精品解析：山东省枣庄市滕州市滕州市育才中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级阶段评估卷数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（共10题，满分30分，每小题3分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. 5 D. 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. 正方形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 菱形 3. 用配方法解方程，方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，，D是的中点，则的长为（ ） A. 3cm B. C. 6cm D. cm 5. 若，是方程的两根，则的值是（　　） A. B. 16 C. 3 D. 6. 如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 7. 据山东省工信厅对重点车企的排产调研，预计2025年10月全省新能源汽车整车的产量约万辆，按计划12月将达到万辆．若11月、12两月的月平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，则的值为（ ） A. 或1 B. 或6 C. 6 D. 1 9. 如图，正方形的边长为6，E是的中点，，与交于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 9 10. 定义：是一元二次方程的倒方程．下列四个结论中，错误的是（ ） A. 如果是一元二次方程的倒方程的解，那么 B. 如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根 C. 如果一元二次方程无实数根，那么它的倒方程也无实数根 D. 如果一元二次方程有两个不相等的实数根，那么它的倒方程也有两个不相等的实数根 二、填空题（共6题，满分18分） 11. 将一元二次方程化成一般形式后，若二次项的系数是5，则一次项的系数是______． 12. 已知菱形中对角线、相交于点，添加条件________可使菱形成为正方形． 13. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 14. 菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，，则与的面积之和为__________． 15. “中国体育彩票杯”山东省冰球锦标赛在临港区威海冰球馆吹哨开赛，分别采用单循环赛和小组赛．若在单循环赛中（每两支队伍之间进行一场比赛）共进行了78场，则本次锦标赛共有参赛队伍_________支． 16. 如图，在中， P为边BC上一动点，于E，于为中点，则的最小值是_____． 三、解答题：共8小题，共72分．（解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2） 18. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）当∠EAD等于多少度时，四边形ABCD是正方形．并写出推理过程． 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）当时，求方程的根． 20. 如图，在中，，分别为，的中点，，垂足为，点在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，，求和的长． 21. 山东潍坊杨家埠木版年画有“画乡”之称．某校社团准备制作一张长方形年画《瑞虎迎春》，长和宽分别记为、（单位：）．已知、是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，这张年画恰好是正方形？ （2）若制作时要求四周各留的空白边（即实际画面长，宽），且满足，求的值． 22. 济南百年老字号鲁味斋（始创于年）现有真空五香虎皮猪蹄（非遗产品）．其生产成本为元/袋，当门店定价元/袋时，每天可售出袋，市场调查反映：销售单价每上涨元，则每天少售出袋．设销售单价上涨元． （1）若日销售利润恰好达到元，求的值． （2）每天的销售利润能否恰好达到元？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 23. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动． （1）几秒后，的长度为？ （2）几秒后，的面积为？ （3）的面积能否为？请说明理由． 24. 【问题提出】 已知：正方形和正方形有公共顶点，把正方形绕点顺时针旋转一定的度数，连接，探究的长． 【问题探究】 （1）已知正方形的边长为，正方形的边长为．如图，若正方形的边落在正方形的边上，求的长． （2）已知正方形的边长为，正方形的边长为，如图，将正方形由图中的位置绕点顺时针旋转，求的长． 【拓展应用】 （3）如图，已知矩形和矩形全等，把矩形绕点顺时针旋转，使所在的直线恰好过的中点，当，时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段评估卷数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（共10题，满分30分，每小题3分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义这一知识点．一元二次方程的定义为：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程．解题关键是紧扣定义，从“一元”（一个未知数）、“二次”（最高次数为2）、“整式方程”这三个方面去逐一判断选项；易错点是容易忽略“整式方程”这一条件，或者错误判断未知数的最高次数． 解题时，依次对每个选项进行分析．对于选项A，将方程整理为，观察可得只含一个未知数x，未知数最高次数是2，且是整式方程，符合一元二次方程定义．选项B整理后是一元一次方程，不符合“二次”；选项C含有两个未知数，不符合“一元”；选项D未知数最高次数是3，不符合“二次”，所以只有选项A符合． 【详解】A、方程，整理后为，只含有一个未知数x，且未知数的最高次数是2，是整式方程，所以是一元二次方程； B、方程，整理后为，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，不是一元二次方程； C、方程，含有两个未知数x和y，是二元一次方程，不是一元二次方程； D、方程，未知数的最高次数是3，是一元三次方程，不是一元二次方程． 故选：A． 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. 正方形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义逐项进行判断即可，即一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合． 【详解】解：A.正方形是轴对称图形，该选项不符合题意； B. 平行四边形不是轴对称图形，该选项符合题意； C. 矩形是轴对称图形，该选项不符合题意； D. 菱形是轴对称图形，该选项不符合题意； 故选：B． 3. 用配方法解方程，方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．通过移项和配方，将方程转化为完全平方形式即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 4. 如图，在中，，，，D是的中点，则的长为（ ） A. 3cm B. C. 6cm D. cm 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据直角三角形的性质得出，然后利用含角的直角三角形的性质和直角三角形斜边中线定理，进行求解即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， 故选：C． 5. 若，是方程的两根，则的值是（　　） A. B. 16 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查“一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）”这一知识点．解题关键是熟练掌握韦达定理中两根之和的公式（a是二次项系数，b是一次项系数）；易错点是容易混淆公式中符号，误将b的符号弄错，导致计算错误． 首先识别方程是一元二次方程的一般形式，确定其中，．然后根据韦达定理中两根之和的公式，将a和b的值代入，计算，得出结果为16，进而选择正确选项． 【详解】由题意得，根据韦达定理，两根之和． 在方程中，，， 所以． 故选：B． 6. 如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，解题的关键是掌握菱形的判定定理和性质． 对角线互相垂直平分的四边形为菱形，得出四边形为菱形，再根据菱形的性质求解即可． 【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形为菱形， ∴四边形为菱形， ∴四边形的周长为， 故选：C． 7. 据山东省工信厅对重点车企的排产调研，预计2025年10月全省新能源汽车整车的产量约万辆，按计划12月将达到万辆．若11月、12两月的月平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找准等量关系． 设月平均增长率为，根据增长后的辆数，列出方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为，根据题意得， ， 故选：A． 8. 已知实数满足，则的值为（ ） A. 或1 B. 或6 C. 6 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 将看做一个整体，代入求解，再根据判断即可． 【详解】， 设， ∵实数满足， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 故选：D． 9. 如图，正方形的边长为6，E是的中点，，与交于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．由正方形的性质得出，，由E是的中点，得出，由勾股定理得出，证明，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10. 定义：是一元二次方程的倒方程．下列四个结论中，错误的是（ ） A. 如果是一元二次方程的倒方程的解，那么 B. 如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根 C. 如果一元二次方程无实数根，那么它的倒方程也无实数根 D. 如果一元二次方程有两个不相等的实数根，那么它的倒方程也有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解和根的判别式，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．如果是一元二次方程的倒方程的解，则，解得，原结论正确，不符合题意； B．如果，那么这两个方程的根的判别式，这两个方程都有两个不相等的实数根，原结论正确，不符合题意； C．一元二次方程和它的倒方程的根的判别式都是，如果一元二次方程无实数根，那么它的倒方程也无实数根，原结论正确，不符合题意； D．若，的倒方程为，不可能有两个不相等的实数根，原结论错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题（共6题，满分18分） 11. 将一元二次方程化成一般形式后，若二次项的系数是5，则一次项的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确整理为一般式是解题关键．先化成一般形式，即可得出答案． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式， 故一次项系数是． 故答案为：． 12. 已知菱形中对角线、相交于点，添加条件________可使菱形成为正方形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、正方形的判定等知识点，熟练掌握菱形的性质及正方形的判定是解题的关键．根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件即可解答． 【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加：； 故添加的条件为：或． 故答案为：（不唯一）． 13. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】：k＜1． 【解析】 【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴△==4﹣4k＞0， 解得：k＜1， 则k的取值范围是：k＜1． 故答案为k＜1． 14. 菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，，则与的面积之和为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质．证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的面积之和． 故答案为：6 15. “中国体育彩票杯”山东省冰球锦标赛在临港区威海冰球馆吹哨开赛，分别采用单循环赛和小组赛．若在单循环赛中（每两支队伍之间进行一场比赛）共进行了78场，则本次锦标赛共有参赛队伍_________支． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设共有x支队伍参加比赛，根据“单循环比赛共进行了78场”列一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设共有x支队伍参加比赛， 根据题意，可得， 解得或（舍）， ∴共有支队伍参加比赛， 故答案为：． 16. 如图，在中， P为边BC上一动点，于E，于为中点，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先分析出四边形为矩形，所以为对角线，因此求最小值可以转化为求最小值． 【详解】解：， ∴四边形是矩形， 互相平分．且， 的交点就是M点， ∵当的值最小时，的值就最小， ∴当时，的值最小，即的值最小． ， 在中，由勾股定理，得， ， ， 故答案为 【点睛】本题考查矩形的判定，点向直线作垂线段，得到的垂线段是所有点线连线中最短的，掌握这些是本题关键． 三、解答题：共8小题，共72分．（解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法． 把一元二次方程整理成一般形式，可得：，再用公式法解一元二次方程即可； 把整体看成未知数，用分解因式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 整理得：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 提公因式得：， 或， 解得：，． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）当∠EAD等于多少度时，四边形ABCD是正方形．并写出推理过程． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝OC ∵△ACE是等边三角形， ∴EO⊥AC 即BD⊥AC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）当∠EAD＝15°时，四边形ABCD是正方形． 由（1）知△AOE是直角三角形， ∴∠AED＋∠EAO＝90°， ∵AO=OC，△ACE是等边三角形， ∴∠EAO＝60°，∠AED＝30°． ∵∠EAD＝15°， ∴∠DAO＝∠EAO－∠EAD＝45°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BAD＝2∠DAO＝90°， ∴四边形ABCD是正方形． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AO=OC，再根据等边三角形的性质证得BD⊥AC即可证得结论； （2）当∠EAD＝15°时，四边形ABCD是正方形．根据等边三角形的性质可证得∠EAO＝60°，∠AED＝30°，进而可求得∠DAO=45°，再根据菱形的性质证得∠BAD=90°即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的性质、菱形的判定与性质、正方形的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）当时，求方程的根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，解一元二次方程． （1）根据根的判别式得到，解不等式即可； （2）将代入求解即可． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得， 实数的取值范围是； 【小问2详解】 解：当时，原方程为， ， ，． 20. 如图，在中，，分别为，的中点，，垂足为，点在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，，求和的长． 【答案】（1） 证明：∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）， 【解析】 【分析】（1）证明是的中位线，得，再证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）根据含30度角的直角三角形的性质得，由勾股定理得，则，再由三角形中位线定理求出，然后由矩形的性质得，，则，进而由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，是的中位线，四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 21. 山东潍坊杨家埠木版年画有“画乡”之称．某校社团准备制作一张长方形年画《瑞虎迎春》，长和宽分别记为、（单位：）．已知、是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，这张年画恰好是正方形？ （2）若制作时要求四周各留的空白边（即实际画面长，宽），且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及正方形的判定与性质．熟练掌握正方形的判定和根的判别式是解题的关键． （1）根据正方形的性质，可知方程有两个相等的实数根，所以，，即可求出答案； （2）根据根与系数的关系得，，代入，即可求出答案． 【小问1详解】 解：当张年画恰好是正方形，则方程有两个相等的实数根， ∴，， 解得； 【小问2详解】 解：∵、是关于的方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得． 22. 济南百年老字号鲁味斋（始创于年）现有真空五香虎皮猪蹄（非遗产品）．其生产成本为元/袋，当门店定价元/袋时，每天可售出袋，市场调查反映：销售单价每上涨元，则每天少售出袋．设销售单价上涨元． （1）若日销售利润恰好达到元，求的值． （2）每天的销售利润能否恰好达到元？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）或； （2）能，或. 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据题目中的相等关系列方程． 单价上涨元，每日的销售量为袋，每袋的利润为元，根据每日的销售利润为每日的销售量乘以每袋的利润列方程：，解方程即可求出单价上涨的钱数； 根据每天的销售利润是元，可列方程：，解方程即可求出单价上涨的钱数． 【小问1详解】 解：根据题意可得：， 整理得：， 解得：，， 当的值为或时，日销售利润恰好达到元； 【小问2详解】 解：能，当销售单价上涨元或元时，每天的销售利润恰好达到元， 理由如下： 根据题意可得：， 整理得：， 解得：，， 答：当销售单价上涨元或元时，每天的销售利润恰好达到元． 23. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动． （1）几秒后，的长度为？ （2）几秒后，的面积为？ （3）的面积能否为？请说明理由． 【答案】（1）秒； （2）秒或秒 （3） 解：的面积不可能为． 理由如下： 设运动秒时，的面积为， 根据题意可得：， 整理得：， ， 方程无解， 的面积不可能为． 【解析】 【分析】本题主要考查动点与几何图形的综合，理解动点的运动规律，掌握几何图形的面积计算方法，一元二次方程根的判别式等知识是解题的关键． 设运动秒时，的长度为，则有，，利用勾股定理可得：，解方程即可求出的值； 设秒后，的面积为，根据三角形的面积公式可得：，解方程即可求出的值； 设运动秒时，的面积为，可得方程，根据一元二次根式的判别式可知，所以方程无解，所以的面积不可能为． 【小问1详解】 解：设运动秒时，的长度为， ，， ， ， 在中，， ， 整理得：， 解得：(负值，舍去)或， 答：秒后的长度为； 【小问2详解】 解：设秒后，的面积为， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：或， 答：秒或秒时，的面积为； 【小问3详解】 略 24. 【问题提出】 已知：正方形和正方形有公共顶点，把正方形绕点顺时针旋转一定的度数，连接，探究的长． 【问题探究】 （1）已知正方形的边长为，正方形的边长为．如图，若正方形的边落在正方形的边上，求的长． （2）已知正方形的边长为，正方形的边长为，如图，将正方形由图中的位置绕点顺时针旋转，求的长． 【拓展应用】 （3）如图，已知矩形和矩形全等，把矩形绕点顺时针旋转，使所在的直线恰好过的中点，当，时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长； （2）连接，可证点、、三点共线，利用正方形的性质可求，再利用勾股定理求出的长度； （3）过点作垂足位于的延长线上，可证，利用相似三角形的性质求出，，再利用勾股定理求出的长度． 【详解】（1）解：正方形的边长为，正方形的边长为， ，，， ∴， ∴E、A、B在同一直线上， ， 在中，， ； （2）解：连接，如图所示： 四边形是正方形， ， 由旋转可知，， 点、、三点共线， 正方形的边长为， ， 正方形的边长为， ，， 在中，； （3）解：延长，过点作于点M，如图所示： ∴， ， 四边形是矩形， ， ， ， 又， ， ， 四边形是矩形， ，，， 由旋转可知，， 在中，， ， ，， 在中，． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质．解决本题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $