精品解析：四川外国语大学附属外国语学校2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

重庆实验外国语学校2025-2026学年度上期第一次定时作业 初二数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在实数-3，0，，3中，最小的实数是(　　　) A. -3 B. 0 C. D. 3 2. 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，的垂直平分线与交于点，则的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 估计的值（　　） A. 在2和3之间 B. 在3和4之间 C. 在4和5之间 D. 在5和6之间 6. 如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A. B. C. D. 7. 下列命题是假命题的是（　　） A. 在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 B. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 C. 两直线平行，同位角相等 D. 三角形的一个外角等于两个内角的和 8. 如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，若，则的度数是（　　） A. 72° B. 75° C. 79° D. 80° 9. 如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接与交于点，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③，④的度数为，其中正确的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知整式，其中为自然数，均为整数，且整式的最高次项的系数为正整数．若．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有4个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的整式共有37个． 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ___________． 12. 如图，在和中，，点在同一条直线上，且，，，，，则的长为___________． 13. 已知点关于轴的对称点和点关于轴的对称点相同，则点的坐标为___________． 14. 关于的一元一次方程有非正数解，则所有满足条件的负整数的值之和为___________． 15. 如图，在等边中，点是边上的一点，，过点作交于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，当为的中点时，则的长为___________． 16. 已知等腰直角，点在轴的正半轴上，过原点．若，，则的值为___________． 17. 如图，在中，，分别是边，上的点，且，，连接、交于点的平分线交于点，且，若的面积为16，则的面积为___________． 18. 一个四位自然数，各个数位上的数字均不为0，若个位数字与十位数字的平方和等于它的千位数字与百位数字顺次组成的两位数，则称这个四位数为“小满平方和数”．比如：1741，满足，则1741为“小满平方和数”；比如：1234，由于，则1234不是“小满平方和数”．那么最大的“小满平方和数”为___________；如果一个“小满平方和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，当均为整数时，满足条件的的最小值为___________． 三、解答题：（本大题共8个小题，19小题8分，其余每小题10分，共78分） 19. 解下列方程（组） （1） （2） 20. 解下列不等式（组） （1） （2） 21. 运动是一切生命的源泉，运动使人健康、使人聪明、使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格．某初级中学为了解学生一周在家运动时长t（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集到的数据整理分析，共分为四组（A．，B．，C．，D．）绘制了如下两幅不完整的统计图．根据调查知每周在家运动时间不低于3小时的人数占总人数的．根据以上信息，解答下列问题： （1）参与此次调查的学生有______人，请补全条形统计图； （2）_______，扇形统计图中B组对应的扇形的圆心角度数为______； （3）若初二年级学生共有人，根据本次调查结果，试估计该校初二学生一周在家运动时长不足2小时的人数． 22. 如图，点为的角平分线上一点，垂直于点．点在射线上，且． （1）用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线交于点（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）； （2）在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程． 证明：平分， ___________ 在和中， ___________④___________ ___________⑤___________ 23. 如图，的三个顶点的坐标分别为． （1）请作出关于轴对称的，并写出的3个顶点坐标：___________，___________，___________； （2）若点为轴上一点，且的面积为15，请直接写出所有满足条件的点的坐标___________． 24. 中秋节前，某超市第一次购进两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） 礼盒 150 220 礼盒 100 140 （1）根据上表，求该超市第一次购进礼盒各多少个； （2）根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进礼盒个，礼盒的售价比第一次的售价提高10元，礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2560元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 25. 如图，在四边形中，，点在边上，点在延长线上，交于点，交于点．连接，交于点，已知． （1）求证：； （2）若为的中点，，证明：． 26. 如图，在中，，，点是延长线上的一点，连接，在下方作射线．使，点是射线上一点，点是边上一点． （1）如图1，连接，若，，求证：； （2）如图2，连接，使，连接，使，过点作交的延长线于点．若，求证：； （3）如图3，点是线段上一动点，连接并延长至点，使得，连接，，将沿翻折得到，连接．若，当在线段上运动，取得最小值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆实验外国语学校2025-2026学年度上期第一次定时作业 初二数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在实数-3，0，，3中，最小的实数是(　　　) A. -3 B. 0 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】依据正数大于0，负数小于0，正数大于负数进行判断即可． 【详解】解：∵-3＜＜0＜3， ∴其中最小的实数是-3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是比较实数的大小，掌握比较两个实数大小的法则是解题的关键． 2. 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 逐一分析每个选项，判断是否符合轴对称图形的定义． 【详解】是轴对称图形，故不符合题意； 不是轴对称图形，故符合题意； 是轴对称图形，故不符合题意； 是轴对称图形，故不符合题意； 故选：． 3. 已知，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质：不等式的两边同加（减）同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边同乘（除）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同乘（除）同一个负数，不等号的方向改变，是解题的关键．根据不等式的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，则：，原不等式不成立，不符合题意； B、，则：，原不等式成立，符合题意； C、，则：，原不等式不成立，不符合题意； D、，则：，原不等式不成立，不符合题意； 故选B． 4. 如图，在中，，，的垂直平分线与交于点，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质和平行线的性质，结合三角形内角和定理计算是解题的重要步骤． 根据和垂直平分线的条件，可得到，再根据三角形内角和定理得到，再根据平行线的性质和垂直平分线的性质计算即可． 【详解】的垂直平分线与交于点， ，， ，， ，， ， ， 由可得， ． 故选：． 5. 估计的值（　　） A. 在2和3之间 B. 在3和4之间 C. 在4和5之间 D. 在5和6之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，根据夹逼法求出的范围，进而求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即的值在2和3之间； 故选：A． 6. 如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法且结合选项的条件进行分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，，， ∴，故该选项不符合题意； B、∵， ∴，即， ∵，， ∴，故该选项不符合题意； C、∵，，， ∴不能证明，故该选项符合题意； D、∵，，， ∴，故该选项不符合题意； 故选：C． 7. 下列命题是假命题的是（　　） A. 在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 B. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 C. 两直线平行，同位角相等 D. 三角形的一个外角等于两个内角的和 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了真假命题的判断，准确分析每个选项，根据描述的性质判断正误是解题的关键． 对四个选项依次分析判断，找出假命题的选项即可． 【详解】根据角平分线的判定可得：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得选项为真命题，不符合题意； 根据垂直平分线的判定可得：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可得选项为真命题，不符合题意； 根据平行线的性质可得：两直线平行，同位角相等，可得选项为真命题，不符合题意； 根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的另外两个内角的和，可得选项为假命题，符合题意； 故选：． 8. 如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，若，则的度数是（　　） A. 72° B. 75° C. 79° D. 80° 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、折叠的性质等知识点，弄清各角之间的关系是解题的关键． 根据三角形内角和定理可得，再根据直角三角形两锐角互余可得，进而得到；然后利用折叠的性质可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵将沿折叠，点落在点处， ∴， ∴． 故选C． 9. 如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接与交于点，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③，④的度数为，其中正确的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质及判定定理，内角和定理，细心计算角度是关键． 首先证明，得到，得到是等边三角形，②正确；根据与都是等腰直角三角形，进而推出，再根据三线合一的性质得到①③正确；为等腰三角形，顶角都为，得到，进而根据等边三角形的性质即可推出的度数为④正确． 【详解】解：∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，②正确 ∴， ∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴为的角平分线， ∵为等腰三角形， ∴垂直平分，①正确， ∵， ∴平分， ∵是等边三角形， ∴是上边的中线， ∴，③正确， ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形，且是上边的中线， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴的度数为，④正确， 综上所述，①②③④都正确，正确的个数有4个， 故选D． 10. 已知整式，其中为自然数，均为整数，且整式的最高次项的系数为正整数．若．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有4个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的整式共有37个． 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题综合考查了整式与配方法．根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：对于单项式，，此时， 那么． 因为n为自然数，为正整数： 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，(不符合为正整数)． 所以满足条件的单项式有4个，①正确； 当时， ，即． 因为为正整数： 当时，； 若，， 或； 若，， 或； 若，， 或； 当时，，； 所有满足条件的整式M的和为，②错误． 当时，，1个； 当时，， 即． 时，，2个； 时，，2个； 时，，2个； 时，，2个； 时，，2个； 时，，1个； 共个． 当时，， 即． 时，： ，，2个； ，，4个； ，，4个； ，，2个； 共个； 时，： ，，2个； ，，4个； ，，2个； 共个； 时，： ，，2个； ，，2个； 共个； 时，，1个； 共个． 当时，由前面分析有7个； 当时， (舍去)． 总个数为，③错误． 综上所述，只有一个正确， 故选：B． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，化简绝对值，根据算术平方根，以及及绝对值性质进行化简，再进行加减计算，即可作答． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 如图，在和中，，点在同一条直线上，且，，，，，则的长为___________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决本题的关键． 根据、，利用直角三角形两锐角互余的性质得出，利用即可证明，即可得出，，即可求出，进而可得答案． 【详解】解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ． 故答案为：18． 13. 已知点关于轴的对称点和点关于轴的对称点相同，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系、二元一次方程组的应用等知识点，掌握关于x轴对称的点的横坐标相同、纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点的纵坐标相同、横坐标互为相反数是解题关键． 由轴对称的性质可得点关于轴的对称点的坐标为；点关于轴的对称点的坐标为，再根据题意列出关于a，b的方程组求得a，b的值即可解答． 【详解】解：∵点关于轴的对称点的坐标为；点关于轴的对称点的坐标为， ∴，解得：， ∴点A的坐标是． 故答案为． 14. 关于的一元一次方程有非正数解，则所有满足条件的负整数的值之和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，先把一元一次方程去分母，去括号，合并同类项，系数化1，得出，再结合关于的一元一次方程有非正数解，以及为负整数，得出取，再列式计算得出所有满足条件的负整数的值之和，即可作答． 【详解】解：∵， ∴去分母得， 去括号得， 移项得， 系数化1得， ∵关于的一元一次方程有非正数解， ∴， ∴， 解得， ∵为负整数， ∴， ∴取， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在等边中，点是边上的一点，，过点作交于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，当为的中点时，则的长为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，30度角的直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由等边三角形的性质得，结合以及直角三角形的两个锐角互余得，，故，又因为点为的中点，得，即，，同理得，设的长为，则可表示，然后结合，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∵， 则， ∵点为的中点， ∴， 即， ∴， 设的长为， ∵， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 则， 则的长为， 故答案为：． 16. 已知等腰直角，点在轴的正半轴上，过原点．若，，则的值为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，点的坐标，等腰三角形的性质，先结合题意，过点C作直线轴，再分别过作，再根据，证明，故，因为，，得，即可作答． 【详解】解：过点C作直线轴，再分别过作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， 即， 则， 再把与相加，得， 即． 故答案为：8 17. 如图，在中，，分别是边，上的点，且，，连接、交于点的平分线交于点，且，若的面积为16，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积比，熟练根据底边之比进行三角形面积的转换是解题的关键． 连接，根据角平分线的性质，可得点G到和的距离相等，则可得的面积，再根据，得到，进而求得的面积，根据求得和的面积，再根据即可求得的面积，最后求得的面积，即可求得的面积， 【详解】解：由题意得是的平分线，且， 设点G到的距离为，到的距离为，则， ∵，， 又∵且， ∴， ∴的面积为：， 连接，如下图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴ ， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 一个四位自然数，各个数位上的数字均不为0，若个位数字与十位数字的平方和等于它的千位数字与百位数字顺次组成的两位数，则称这个四位数为“小满平方和数”．比如：1741，满足，则1741为“小满平方和数”；比如：1234，由于，则1234不是“小满平方和数”．那么最大的“小满平方和数”为___________；如果一个“小满平方和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，当均为整数时，满足条件的的最小值为___________． 【答案】 ①. ②. 2651 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数的运算，不等式的性质，整除等知识点，他的关键是正确理解新定义． 设“小满平方和数”为，则，要使得“小满平方和数”最大，则尽可能大，，然后分类讨论求解最大的“小满平方和数”即可；由题意可得能被5整除，能被7整除，而，则，那么可取，则可取，然后再分类讨论求解． 【详解】解：设“小满平方和数”为，则， 要使得“小满平方和数”最大，则尽可能大， ∵， ∴ 当，时，则 若，则，不成立，舍； 若，则，不成立，舍； 若，则，不成立，舍； 若，则，不成立，舍； 当，时，则 若，则，不成立，舍； 若，则，不成立，舍； 若，则， 此时（舍负），成立，符合题意， ∴最大的“小满平方和数”为； ∵， ∴， ∵为整数 ∴能被5整除， ∵，为整数 ∴能被7整除， ∵， ∴， ∴可取， ∴可取， 当时，则； 当时，则或或或或； 当，则或或或； 当，则或； 要使得最小，则尽可能小， 当时， ∵能被5整除， ∴或，此时或，无符合为整数的组合； 当时， ∵能被5整除， ∴或，此时或，对应， ∴， ∴满足条件的的最小值为， 故答案为：，． 三、解答题：（本大题共8个小题，19小题8分，其余每小题10分，共78分） 19. 解下列方程（组） （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程和二元一次方程组，准确的计算是解决本题的关键． （1）先去分母，再去括号和移项，最后合并同类项即可求解； （2）先将两个方程化简，再利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解： 解得； 【小问2详解】 解： 整理得：， 得，， 解得， 将代入得 解得， ∴此方程组的解为． 20. 解下列不等式（组） （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． （1）移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）分别解两个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得． 【小问2详解】 解： 解不等式①得， 解不等式②得． 则不等式组的解集是：． 21. 运动是一切生命的源泉，运动使人健康、使人聪明、使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格．某初级中学为了解学生一周在家运动时长t（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集到的数据整理分析，共分为四组（A．，B．，C．，D．）绘制了如下两幅不完整的统计图．根据调查知每周在家运动时间不低于3小时的人数占总人数的．根据以上信息，解答下列问题： （1）参与此次调查的学生有______人，请补全条形统计图； （2）_______，扇形统计图中B组对应的扇形的圆心角度数为______； （3）若初二年级学生共有人，根据本次调查结果，试估计该校初二学生一周在家运动时长不足2小时的人数． 【答案】（1），补全统计图如图： （2）， （3）估计该校初二学生一周在家运动时长不足2小时的人数为人 【解析】 【分析】（1）根据D组人数占比以及D组的人数，可求出参与此次调查的学生人数．用此次调查的学生人数减去A、C、D组人数，得到B组人数，再补全条形图． （2）A组人数除以调查的总人数，再乘以即可求得m，此次调查的学生中的B组人数所占比例，再乘以得出扇形统计图中B组对应的扇形的圆心角度数． （3）将样本中A、B组人数占比乘以全校总人数，即可得出全校范围的估计人数． 【小问1详解】 解∶∵根据调查知每周在家运动时间不低于3小时的人数占总人数的，D组为，D组有人， ∴参与此次调查的学生有人， ∵A组有人，C组有人， ∴B组有人， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵A组有人， ∴， ∴， ∵B组有人， ∴扇形统计图中B组对应的扇形的圆心角度数为， 故答案为：，； 【小问3详解】 ∵A组为，有人，B组为，有人，初二年级学生共有人， ∴估计该校初二学生一周在家运动时长不足2小时的人数人． 22. 如图，点为的角平分线上一点，垂直于点．点在射线上，且． （1）用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线交于点（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）； （2）在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程． 证明：平分， ___________ 在和中， ___________④___________ ___________⑤___________ 【答案】（1） 解：点如图所示 （2），，， 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，过点作的垂线，与的交点为点F，即可作答． （2）根据已有的过程，且结合全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，进行分析再补充完整，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：平分， ； ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 23. 如图，的三个顶点的坐标分别为． （1）请作出关于轴对称的，并写出的3个顶点坐标：___________，___________，___________； （2）若点为轴上一点，且的面积为15，请直接写出所有满足条件的点的坐标___________． 【答案】（1） 如图，即为所求， ；； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了图形与坐标——轴对称，三角形面积的计算等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，得到A、B、C三点的关于x轴的对称点的坐标，依次连接这三个点即可得到所求作的三角形； （2）根据点和点都在轴上，直接利用三角形面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵和关于轴对称，， ∴，，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：∵点为轴上一点， ∴设点的坐标为， 在中，点为，点为，点为， ∴，点到轴的距离为， ∵的面积为15， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴满足条件的点的坐标为或． 故答案为：或． 24. 中秋节前，某超市第一次购进两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） 礼盒 150 220 礼盒 100 140 （1）根据上表，求该超市第一次购进礼盒各多少个； （2）根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进礼盒个，礼盒的售价比第一次的售价提高10元，礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2560元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 【答案】（1）该超市购进A礼盒20个，则购买礼盒80个 （2）该超市有13种进货方案 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该超市购进礼盒个，则购买礼盒个，根据两种礼盒共获利4600元，列方程，解方程即可； （2）根据超市计划比第一次多购进礼盒个，礼盒的售价比第一次的售价提高10元，礼盒的售价也比第一次的售价提高，且第二次的总利润至少比第一次的总利润多2560元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，列出不等组求解即可． 【小问1详解】 解：设该超市购进礼盒个，则购买礼盒个 由题意可得：， 解得：， 则（个） 答：该超市购进A礼盒20个，则购买礼盒80个． 【小问2详解】 解：∵、礼盒共100个，礼盒比第一次多购进个， 即礼盒购进个，礼盒购进个， ∵礼盒售价提高10元， ∴利润为（元） ∵礼盒售价提高， ∴（元） 由题意可得： ， ∵为整数 ∴可取共13个整数， 每个对应一个进货方案（即不同的和礼盒数量组合），且均满足条件． ∴该超市有13种进货方案． 25. 如图，在四边形中，，点在边上，点在延长线上，交于点，交于点．连接，交于点，已知． （1）求证：； （2）若为的中点，，证明：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴ 在和中： ， ∴， ∴； （2） 证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴ ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题关键是利用等腰三角形的两底角相等和三角形内角和进行计算得出，． （1）利用旋转模型证明即可得出结论， （2）先证明，设，进而利用等腰三角形的两底角相等通过计算得出，，得出，利用（1）的结论得出，，从而证明，由此得出，由此即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 如图，在中，，，点是延长线上的一点，连接，在下方作射线．使，点是射线上一点，点是边上一点． （1）如图1，连接，若，，求证：； （2）如图2，连接，使，连接，使，过点作交的延长线于点．若，求证：； （3）如图3，点是线段上一动点，连接并延长至点，使得，连接，，将沿翻折得到，连接．若，当在线段上运动，取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2） 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，得到，结合得到，再利用线段的和差以及等量代换即可证明； （2）先证明是等腰直角三角形，得到，再证明，得到，，结合得到，进而得到，再利用线段的和差以及等量代换即可证明； （3）在上截取点使得，作点关于的对称点，连接、，则，，根据三角形中位线定理得到，，则，根据翻折的性质得到，，推出，得到，，分析可得点在平行于的直线上运动，所以当时，即时，取得最小值，由（1）中的结论得到，通过证明四边形是矩形，得到，再根据线段的等量代换即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在上截取点使得，作点关于的对称点，连接、，则，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点在平行于的直线上运动， ∴当时，即时，取得最小值； 当时，设交于点， 由（1）中的结论得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、轴对称的性质、三角形中位线定理、矩形的性质与判定，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $