第12章因式分解综合复习讲义2025-2026学年 沪教版（五四制）七年级数学上册

因式分解综合 1. 定义：把含多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解. 2. 因式分解步骤 （1）如果整式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． 3. 因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是整式； （2）最终把整式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止. 4. 因式分解的方法：提公因式法 如果含多个项的整式的各项含有非常数的公因式，那么可以把这个公因式提取出来，从而将这个整式化为两个次数更低的整式的积，这种因式分解的方法叫作提取公因式法. 要点： （1） 公因式必须是每一项中都含有的因式. （2） 公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个整式. （3） 公因式的确定分为数字系数和字母两部分： ①公因式的系数是各项系数的最大公因数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. （4）当整式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时整式的各项都要变号. （5）用提取公因式法分解因式时，若整式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 5. 因式分解的方法：公式法 根据因式分解和整式乘法的关系，可以用平方差公式和完全平方公式将具有特殊形式的整式因式分解．像这样，根据常用的乘法公式将整式因式分解的方法叫作公式法． （1）平方差公式 平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²从左到右的变形是整式的乘法，从右到左的变形是因式分解. 如果一个整式符合平方差公式的特征，那么就可以用平方差公式把它因式分解. （2）完全平方公式 完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²,(a-b)²=a²-2ab+b²从左到右的变形是整式的乘法，从右到左的变形是因式分解.如果一个整式符合完全平方公式的特征，那么就可以用完全平方公式把它因式分解. 特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. 完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. 6. 因式分解的方法：十字相乘法 一般地，如果二次三项式x²+px+q=x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b), 那么这样的因式分解的过程可以表示为 像这样，通过适当地分解系数，把二次三项式因式分解的方法叫作十字相乘法. 要点：（1）分解思路为：“看两端，凑中间” 常数项的因数分解往往有多种情况，此时选择的关键在于判断哪两个因数的和恰好等于一次项的系数. （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 7. 因式分解的方法：分组分解法 （1）对于一个整式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个整式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法. 要点：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 （2）添、拆项法 把整式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原整式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 例题精讲 【例1】下列等式由左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义及公式法分解因式，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【详解】解：、右边为，包含减法运算，不是乘积形式，故不是因式分解，不符合题意； 、左边为乘积形式，右边为展开后的多项式，属于整式乘法，而非因式分解，不符合题意； 、左边为单项式，分解为两个单项式的乘积，但因式分解对象应为多项式，不符合题意； 、左边为二次三项式，右边为，即两个相同二项式的乘积，符合因式分解的定义，符合题意； 故选：． 【例2】如果一个多项式因式分解的结果是，那么这个多项式是（ ）． ． ． ． ． 【答案】B 【解析】． 【总结】考察平方差公式的运用． 【例3】下列各式中，是完全平方式的是（ ）． ． ． ． ． 【答案】A 【解析】． 【总结】考察用完全平方公式的运用． 【例4】已知多项式可分解为，则k的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了已知因式分解结果求参数，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．根据题意将展开，即可得到k的值． 【详解】解：多项式可分解为， ， ， 故选：C． 【例5】要使能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据把-6分解成两个因数的积，m等于这两个因数的和，分别分析得出即可． 【详解】解：∵-1×6=-6，-6×1=-6，-2×3=-6，-3×2=-6， ∴m=-1+6=5或m=-6+1=-5或m=-2+3=1或m=-3+2=-1， ∴整数m的值有4个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，对常数16的正确分解是解题的关键． 【例6】如图，有甲、丙两种正方形和乙一种长方形纸片若干张．若选取4张甲种纸片、12张乙种纸片、9张丙种纸片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式因式分解，熟练掌握该公式是解题的关键．由题意可得正方形的面积为，然后利用完全平方公式计算后即可求得答案． 【详解】解：根据题意得正方形的面积为， 则， 那么这个正方形的边长为， 故选：A． 【例7】如果是一个完全平方式，则的关系是___________． 【答案】． 【解析】． 【总结】考察对完全平方式的理解及运用． 【例8】已知，，利用因式分解求解的值． 【答案】39． 【解析】． 【总结】考察因式分解的运用，利用已知条件求值． 【例9】如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式求值，先把变形为，再把变形为，再整体代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为：． 【例10】已知，求的值． 【答案】0． 【解析】由题意，得，所以． 所以． 【总结】考察完全平方式的运用，将原式转化为几个非负数的和为零的基本模型． 【例11】已知，则． 【答案】2． 【解析】因为，所以． 即，所以． 【总结】考察完全平方式的运用，将原式转化为几个非负数的和为零的基本模型． 【例12】分解因式： （1）； （2） ； （3）； （4）； （5） ； （6）； （7）； （8）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） ； （5） ；（6）；（7）；（8）． 【解析】（1）（2）（3）用平方差公式分解；（4）（5）用完全平方公式法分解； （6）（7）（8）用十字相乘法分解． 【总结】本题主要考察利用适当的方法对多项式进行因式分解，注意分解一定要彻底． 【例13】分解因式：． 【答案】． 【解析】． 【总结】本题主要考查利用十字相乘法进行因式分解，注意分解要彻底． 【例14】已知一矩形面积，求此矩形的周长． 【答案】24． 【解析】由题意，可得：， 分解因式，得：，则或． 因为矩形边长为正整数，所以，所以一组邻边长为5和7， 所以此矩形的周长为：． 【总结】本题一方面考查因式分解在实际问题中的应用，另一方面考查整体思想的运用． 【例15】（1）分解因式：． 【答案】． 【解析】原式 ． 【总结】本题综合性较强，主要是观察前面几个因式的特征之后，通过合理的分组，然后利用整体思想进行因式分解，注意分解要彻底． （2）分解因式：． 【答案】． 【解析】本题先采用一三分组，再利用公式法进行因式分解． 【总结】考察较复杂的多项式的因式分解的方法． （3）分解因式：． 【答案】． 【解析】原式 ． 【总结】考察利用分组分解法分解因式，本题需要先展开后再分组． 【例16】分解因式：（拆项添项）． 【答案】． 【解析】原式 【总结】本题综合性较强，主要考查通过添项，构造完全平方式，然后再利用平方差公式进行分解，注意分解要彻底． 【例17】利用乘法分配律可知： ； ． 由整式乘法与因式分解的关系，我们又可以得到因式分解中的另两个公式： ；． 请利用新的公式对下列各题进行因式分解． （1）； （2）． 【答案】；；；． （1）；（2）． 【解析】（1） ； （2）． 【总结】考察用新的公式进行因式分解． 【例18】阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】本题主要考查了根据完全平方公式进行整式变型和因式分解， （1）根据题干示例的方法计算即可作答； （2）根据题意设，根据可得，解方程即可求解； （3）先分组得到，进而得到，则可得到原式，据此仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴（满足条件①）， 当时，（满足条件②）， ∴是的下确界； （2）解：∵代数式的下确界是1， ∴可设， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即：； （3）解： ， ∵， ∴（满足条件①）， 当，即时，（满足条件②）， ∴6是的下确界 课后作业 1.下列分解因式错误的是（ ）． ． ． ． ． 【答案】B 【解析】不可因式分解． 【总结】考察因式分解的方法，本题B中需要先提取负号，小括号内已不可分解． 2.已知多项式分解因式为，则的值为（ ）． ．， ．， ．， ．， 【答案】D 【解析】根据常数项，即可知选D． 【总结】考察十字相乘法的逆用． 3.甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，则． 【答案】15． 【解析】甲看错了，所以一次项系数正确，为2+4=6； 乙看错了，所以常数项正确，为， 所以． 【总结】考察用十字相乘法分解因式的方法． 4.已知，，则． 【答案】12 【解析】因为，由可得： ，联立方程组可解得，故． 【总结】考察根据已知条件求值． 5.分解因式：． 【答案】． 【解析】． 【总结】考察用公式法分解因式的方法． 6.分解因式： （1）； （2）； （3）． 【答案】 （1）；（2）； （3）． 【解析】（1）（2）（5）提取公因式法；（3）平方差公式法；（4）十字相乘法． 【总结】考察利用适当的方法进行因式分解． （4）． 【答案】． 【解析】 【总结】考察用双十字相乘法分解因式的方法． 7. 已知，，，求的值． 【答案】-7． 【解析】由题意有：， 即，解得：． 【总结】考察立方和公式的应用． 8. 分解因式：． 【答案】． 【解析】 ． 【总结】本题综合性较强，通过拆添项，找到公因式，从而进行因式分解，注意分解要彻底． 9. 已知，求的值． 【答案】4002． 【解析】因为， 所以． 【总结】考察完全平方公式的变形，再根据已知条件求值． 10. 分解因式：（拆添项）． 【答案】． 【解析】原式 ． 【总结】本题综合性较强，通过拆添项，找到公因式，从而进行因式分解，注意分解要彻底． 学科网（北京）股份有限公司 $ 因式分解综合 1. 定义：把含多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解. 2. 因式分解步骤 （1）如果整式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． 3. 因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是整式； （2）最终把整式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止. 4. 因式分解的方法：提公因式法 如果含多个项的整式的各项含有非常数的公因式，那么可以把这个公因式提取出来，从而将这个整式化为两个次数更低的整式的积，这种因式分解的方法叫作提取公因式法. 要点： （1） 公因式必须是每一项中都含有的因式. （2） 公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个整式. （3） 公因式的确定分为数字系数和字母两部分： ①公因式的系数是各项系数的最大公因数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. （4）当整式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时整式的各项都要变号. （5）用提取公因式法分解因式时，若整式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 5. 因式分解的方法：公式法 根据因式分解和整式乘法的关系，可以用平方差公式和完全平方公式将具有特殊形式的整式因式分解．像这样，根据常用的乘法公式将整式因式分解的方法叫作公式法． （1）平方差公式 平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²从左到右的变形是整式的乘法，从右到左的变形是因式分解. 如果一个整式符合平方差公式的特征，那么就可以用平方差公式把它因式分解. （2）完全平方公式 完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²,(a-b)²=a²-2ab+b²从左到右的变形是整式的乘法，从右到左的变形是因式分解.如果一个整式符合完全平方公式的特征，那么就可以用完全平方公式把它因式分解. 特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. 完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. 6. 因式分解的方法：十字相乘法 一般地，如果二次三项式x²+px+q=x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b), 那么这样的因式分解的过程可以表示为 像这样，通过适当地分解系数，把二次三项式因式分解的方法叫作十字相乘法. 要点：（1）分解思路为：“看两端，凑中间” 常数项的因数分解往往有多种情况，此时选择的关键在于判断哪两个因数的和恰好等于一次项的系数. （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 7. 因式分解的方法：分组分解法 （1）对于一个整式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个整式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法. 要点：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 （2）添、拆项法 把整式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原整式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 例题精讲 【例1】下列等式由左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【例2】如果一个多项式因式分解的结果是，那么这个多项式是（ ）． ． ． ． ． 【例3】下列各式中，是完全平方式的是（ ）． ． ． ． ． 【例4】已知多项式可分解为，则k的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【例5】要使能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例6】如图，有甲、丙两种正方形和乙一种长方形纸片若干张．若选取4张甲种纸片、12张乙种纸片、9张丙种纸片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为(    ) A． B． C． D． 【例7】如果是一个完全平方式，则的关系是___________． 【例8】已知，，则的值为 ． 【例9】如果，那么 ． 【例10】已知，求的值． 【例11】已知，则． 【例12】分解因式： （1）； （2） ； （3）； （4）； （5） ； （6）； （7）； （8）． 【例13】分解因式：． 【例14】已知一矩形面积，求此矩形的周长． 【例15】（1）分解因式：． （2）分解因式：． （3）分解因式：． 【例16】分解因式：（拆项添项）． 【例17】利用乘法分配律可知： ； ． 由整式乘法与因式分解的关系，我们又可以得到因式分解中的另两个公式： ；． 请利用新的公式对下列各题进行因式分解． （1）； （2）． 【例18】阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 随堂练习 1.下列各式中，是完全平方式的是（ ）． ①；②；③； ④；⑤；⑥． ．①②③ ．②④⑤ ．③④⑤⑥ ．①②⑤⑥ 2.已知正方形的面积是（），利用因式分解，写出表示该正方形的边长的代数式是____________． 3.已知，，则． 4.如果二次三项式（为整数）在整数范围内可分解因式，那么的取值可以是_________． 5.分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 6.分解因式：． 7.分解因式：． 8.设，试判断的值是不是定值，如果是定值，求出它的值；否则，请说明理由． 课后作业 1.下列分解因式错误的是（ ）． ． ． ． ． 2.已知多项式分解因式为，则的值为（ ）． ．， ．， ．， ．， 3.甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，则． 4.已知，，则． 5.分解因式：． 6.分解因式： （1）； （2）； （3） （4）． 7. 已知，，，求的值． 8. 分解因式：． 9. 已知，求的值． 10. 分解因式：（拆添项）． 学科网（北京）股份有限公司 $