第一章　空间向量与立体几何单元检测卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修一册

空间向量与立体几何单元检测卷· 班级 学号 姓名 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知空间向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 2．已知空间四边形ABCD,连接BD,若M,N分别是BC,CD的中点,则-+= ( ) A．. B．3 C．3 D．2 3．已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ） A． B． C．l与α相交但不垂直 D．或 4．正三棱柱的所有棱长都为2，则到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 5．已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,M,N分别为棱BC,PD上的点,=,PN=ND,设=a,=b,=c,则向量用基底{a,b,c}表示为( ) A.a+b+c B.-a+b+c C.a-b+c D.-a-b+c 6．已知AB⊂平面α，AC⊥平面α,BD⊥AB，BD与平面α所成的角为30°，BD=AC=1，AB=2，则点C与点D之间的距离为 ( ) A. B. C.或 D.或 7．如图，在长方体中，，则异面直线和夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．已知正方体的棱长为，是棱的中点，点，分别在平面与平面内、则的最小值为（ ） A． B．2 C． D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．给出下列命题，其中正确的有（ ） A．空间中任意两个向量一定共面 B．若是空间的一个基底，则，，中任意两个向量不共线 C．若空间向量，，则与的夹角为钝角 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10．已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面α的方程为；过点且一个方向向量为的直线l的方程为.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为，直线l是平面与的交线，则下列说法正确的是（ ） A．平面α的一个法向量为 B．直线l经过点 C．直线l的一个方向向量为 D．直线l与平面α所成角的正弦值为 11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ） A．点到直线CQ的距离是 B． C．平面ECG与平面的夹角正弦值为 D．异面直线CQ与BD所成角的正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点B是点在坐标平面Oxy内的射影，则= . 13．已知向量a=(1,2,3)，b=(-2,-4,-6)，|c|=,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为 . 14．如图所示，在三棱锥中，，，是的中点，且底面，则直线与平面所成角的正弦值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知向量. (1)若，求的值；(2)若，求值. 16．（15分）如图所示，在三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上，且. (1)用表示向量；(2)求；(3)求证：. 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点． (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分）如图，在四棱锥 中， 平面 是棱 的中点， . (1)证明: 平面 . (2)求点到平面的距离. (3)若点在棱上，求平面与平面所夹锐角的余弦值的最小值. 19．（17分）如图，在多面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，且，，为的中点． (1)求证：平面平面． (2)已知，，，点是线段上的动点． （ⅰ）判断是否存在一点，使得与垂直？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学单元检测卷 第一章 空间向量与立体几何 建议用时：100分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知空间向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量垂直的坐标形式可取参数的值. 【详解】因为，所以，可得， 故选：C. 2.已知空间四边形ABCD,连接BD,若M,N分别是BC,CD的中点,则-+= (　B　) A. B.3 C.3 D.2 【答案】C 【分析】根据向量加减法的定义可得结果. 【详解】因为M,N分别是BC,CD的中点,所以MN∥BD,且MN=BD,所以=,所以-+=+(-)=+=+2=3. 3．已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（   ） A． B． C．l与α相交但不垂直 D．或 【答案】A 【分析】由和的位置关系即可判断. 【详解】，， 所以， 所以， 故选：A 4．正三棱柱的所有棱长都为2，则到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，将线面距离转化为点面距离，利用空间距离的向量求法，即得答案. 【详解】设分别是的中点，连接， 根据正三棱柱的几何性质可知，两两相互垂直， 建立如图所示空间直角坐标系，    则， . 设平面的法向量为，则， 令，则，故可得. 由于平面平面，所以平面. 所以到平面的距离即到平面的距离，即. 故选：C. 5．已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,M,N分别为棱BC,PD上的点,=,PN=ND,设=a,=b,=c,则向量用基底{a,b,c}表示为( ) A.a+b+c B.-a+b+c C.a-b+c D.-a-b+c 【答案】D 【分析】结合图形，利用空间向量的加减数乘运算，将用空间的基底{a,b,c}表示即可. 【解析】 由题意,得=++=-+=-+(-)=--+=-a-b+c. 故选：D 6.已知AB⊂平面α,AC⊥平面α,BD⊥AB,BD与平面α所成的角为30°,BD=AC=1,AB=2,则点C与点D之间的距离为 (　C　) A. B. C.或 D.或 【解析】 因为AC⊥平面α,BD⊥AB,AB⊂平面α,所以AC⊥AB,所以·=·=0.如图,作DE⊥α,垂足为E,连接BE, 则<,>=90°-30°=60°或<,>=90°+30°=120°.易知== ,若<,>=60°, 则==, 若<,>=120°, 则==. 7．如图，在长方体中，，则异面直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算求解异面直线所成角得余弦值即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系， 则，， 故异面直线和夹角的余弦值为. 故选：B. 8．已知正方体的棱长为，是棱的中点，点，分别在平面与平面内、则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】设点关于平面的对称点为，延长交平面于点，记点，到平面的距离分别为，，求出，根据，求出，则，得到答案. 【详解】如图所示，设点关于平面的对称点为，延长交平面于点， 记点，到平面的距离分别为，，易知， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， ，， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 故， 故，则，所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．给出下列命题，其中正确的有（    ） A．空间中任意两个向量一定共面 B．若是空间的一个基底，则，，中任意两个向量不共线 C．若空间向量，，则与的夹角为钝角 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】ABD 【分析】根据向量的性质可判断A；利用空间向量坐标计算，即可判断C错误；根据空间基底的性质及定义，可判定B和D正确. 【详解】对于选项A，因为空间中任意两个向量都可以平移至起点重合，成为同一个平面的两个向量，故选项A正确， 对于选项B，基底的性质知，空间基底是由非零且不共面的三个向量构成，故选项B正确， 对于选项C，，所以，故选项C不正确， 对于选项D，由是空间的一个基底，设，显然不存在实数使得成立， 所以一定不共面，则也是空间的一个基底，故选项D正确， 故选：ABD. 10．已知：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面α的方程为；过点且一个方向向量为的直线l的方程为.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为，直线l是平面与的交线，则下列说法正确的是（    ） A．平面α的一个法向量为 B．直线l经过点 C．直线l的一个方向向量为 D．直线l与平面α所成角的正弦值为 【答案】ABD 【分析】利用空间向量的运算即可求解各选项. 【详解】由平面的方程为，所以可得平面法向量为，故A正确； 因为直线l是平面与的交线， 所以直线l经过的点必在这两个平面上，经检验： 满足方程，也满足， 故直线l经过点，故B正确； 设直线l的一个方向向量为， 而平面与的法向量分别为， 则有，可得， 令，则，所以，故C错误； , 故直线l与平面α所成角的正弦值为，故D正确； 故选：ABD. 11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（   ） A．点到直线CQ的距离是 B． C．平面ECG与平面的夹角正弦值为 D．异面直线CQ与BD所成角的正切值为 【答案】BD 【分析】通过空间向量的线性运算可得选项B正确，利用空间向量的坐标运算可得选项A、C、D的正误. 【详解】依题意，所以选项B正确； 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，， 对于A：，，设， 则点到直线CQ的距离，所以A错误； 对于C：，， 设平面的法向量的一个法向量为，则， 令得， 设平面的一个法向量为，则， 令得， 所以，即平面与平面的夹角余弦值为， 所以平面ECG与平面的夹角正弦值为，所以C错误； 对于D，因为，， 所以，， 所以，即异面直线与所成角的正切值为，所以D正确． 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算解决角度和距离问题. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点B是点在坐标平面Oxy内的射影，则= . 【答案】5 【详解】点在坐标平面Oxy内的射影点B坐标为，。 13．已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为 . 【解析】 易得a+b=(-1,-2,-3)=-a,故(a+b)·c=-a·c=7,所以a·c=-7,而|a|==,所以cos<a,c>==-,所以<a,c>=120°. 14．如图所示，在三棱锥中，，，是的中点，且底面，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 【详解】为底面，底面， 所以， 又因为，是的中点，所以， 如图所示，以为原点，分别以直线为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系， 设，则，，， 可得，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则由，得，取，得， 设直线与平面所成的角为，则． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求值. 【答案】(1)7； (2)19或13. 【分析】（1）根据给定条件，利用向量共线列式求出，再利用向量线性运算及模的坐标表示求解. （2）由向量垂直及模的坐标表示求出，进而求出向量的数量积. 【详解】（1）向量，由，得，解得， ，而，则， 所以. （2）由，得，即，解得， 由，得，解得， 当时，； 当时，，所以值是19或13. 16．（15分） 如图所示，在三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上，且. (1)用表示向量； (2)求； (3)求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据向量的线性运算结合空间向量基本定理求解即可； （2）利用数量积的运算律求解模长即可； （3）先利用向量线性运算得，然后利用数量积的运算律及定义求得，即可证明. 【详解】（1）； （2）， 则； （3） ， 所以 ，所以，即. 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点． (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过线线平行即可证得线面平行； （2）建系后，写出相关点的坐标，出平面和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1） 取的中点，连接，， 因为为的中点， 所以， 因为， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面， 所以平面． （2） 因为平面，即两两垂直， 故可以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 因为，所以， 所以．   设平面的法向量为， 则 取，得， 所以． 因为平面， 所以平面． 所以为平面的一个法向量．   设平面与平面的夹角为， 则． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18．（17分） 如图，在四棱锥 中， 平面 是棱 的中点， . (1)证明: 平面 . (2)求点 到平面 的距离. (3)若点 在棱 上，求平面与平面所夹锐角的余弦值的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）应用线面垂直得出结合已知应用线面垂直判定定理得出平面，再应用线面垂直证明即可； （2）建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再根据点到平面距离公式计算求解； （3）应用空间向量法求出平面与平面的法向量，再应用面面角余弦公式计算再结合二次函数值域计算求解. 【详解】（1）因为 平面，且 平面，所以， 因为，且，所以， 且，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，是棱的中点，所以， 因为，平面，且，所以平面． （2）以为坐标原点，分别以的方向为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以，,2,，,1,，,0,， 则， 因为点在棱中点上，所以的坐标为， 设平面的法向量为， 则，令，得， （3）以为坐标原点，分别以的方向为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以， 则， 因为点在棱上，所以， 则,,，故， 设平面的法向量为， 则， 令，得， 由（2）知平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 因为，所以， 所以， 即， 故平面与平面夹角的余弦值的最小值为． 19．（17分） 如图，在多面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，且，，为的中点． (1)求证：平面平面． (2)已知，，，点是线段上的动点． （ⅰ）判断是否存在一点，使得与垂直？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）存在，为线段上靠近点的六等分点；（ⅱ）． 【分析】（1）先分别去证平面内两条直线与平面平行，再利用面面平行的判定定理证明两平面平行； （2）在几何体内找到三条互相垂直的直线，建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标表示去列出方程，求出点的坐标，利用线面角的正弦值等于线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值去表示出直线与平面所成角的正弦值，再结合函数求出其最大值. 【详解】（1）证明：因为，且为的中点，所以，． 又因为，所以，所以四边形为平行四边形， 所以． 又因为平面，平面，所以平面． 同理，，且，所以四边形为平行四边形，则． 又平面，平面，所以平面． 又，平面，且，所以平面平面． （2）（ⅰ）取的中点，连接，过点作交于点，取的中点，连接． 因为四边形与四边形均为等腰梯形，且，，， 所以，，，，． 在中，，所以，所以． 所以二面角为直二面角，所以平面平面． 又平面平面，平面，所以平面． 因为平面，所以，所以两两垂直． 故以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． 因为点是线段上的动点，所以设，所以． 假设存在点使得与垂直，则， 所以，即，解得． 故当时，点为线段上靠近点的六等分点． （ⅱ）设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为． 由（ⅰ）知，． 设直线与平面所成角为， 则， 易知当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $