江苏省江阴市高新区实验学校2025-2026学年上学期八年级第一次月考数学试卷

2025-2026学年第一学期9月份质量评估 2025.10 初三年级数学学科 （满分：150 分； 考试时间：120分钟， 命题人： 审核人 ） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列方程为一元二次方程的是 （ ） A．x2－3＝x(x＋4) B．x2－＝3 C．x2－10x＝－5 D．4x＋6xy＝33 2. 已知⊙O的半径为3，点P在⊙O外，则OP的长可以是______．A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (　 ) 3. 已知m，n是方程x2－2x－5=0的两个不同的实数根，则m+n的值为 （ ） A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5 4. 下列命题中正确的有 （ ） A.长度相等的弧是等弧 B.相等的圆心角所对的弦相等 C.三角形的外心是三个内角平分线的交点 D.三角形的内心到三角形三边的距离相等 5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于 （ ） A．60° B．50° C．40° D．30° 6.以下命题：①经过三点一定可以作一个圆； ②优弧一定大于劣弧 ③相等的弦所对的弧也相等； ④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；其中错误的个数是 （ ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．在半径为2cm的圆O中，若弦AB=2cm，则弦AB所对的圆周角的度数为 （ ） A． 30° B．45° C．45°或135° D．30°或150° 8. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度CD为1寸，锯长AB为1尺（10寸），问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径 ( ) A．22寸 B．24寸 C．26寸 D．28寸 9．已知关于x的方程(a＋3)x＝10有正整数解，且关于y的一元二次方程y2－3y＋a－1＝0有两个实数根，则所有符合条件的整数a有 （ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10． 如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=60°则△ABC的面积的最大值为 （ ） A． B． C． D． 二．填空题（每空3分，共24分.） 11.如图，⊙O的直径AB的延长线与弦ED的延长线交于点C.若DC＝OE，∠AOE＝117°，则∠C的度 数为_____________． 12.若关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0没有实数根，则k的取值范围是_______________. 13.已知Rt△ABC的两直角边AC、BC分别是一元二次方程x2－7x+12=0的两根，则此Rt△ABC的外接圆半径 与内切圆半径的和是 ． 14.已知⊙O 半径为r，弦AB＝r，则弦AB 所对圆周角的度数为 ． 15. 已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为 ． 16．下列命题中， ①任意的矩形都相似；②任意的菱形都相似；③任意的正方形都相似； ④任意的圆都相似，正确命题的有 ．（填序号） 17．已知：如图，∠ACB＝90°，∠CAD＝∠CDA，∠CBD＝∠CDB，则∠ADB=_____________． 第18题 18．如图，以点P(2,0)为圆心，为半径作圆，点M(a,b)是⊙P上的一点，则的最大值是 ． 三、解答题（本大题共8小题，共96分.） 19. (24分)解下列方程: （1）4(x－2)2－25＝0； （2）x2－6x＋3＝0； （3）(x＋3) (x－1)＝12； （4）5x(x－1)＝x－1． 20.（10分)如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E． （1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；（2）若AB＝10，AC＝8，求DE的长． 21．（10分)已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋m＝0． （1）当m为何值时，方程有两个实数根； （2）若x1、x2是方程的两根，且x1＋x2＋x1x2＝3，求m的值． 22．（10分)如图，在□ABCD中，E为BC边上一点，AE交BD于点F． （1）求证：△BEF∽△DAF； （2）若BE＝6，EC＝3，BF＝5，求对角线BD的长． 23．（10分）我们规定：方程ax2+bx+c＝0的变形方程为a（x+1）2+b（x+1）+c＝0．例如，方程2x2﹣3x+4＝0的变形方程为2（x+1）2﹣3（x+1）+4＝0 （1）若方程x2+2x+m＝0的变形方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）若方程ax2+bx+c＝0的变形方程为x2+2x+1＝0，直接写出a+b+c的值． 24、（5+5分）（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE． （1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若CD＝3，DE＝，求⊙O的直径． 25、（3+3+4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点坐标分别为A（－2，0）、B（4，0）、C（0，2）． （1）请用尺规作出△ABC的外接圆⊙P（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求出（1）中外接圆圆心P的坐标； （3）若点C的坐标改为（0，a），其余条件不变，是否存在这样的点C使得∠ACB＜45°？如果存在，请求出a的范围；如果不存在，请说明理由．O B y C A x 26．（2+4+4+2分）【新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程x2+bx+c＝0的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（﹣b，c），以AB为直径作⊙P．若⊙P交x轴于点M（m，0）、N（n，0），则m、n为方程x2+bx+c＝0的两个实数根． （1）【探究】由勾股定理得，AM2＝12+m2，BM2＝c2+（﹣b﹣m）2，AB2＝（1﹣c）2+b2．在Rt△ABM中，AM2+BM2＝AB2所以12+m2+c2+（﹣b﹣m）2＝（1﹣c）2+b2．化简得：m2+bm+c＝0．同理可得：　 　． 所以m、n为方程x2+bx+c＝0的两个实数根． （2）【运用】在图2中的x轴上画出以方程x2﹣3x﹣2＝0两根为横坐标的点M、N． （3）已知点A（0，1）、B（6，9），以AB为直径作⊙C．判断⊙C与x轴的位置关系，并说明理由． （4）【拓展】在平面直角坐标系中，已知两点A（0，a）、B（b，c），若以AB为直径的圆与x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是 　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $25、（3+3+4分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点坐标分别为A(一2,0)、B(4,0)、C(0,2). (1)请用尺规作出△4C的外接圆⊙P(保留作图痕迹，不写作法)： (2)求出(1)中外接圆圆心P的坐标： C3）若点C的坐标改为C0,a),其余条件不变，是否存在这样的点C使得∠4CB<45?如果存在，请求出a的 范围：如果不存在，请说明理由。 疼如7或-呵 26.(2+4+4+2分)【新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程2+bx+c=0的几何解法： 如图1，在平面直角坐标系中，已知点A(0,1)、B(-b,c),以AB为直径作⊙P.若⊙P交x轴于点M（m,0)、 N(n,0),则m、n为方程x2+bx+c=0的两个实数根. (1)【探究】由勾股定理得，AMP=12+m2,BMP=c2+(-b-m)2,AB2=(1-c)242.在Rt△ABM中，AMP+BMP =AB2所以12+m2+c24（-b-m)2=(1-c)24b2.化简得：m2+bm+c=0.同理可得：bn土C≥。， 所以m、n为方程x2+bx+c=0的两个实数根. (2)【运用】在图2中的x轴上画出以方程x2-3x-2=0两根为横坐标的点M、N. (3)已知点A(0,1)、B(6,9),以AB为直径作⊙C.判断⊙C与x轴的位置关系，并说明理由， (4)【拓展】在平面直角坐标系中，己知两点A(0,a)、B(b,c),若以AB为直径的圆与x轴有两个交点M、 N,则以点MN的横坐标为根的一元二次方程是 2bX十a2=o ()®c5X抽园吻 囱：、c5X姬丝加 描坐疡为X心-6x+月-o60 南的根 B 、'B4L=b2x90 图1 图2 方相有种了相缘品招 即0sr物有俱有底生 、、c与x份相切 4B茶列处山结手丝加则控区 2025-2026学年第一学期9月份质量评估202s.10 初三年级数学学科 ) (满分：150分： 考试时间：120分钟， 命题人： 审核人 一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，） (C) 1.下列方程为一元二次方程的是 D.4x+6y=33 4.x2-3=x+40 8.x-1-3C.2-10x=-5 (D) 2.已知⊙0的半径为3，点P在⊙0外，则OP的长可以是 A.1B.2 C.3 D.4 (5) 3.已知m,?是方程x2一2x一5-0的两个不同的实数根，则m+n的值为 B.2 C.-5 D.5 (D) A.-2 4.下列命题中正确的有 B.相等的圆心角所对的弦相等 A.长度相等的弧是等弧 C.三角形的外心是三个内角平分线的交点 D.三角形的内心到三角形三边的距离相等 (B) 5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于 B.509 C.40° D.30° 6.以下命题：①经过三点一定可以作一个圆：②优弧一定大于劣弧③相等的弦所对的弧也相等： ④三角形的外心 A.60° ( B 到三角形三个顶点的距离相等；其中错误的个数是 C.2 D.1 (C) 7.在半径为2cm的圆0中，若弦AB-2V2cm,则弦AB所对的圆周角的度数为 A.4 B.3 C.45°或135° D.30°或150° 8.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之， A.30°B.45 深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将 (C) 它锯下来，深度CD为1寸，锯长AB为1尺(10寸)，问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径 9.已知关于x的方程(a十3x=10有正整数解，且关于y的一元二次方程y2-3y十a-1=0有两个实数根，则所有 B.24寸 C.26寸 D.28寸 A.22寸 (B) 符合条件的整数a有 C.2个 D.1个 A.4个 B.3个 () 10.如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O,∠BAC=60°则△ABC的面积的最大值为 3 3v3 3v3 1 A.4 B. C. D. 2 B A D 第11题 第17题 第8题 第10题 第5题 二. 填空题（每空3分，共24分.） 11如图，⊙O的直径AB的延长线与弦ED的延长线交于点C,若DC=OE, ∠A0E=117°，则∠C的度 数为 39。 12若关于x的一元二次方程x2-2x一k=0没有实数根，则k的取值范围是 ks-L 13.已知Rt△4BC的两直角边AC、BC分别是一元二次方程x2-7x+12=0的两根， 则此Rt△ABC的外接圆半径 与内切圆半径的和是 14已知⊙0半径为n弦A8=,则弦AB所对圆周角的度数为30或115.已知x=1是一元二次方程(m~2)x之4x~m2-0的一个根，则m的值为二 16.下列命思中， ①任意的矩形都相似：②任意的菱形都相似：③任意的正方形都相似！ ④任意的圆都相似，正确命题的有③④·（填序号） 17.已知：如图.∠4CB=0°，∠C4D=∠CD4,∠CBD=∠CDB,则∠ADn-49 第18题 18.如图，以点P2,0)为圈心，5为半径作圆，点M@,b)是⊙P上的一点，则色的最大值是写 三、解答题（本大题共8小题，共96分） 19.(20分)解下列方程： (1)4x-2)y2-25=0: (2)x2-6x+3=0: k12 无-三 X=37X=35 (3)c+3)x-1)=12: (4)5xx-1)=x-1. X二5、=3 42(X=5 20.(10分)如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC,OD与AC交于点E. (1)若∠B=70°，求∠CAD的度数；(2)若AB=10,AC=8,求DE的长， D cu1∠CD=3 B(21PZ二2 21.(10分)已知关于x的一元二次方程m2-m+2x+n=0, (1)当m为何值时，方程有两个实数根； (2)若、2是方程的两根，且1十2十x2=3,求m的值. 8 C()5=(m2)-4mx4m=fmt420 e)m= 7 、`、m≥一、'M+0 、 m≥-（且m卡b 22.(10分)如图，在□ABCD中，E为BC边上一点，AE交BD于点F,苏州外困謗容校江阴校区 2025-2026学年第一学期9月份质量评估 2025.10 初三年级数学学科 (满分：150分；考试时间：120分钟，命题人： 审核人 一，选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.） 1.下列方程为一元二次方程的是 A.x2-3=x(x+4) B.x2-1=3C.x2-10x=-5D.4x+6y=33 2.已知⊙O的半径为3，点P在⊙O外，则OP的长可以是 .A1B.2 C.3 D.4 3.已知，n是方程x2一2x一5=0的两个不同的实数根，则m+n的值为 A.-2 B.2 C.-5 D.5 4.下列命题中正确的有 ) A.长度相等的弧是等弧 B.相等的圆心角所对的弦相等 C.三角形的外心是三个内角平分线的交点 D.三角形的内心到三角形三边的距离相等 5.如图，⊙0是△ABC的外接圆，∠OCB-40°，则∠A的度数等于 ( A.60° B.50° C.40° D.309 6以下命题：①经过三点一定可以作一个圆：②优弧一定大于劣弧③相等的弦所对的弧也相等：④三角形的外心 到三角形三个项点的距离相等：其中错误的个数是 () A.4 B.3 C.2 D.1 7.在半径为2cm的圆O中，若弦AB=2V2cm,则弦AB所对的圆周角的度数为 () A.30°B.45° C.45°或135°D.30°或150° 8.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之， 深一寸，长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将 它锯下来，深度CD为1寸，锯长AB为1尺(10寸)，问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径 A.22寸 B.24寸 C.26寸 D.28寸 9.已知关于x的方程(a十3)x=10有正整数解，且关于y的一元二次方程y2-3y+a-1=0有两个实数根，则所有 符合条件的整数a有 ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 10.如图，己知△ABC内接于半径为1的⊙O,∠BAC=60°则△ABC的面积的最大值为 1 V3 3W3 3V3 A. B. C. D. 4 4 2 4 C A A B D D 。0 C B 第5题 第8题 第10题 第11题 第17题 二。填空题（每空3分，共24分.） 11.如图，⊙O的直径AB的延长线与弦ED的延长线交于点C.若DC=OE,∠AOE=117°，则∠C的度 数为 12.若关于x的一元二次方程x2一2x一k=0没有实数根，则k的取值范围是 13.己知Rt△ABC的两直角边AC、BC分别是一元二次方程x2-7x+12=0的两根，则此Rt△ABC的外接圆半径 与内切圆半径的和是 14.已知⊙0半径为r,弦AB=r,则弦AB所对圆周角的度数为 15.已知x=1是一元二次方程(m-2)x2+4x-m2=0的一个根，则m的值为 M 16.下列命题中， ①任意的矩形都相似；②任意的菱形都相似；③任意的正方形都相似： ④任意的圆都相似，正确命题的有 ·(填序号) 17.已知：如图，∠ACB=90°，∠CAD=∠CDA,∠CBD=∠CDB,则∠ADB= 第18题 18.如图，以点P(2,)为圆心，V5为半径作圆，点Ma,)是⊙P上的一点，则的最大值是 三、解答题（本大题共8小题，共96分.) 19.(24分)解下列方程： (1)4(x-2)2-25=0: (2)x2-6x+3=0: (3)(x+3)(-1)=12: (4)5x(x-1)=x-1. 20.(10分)如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC,OD与AC交于点E. (1)若∠B=70°，求∠CAD的度数；(2)若AB=10,AC=8,求DE的长. D 21.(10分)已知关于x的一元二次方程x2-m十2)x十m=0. (1)当m为何值时，方程有两个实数根： (2)若x1、x2是方程的两根，且x1十x2十x1x2=3,求m的值. 22.(10分)如图，在□ABCD中，E为BC边上一点，AE交BD于点F. (1)求证：△BEF∽△DAF: (2)若BE=6,EC=3,BF=5,求对角线BD的长. F B E 23.（10分)我们规定：方程ax2+bx+c=0的变形方程为a（x+1)2+b(x+1)+c=0.例如，方程2x2-3x+4=0的 变形方程为2(x+1)2-3(x+1)+4=0 (1)若方程x2+2x+m=0的变形方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围： (2)若方程x2+bx+c=0的变形方程为x2+2x+1=0,直接写出a什bc的值. 24、(5+5分)(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交 于点D,连接DE. (1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由： (2)若cD=3,DB=5,求⊙0的直径. D 25、(3+3+4分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点坐标分别为A(-2,0)、B(4,0)、C(0,2). (1)请用尺规作出△ABC的外接圆⊙P(保留作图痕迹，不写作法)： (2)求出(1)中外接圆圆心P的坐标： (3)若点C的坐标改为(0，a),其余条件不变，是否存在这样的点C使得∠ACB<45°？如果存在，请求出α的 范围；如果不存在，请说明理由. 26.(2+4+4+2分)【新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程x2+bx+c=0的几何解法： 如图1，在平面直角坐标系中，己知点A(0,1)、B(-b,c),以AB为直径作⊙P.若⊙P交x轴于点M(m,0) N(n,0),则m、n为方程x2+bx+c=0的两个实数根. （1)【探究】由勾股定理得，A=12+2,BM2=c2+（-b-m)2,AB2=(1-c)2+b2.在Rt△ABM中，AM4BM =AB2所以12+m2+c2+(-b-m)2=(1-c)2+b2.化简得：m2+bHc=0.同理可得： 所以、n为方程x2+bx+c=0的两个实数根. (2)【运用】在图2中的x轴上画出以方程x2-3x-2=0两根为横坐标的点MN. (3)己知点A(0,1)、B(6,9),以AB为直径作⊙C.判断⊙C与x轴的位置关系，并说明理由. (4)【拓展】在平面直角坐标系中，己知两点A(0,α)、B(b,c),若以AB为直径的圆与x轴有两个交点M N,则以点MN的横坐标为根的一元二次方程是 NCx 图1 图2(1)求证：△BEF∽△DAF, (2)若BE=6,EC=3,BF=5,求对角线BD的长， u因 5 29B0=2 23.(10分)我们规定：方程a2+bx+c=0的变形方程为a(x+1)2+b(x+1)+c=0.例如，方程2x2-3x+4=0的 变形方程为2(x+1)2-3(x+1)4=0 (1)若方程x2+2+m=0的变形方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程am2+br+c=0的变形方程为x2+2r+1=0,直接写出a+b+c的值. 2) atbtc= 24、(5+5分)(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交 于点D,连接DE (1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由： (2)若CD=3,DE二号，求⊙0的直径 u)脱 D 01 Ac C E 八)hn在平面直角必标系由。Λ4C顶点坐标分别为A(-2,0、B(4,0以C(0,2).