精品解析：福建省漳州市第三中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

漳州三中2025-2026学年上学期八年级阶段性教学诊断（一） 八年级数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题纸上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 16的算术平方根是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 2. 下列实数，，，，，，中无理数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数中，勾股数是（ ） A. 1，2，2 B. 0.3，0.4，0.5 C. 6，8，10 D. 1，， 5. 下列说法中正确的是（ ） A. B. 0.09的平方根是0.3 C. 1的立方根是 D. 0的立方根是0 6. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（ ） A. 1.2米 B. 1.3米 C. 1.5米 D. 2米 7. 设，则对于实数的范围判断正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，那么的值为（ ） A. 1 B. C. D. 9. 如图，在中，，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E．则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（ ） A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸 二、填空题（共6小题） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____． 12. 比较大小：________．（填“>”、“<”或“=”） 13. 一个正数的平方根为和，则这个正数为____． 14. 如图，在数轴上点A表示的实数是________ 15. 如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为，梯子的底端B到墙根O的距离为，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么的长是_________． 16. 如图，长方形纸片中，是边上一动点，连接．把长方形纸片沿折叠，使点落在点处，连接．当为直角三角形时，的长为___________． 三、解答题（共9小题） 17. 计算 （1）； （2） 18. 计算 19. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，小正方形的顶点称为格点． （1）请在网格中画出格点三角形，使，，； （2）求的面积． 20. 已知：，，满足． （1）求，，的值； （2）请判断以，，为边构成的的形状，并说明理由． 21. 已知的平方根是，的立方根是． （1）求的值； （2）求的平方根． 22. 如图，一株水草立于湖水中，此时测得尺，随后将水草拉至与水面齐平时，测得尺．试求湖水有多深? 23. 阅读下列解题过程：．请解决下列问题： （1）观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①________； ②________； （2）求的值； （3）________． 24. 我们把无限不循环小数叫作无理数，因为是无理数，所以它的小数部分我们不可能全部写出来，但我们可以这样表示它的小数部分：因为，所以的整数部分是1，这个数减去其整数部分得到的差就是小数部分，即的小数部分是． （1）的整数部分是______，小数部分是______； （2）若记的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 25. 【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数x满足，求x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州三中2025-2026学年上学期八年级阶段性教学诊断（一） 八年级数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题纸上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 16的算术平方根是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，理解算术平方根的定义是解决问题的关键．根据算术平方根的定义进行判断即可． 【详解】， 的算术平方根为4． 故选：C． 2. 下列实数，，，，，，中无理数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：所列6个数中，，是分数，是有理数， 3.14159，是有限小数，是有理数， ，0，是整数，是有理数， 无理数有、这2个数， 故选：C． 3. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可． 【详解】解：A选项，，故该选项不符合题意； B选项，是最简二次根式，故该选项符合题意； C选项，，故该选项不符合题意； D选项， ，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 4. 下列各组数中，勾股数是（ ） A. 1，2，2 B. 0.3，0.4，0.5 C. 6，8，10 D. 1，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数是解题的关键，根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解， 【详解】解：A.，故不是勾股数，不符合题意； B. 不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； C. ，故是勾股数，符合题意； D. 1，，不都是正整数，故不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 5. 下列说法中正确的是（ ） A. B. 0.09的平方根是0.3 C. 1的立方根是 D. 0的立方根是0 【答案】D 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义判断A选项，根据平方根的定义判断B选项，根据立方根的定义判断C，D选项． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、0.09的平方根是±0.3，故该选项不符合题意； C、1的立方根是1，故该选项不符合题意； D、0的立方根是0，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根，算术平方根，立方根，注意平方根与算术平方根的区别． 6. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（ ） A. 1.2米 B. 1.3米 C. 1.5米 D. 2米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）． 在中，由勾股定理得到：（米）, 故选：B． 7. 设，则对于实数的范围判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数大小的估算，能估算出的范围是解题的关键．因为，所以，即，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：C． 8. 已知，那么的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，代数式求值，解题的关键是熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性． 利用非负数的性质（算术平方根和绝对值均非负），它们的和为零则每个必须为零，从而求出x和y的值，再计算表达式． 【详解】解：∵且，且， ∴ 且， ∴ ，即， ，即， ∴， ∴ ， 故选：D． 9. 如图，在中，，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E．则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段的尺规作图，先利用勾股定理得到，再由作图方法推出，据此可得答案． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， 由作图方法可知， ∴， ∴， 故选：B． 10. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（ ） A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸 【答案】C 【解析】 【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】设OA=OB=AD=BC=，过D作DE⊥AB于E， 则DE=10，OE=CD=1，AE=． 在Rt△ADE中， ，即， 解得． 故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 二、填空题（共6小题） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是关键，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零． 【详解】解：若在实数范围内有意义， ∴， 解得，， 故答案为：． 12. 比较大小：________．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用作差法比较实数的大小；，可判断，即可求解；能根据“若，则．”进行比较大小是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ， ； 故答案：． 13. 一个正数的平方根为和，则这个正数为____． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键， 0的平方根是0；正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．先根据正数的两个平方根互为相反数求出a的值，进而可求出这个正数． 【详解】解：∵一个正数的平方根为和， ∴， ∴， ∴这个正数为． 故答案为：25． 14. 如图，在数轴上点A表示的实数是________ 【答案】 【解析】 【分析】先由勾股定理求解，再由实数与数轴的对应关系即可得到点A表示的实数． 【详解】解：由勾股定理可得， ∴ ∴在数轴上点A表示的实数是． 15. 如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为，梯子的底端B到墙根O的距离为，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么的长是_________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 先利用勾股定理求出，梯子移动过程中长短不变，所以，又由题意可知利用勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：在直角三角形中， ，， ， ，， ， 在中 ， 故答案为：8． 16. 如图，长方形纸片中，是边上一动点，连接．把长方形纸片沿折叠，使点落在点处，连接．当为直角三角形时，的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质，正方形的性质与判定以及勾股定理，解题的关键熟练掌握以上知识点的应用及分类讨论思想． 【详解】解：如图，当共线时，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠性质可知：，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即：，解得：， 如图，当落在上时，， 此时四边形为正方形， ∴， 综上可知：的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（共9小题） 17. 计算 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算． （1）先计算算术平方根和立方根，化简二次根式，再计算加减即可； （2）利用二次根式的乘法法则计算，再化简二次根式，最后合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 计算 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，关键在于正确应用乘法公式，简化计算． 19. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，小正方形的顶点称为格点． （1）请在网格中画出格点三角形，使，，； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图， （2）． 【解析】 【分析】本题考查了作图——应用与设计作图，勾股定理，构图法求三角形的面积，读懂题目信息，理解构图法的操作方法是解题的关键． （）根据勾股定理画出图形即可； （）利用所在的长方形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，计算即可得解． 【小问1详解】 解：理由：由网格可得，，， ∴即为所求作；（位置不唯一） 【小问2详解】 解：． 20. 已知：，，满足． （1）求，，的值； （2）请判断以，，为边构成的的形状，并说明理由． 【答案】（1）；； （2） 以，，为边构成的是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，正确求出a、b、c的值是解题的关键． （1）几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此求解即可； （2）根据（1）所求可证明，则可证明是直角三角形． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴，，； 【小问2详解】 略 21. 已知的平方根是，的立方根是． （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查平方根、立方根： （1）由平方根、立方根的定义可得，，解方程即可； （2）将（1）中结论代入求出的值，再求平方根即可． 【小问1详解】 解：∵的平方根是， ∴， 解得． ∵的立方根是， ∴， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：由（1）可得， ， 即的平方根为． 22. 如图，一株水草立于湖水中，此时测得尺，随后将水草拉至与水面齐平时，测得尺．试求湖水有多深? 【答案】8尺 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则尺，在中，然后由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设为x尺． ∵尺， ∴（尺）． ∵， ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴． 答: 水深8尺． 23. 阅读下列解题过程：．请解决下列问题： （1）观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①________； ②________； （2）求的值； （3）________． 【答案】（1）①，② （2）． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简，分母有理化，解题的关键是熟练掌握分母有理化的法则． （1）利用分母有理化的步骤进行化简即可； （2）先对二次根式进行分母有理化，再进行二次根式的加减即可； （3）先对二次根式进行分母有理化，再进行二次根式的加减即可． 【小问1详解】 解：①； ②； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：原式； 【小问3详解】 解： ． 故答案为：． 24. 我们把无限不循环小数叫作无理数，因为是无理数，所以它的小数部分我们不可能全部写出来，但我们可以这样表示它的小数部分：因为，所以的整数部分是1，这个数减去其整数部分得到的差就是小数部分，即的小数部分是． （1）的整数部分是______，小数部分是______； （2）若记的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 【答案】（1）2， （2）4 【解析】 【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分及其相关计算，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）根据夹逼法可得，进而可确定的整数部分和小数部分； （2）由可确定的整数部分为a，小数部分为b，然后代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分是； 故答案为：2，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 25. 【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数x满足，求x的值． 【答案】（1）13；（2）；（3）4.8 【解析】 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1），， ， ∴的最小值是13， 故答案为13； （2）如图，    ， ， ， ∴的最小值是； （3）构造于，如图所示：    设，则， ， ， ， ， ， ∴方程的解是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $