系” 两圆位置关系的判断及相关计算，均围绕圆心距d与两圆半径R、r（R\geq r）的关系展开，这是解题的根本 • 外离：d > R + r • 外切：d = R + r • 相交：|R - r| < d < R + r • 内切：d = |R - r| • 内含：0 ≤d < | R - r| 二、分类型解题策略 1. 两圆位置关系的判断 解题步骤： （1）. 求两圆的圆心坐标(, 、(, )和半径R、r（若圆方程为一般式，先化为标准式： + = （2）. 用两点间距离公式算圆心距：d =。 （3）. 对比d与|R + r|、|R - r|的大小，确定位置关系。 2. 公共弦相关问题 求公共弦所在直线方程：两圆方程相减（消去、项），所得直线方程即为公共弦所在直线方程（两圆相交时有效）。 求公共弦长： 代数法：联立公共弦方程与其中一个圆的方程，解出交点坐标，用两点间距离公式计算。 几何法（推荐，更简便）： （1）. 取其中一圆，求圆心到公共弦所在直线的距离（用点到直线距离公式）。 （2）. 结合该圆半径R，由勾股定理得弦长 3. 公切线相关问题 （1） 判断公切线条数：直接根据两圆位置关系确定，外离4条、外切3条、相交2条、内切1条、内含0条。 （2） 求公切线方程： . 若两圆半径相等（R = r），公切线为与两圆心连线平行的直线，先算圆心连线斜率，再设直线方程，用圆心到直线距离等于半径求解。 . 若两圆半径不等，设公切线方程为Ax + By + C = 0，利用两圆心到直线的距离分别等于各自半径，列方程组求解；若直线斜率不存在，直接验证x = k形式是否符合条件。 三、常用思想方法 1. 数形结合思想：画图辅助分析，通过图形直观判断位置关系，明确圆心、半径、圆心距的几何意义，减少计算误差。 2. 方程思想：将几何问题转化为方程问题，如通过联立圆的方程求交点，利用距离公式列方程求参数（如圆心坐标、半径、直线方程系数等）。 四、易错点提醒 1.计算圆心距时，注意圆心坐标的准确性，尤其是圆方程为一般式时，需正确转化为标准式求圆心和半径。 2.求公切线时，不要遗漏斜率不存在的直线（即垂直于x轴的直线）。 3.两圆内含时，要注意“d = 0”的特殊情况（两圆同心）。 题型01：圆与圆的位置关系的判断及求参 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0). 方法 位置关系　　　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 【典型例题1】圆C1：x2+y2﹣14x＝0与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝15的位置关系为（　　） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【解析】根据已知条件，结合两圆半径与圆心距之间的关系，即可求解． 解：圆C1：x2+y2﹣14x＝0的圆心O（7，0），半径r1＝7， 圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝15的圆心A（3，4），半径r2， ∵两圆心之间的距离|AO|4∈， ∴两圆相交． 故选：A． 【典型例题2】已知圆，圆，则同时与圆O1和圆O2相切的直线有（　　） A．4条 B．2条 C．1条 D．0条 【答案】B 【解析】求出两个圆的圆心和半径，根据圆圆之间的位置关系的条件即可得到结论． 解：圆O1：x2+y2＝4圆心为O1（0，0），半径为R＝2， 圆O2：x2+y2﹣2x﹣2y﹣4＝0的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝6，圆心为O2（1，1），半径为r， 则2＞|O1O2|2， 故圆O1和圆O2的位置关系是相交， 所以同时与圆O1和圆O2相切的直线有2条， 故选：B． 【变式训练1-1】已知圆C1：x2+（y﹣a2）2＝a4的圆心到直线x﹣y﹣2＝0的距离为2，则圆C1与圆C2：x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0的位置关系是（　　） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【变式训练1-2】已知圆和，则两圆的位置关系是（ ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【变式训练1-3】圆：与圆：的位置关系是（ ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 【变式训练1-4】已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 【变式训练1-5】已知圆（，为常数）与．若圆心与圆心关于直线对称，则圆与的位置关系是（ ） A．内含 B．相交 C．内切 D．相离 【变式训练1-6】（多选）圆与圆的位置关系可能是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【变式训练1-7】．（多选）以下四个命题表述正确的是（　　） A．直线（3+m）x+4y﹣3+3m＝0（m∈R）恒过定点（﹣3，﹣3） B．圆x2+y2＝4上有且仅有3个点到直线l：x﹣y0的距离都等于1 C．曲线C1：x2+y2+2x＝0与曲线C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0恰有三条公切线，则m＝4 D．已知圆C：x2+y2＝1，点P为直线1上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点 题型02:由圆与圆的位置关系求参数 【典型例题1】若圆与圆相交，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】圆的圆心为原点，半径为， 圆，即的圆心为，半径为， 由于两圆相交，故，即， 解得，即的取值范围是， 故答案为： 【典型例题2】已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于（ ） A．14 B．34 C．14或45 D．34或14 【答案】D 【解析】圆：的圆心为, 圆：的圆心为, ， 因为圆与圆有且仅有一个公共点，故圆与圆相内切或外切， 故或，从而或， 所以或，解得：或 所以实数a等于34或14，故选：D 【变式训练2-1】已知圆和两点、，若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ） A．1 B．6 C．3 D．4 【变式训练2-2】若圆C：上有到的距离为1的点，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】已知圆C1：x2+y2﹣6x+4y+12＝0与圆C2：x2+y2﹣14x﹣2y+a＝0，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a等于（　　） A．14 B．34 C．14或45 D．34或14 【变式训练2-4】若圆C1：（x﹣1）2+y2＝1与圆C2：（x﹣4）2+y2＝r2（r＞0）外切，则r＝　　． 【变式训练2-5】已知圆C1：x2+y2＝25和圆C2：（x﹣3）2+y2＝a2，则“a＝2”是“圆C1与圆C2内切”（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练2-6】．已知圆与圆相外切，则ab的最大值为（　　） A．2 B． C． D．4 【变式训练2-7】．已知圆，圆，M，N分别是圆C1，C2上动点，P是x轴上动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（　　） A． B． C． D． 题型03：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长 ①设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得 (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③ 方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程． 如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程． ②两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心． ③求公共弦长时，几何法比代数法简单易求． 【典型例题1】圆与圆的公共弦所在直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为， 圆心为，半径为， 因为，则， 所以，圆与圆相交， 将两圆方程作差得，即. 因此，两圆的相交弦所在直线的方程为.故选：A. 【典型例题2】圆x2+y2+4x＝0与圆x2+y2+4y＝0的公共弦长为 　　． 【答案】 【解析】先求两圆公共弦方程，再利用弦心距，弦长，半径之间的关系求解． 解：设圆与圆交于A，B两点， 把两圆方程相减，化简得x﹣y＝0， 即lAB：x﹣y＝0， 圆心C1（﹣2，0）到直线AB的距离， 又r1＝2而， 所以， 故答案为：． 【变式训练3-1】已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（　　） A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，1） 【变式训练3-3】若圆x2+y2＝4与圆x2+y2+2ax+4ay﹣9＝0相交，且公共弦长为，则a＝　　． 【变式训练3-4】已知圆与圆交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-5】已知圆和圆交于两点，求公共弦的长． 【变式训练3-6】已知圆：和圆：，则（ ） A．公共弦长为 B．公共弦长为 C．公切线长 D．公切线长 【变式训练3-7】已知圆C过圆与圆的公共点．若圆，的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-8】已知圆与圆交于A、B两点，且平分圆的周长，则 的值为（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 【变式训练3-9】若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则直线AB的方程为 ；线段AB的长为 ．    【变式训练3-10】已知圆与圆相交于两点，则公共弦所在的直线方程为 ， . 【变式训练3-11】）已知圆，圆． (1)求两圆的公共弦长； (2)求两圆的公切线方程． 题型04：两圆的公切线有关问题 【典型例题1】圆O1：x2+y2﹣2y＝0和圆O2：x2+y2﹣8y+12＝0的公切线的条数为 　3　． 【分析】根据已知条件，结合圆心距与两圆半径的关系，即可求解． 【解答】解：∵圆O1：x2+y2﹣2y＝0， ∴x2+（y﹣1）2＝1， ∴圆O1的圆心为O1（0，1），半径r1＝1， ∵圆O2：x2+y2﹣8y+12＝0， ∴圆O2的圆心为O2（0，4），半径r2＝2， ∵|O1O2|＝|4﹣1|＝3＝r1+r2， ∴圆O1与圆O2相外切，即公切线的条数为3条． 故答案为：3． 【典型例题2】已知圆：与圆：有三条公共切线，则正数a的值为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 因为两圆有三条公切线，所以两圆外切， 又两圆圆心距，即，解得（负值舍去）．故选：B． 【变式训练4-1】已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（ ） A．4条 B．2条 C．1条 D．0条 【变式训练4-2】若点到直线的距离分别为1和4，则这样的直线共有（ ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式训练4-3】已知圆与圆有四条公共切线，则实数a不可能是（ ） A． B．3 C． D． 【变式训练4-4】圆与圆至少有三条公切线，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-5】已知圆和圆有且仅有4条公切线，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞） D．（﹣2，3） 【变式训练4-6】若圆x2+y2＝1与圆（x﹣a）2+（y﹣4）2＝16有3条公切线，则正数a＝　　． 【变式训练4-7】写出与圆x2+y2＝1和圆（x﹣4）2+（y+3）2＝16都相切的一条切线方程 　 【变式训练4-8】若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（ ） A． B． C． D． 题型05：圆与圆位置关系中的最值问题 【典型例题1】过圆C1：x2+y2＝1上的点P作圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，|PQ|，要求|PQ|的最大值，只要求|PC2|的最大值，结合圆与圆的相离的性质及两点间距离公式可求． 解：如图所示，|PQ|， 要求|PQ|的最大值，只要求|PC2|的最大值， 因为|PC2|≤|C1C2|+11＝6， 所以|PQ|4，即|PQ|的最大值4． 故选：C． 【典型例题2】已知圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2＝4与圆C2：（x+b）2+（y+1）2＝1外切，则ab的最大值为　　． 【答案】2 【解析】由圆相切性质可求a+b，然后结合基本不等式可求． 解：由C1：（x﹣a）2+（y+2）2＝4与圆C2：（x+b）2+（y+1）2＝1外切， 可得，（a+b）2+1＝9即（a+b）2＝8， ∴ab2， 当且仅当a＝b时取等号，此时ab取得最大值2． 故答案为：2 【变式训练5-1】已知圆，圆，点M，N分别是圆C1、圆C2上的动点，点P为y＝﹣x上的动点，则|PM|+|PN|的最小值是（　　） A．4 B． C． D． 【变式训练5-2】点P在圆C1：x2+y2＝1上，点Q在圆C2：x2+y2﹣6x+8y+24＝0上，则（　　） A．|PQ|的最小值为3 B．|PQ|的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为6x﹣8y﹣25＝0 【变式训练5-3】若点P，Q分别圆C：x2+y2＝1与圆D：（x﹣7）2+y2＝4上一点，则|PQ|的最小值为 　　． 【变式训练5-4】已知圆x2+y2＝4的圆心为O，点P是圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝r2上一动点，若在圆O上存在点Q使得∠QPO＝30°，则正数r的最大值为　． 题型06：圆系方程的应用 【典型例题】求与圆切于点，且过点的圆的方程． 【答案】 【解析】法一：视点为点圆， 构造圆系 代入点，可得， ∴所求的圆的方程为 法二：过点的已知圆的切线方程为， 与已知圆构造圆系 代入点，可得， ∴所求的圆的方程为 【变式训练6-1】求过两圆和的交点，且与直线相切的圆的方程． 【变式训练6-2】圆系中，任意两个圆的位置关系如何？ 【变式训练6-3】经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程是　 ． 【变式训练6-4】已知圆与圆． 求证：圆与圆相交； 求两圆公共弦所在直线的方程； 求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程． 【变式训练6-5】 过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为　 . 【变式训练6-6】 已知直线：，，为坐标原点，动点满足 ，动点的轨迹为曲线 求曲线的方程； 若直线与圆：交于不同的两点，当∠时，求的值； 若，是直线上的动点，过点作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点． 巩固练习 1．已知圆C的圆心在x轴上，点在圆C上，圆心到直线2x﹣y＝0的距离为，则圆C的方程为（　　） A．（x﹣2）2+y2＝3 B．（x+2）2+y2＝9 C．（x±2）2+y2＝3 D．（x±2）2+y2＝9 2．已知动直线l与圆O：x2+y2＝4相交于A，B两点，且满足|AB|＝2，点C为直线l上一点，且满足，若M是线段AB的中点，则的值为（　　） A．3 B． C．2 D．﹣3 3．已知两圆x2+y2+4ax+4a2﹣4＝0和x2+y2﹣2by+b2﹣1＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则的最小值为（　　） A．3 B．1 C． D． 4．已知点P（x，y）是直线kx+y+4＝0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（　　） A．3 B． C． D．2 6．在平面直角坐标系xOy中，M为直线x＝3上一动点，以M为圆心的圆记为圆M，若圆M截x轴所得的弦长恒为4，过点O作圆M的一条切线，切点为P，则点P到直线2x+y﹣10＝0距离最大值为　3　． 7．已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5＝0相交于不同的两点A，B． （1）求圆C1的圆心坐标； （2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程； （3）是否存在实数 k，使得直线L：y＝k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由． 8．已知圆C过坐标原点O，且与x轴，y轴分别交于点A，B，圆心坐标C（t，）（t∈R，t≠0） （1）求证：△AOB的面积为定值； （2）直线2x+y﹣4＝0与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程； （3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+2＝0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 圆与圆的位置关系 目 录 思维导图 1 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 4 题型归纳 5 题型01：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长 5 题型02：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长 10 题型03：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长 13 题型04：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长 20 题型05：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长 24 题型06：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长 28 巩固提升 34 两圆位置关系是高考中解析几何部分的重要考点之一，以下是相关分析： 考查频率与题型 1.考查频率：两圆位置关系在高考中属于常考内容，通常每 2-3 年就会有涉及，一般会结合圆的方程、直线与圆的位置关系等知识综合考查。 2.题型分布：主要以选择题或填空题的形式出现，偶尔也会在解答题的某一问中涉及，分值一般为 5 分。 核心考点 1.位置关系的判断：根据两圆的圆心距d与两圆半径R、r的大小关系判断两圆位置关系，如已知两圆的标准方程，可先确定圆心坐标与半径，再计算圆心距来判断位置关系。 2.公共弦相关问题：当两圆相交时，两圆方程相减可得到公共弦所在直线方程。对于公共弦长的求解，可联立两圆方程求出交点坐标，再用两点间距离公式计算；也可利用几何法，根据圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，结合勾股定理求解。 3.公切线问题：根据两圆位置关系确定公切线条数， 外离时有 4 条， 外切时有 3 条， 相交时有 2 条， 内切时有 1 条， 内含时没有。 求公切线方程通常需结合直线与圆相切的性质，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径来求解。如 2022 年新高考一卷第 14 题，就考查了求与两圆都相切的直线方程。 命题特点与趋势 1.命题特点：题目难度一般为中等，注重对基础知识和基本方法的考查，常与方程思想、数形结合思想相结合。例如通过圆的方程确定圆心和半径，再利用几何图形分析两圆位置关系及相关量的计算。 2.命题趋势：未来高考仍将以两圆位置关系的基本判断及相关衍生问题（如公共弦、公切线）为重点，可能会更多地与直线与圆的位置关系、圆锥曲线等知识进行综合命题，也可能会结合实际情境或平面向量等知识，增加问题的综合性和灵活性，但本质还是对两圆位置关系核心知识的考查。 复习时，考生需熟练掌握两圆位置关系的判断方法及相关性质，多做一些与直线与圆综合的题目，提高运用知识解决问题的能力和计算能力。 两圆位置关系学习目标 1. 知识理解：掌握两圆位置关系的概念，明确外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系的定义。 2. 核心掌握：熟练运用圆心距d与两圆半径R、r的数量关系，精准判断两圆的位置关系；反之，能根据两圆位置关系确定d、R、r之间的关系。 3. 技能运用： （1） 会求两圆的公共弦所在直线方程，能利用几何法或代数法计算公共弦长。 （2） 能根据两圆位置关系判断公切线条数，掌握求两圆公切线方程的基本方法。 4. 思想提升：在解题中体会并运用数形结合思想、方程思想，提高综合运用圆的相关知识分析和解决问题的能力。 5. 应用拓展：能将两圆位置关系知识与直线与圆的位置关系、圆的方程等知识融合，解决综合性问题。 知识点一、圆与圆的位置关系及其判定 1、几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与，的关系 2、代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元，一元二次方程 知识点二、两圆的公切线 1、定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线； 2、公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 知识点三、两圆公共弦所在直线方程 圆：， 圆：， 则为两相交圆公共弦方程. 【注意】 （1）若与相切，则表示其中一条公切线方程； （2）若与相离，则表示连心线的中垂线方程. 知识点四、利用圆系方程求圆的方程 1、过直线与圆的交点的圆系方程是： （） 2、以为圆心的同心圆系方程是：； 3、与圆同心的圆系方程是； 4、过同一定点的圆系方程是． 两圆位置关系解题策略 一、核心依据：抓住“圆心距与半径的数量关系” 两圆位置关系的判断及相关计算，均围绕圆心距d与两圆半径R、r（R\geq r）的关系展开，这是解题的根本 • 外离：d > R + r • 外切：d = R + r • 相交：|R - r| < d < R + r • 内切：d = |R - r| • 内含：0 ≤d < | R - r| 二、分类型解题策略 1. 两圆位置关系的判断 解题步骤： （1）. 求两圆的圆心坐标(, 、(, )和半径R、r（若圆方程为一般式，先化为标准式： + = （2）. 用两点间距离公式算圆心距：d =。 （3）. 对比d与|R + r|、|R - r|的大小，确定位置关系。 2. 公共弦相关问题 求公共弦所在直线方程：两圆方程相减（消去、项），所得直线方程即为公共弦所在直线方程（两圆相交时有效）。 求公共弦长： 代数法：联立公共弦方程与其中一个圆的方程，解出交点坐标，用两点间距离公式计算。 几何法（推荐，更简便）： （1）. 取其中一圆，求圆心到公共弦所在直线的距离（用点到直线距离公式）。 （2）. 结合该圆半径R，由勾股定理得弦长 3. 公切线相关问题 （1） 判断公切线条数：直接根据两圆位置关系确定，外离4条、外切3条、相交2条、内切1条、内含0条。 （2） 求公切线方程： . 若两圆半径相等（R = r），公切线为与两圆心连线平行的直线，先算圆心连线斜率，再设直线方程，用圆心到直线距离等于半径求解。 . 若两圆半径不等，设公切线方程为Ax + By + C = 0，利用两圆心到直线的距离分别等于各自半径，列方程组求解；若直线斜率不存在，直接验证x = k形式是否符合条件。 三、常用思想方法 1. 数形结合思想：画图辅助分析，通过图形直观判断位置关系，明确圆心、半径、圆心距的几何意义，减少计算误差。 2. 方程思想：将几何问题转化为方程问题，如通过联立圆的方程求交点，利用距离公式列方程求参数（如圆心坐标、半径、直线方程系数等）。 四、易错点提醒 1.计算圆心距时，注意圆心坐标的准确性，尤其是圆方程为一般式时，需正确转化为标准式求圆心和半径。 2.求公切线时，不要遗漏斜率不存在的直线（即垂直于x轴的直线）。 3.两圆内含时，要注意“d = 0”的特殊情况（两圆同心）。 题型01：圆与圆的位置关系的判断及求参 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0). 方法 位置关系　　　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 【典型例题1】圆C1：x2+y2﹣14x＝0与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝15的位置关系为（　　） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【解析】根据已知条件，结合两圆半径与圆心距之间的关系，即可求解． 解：圆C1：x2+y2﹣14x＝0的圆心O（7，0），半径r1＝7， 圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝15的圆心A（3，4），半径r2， ∵两圆心之间的距离|AO|4∈， ∴两圆相交． 故选：A． 【典型例题2】已知圆，圆，则同时与圆O1和圆O2相切的直线有（　　） A．4条 B．2条 C．1条 D．0条 【答案】B 【解析】求出两个圆的圆心和半径，根据圆圆之间的位置关系的条件即可得到结论． 解：圆O1：x2+y2＝4圆心为O1（0，0），半径为R＝2， 圆O2：x2+y2﹣2x﹣2y﹣4＝0的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝6，圆心为O2（1，1），半径为r， 则2＞|O1O2|2， 故圆O1和圆O2的位置关系是相交， 所以同时与圆O1和圆O2相切的直线有2条， 故选：B． 【变式训练1-1】已知圆C1：x2+（y﹣a2）2＝a4的圆心到直线x﹣y﹣2＝0的距离为2，则圆C1与圆C2：x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0的位置关系是（　　） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】B 【解析】解：圆的圆心为C1（0，a2），半径r1＝a2，a≠0， 由圆的圆心到直线x﹣y﹣2＝0的距离为， 可得2，解得a＝±， 可得圆C1的圆心为（0，2），半径为2， 而圆的圆心为（1，2），半径为r2＝1， 由|C1C2|＝1＝r1﹣r2＝2﹣1， 可得两圆的位置关系为内切． 故选：B． 【变式训练1-2】已知圆和，则两圆的位置关系是（ ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】C 【解析】由题意，知圆的圆心，半径. 圆的方程可化为，则其圆心，半径. 因为两圆的圆心距，故两圆外切，故选：C. 【变式训练1-3】圆：与圆：的位置关系是（ ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 【答案】A 【解析】圆圆心，半径，圆圆心，半径， 两圆心之间的距离，故两圆内切，故选：A. 【变式训练1-4】已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【解析】因为圆的面积被直线平分， 所以圆的圆心在直线上， 所以，解得，所以圆的圆心为，半径为． 因为圆的圆心为，半径为，所以， 故，所以圆与圆的位置关系是相交．故选：B． 【变式训练1-5】已知圆（，为常数）与．若圆心与圆心关于直线对称，则圆与的位置关系是（ ） A．内含 B．相交 C．内切 D．相离 【答案】B 【解析】，，半径为， 关于直线的对称点为，即， 所以，圆半径为， ，又， 所以两圆相交，故选：B． 【变式训练1-6】（多选）圆与圆的位置关系可能是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】ABC 【解析】整理为：， 从而圆心为，半径为2，而的圆心为，半径为2， 从而两圆的圆心距为， 当，即或时，此时两圆外离； 当，此时，此时两圆外切； 由于恒成立，故当，即时，两圆相交； 且，故两圆不会内含或内切， 综上：两圆得位置关系可能是外离，外切或相交，故选：ABC 【变式训练1-7】．（多选）以下四个命题表述正确的是（　　） A．直线（3+m）x+4y﹣3+3m＝0（m∈R）恒过定点（﹣3，﹣3） B．圆x2+y2＝4上有且仅有3个点到直线l：x﹣y0的距离都等于1 C．曲线C1：x2+y2+2x＝0与曲线C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0恰有三条公切线，则m＝4 D．已知圆C：x2+y2＝1，点P为直线1上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点 【答案】BCD 【解析】解：由（3+m）x+4y﹣3+3m＝0，得3x+4y﹣3+m（x+3）＝0， 联立，解得， ∴直线（3+m）x+4y﹣3+3m＝0（m∈R）恒过定点（﹣3，3），故A错误； ∵圆心（0，0）到直线l：x﹣y0的距离等于1，∴直线与圆相交，而圆的半径为2， 故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交， 因此圆上有三个点到直线l：x﹣y0的距离等于1，故B正确； 两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线C1：x2+y2+2x＝0化为标准式（x+1）2+y2＝1， 曲线C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0化为标准式（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20﹣m＞0， 圆心距为1，解得m＝4，故C正确； 设点P的坐标为（m，n），∴，以OP为直径的圆的方程为x2+y2﹣mx﹣ny＝0， 两圆的方程作差得直线AB的方程为：mx+ny＝1，消去n得，m（x）+2y﹣1＝0， 令x0，2y﹣1＝0，解得x，y，故直线AB经过定点（，），故D正确． 故选：BCD． 题型02:由圆与圆的位置关系求参数 【典型例题1】若圆与圆相交，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】圆的圆心为原点，半径为， 圆，即的圆心为，半径为， 由于两圆相交，故，即， 解得，即的取值范围是， 故答案为： 【典型例题2】已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于（ ） A．14 B．34 C．14或45 D．34或14 【答案】D 【解析】圆：的圆心为, 圆：的圆心为, ， 因为圆与圆有且仅有一个公共点，故圆与圆相内切或外切， 故或，从而或， 所以或，解得：或 所以实数a等于34或14，故选：D 【变式训练2-1】已知圆和两点、，若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ） A．1 B．6 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由得点在圆上， 所以，点在圆上，又在圆上， 所以，两圆有交点， 因为圆的圆心为原点，半径为，圆的圆心为，半径为. 所以，，即 所以，的最小值为，故选：D 【变式训练2-2】若圆C：上有到的距离为1的点，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将圆C的方程化为标准方程得，所以． 因为圆C上有到的距离为1的点， 所以圆C与圆：有公共点， 所以． 因为，所以， 解得，故选：C． 【变式训练2-3】已知圆C1：x2+y2﹣6x+4y+12＝0与圆C2：x2+y2﹣14x﹣2y+a＝0，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a等于（　　） A．14 B．34 C．14或45 D．34或14 【分析】两个圆有且只有一个公共点，两个圆内切或外切，分别求出a，即可得出结论． 【解答】解：圆C1：x2+y2﹣6x+4y+12＝0，即（x﹣3）2+（y+2）2＝1，圆心（3，﹣2），半径为1， 圆C2：x2+y2﹣14x﹣2y+a＝0，即（x﹣7）2+（y﹣1）2＝50﹣a，圆心（7，1），半径为， ∵两个圆有且只有一个公共点， ∴两个圆内切或外切，圆心距：5， 内切时，51，解得a＝14，外切时，51，解得a＝34， 故选：D． 【变式训练2-4】若圆C1：（x﹣1）2+y2＝1与圆C2：（x﹣4）2+y2＝r2（r＞0）外切，则r＝　　． 【答案】2 【解析】根据已知条件，结合圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解． 解：∵圆C1：（x﹣1）2+y2＝1与圆C2：（x﹣4）2+y2＝r2（r＞0）外切， ∴，解得r＝2． 故答案为：2． 【变式训练2-5】已知圆C1：x2+y2＝25和圆C2：（x﹣3）2+y2＝a2，则“a＝2”是“圆C1与圆C2内切”（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】直接利用两圆相内切的应用和充分条件和必要条件的应用求出结果． 解：当圆C1：x2+y2＝25和圆C2：（x﹣3）2+y2＝a2，相内切时， 则3＝5﹣a或3＝a﹣5， 解得a＝2或8， 当a＝2时，两圆相内切． 故则“a＝2”是“圆C1与圆C2内切”的充分不必要条件； 故选：A． 【变式训练2-6】．已知圆与圆相外切，则ab的最大值为（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【解析】解：圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2＝4的圆心为C1（a，﹣2），半径r1＝2； 圆C2：（x+b）2+（y+1）2＝1的圆心为C2（﹣b，﹣1），半径r2＝1； 由圆C1与圆C2相外切，得|C1C2|＝r1+r2， 即2+1， ∴（a+b）2＝8； 由基本不等式，得 ab2， 当且仅当a＝b＝±时取“＝”， ∴ab的最大值为2． 故选：A． 【变式训练2-7】．已知圆，圆，M，N分别是圆C1，C2上动点，P是x轴上动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1的圆心为C1：（2，3），半径等于1， C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9的圆心C2（3，4），半径等于3， 则|PN|﹣|PM|≤（|PC2|+3）﹣（|PC1|﹣1）＝4+|PC2|﹣|PC1|． 则4+|PC2|﹣|PC1|≤|C1C2|+4＝4． 故选：D． 题型03：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长 ①设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得 (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③ 方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程． 如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程． ②两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心． ③求公共弦长时，几何法比代数法简单易求． 【典型例题1】圆与圆的公共弦所在直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为， 圆心为，半径为， 因为，则， 所以，圆与圆相交， 将两圆方程作差得，即. 因此，两圆的相交弦所在直线的方程为.故选：A. 【典型例题2】圆x2+y2+4x＝0与圆x2+y2+4y＝0的公共弦长为 　　． 【答案】 【解析】先求两圆公共弦方程，再利用弦心距，弦长，半径之间的关系求解． 解：设圆与圆交于A，B两点， 把两圆方程相减，化简得x﹣y＝0， 即lAB：x﹣y＝0， 圆心C1（﹣2，0）到直线AB的距离， 又r1＝2而， 所以， 故答案为：． 【变式训练3-1】已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 两式相减得公共弦所在直线方程为：， 分别取，得， 解得，即故选：A 【变式训练3-2】已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（　　） A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，1） 【答案】A 【解析】先求出两圆公共弦所在直线，再通过直线说明所过的定点． 解：∵圆，圆，将两圆方程对减得公共弦所在直线方程为： k（x+y）﹣2（y+1）＝0，令，得，∴公共弦所在直线过定点（1，﹣1）， 故选：A． 【变式训练3-3】若圆x2+y2＝4与圆x2+y2+2ax+4ay﹣9＝0相交，且公共弦长为，则a＝　　． 【答案】 【解析】先求出两圆的公共弦直线方程，再结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解． 解：圆x2+y2＝4与圆x2+y2+2ax+4ay﹣9＝0的方程相减即为公共弦所在直线方程， 2ax+4ay﹣5＝0， 圆x2+y2＝4的圆心（0，0）到公共弦距离d， 则公共弦长度为，解得a． 故答案为：． 【变式训练3-4】已知圆与圆交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，圆与圆相交，且公共弦所在直线方程为. 又圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 由弦长公式得. 故选：B. 【变式训练3-5】已知圆和圆交于两点，求公共弦的长． 【答案】 【解析】由圆和圆， 两式相减得，即， 即两圆公共弦所在直线的方程为， 圆，即， 所以圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以. 【变式训练3-6】已知圆：和圆：，则（ ） A．公共弦长为 B．公共弦长为 C．公切线长 D．公切线长 【答案】B 【解析】因为圆的圆心为，半径； 对圆，其圆心为，半径， 圆心距，又， 故两圆相交，设交于两点. 故所在直线方程为：， 整理得：，故到直线的距离， 故.故选：B. 【变式训练3-7】已知圆C过圆与圆的公共点．若圆，的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题，圆，的公共弦为和的两式相减， 化简可得， 又到的距离 ， 故公共弦长为， 故圆C的半径为，故圆C的面积为，故选：B 【变式训练3-8】已知圆与圆交于A、B两点，且平分圆的周长，则 的值为（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【解析】因为圆与圆交于A、B两点， 所以弦所在直线方程为， 因为圆的圆心为，平分圆的周长， 所以，在弦所在直线上，即， 所以，故选：C 【变式训练3-9】若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则直线AB的方程为 ；线段AB的长为 ．    【答案】 x＝±1 4 【解析】连接OO1，记AB与OO1的交点为C，如图所示，在Rt△OO1A中，|OA|＝，|O1A|＝， ∴|OO1|＝5，∴|AC|＝＝2，∴|AB|＝4． 由|OO1|＝5，得，所以，联立可得 ，解得 直线AB的方程为x＝±1． 故答案为：①；②4. 【变式训练3-10】已知圆与圆相交于两点，则公共弦所在的直线方程为 ， . 【答案】 ； 2 【解析】由圆与圆，可得公共弦所在的直线方程为：，即. 因为圆的圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离为1，所以. 故答案为：；2. 【变式训练3-11】）已知圆，圆． (1)求两圆的公共弦长； (2)求两圆的公切线方程． 【答案】(1)，(2)和 【解析】（1）易知圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 两圆方程、相减可得公共弦直线方程为 ，所以点到的距离为， 所以公共弦长为； （2）因为圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 由图象可知，有一条公切线为：， 直线与的交点为， 设另一条公切线的方程为，也即， 则点到此公切线的距离，解得：， 所以另一条公切线的方程为：， 综上，两圆的公切线方程为和． 题型04：两圆的公切线有关问题 【典型例题1】圆O1：x2+y2﹣2y＝0和圆O2：x2+y2﹣8y+12＝0的公切线的条数为 　3　． 【分析】根据已知条件，结合圆心距与两圆半径的关系，即可求解． 【解答】解：∵圆O1：x2+y2﹣2y＝0， ∴x2+（y﹣1）2＝1， ∴圆O1的圆心为O1（0，1），半径r1＝1， ∵圆O2：x2+y2﹣8y+12＝0， ∴圆O2的圆心为O2（0，4），半径r2＝2， ∵|O1O2|＝|4﹣1|＝3＝r1+r2， ∴圆O1与圆O2相外切，即公切线的条数为3条． 故答案为：3． 【典型例题2】已知圆：与圆：有三条公共切线，则正数a的值为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 因为两圆有三条公切线，所以两圆外切， 又两圆圆心距，即，解得（负值舍去）．故选：B． 【变式训练4-1】已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（ ） A．4条 B．2条 C．1条 D．0条 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为， 因为， 所以，即圆和圆相交， 则同时与圆和圆相切的直线有2条.故选：B 【变式训练4-2】若点到直线的距离分别为1和4，则这样的直线共有（ ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】到点距离为1的直线， 可看作以为圆心1为半径的圆的切线， 同理到点距离为的直线， 可看作以为圆心为半径的圆的切线， 故所求直线为两圆的公切线， 又，所以， 故两圆相交，公切线有条，故选：C． 【变式训练4-3】已知圆与圆有四条公共切线，则实数a不可能是（ ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 因为两圆有四条公切线，所以两圆外离， 又两圆圆心距，即， 解得或， A，B，C均符合要求，故选D. 【变式训练4-4】圆与圆至少有三条公切线，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将化为标准方程得， 即圆心为半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆至少有三条公切线， 所以两圆的位置关系为外切或相离， 所以，即， 解得，故选：D 【变式训练4-5】已知圆和圆有且仅有4条公切线，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞） D．（﹣2，3） 【答案】A 【解析】先由公切线的条数判断两圆的位置关系，再列出方程，求解即可． 解：由圆m2， 可得O2（3m，4m），半径为|m|， 则， ∵有且仅有4条公切线， ∴圆O1、圆O2相外离， 有5|m|＞4+|m|， 解得m＜﹣1或m＞1， ∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）． 故选：A． 【变式训练4-6】若圆x2+y2＝1与圆（x﹣a）2+（y﹣4）2＝16有3条公切线，则正数a＝　　． 【答案】3 【解析】根据条件可知两圆外切，由圆心距等于两圆半径之和列出方程，计算即可． 解：由圆x2+y2＝1与圆（x﹣a）2+（y﹣4）2＝16有3条公切线可知，两圆外切， ∴，∴a＝±3，又a＞0，∴a＝3， 故答案为：3． 【变式训练4-7】写出与圆x2+y2＝1和圆（x﹣4）2+（y+3）2＝16都相切的一条切线方程 　 【答案】x＝﹣1（填4x﹣3y﹣5＝0；24x+7y+25＝0都正确） 【解析】由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．分别求出三条切线方程，则答案可求． 解：圆x2+y2＝1的圆心坐标为O（0，0），半径r1＝1， 圆（x﹣4）2+（y+3）2＝16的圆心坐标为C（4，﹣3），半径r2＝4， 如图： ∵|OC|＝r1+r2，∴两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条． ∵kOC，∴l1的斜率为，设直线l1：yx+b，即4x﹣3y+3b＝0， 由1，解得b（负值舍去），则l1：4x﹣3y+5＝0； 由图可知，l2：y＝1；l2与l3关于直线yx对称， 联立，解得l2与l3的一个交点为（，1），在l2上取一点（0，1）， 该点关于yx的对称点为（x0，y0），则，解得对称点为（，）． ∴，则l3：y（x）+1，即24x+7y+25＝0． ∴与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程为： y＝1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）． 故答案为：x＝﹣1（填4x﹣3y﹣5＝0；24x+7y+25＝0都正确）． 【变式训练4-8】若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示，设直线交轴于点， 由于直线与圆， 圆都相切，切点分别为、， 则，，， ，为的中点， 为的中点，， 由勾股定理可得，故选：C. 题型05：圆与圆位置关系中的最值问题 【典型例题1】过圆C1：x2+y2＝1上的点P作圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，|PQ|，要求|PQ|的最大值，只要求|PC2|的最大值，结合圆与圆的相离的性质及两点间距离公式可求． 解：如图所示，|PQ|， 要求|PQ|的最大值，只要求|PC2|的最大值， 因为|PC2|≤|C1C2|+11＝6， 所以|PQ|4，即|PQ|的最大值4． 故选：C． 【典型例题2】已知圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2＝4与圆C2：（x+b）2+（y+1）2＝1外切，则ab的最大值为　　． 【答案】2 【解析】由圆相切性质可求a+b，然后结合基本不等式可求． 解：由C1：（x﹣a）2+（y+2）2＝4与圆C2：（x+b）2+（y+1）2＝1外切， 可得，（a+b）2+1＝9即（a+b）2＝8， ∴ab2， 当且仅当a＝b时取等号，此时ab取得最大值2． 故答案为：2 【变式训练5-1】已知圆，圆，点M，N分别是圆C1、圆C2上的动点，点P为y＝﹣x上的动点，则|PM|+|PN|的最小值是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】B 【解析】先将P到圆上点的距离最小值转化为P到圆心的距离，再利用对称性求出直线同侧的两点到直线上点的距离之和的最小值，从而得问题的最小值． 解：如图∵PM≥PC1﹣r1＝PC1﹣1，PN≥PC2﹣r2＝PC2﹣3， ∴PM+PN≥PC1+PC2﹣4，如图作出C1（1，1）关于y＝﹣x的对称点A，则A为（﹣1，﹣1），又C2为（4，5）， ∴，当且仅当A、P、C2三点共线时取得等号， ∴PM+PN≥PC1+PC2﹣4＝PA+PC2﹣4≥AC2﹣4， |PM|+|PN|的最小值是． 故选：B． 【变式训练5-2】点P在圆C1：x2+y2＝1上，点Q在圆C2：x2+y2﹣6x+8y+24＝0上，则（　　） A．|PQ|的最小值为3 B．|PQ|的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为6x﹣8y﹣25＝0 【答案】ABC 【解析】根据题意，通过圆的方程分析两个圆的圆心和半径，对于A、B，由圆与圆的位置关系分析|PO|的最小值、最大值，可得A错误，B正确；对于C，由两个圆的圆心坐标，即可得两个圆心所在的直线斜率，可得C正确，对于D，分析两个圆的位置关系可得两圆外切，不存在公共弦，可得D错误，即可得答案． 【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2＝1，其圆心C1（0，0），半径R＝1， 圆C2：x2+y2﹣6x+8y+24＝0，即（x﹣3）2+（y+4）2＝1，其圆心C2（3，﹣4），半径r＝1， 圆心距|C1C2|5， 则|PO|的最小值为|C1C2|﹣R﹣r＝3，最大值为|C1C2|+R+r＝7，故A正确，B正确； 对于C，圆心C1（0，0），圆心C2（3，﹣4），则两个圆心所在的直线斜率k，C正确， 对于D，两圆圆心距|C1C2|＝5，有|C1C2|＞R+r＝2，两圆外离，不存在公共弦，D错误． 故选：ABC． 【变式训练5-3】若点P，Q分别圆C：x2+y2＝1与圆D：（x﹣7）2+y2＝4上一点，则|PQ|的最小值为 　　． 【答案】4 【解析】根据两圆位置关系，数形结合即可求解． 解：∵C（0，0），r1＝1，D（7，0），r2＝2， ∴|CD|＝7＞r1+r2＝3，∴两圆相离， ∴|PQ|的最小值为：|CD|﹣r1﹣r2＝7﹣1﹣2＝4． 故答案为：4． 【变式训练5-4】已知圆x2+y2＝4的圆心为O，点P是圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝r2上一动点，若在圆O上存在点Q使得∠QPO＝30°，则正数r的最大值为　． 【答案】 【解析】依题意，点P即满足x2+y2≤16，又满足（x﹣1）2+（y﹣1）2＝r2，作图观察即可得出结果． 解：要求r的最大值，考虑P在圆O外， 若存在Q使得∠QPO＝30°，则，故OP≤4， 即P的轨迹为x2+y2≤16， 又P在（x﹣1）2+（y﹣1）2＝r2上， 由图象可知，r的最大值为． 故答案为：． 题型06：圆系方程的应用 【典型例题】求与圆切于点，且过点的圆的方程． 【答案】 【解析】法一：视点为点圆， 构造圆系 代入点，可得， ∴所求的圆的方程为 法二：过点的已知圆的切线方程为， 与已知圆构造圆系 代入点，可得， ∴所求的圆的方程为 【变式训练6-1】求过两圆和的交点，且与直线相切的圆的方程． 【答案】或. 【解析】设所求的圆的方程为， 即 圆心，半径 圆心到直线的距离 ∵所求圆与直线相切， ∴，即 ∴所求的圆的方程为，即 又圆的圆心到直线的距离 ∴圆也符合题意， ∴所求的圆的方程为或. 【变式训练6-2】圆系中，任意两个圆的位置关系如何？ 【答案】 【解析】圆系方程可化为： ∵，∴，即 易知圆心到直线的距离恰等于圆的半径， 故直线与圆相切， 即上述方程组有且只有一个解， 从而圆系方程所表示的任意两个圆有且只有一个公共点， 故它们的关系是外切或内切． 【变式训练6-3】经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程是　 ． 【答案】 【解析】方法一 (面积最小的圆是以两个交点为直径的圆) 圆的方程可化为． 圆心坐标为，半径为； 圆心到直线的距离为． 设直线和圆的交点为． 则． 过点的最小圆半径为． 联立得，故， 则圆心的横坐标为：，纵坐标为， 最小圆的圆心为， 最小圆的方程为． 方法二 依题意， 可设过点两点圆的方程为， (利用圆系方程把满足题意的所有圆表示出来，再用代数的方法求面积最小的圆) 整理得 若要使得圆的面积最小，则只需半径最小，即取到最小值， 而，当时取到最小值， 此时圆的方程为. 【点拨】本题是过直线与圆交点的圆系问题.方法一可以说是从几何的角度得出思路求解，而方法二算是“代数法”，略显简洁些. 【变式训练6-4】已知圆与圆． 求证：圆与圆相交； 求两圆公共弦所在直线的方程； 求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】 【解析】(1)证明：(圆心距两圆相交) 圆：化为标准方程为 ， 圆的圆心坐标为，半径为 , ，两圆相交； (两圆方程相减所得方程即是公共弦所在直线方程) 将两圆方程相减，可得， 即两圆公共弦所在直线的方程为； 方法一 (先求出两个交点，再求圆心与半径得圆的方程，思路很直接) 由解得，(这里还是有些计算量的) 则交点为， 圆心在直线上，设圆心为， 则，解得， 故圆心，半径， 所求圆的方程为． 方法二 设所求圆的方程为 即 圆心坐标为 代入直线可得：， 所求圆的方程为． 【点拨】此题是过圆与圆交点的圆系问题. ① 两圆之间的位置关系看圆心距与两圆半径与之间的关系； ② 过两圆，交点的圆系方程为 此圆系不含 特别地，当时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. ③ 方法的选取在于思考难度、计算量、严谨性性等. 【变式训练6-5】 过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为　 . 【答案】 【解析】方法一 由图易得一切点为， 连接点与圆心直线的斜率， 由切线性质可知， 又直线过点 直线方程为. (结合图形的特殊性，利用平几的知识求解，不具有一般性) 方法二 圆的圆心为，半径为， 以为直径的圆的方程为， 将两圆的方程相减可得公共弦的方程， (这里把直线看成是两个圆公共弦所在的直线) 方法三 过圆外一点引圆的两条切线， 切点分别是 , 则直线的方程为. 所以有，化简得．(使用结论直接快捷) 【点拨】本题是圆的切点弦问题. 方法三直接快捷，但若是只会直接套用，达不到锻炼数学思维的能力 , 应多比较多种方法的优略性，掌握解题方法的本质. 【变式训练6-6】 已知直线：，，为坐标原点，动点满足 ，动点的轨迹为曲线 求曲线的方程； 若直线与圆：交于不同的两点，当∠时，求的值； 若，是直线上的动点，过点作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点． 【答案】 【解析】设点，依题意知， 整理得， 曲线的方程为 点为圆心，∠， 点到的距离， ； 由题意可知：四点共圆且在以为直径的圆上， (对角互补的四边形的四顶点共圆) 设，则圆心，半径 得 即 又在圆：上 即 (直线是两圆的公共弦所在直线，故两圆方程相减便得其方程) 由得 ， 直线过定点. 巩固练习 1．已知圆C的圆心在x轴上，点在圆C上，圆心到直线2x﹣y＝0的距离为，则圆C的方程为（　　） A．（x﹣2）2+y2＝3 B．（x+2）2+y2＝9 C．（x±2）2+y2＝3 D．（x±2）2+y2＝9 【答案】D 【解析】解：设圆C的圆心（a，0）在x轴正半轴上，则圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2（a＞0）， 由点M（0，）在圆上，且圆心到直线2x﹣y＝0的距离为， 得，解得a＝2，r＝3． ∴圆C的方程为：（x﹣2）2+y2＝9． 同理设圆C的圆心（a，0）在x轴负半轴上，则圆的方程为（x+a）2+y2＝r2（a＜0）， ∴圆C的方程为：（x+2）2+y2＝9． 综上，圆C的方程为：（x±2）2+y2＝9． 故选：D． 2．已知动直线l与圆O：x2+y2＝4相交于A，B两点，且满足|AB|＝2，点C为直线l上一点，且满足，若M是线段AB的中点，则的值为（　　） A．3 B． C．2 D．﹣3 【答案】A 【解析】解：动直线l与圆O：x2+y2＝4相交于A，B两点，且满足|AB|＝2， 则△OAB为等边三角形， 于是可设动直线l为y（x+2）， 根据题意可得B（﹣2，0），A（﹣1，）， ∵M是线段AB的中点， ∴M（，） 设C（x，y）， ∵， ∴（﹣2﹣x，﹣y）（﹣1﹣x，y）， ∴， 解得， ∴C（，）， ∴（，）•（，）3， 故选：A． 3．已知两圆x2+y2+4ax+4a2﹣4＝0和x2+y2﹣2by+b2﹣1＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则的最小值为（　　） A．3 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】解：两圆的标准方程为（x+2a）2+y2＝4和x2+（y﹣b）2＝1， 圆心为（﹣2a，0），和（0，b），半径分别为2，1， 若两圆恰有三条公切线， 则等价为两圆外切， 则满足圆心距2+1＝3， 即4a2+b2＝9， 则a2b2＝1， 则（）（a2b2）21， 故选：B． 4．已知点P（x，y）是直线kx+y+4＝0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（　　） A．3 B． C． D．2 【答案】D 【解析】解：圆C：x2+y2﹣2y＝0的圆心（0，1），半径是r＝1， 由圆的性质知：S四边形PACB＝2S△PBC，四边形PACB的最小面积是2， ∴S△PBC的最小值＝1rd（d是切线长）∴d最小值＝2 圆心到直线的距离就是PC的最小值， ∵k＞0，∴k＝2 故选：D． 5．已知点P（x，y）是直线kx+y+4＝0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为多少？ 【答案】 【解析】解：圆C：x2+y2﹣2y＝0⇒x2+（y﹣1）2＝1，圆心C（0，1），半径为1；…（2分） 如图，∵PA＝PB，CB⊥PB，CA⊥PA， ∴（4分）． ∵SPACD≥2，∴PA≥2…（6分）． ∵PC2＝PA2+CA2＝PA2+1，∴PC2≥5 即点C到直线的距离为（8分） 所以，…（11分） 解得：k＝±2（负舍）…（12分） 所以k＝2…（13分） 6．在平面直角坐标系xOy中，M为直线x＝3上一动点，以M为圆心的圆记为圆M，若圆M截x轴所得的弦长恒为4，过点O作圆M的一条切线，切点为P，则点P到直线2x+y﹣10＝0距离最大值为　3　． 【答案】3 【解析】解：设M（3，t），P（x0，y0），因为OP⊥PM，所以0， 可得x02+y02﹣3x0﹣ty0＝0 ①又圆M截x轴所得的弦长为4， 所以4+t2＝（x0﹣3）2+（y0﹣t）2， 整理得x02+y02﹣6x0﹣2ty0+5＝0 ② 由①②得x02+y02＝5，即点P在圆x2+y2＝5上， 于是P到直线2x+y﹣10＝0距离的最大值为． 故答案为：3． 7．已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5＝0相交于不同的两点A，B． （1）求圆C1的圆心坐标； （2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程； （3）是否存在实数 k，使得直线L：y＝k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】 【解析】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5＝0， 整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2＝4， ∴圆C1的圆心坐标为（3，0）； （2）设当直线l的方程为y＝kx、A（x1，y1）、B（x2，y2）， 联立方程组， 消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5＝0， 由Δ＝36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2 由韦达定理，可得x1+x2， ∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中k， ∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x）2+y2，其中x≤3； （3）结论：当k∈[，]∪{，}时，直线L：y＝k（x﹣4）与曲线C只有一个交点． 理由如下： 联立方程组， 消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2＝0， 令Δ＝（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2＝0，解得k＝±， 又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±， ∴当直线L：y＝k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时， k的取值范围为[，]∪{，}． 8．已知圆C过坐标原点O，且与x轴，y轴分别交于点A，B，圆心坐标C（t，）（t∈R，t≠0） （1）求证：△AOB的面积为定值； （2）直线2x+y﹣4＝0与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程； （3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+2＝0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标． 【答案】 【解析】（1）证明：由题设知，圆C的方程为（x﹣t）2+（y）2＝t2， 化简得x2﹣2tx+y2y＝0， 当y＝0时，x＝0或2t，则A（2t，0）； 当x＝0时，y＝0或，则B（0，）， ∴S△AOB|OA|•|OB||2t|•||＝4为定值． 解：（2）∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上， 设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C、H、O三点共线， 则直线OC的斜率k， ∴t＝2或t＝﹣2． ∴圆心为C（2，1）或C（﹣2，﹣1）， ∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5或（x+2）2+（y+1）2＝5， 由于当圆方程为（x+2）2+（y+1）2＝5时，直线2x+y﹣4＝0到圆心的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去， ∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5． （3）点B（0，2）关于直线x+y+2＝0的对称点为B′（﹣4，﹣2）， 则|PB|+|PQ|＝|PB′|+|PQ|≥|B′Q|， 又B′到圆上点Q的最短距离为 |B′C|﹣r32． 故|PB|+|PQ|的最小值为2，直线B′C的方程为yx， 则直线B′C与直线x+y+2＝0的交点P的坐标为（，）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $