精品解析：福建省漳州市漳浦县新启点教育集团2025-2026学年九年级数学上学期10月检查试卷（二）

新启点教育集团2025-2026学年上学期10月检查（二） 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150 一、单选题 1. 已知，求（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例的性质． 依据等比的性质：，那么，求解； 当时，直接可利用等比的性质得到答案． 【详解】解：∵， 所以由合比性质可得， ． 故选：C 2. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先移项，再“加上一次项系数一半的平方”配方即可． 【详解】解：， 移项，得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 配方，得． 故选：D． 3. 如图，在菱形中，对角线，的长分别为8和6，将平移到，则四边形的面积为（ ） A. 36 B. 48 C. 72 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了菱形的面积计算及平移的意义，难度中等．根据平移的意义知四边形是平行四边形，，故由菱形对角线的长度求其面积即可解决问题． 【详解】解：∵菱形， ，． ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵在菱形中， ， ∴四边形的面积等于． 故选：A． 4. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；掌握根的判别式：“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．”是解题的关键． 【详解】解：A.可化为，因为，所以原方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； B.因为，所以原方程有两个相等的实数根，故不符合题意； C.可化为，因为，所以原方程没有实数根，故符合题意； D.因为，所以原方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； 故选：C． 5. 下列命题中真命题是（ ） A. 一组数据的方差越大，说明该组数据越具有稳定性 B. 某抽奖活动中奖的概率是，参与次抽奖一定会中奖 C. 在一个随机事件过程中某种结果的出现概率是由实验的次数决定的 D. 将、、、、依次重复写遍，得到这个数的平均数是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查命题真假的判断，涉及方差的性质、概率的意义、概率的定义及平均数的计算等知识，熟记方差的性质、概率的意义、概率的定义及平均数的计算是解决问题的关键．根据相关知识点逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即数据波动越大，也就意味着数据越不稳定；方差越小，数据越稳定．所以“一组数据的方差越大，说明该组数据越具有稳定性”是错误的．故A是假命题，不符合题意； B.某抽奖活动中奖的概率是，表示在大量重复抽奖的情况下，平均每次抽奖中奖的可能性是，参与次抽奖，只是有可能中奖，但不是一定会中奖，因为每次抽奖的结果都是独立的，具有随机性．所以“参与次抽奖一定会中奖”是错误的．故B是假命题，不符合题意； C.在一个随机事件中，某种结果出现的概率是由事件本身的性质决定的，而不是由实验的次数决定的．实验次数只是用来估计概率，当实验次数足够多时，频率会逐渐稳定在概率附近．所以“某种结果的出现概率是由实验的次数决定的”是错误的．故C是假命题，不符合题意． D.已知、、、、依次重复写遍，可得这个数据的总和为，所以这个数据的平均数为，该命题是真命题，符合题意． 故选：D． 6. 如图，直线，直线和被，，，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活应用定理，找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：， ，即， 解得：． 故选：A． 7. 随机投掷一枚纪念币的试验，得到的结果如表所示： 投掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 260 511 793 1036 1306 1558 2083 2598 “正面向上”的频率 下面有3个推断： ① 抛掷次数是 1000 时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ② 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③ 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000 时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次． 其中所有合理推断的序号是 （ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③ 【答案】B 【解析】 【分析】用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．根据用频率估计概率以及频率和概率的概念判断． 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：① 抛掷次数是 1000 时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是，不合理； ② 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是，判断合理； ③ 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000 时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，判断合理， 故选：B． 8. 如图，中，两个顶点在轴上方，点的坐标是，以点为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍，设点的对应点的横坐标为2，则点的横坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质、相似三角形的判定与性质、点坐标与图形、熟练掌握位似图形的性质是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，先求出，，再根据位似图形的性质可得点在同一条直线上，且，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，则可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵点的坐标是，点的对应点的横坐标为2， ∴，， ∵以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍， ∴点在同一条直线上，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵点位于第二象限， ∴点的横坐标为， 故选：D． 9. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）有不相等的实数根时，必须满足．利用此条件转化即可解得参数的范围． 【详解】解：依题意列得， 解得且． 故选：C． 10. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．下列方程是邻根方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，掌握一元二次方程的解法，读懂题意、理解“邻根方程”是解决本题的关键．先解出一元二次方程的两个根，再根据两个根的差是否为“1”得结论． 【详解】解：A. ， ∴， ∴，， ∴方程不是“邻根方程”，选项A不符合题意； B. ， ， 方程无实数根，选项B不符合题意； C. ， ∴， ∴， ∴，，， ∴方程不是“邻根方程”，选项C不符合题意； D. ， ， ∴， ∴，，， ∴方程是“邻根方程”，选项D符合题意； 故选：D． 二、填空题 11. 某科室有3名医生，其中2名男医生和1名女医生，现随机选派两名医生前往某地震灾区参与救援工作．则选派的两名医生恰好是一男一女的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用列表求概率．正确的列出表格或画出树状图是解题关键．先列表，表示出所有可能的情况，再找出符合题意的情况，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：将两名男医生分别记为男1，男2，列表如下： 男1 男2 女 男1 ﹣ 男1，男2 男1，女 男2 男2，男1 ﹣ 男2，女 女 女，男1 女，男2 ﹣ 由表格可知，共有6种等可能的结果，其中选派的两名医生恰好是一男一女的结果有4种， 所以选派的两名医生恰好是一男一女的概率为． 故答案为：． 12. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，，于点，若，，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质证明再根据三角形面积的不变性，得等式，勾股定理，解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积应用，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解： 四边形为正方形，， ，． 又， ． ． 在中，，， ． ， ， ． ． 故答案为：． 13. 如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．已知，，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．据此列出比例式，代入数据计算即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，即， ∴， 解得：， 即的长为． 故答案为：． 14. 如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件：________，使． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 利用相似三角形的判定定理进行添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 如图，在矩形中，，，点E是延长线上的动点，连接，交的延长线于点F，连接，则的最大值为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形的三边关系以及勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．设的中点为，连接，，先求出，，再根据三角形的三边关系求出的最大值． 【详解】解：设的中点为，连接，． ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵，的中点为， ∴， 在中，． ∴， ∴当，，三点共线时，取得最大值． 故答案为：． 16. 设是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出是解题的关键．根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 17. 用公式法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是用公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解答本题的关键． 【小问1分析】对一元二次方程进行移项、合并同类项等步骤将方程化为一般形式并分析出二次项系数、一次项系数以及常数项，然后利用求根公式对方程进行求解． 【小问2分析】对一元二次方程进行去括号、移项等步骤将方程化为一般形式并分析出二次项系数、一次项系数以及常数项，然后利用求根公式对方程进行求解． 【详解】 【小问1详解】解： 移项、合并同类项得 观察可得 ；； 故答案为：. 【小问2详解】解： 去括号得 移项得； 合并同类项得 ； ， 18. 如图，是由在平面内绕点B旋转而得，且，，连接． （1）求证： （2）试判断四边形的形状，并说明理由 【答案】（1） 证明：∵是由在平面内绕点B旋转而得， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）四边形是菱形， 由（1）可知：， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可知，，则有，，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）及题意易得，然后问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知，且，求的值 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，得，根据，得出，进而求得的值，代入代数式，即可求解． 【详解】解：设， ∴． 又∵， ∴． 解得：． ∴． ∴． 20. 《哪吒》自年月日上映以来，便如同一颗重磅炸弹，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号，，，来表示，这张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； （2）将哪吒和敖丙的组合或太乙真人和申公豹的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了求概率． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，小明和小红他们抽到的两张卡片恰好配套的结果有种， 小明和小红他们抽到的两张卡片恰好一套的概率为 21. 如图，在菱形中，，是边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）连接，若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵在菱形中，， ∴，， ∴、是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）7 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，根据菱形的性质可得，，根据等边三角形的判定和性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可得，根据平行线的判定得出； （2）连接，，设与相交于点，根据菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理求得的长，根据（1）中得出，根据以及菱形的性质可得，进而在中，根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，设与相交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，是等边三角形， ∴，， ∴， 由（1）可得，， ∴，． 在中，． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、菱形的性质以及平行线的判定，解题的关键是熟悉全等三角形的判定和性质和菱形的性质． 22. 如图，已知线段，在线段上求作一点C，使． 【答案】 点C即为所求： 【解析】 【分析】本题主要考查了复杂作图、比例线段等知识点，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 如图：先作出射线，在射线上依次截取线段，连接，作交于C，点C即为所求． 【详解】略 23. 问题探究 （1）如图1所示，在四边形ABCD中，与互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可进行拼合：作，在射线DF上任取一点E（不与点D重合），连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是______； 问题解决 （2）如图2所示，有一个四边形公园ABCD，B、D是公园的两个入口，AC和BD是公园的两条主干道，其中，与互余，，，，求BD的长． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）易得∠ADE=∠ADC+∠CDF=∠ADC+∠ABC=90゜，由勾股定理可得AD、DE、AE三者间的数量关系； （2）在∠ADC的外部作，过点C点作CE⊥DF于E，连接AE；则由（1）得∠ADE=90゜．易得△CDE∽△CBA，从而有DE=2CE，∠DCE=∠BCA，则有∠ACE=∠BCD，由勾股定理可得AE的长及，从而可得△ECA∽△DCB，由相似三角形的性质可求得BD的长． 【详解】（1）∵∠ADE=∠ADC+∠CDF=∠ADC+∠ABC=90゜ ∴在Rt△ADE中，由勾股定理得： 即AD、DE、AE三者间的数量关系为 故答案为： （2）在∠ADC的外部作，过点C点作CE⊥DF于E，连接AE 则由（1）得∠ADE=90゜ ∵∠CED=∠BAC=90゜， ∴△CDE∽△CBA ∴，∠DCE=∠BCA ∴DE=2CE ∵∠DCE=∠BCA ∴∠DCE+∠ACD=∠BCA+∠ACD ∴∠ACE=∠BCD 在Rt△DCE中，由勾股定理得： 即 ∴， ∴在Rt△ADE中，由勾股定理得： ∵在Rt△ABC中，AB=2AC ∴由勾股定理得： ∴ ∵∠ACE=∠BCD ∴△ECA∽△DCB ∴ ∴ 即BD的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，本题的关键根据探究问题（1）获得问题（2）的解题思路，从而顺利完成本题． 24. 【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案． 【任务一】测量矩形空地的长和宽． 经测量，矩形的长为8米，宽为6米． 【任务二】拟定设计方案，按照的比例尺画出设计图纸． （1）第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为6厘米，在边上确定中点H，则的长应为____； 步骤二：在图纸上分别找到其他边的中点，顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图1．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； （2）第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ （3）第三小组计划设计的花坛部分整体为轴对称图形，请你帮助他们完成如下任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 【答案】（1） （2） （3）如图： 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，一元二次方程的实际应用，设计轴对称图案，理解题意是解题的关键． （1）根据比例尺求出的长，根据中点求出的长即可； （2）设小路的宽为厘米时符合设计要求，根据题意，列出一元二次方程进行求解即可； （3）连接，交于点，两部分作为花坛即可． 【小问1详解】 解：由题意得：图纸上画出矩形的宽为6厘米，矩形的长为8米，宽为6米． 故， ∵H为边的中点， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：设小路的宽为时符合设计要求，根据题意，得 ， 整理，得， 解得，（舍去）， 答：当小路的宽为时符合设计要求； 【小问3详解】 解：如图，连接，交于点， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， 同理：， ∴， ∴，且阴影部分是轴对称图形； ∴第三小组计划设计的花坛部分符合要求． 25. 在平面直角坐标系中，函数，其中m为常数，该函数的图像记为G． （1）当时， ①如图1，若点在图像G上，则b的值为______；（直接写出答案） ②如图1，点P在图像G上，设点P横坐标为a，且，由点P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别是点E，F，若矩形面积为3，求出a的值； ③如图2，在②条件下，且，由点P作直线交直线于H，交图像G于点B，图像G与直线交于点C，与y轴交于点A．连接，若，则点H坐标为______；（直接写出答案） （2）当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，求m的取值范围． 【答案】（1）①或②或或；③ （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）当时，函数，①将分别代入两个函数解析式即可求出b的值；②因为点P横坐标为a，且，所以可设，根据矩形面积为3，列方程解方程并取满足的解即可；③在②条件下，且，所以，则，由，可得，因为，则，即为中点，由中点公式可求所求点坐标； （2）分，，三种情况讨论，当，时，可证明都不满足条件；当时，可知最大值必为，再分两种情况讨论最小值可能取在或时，进行计算求解即可． 【小问1详解】 解：当时，函数， ①点在图像上， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 故答案为：或； ②∵点P横坐标为a，且， ∴， ∵矩形面积为3， ∴， 即或， 解得或（舍去）， ∴a的值为或或； ③∵在②条件下，且， ∴， ∴， 作，， ∵， ∴， ∴， ， ∵， 即， 即， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即为中点， ，横坐标为，由中点公式知， 点横坐标为， ∵在直线上，代入得： ， ∴， 由中点公式知，纵坐标为： ， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时， 如图，当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值， ， ∵， ∴不合题意； 当时， 如图，当时，函数取得最小值， 时，函数取得最大值， ， ∵， ∴不合题意； 当时， 函数最大值取在当时，代入得， 当时，， 当时，， 若，即， 函数取得最小值， 此时， ， ∴不合题意； 若，即时， 函数取得最小值， 此时， ， ∴ 的取值范围是； 综上，满足条件的的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新启点教育集团2025-2026学年上学期10月检查（二） 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150 一、单选题 1. 已知，求（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，在菱形中，对角线，的长分别为8和6，将平移到，则四边形的面积为（ ） A. 36 B. 48 C. 72 D. 96 4. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中真命题是（ ） A. 一组数据的方差越大，说明该组数据越具有稳定性 B. 某抽奖活动中奖的概率是，参与次抽奖一定会中奖 C. 在一个随机事件过程中某种结果的出现概率是由实验的次数决定的 D. 将、、、、依次重复写遍，得到这个数的平均数是 6. 如图，直线，直线和被，，，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 7. 随机投掷一枚纪念币的试验，得到的结果如表所示： 投掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 260 511 793 1036 1306 1558 2083 2598 “正面向上”的频率 下面有3个推断： ① 抛掷次数是 1000 时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ② 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③ 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000 时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次． 其中所有合理推断的序号是 （ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③ 8. 如图，中，两个顶点在轴上方，点的坐标是，以点为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍，设点的对应点的横坐标为2，则点的横坐标为（　　） A. B. C. D. 9. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．下列方程是邻根方程的是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题 11. 某科室有3名医生，其中2名男医生和1名女医生，现随机选派两名医生前往某地震灾区参与救援工作．则选派的两名医生恰好是一男一女的概率是_________． 12. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，，于点，若，，则的长为____． 13. 如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．已知，，，则的长为_______． 14. 如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件：________，使． 15. 如图，在矩形中，，，点E是延长线上的动点，连接，交的延长线于点F，连接，则的最大值为_____． 16. 设是方程的两个实数根，则的值为________． 三、解答题 17. 用公式法解下列方程： （1）． （2）． 18. 如图，是由在平面内绕点B旋转而得，且，，连接． （1）求证： （2）试判断四边形的形状，并说明理由 19. 已知，且，求的值 20. 《哪吒》自年月日上映以来，便如同一颗重磅炸弹，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号，，，来表示，这张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； （2）将哪吒和敖丙的组合或太乙真人和申公豹的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率． 21. 如图，在菱形中，，是边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）连接，若，，求线段的长． 22. 如图，已知线段，在线段上求作一点C，使． 23. 问题探究 （1）如图1所示，在四边形ABCD中，与互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可进行拼合：作，在射线DF上任取一点E（不与点D重合），连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是______； 问题解决 （2）如图2所示，有一个四边形公园ABCD，B、D是公园的两个入口，AC和BD是公园的两条主干道，其中，与互余，，，，求BD的长． 24. 【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案． 【任务一】测量矩形空地的长和宽． 经测量，矩形的长为8米，宽为6米． 【任务二】拟定设计方案，按照的比例尺画出设计图纸． （1）第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为6厘米，在边上确定中点H，则的长应为____； 步骤二：在图纸上分别找到其他边的中点，顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图1．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； （2）第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ （3）第三小组计划设计的花坛部分整体为轴对称图形，请你帮助他们完成如下任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 25. 在平面直角坐标系中，函数，其中m为常数，该函数的图像记为G． （1）当时， ①如图1，若点在图像G上，则b的值为______；（直接写出答案） ②如图1，点P在图像G上，设点P横坐标为a，且，由点P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别是点E，F，若矩形面积为3，求出a的值； ③如图2，在②条件下，且，由点P作直线交直线于H，交图像G于点B，图像G与直线交于点C，与y轴交于点A．连接，若，则点H坐标为______；（直接写出答案） （2）当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $