专题03 均值不等式及其应用（高效培优期中专项训练）数学人教B版2019高一必修第一册

专题03均值不等式及其应用 考点01 基本不等式的概念理解 考点02 基本不等式求最值 考点03 利用基本不等式求参数 考点04 利用基本不等式比较大小 考点01 基本不等式的概念理解 1.(2021·广东深圳市)(多选)下列结论不正确的是( ) A．当时， B．当时，的最小值是2 C．当时，的最小值是 D．设，，且，则的最小值是 【解析】A. 当时，，当且仅当，即时等号成立，A正确； B. 当时，，当且仅当时等号成立，但无实解，故最小值2取不到，B错； C. 当时，，最小值显然不是正值，C错； D. 设，，且，则，当且仅当，即时等号成立，D正确． 故选：BC 2.(2021·江苏南通市)(多选)当，时，下列不等式中恒成立的有( ) A． B． C． D． 【解析】对于A，当且仅当时取等号，正确. 对于B，，当且仅当时取等号，正确. 对于C，，当且仅当时取等号，错误. 对于D，，当且仅当时取等号，正确. 故选：ABD 3．(2021·淮安市阳光学校)(多选)下列判断正确的有( ) A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】选项A中，时，，时，，故错误； 选项B中，时，，故，故正确； 选项C中，时，则，当且仅当时，即时取等号，故错误； 选项D中，时，则，当且仅当时取等号，故知等号取不到，但是正确的. 故选：BD. 4.(2021·江苏常州市)(多选)设正实数、满足，则( ) A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】ACD 【解析】设正实数、满足. 对于A选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，A选项正确； 对于B选项，由基本不等式可得 ， 当且仅当时，等号成立，B选项错误； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C选项正确； 对于D选项，，则， 当且仅当时，等号成立，D选项正确. 故选：ACD. 5.(2021·全国高一课时练习)(多选)已知、均为正实数，则下列不等式不一定成立的是( ) A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A，，当且仅当时等号同时成立；对于B，，当且仅当时取等号； 对于C，，当且仅当时取等号； 对于D，当，时，，，， 所以. 故选AD. 6.(2020·江苏镇江市·高一月考)(多选)已知、、．若，则( ) A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A选项，，，，A选项正确； 对于B选项，，，，即，B选项错误； 对于C选项，因为，由基本不等式可得，，C选项正确； 对于D选项，，，可得，D选项错误. 故选：AC. 7.(2021·辽宁大连市)(多选)已知正数，，则下列不等式中恒成立的是( ) A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对A，，，当且仅当时等号成立，故A正确； 对B，，，当且仅当时等号成立，故B正确； 对C，，即，故C错误； 对D，，，，即，当且仅当时等号成立，故D错误.故选：AB. 8.(2021·山东高一期中)(多选)若，则下列不等式中正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，选项A成立； 取，则，此时，选项B错误； 由基本不等式可知：，当且仅当时等号成立，选项C成立； ，当且仅当时等号成立，选项D成立； 故选：ACD. 考点02 基本不等式求最值 9.（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，则当时，有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【分析】由基本不等式即可求解. 【解析】由题意当时，，等号成立当且仅当. 故选：B. 10.（2023·北京东城·一模）已知，则的最小值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D． 【分析】由基本不等式求得最小值． 【解析】∵，∴，当且仅当即时等号成立． 故选：B． 11.（22-23高三下·江西·阶段练习）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【分析】依题意可得，再利用基本不等式计算可得. 【解析】， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 12.（23-24高二下·山东潍坊·阶段练习）函数（）的最大值为（    ） A． B．1 C． D．5 【分析】根据均值不等式即可求得函数最大值. 【解析】因为 且， 故可得. 当且仅当，即时取得最大值. 故选：A. 13.(1)(2021·湖南邵阳市)若正实数x，y满足2x+y=1.则xy的最大值为( ) A． B． C． D． 【答案】(1)B(2)D 【解析】当且仅当时取等号， 即xy的最大值为故选：B 14.(2021·六安市裕安区新安中学)已知，则的最大值为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以，整理得，即. 所以的最大值为.故选：D. 15.(2021·北京高一其他模拟)若，则函数的最小值为______． 【解析】因为，则函数，当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值5．故答案为：5. 16.已知，函数的最小值为( ) A．4 B．7 C．2 D．8 【解析】因为，所以， 当且仅当即时取等号，所以的最小值为7.故选：B 17.函数()的最小值为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数()的最小值为，故选：B 18.(2021·浙江高一期末)已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则xy( ) A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为 【答案】C 【解析】，，且，(1)， 当且仅当，即，时，取等号，故的最大值是：，故选：． 19.已知，，且，则ab的最大值为( ) A． B．4 C． D．2 【答案】D 【解析】， (当且仅当时取等号) ，解得：，即的最大值为故选 20.若，则( ) A．有最小值，且最小值为 B．有最大值，且最大值为2 C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为 【答案】D 【解析】,当且仅当取“=”所以故选：D 21.当时，取得最小值时x的值为( ) A．0 B． C．3 D．2 【答案】D 【解析】因为，所以， 当且仅当 即时等号成立，所以取得最小值时x的值为2.故选：D. 22.函数的最小值为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：A． 23.已知，，则的最小值为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，且， 所以， 当且仅当即，时，有最小值.故选：B. 24.正实数，满足：，则当取最小值时，____. 【答案】 【解析】， ，当且仅当，即时，等号成立．故答案为：． 25.若正数x，y满足，则的最小值是__________． 【答案】5 【解析】由条件，两边同时除以，得到， 那么 等号成立的条件是，即，即. 所以的最小值是5， 故答案为： 5 ． 26.函数的最小值是___________. 【答案】4 【解析】令，则，当且仅当，即时，. 所以函数的最小值是4.故答案为：4 27.已知，则 的最大值是 【答案】-1 【解析】 ，，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以 的最大值为 28.函数的最小值是 【答案】 【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立.所以函数的最小值是.选：D. 考点03 利用基本不等式求参数 29.若对任意的都有，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【解析】因为，则，当且仅当，即x=1时等号成立，所以， 故选：A 30.，，且，不等式恒成立，则的范围为_______. 【解析】因为， 所以 ， 当且仅当，即时，取等号， 因为不等式恒成立，所以小于等于最小值，所以， 故答案为： 31.已知，若不等式恒成立，则的最大值为( ) A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以恒成立，只需 因为， 所以， 当且仅当时，即时取等号.所以.即的最大值为16.故选：D 32.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， ， 当且仅当，即时等号成立，.故选：D. 33.已知，且，若恒成立，则正实数的最小值为( ) A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【解析】因为，恒成立，即 所以，即， 又，所以 所以，所以， 所以正实数的最小值为2．故选：A． 34.当时，不等式恒成立，则实数的最大值为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式恒成立化为恒成立， 因为，所以， 所以 ，当且仅当，即时，等号成立. 所以，所以的最大值为. 故选：C 考点04 利用基本不等式比较大小 35.已知都是正数，且. 求证：(1)；(2). 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】(1)，，，由于当且仅当，即时取等号，但，因此不能取等号，； (2)，，，当且仅当时取等号，但，因此不能取等号，. 36.设，求证：. 【答案】证明见解析； 【解析】证明：因为，所以， 所以. 当且仅当，即时，等号成立. 故不等式得证. 37.已知：、是正实数，求证：. 【答案】见解析. 【解析】由基本不等式得出，， 上述两个不等式当且仅当时，等号成立， 由同向不等式的可加性得，即. 38.已知，，，求证： (1)；(2). 【答案】证明见解析. 【解析】证明：(1)因为且，(当且仅当时取等号)，即，所以， 又， 所以； (2)因为， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以. 39.已知，. (1)求证：； (2)若，，，求证：. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】(1)， 当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立； (2)由条件有，且，， 又 ， 当且仅当，即时等号成立， 此时由得，，即证． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03均值不等式及其应用 考点01 基本不等式的概念理解 考点02 基本不等式求最值 考点03 利用基本不等式求参数 考点04 利用基本不等式比较大小 考点01 基本不等式的概念理解 1.(2021·广东深圳市)(多选)下列结论不正确的是( ) A．当时， B．当时，的最小值是2 C．当时，的最小值是 D．设，，且，则的最小值是 2.(2021·江苏南通市)(多选)当，时，下列不等式中恒成立的有( ) A． B． C． D． 3．(2021·淮安市阳光学校)(多选)下列判断正确的有( ) A． B． C． D． 4.(2021·江苏常州市)(多选)设正实数、满足，则( ) A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值 5.(2021·全国高一课时练习)(多选)已知、均为正实数，则下列不等式不一定成立的是( ) A． B． C． D． 6.(2020·江苏镇江市·高一月考)(多选)已知、、．若，则( ) A． B． C． D． 7.(2021·辽宁大连市)(多选)已知正数，，则下列不等式中恒成立的是( ) A． B． C． D． 8.(2021·山东高一期中)(多选)若，则下列不等式中正确的是( ) A． B． C． D． 考点02 基本不等式求最值 9.（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，则当时，有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 10.（2023·北京东城·一模）已知，则的最小值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D． 11.（22-23高三下·江西·阶段练习）的最小值为（    ） A． B． C． D． 12.（23-24高二下·山东潍坊·阶段练习）函数（）的最大值为（    ） A． B．1 C． D．5 13.(1)(2021·湖南邵阳市)若正实数x，y满足2x+y=1.则xy的最大值为( ) A． B． C． D． 14.(2021·六安市裕安区新安中学)已知，则的最大值为( ) A． B． C． D． 15.(2021·北京高一其他模拟)若，则函数的最小值为______． 16.已知，函数的最小值为( ) A．4 B．7 C．2 D．8 17.函数()的最小值为( ) A． B． C． D． 18.(2021·浙江高一期末)已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则xy( ) A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为 19.已知，，且，则ab的最大值为( ) A． B．4 C． D．2 20.若，则( ) A．有最小值，且最小值为 B．有最大值，且最大值为2 C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为 21.当时，取得最小值时x的值为( ) A．0 B． C．3 D．2 22.函数的最小值为( ) A． B． C． D． 23.已知，，则的最小值为( ) A． B． C． D． 24.正实数，满足：，则当取最小值时，____. 25.若正数x，y满足，则的最小值是__________． 26.函数的最小值是___________. 27.已知，则 的最大值是 28.函数的最小值是 考点03 利用基本不等式求参数 29.若对任意的都有，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 30.，，且，不等式恒成立，则的范围为_______. 31.已知，若不等式恒成立，则的最大值为( ) A．13 B．14 C．15 D．16 32.(2021·江苏苏州市)当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 33.已知，且，若恒成立，则正实数的最小值为( ) A．2 B．3 C．4 D．6 34.当时，不等式恒成立，则实数的最大值为( ) A． B． C． D． 考点04 利用基本不等式比较大小 35.已知都是正数，且. 求证：(1)；(2). 36.设，求证：. 37.已知：、是正实数，求证：. 38.已知，，，求证： (1)；(2).. 39.已知，. (1)求证：； (2)若，，，求证：. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $